Wojciech Maćkowiak 20 maja 2004 roku
Zagadnienia z analizy III
I Ciągłość odwzorowań.1. Przestrzenie metryczne.
• zbiory otwarte, domknięte, ograniczone, otoczenie punktu • ciągi punktów w przestrzeni metrycznej i ich zbieżność • punkty skupienia zbiory, punkty izolowane
• ciągi Cauchy’ego, przestrzenie zupełne
• przestrzenie (zbiory) zwarte, zbiory zwarte w Rn
• zupełność a zwartość przestrzeni metrycznej • przestrzenie (zbiory) spójne
2. Ciągłość odwzorowań w przestrzeniach metrycznych. • granica odwzorowania
• ciągłość odwzorowania, warunki równoważne definicji ciągłości • własności odwzorowań ciągłych
• odwzorowania ciągłe na zbiorach zwartych • odwzorowania ciągłe na zbiorach spójnych 3. Przestrzenie funkcyjne.
• przestrzeń funkcji ograniczonych na zbiorach zwartych • przestrzeń odwzorowań liniowych i ciągłych
• warunki równoważne ciągłości odwzorowań liniowych II Różniczkowanie odwzorowań (w przestrzeni Rn).
1. Pochodna rzędu pierwszego.
• pochodna odwzorowania jako odwzorowanie liniowe (ciągłe), jednoznaczność pochodnej • ciągłość a różniczkowalność
• liniowość operacji różniczkowania • różniczkowanie złożenia
• pochodna kierunkowa a pochodne cząstkowe • pochodna kierunkowa a pochodne odwzorowania
• macierz Jackobiego, jakobian (pochodne cząstkowe a różniczkowalność odwzorowania) • odwzorowania klasy C1
• twierdzenie o wartości średniej
• twierdzenie o lokalnym odwracaniu (dyfeomorfizmu), pochodna odwzorowania odwrotnego • funkcje uwikłane, ich pochodna
• twierdzenie o rzędzie • różniczka odwzorowania 2. Pochodne wyższych rzędów.
• pochodna rzędu drugiego jako odwzorowanie dwuliniowe, ciągłe • odwzorowania klasy C2
• symetria drugiej pochodnej
• pochodna kierunkowa i pochodne cząstkowe rzędu drugiego • pochodna kierunkowa a pochodna rzędu drugiego
• twierdzenie Schwartza (o pochodnych mieszanych) • pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora
• ekstrema lokalne, warunki konieczne, warunek dostateczny (formy kwadratowe, ich określoność) • ekstrema globalne
• ekstrema warunkowe, warunek konieczny i dostateczny ich istnienia (metoda mnożników Lagrange’a) III Zbiory punktów w przestrzeni Rn.
1. krzywe na płaszczyźnie
2. krzywe i powierzchnie w R3
3. płaszczyzna styczna i prosta normalna do powierzchni 4. hiperpłaszczyzna i prosta w R3
5. rozmaitości (gładkie) k-wymiarowe w przestrzeni Rn
6. przestrzeń styczna do rozmaitości w jej punkcie, wiązka styczna 7. pochodna gładkiego odwzorowania rozmaitości
8. własności pochodnej odwzorowania rozmaitości 9. rozmaitość z brzegiem
IV Całkowanie odwzorowań.
1. Miara Jordana zbioru płaskiego (pole obszaru płaskiego).
2. Całka podwójna - definicja, własności, sprowadzanie do całki iterowanej, tw. o zamianie zmiennych, za-stosowania (pole obszaru płaskiego, objętośc bryły, pole płata powierzchniowego).
3. Miara Jordana obszaru przestrzennego (objętośc obszaru). 4. Całka potrójna – analogicznie jak całka podwójna.
5. Całka krzywoliniowa (z funkcji rzeczywistej 2 i 3 zmiennych) nieskierowana (niezorientowana). 6. Całka powierzchniowa niezorientowana.
7. Pola wektorowe – gradient, rotacja i dywergencja pola wektorowego.
8. k-tensory – iloczyn tensorowy, alternacja tensora, iloczyn zewnętrzny i jego własności.
9. k-formy różniczkowe, postać kanoniczna, operacja przenoszenia, różniczka formy różniczkowej i jej wła-sności.
10. Całkowanie form różniczkowych – całka krzywoliniowa i powierzchniowa (zorientowana), tw. Stokesa. 11. Pola i formy na rozmaitości, operacja przenoszenia, różniczka formy różniczkowej na rozmaitości, orientacja
przestrzeni Rn i przestrzeni stycznej do rozmaitości, orientacja brzegu.
12. Całka po rozmaitości i tw. Stokesa (ogólne), przypadki szczególne tw. Stokesa (tw. Greena i tw. Gaussa). V Miara i całka Lebesgue’a.
1. σ-ciało i miara na σ-ciele, zmiara zupełna.
2. Miara zewnętrzna i tw. o rodzinie zbiorów spełniających warunek Caratheodory’ego.
3. Miara Lebesgue’a i zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a, σ-ciało zbiorów Borela, warunki równoważne mierzalności zbioru w sensie Lebesgue’a.
4. Funkcje mierzalne, definicje i własności, twierdzenie o aproksymacji funkcji mierzalnej funkcjami schod-kowymi (mierzlanymi), mierzalności funkcji równoważnych.
5. Całka Lebesgue’a – definicja i własności, funkcje całkowalne w sensie Lebesgue’a, tw. Lebesgue’a (o zbież-ności monoticznej, ograniczonej), porównanie z całką Riemanna, twierdzenie Fubiniego.
6. Przestrzeń L2 funkcji całkowalnych z kwadratem.
