3 Formy dodatnio okre´ slone, ortogonalizacja Grama-Schmidta, formy symplektyczne

GAL z F 2018

Konspekt wyk lad´ow: Formy 2-liniowe [Kos roz.1 §4], [Tor VII]

19.4.2018

Notatki zawieraja_,odsy lacze do podre_,cznik´ow [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toru´nczyk.

Materia l mniej standardowy jest opisany dok ladniej.

1 Formy symetryczne 2-liniowe - kr´ otki wste

p do diagonalizacji.

1.1 φ : V × V →_Kjest forma_,2-liniowa_,, je´sli:

• φ(aα + bβ, γ) = aφ(α, γ) + bφ(β, γ)

• φ(γ, aα + bβ) = aφ(γ, α) + bφ(γ, β)

1.2 Forma 2-liniowa jest symetryczna gdy φ(α, β) = φ(β, α).

W tym wyk ladzie rozwa ˙zamy tylko formy symetryczne 2-liniowe nad cia lem charak- terystyki 6= 2.

1.3 Gdy V =Kⁿ forma symetryczna 2-liniowa zadaje forme_,kwadratowa_,q(α) = φ(α, α). Mamy φ(α, β) = 1

2(q(α + β) − q(α) − q(β)) . Zatem forma kwadratowa wyznacza forme_,2-liniowa_,.

1.4 Macierz formy 2-liniowej w bazie A

M (φ)A= {φ(α_i, α_j)}i=1...n, j=1...n

1.5 Je´sli forma kwadratowa od n zmiennych jest postaci

n

X

i=1

aix²_i +X

i<j

bi,jxixj

to macierz formy 2-liniowej w bazie standardowej ma wyrazy mi,i= ai, mi,j = mj,i= ¹₂bi,j

1.6 Je´sli C = M (id)^A_B to

M (φ)B = C^T · M (φ)_A· C 1.7 Relacja kongruencji macierzy M ∼ C^TM C.

1.8 Forma standardowego iloczynu skalarnego, forma hiperboliczna

1.9 W_C² forma standardowego iloczynu skalarnego jest hiperboliczna w bazie α₁(i, 1), α₂= 1

2(−i, 1).

1.10 Zak ladamy, ˙ze dim V < ∞. Forma jest niezdegenerowana gdy

∀w ∈ V w 6= 0 ∃v ∈ V φ(v, w) 6= 0 Oznacza to, ˙ze przekszta lcenie

φ^#: V → V^∗ w 7→ φ(−, w)

(tzn φ^#(w)(v) := φ(v, w)) jest monomorfizmem. Zatem jest izomorfizmem, gdy˙z zak ladamy, ˙ze dim V <

∞.

1.11 Dope lnienie ortogonalne podprzestrzeni.

dim W + dim W^⊥≥ dim V.

Gdy φ jest niezdegenerowana to mamy r´owno´s´c.

Dow: W^⊥ jest zdefiniowana przez uk lad r´owna´n zadany funkcjona lami φ^#(α_i), gdzie α_i jest baza_,W . 1.12 Je´sli φ_{|W ×W} jest niezdegenerowana, to V = W ⊕ W^⊥.

1.13 Diagonalizacja formy 2-liniowej: Istnieje baza, w kt´orej M (φ) jest diagonalna.

Dow´od 1: Stowarzyszona_,forme_,kwadratowa_,diagonalizujemy metoda_,Lagrange’a.

Dow´od 2: Je´sli dla wszystkich α mamy φ(α, α) = 0, to φ = 0. W przeciwnym razie bierzemy α₁ = α taki, ˙ze φ(α, α) 6= 0 i przyjmujemy W := lin(α). Rozk ladamy V = W ⊕ W^⊥i poste_,pujemy indukcyjnie.

1.14 Metoda Jacobiego: je´sli wyznaczniki kolejnych minor´ow macierzy M sa_, r´owne ∆i 6= 0, to macierz M jest kongruenta z diagonalna_, diag(∆1/∆0, . . . , ∆i/∆i−1, . . . , ∆n/∆n−1). (Przyjmujemy

∆0= 0.)

2 Formy 2-liniowe

Przekszta lcenia dwuliniowe φ : V₁× V₂ → V₃. Przyk lady:

– V × V^∗ →_K,

– A algebra nad_K, mno˙zenie:A × A → A – np, A = L(V, V ),

– np. K=R, A =C.

– sk ladanie przekszta lce´n L(W1, W2) × L(W2, W3) → L(W1, W3),

– mno˙zenie funkcji spe lniaja_,cych r´o˙zne warunki, np C₀^∞(R) × C(R) → C0(R).

2.1 Og´olniej: rozwa˙za sie_,przekszta lcenia wieloliniowe V1× V₂× · · · × V_n→ W , np det : Vⁿ→_K. 2.2 Przyk lad: Dane 1 < p < ∞, niech `^p oznacza zb´or cia_,g´ow sumowalnych w p-tej pote_,dzie (tzn P∞

i=1|a_i|^p < ∞). Dla ¹_p+¹_q = 1 mamy `<sup>p</sup>× `^q→_Rzadane wzorem φ((a_i), (b_j)) =P∞

i=1a_ib_j (zbie˙zno´s´c wynika z nier´owno´sci H¨oldera).

2.3 Indukowane przekszta lcenie φ^# : V₂ → V₁^∗ zadane wzorem φ^#(w) = φ( − , w). W bazach:

M (φ^#)^A_B^∗ = M (φ)_A,B.

Oczywi´scie te˙z mo˙zna zdefiniowa´c ^#φ : V1 → V₂^∗ zadane wzorem ^#φ(v) = φ(v, − ).

2.4 Je´sli V1 = V2 = V , to φ : V × V →Knazywamy forma_,dwuliniowa_,.

2.5 Forma dwuliniowa φ : V × V →K jest niezdegenerowana je´sli: M (φ) jest macierza_, niezdegen- erowana_,.

2.6 Mamy naste_,puja_,ce charakteryzacje form niezdegenerowanych:

(Definicja) ∀w ∈ V w 6= 0 ∃v ∈ V φ(v, w) 6= 0

⇔ indukowane przekszta lcenie φ^#: V → V^∗ zadane wzorem φ^#(w) = φ( · , w) jest monomorfizmem

⇔ indukowane przekszta lcenie φ^#: V → V^∗ zadane wzorem φ^#(w) = φ( · , w) jest izomorfizmem

⇔ macierz M (φ) niezdegenerowana.

⇔ macierz M (φ)^T niezdegenerowana.

⇔ indukowane przekszta lcenie^#φ : V → V^∗ zadane wzorem ^#φ(v) = φ(v, · ) jest izomorfizmem

⇔ ∀v ∈ V w 6= 0 ∃w ∈ V φ(v, w) 6= 0

2.7 Gdyby rozwa˙za´c forme_, φ : V₁ × V₂ → _K dla dim V₁ 6= dim V₂ lub dim V₁ = dim V₂ = ∞, to powy˙zsze r´ownowa˙zno´sci nie sa_,prawdziwe.

Dalej zak ladamy char(K) 6= 2, dim V < ∞

2.8 Formy symetryczne i antysymetryczne: V₁= V₂ = V , V₃ =_K, φ(v, w) = ±φ(w, v) 2.9 Przyk lady:

– `² = {(a_n)_n∈N| P |a_n|²< ∞}

– V = C([0, 1]), dana funkcja ρ(x) ∈ V (ge_,sto´s´c) φ_ρ(f, g) =R1

0 ρ(x)f (x)g(x)dx – symetryczna – V tjw, dane x₀ ∈ [0, 1], φ_δx0(f, g) = f (x₀)g(x₀)

– V = C₀¹(R): φ(f, g) =R∞

−∞f (x)g⁰(x)dx – antysymetryczna.

– `<sup>2</sup>× `² →_R

2.10 Podprzestrzenie izotropowe (W jest izotropowa je´sli φ|W = 0). Dla formy symetrycznej zb´or wektor´ow izotropowych jest kwadryka_,.

Dla formy antysymetrycznej (char_K6= 2) ka˙zdy wektor jest izotropowy.

2.11 Niech φ be_,dzie symetryczna_,lub antysymetryczna_,forma_,dwuliniowa_,. Dope lnienie podprzestrzeni W ortogonalne w obu przypadkach oznaczamy przez W^⊥φ lub W^⊥.

2.12 Dla ka˙zdej 2-liniowej symetrycznej ba_,d´z antysymetrycznej formy mamy:

– {0}^⊥= V ,

– W ⊂ (W^⊥)^⊥ i r´owno´s´c zachodzi np gdy dim V < ∞ i φ jest niezdegenerowana

2.13 (Kontr)przyk lad: Istnieje W V , W^⊥= {0}. Np. V = `², W =cia_,gi p.w. r´owne 0.

2.14 Dana jest dwuliniowa forma (V, φ) symetryczna lub antysymetryczna, A, B, W ⊂ V – A ⊂ B =⇒ B^⊥⊂ A^⊥

– gdy dim(V ) < ∞, to dim(V ) ≤ dim(W ) + dim(W^⊥) (bo dim(W^⊥) = dim(V ) − dim(φ^#(W )) ≥ dim(V ) − dim(W )).

2.15 Dla niezdegenerowanej (dim(V ) < ∞) formy mamy, – dim(V ) = dim(W ) + dim(W^⊥)

– W = (W^⊥)^⊥

2.16 – (A + B)^⊥= A^⊥∩ B^⊥ (zawsze)

– (A ∩ B)^⊥= A^⊥+ B^⊥ je´sli dim V < ∞ i forma jest niezdegenerowana

2.17 ´Cwiczenie. Udowodni´c analogiczne w lasno´sci dla przekszta lcenia dwuliniowego. φ : V1×V₂ →_K u˙zywaja_,c poje_,cia anihilatora: dla A ⊂ V1 definiujemy anh(A) = {w ∈ V2| ∀v ∈ A φ(v, w) = 0}.

2.18 Rozk lad przestrzeni na sume_,prosta_,ortogonalna_,A⊕ B (oznaczana^⊥ _,te˙z V = A ˙⊥B).

2.19 Ka˙zda_,przestrze´n z symetryczna_,ba_,d´z antysymetryczna_,forma_,2-liniowa_,mo˙zna przedstawi´c jako V = U ⊕ W , gdzie U jest ca lkowicie zdegenerowana (tzn φ^⊥ _|U = 0), oraz W jest niezdegenerowana.

Przedstawienie to jest jednoznaczne w naste_,puja_,cym sensie: Je´sli V = U ⊕ W = U^{⊥ 0} ⊕ W^{⊥ 0}, to U = U⁰ oraz istnieje izomorfizm f : W → W⁰ taki, ˙ze dla v, w ∈ W mamy φ(v, w) = φ(f (v), f (w)).

Dow: U = V^⊥, W ' V /U .

2.20 O relacji kongruencji c.d.:

– Ka˙zda macierz symetryczna jest kongruentna do macierzy diagonalnej.

– Je´sli A ∼ A⁰ i B ∼ B⁰ toA 0

0 B



∼A⁰ 0 0 B⁰

 – Macierz (a) jest kongruentna do (k²a) dla k 6= 0.

– Je´sli a + b 6= 0, to macierz a 0 0 b



jest kongruentna do a + b 0 0 ab(a + b)

 .

2.21 ´Cwiczenie (by´c mo˙ze trudne): sklasyfikowa´c formy dwuliniowe symetryczne_Q². Kt´ore macierze diagonalne 2 × 2 sa_,kongruentne do macierzy jednostkowej?

(Zainteresowanym ta,^tematyka,polecam ksia,^zke˙ ,J. Milnor, D. Husemoller Symmetric bilinear forms.), p.87.

2.22 W poprzednim wyk ladzie udowodnili´smy dla formy symetrycznej, ˙ze istnieje baza V , w kt´orej M (φ) jest diagonalna.

2.23 Je´sli _K = _R, to istnieje baza, w kt´orej macierz danej formy jest diagonalna z 1, –1 i 0 na przeka_,tnej.

2.24 Twierdzenie o bezw ladno´sci: Je´sli cia lo jest uporza_,dkowane i ka˙zdy element > 0 jest kwadratem (np. _K=_R), to ka˙zda macierz symetryczna jest kongruentna do diagonalnej, a na przeka_,tnej sa_,tylko 1, –1 i 0. Ilo´sci ,,1”, ,,0” i ,,–1” sa_,jednoznacznie wyznaczone.

Dow´od dla formy niezdegenerowanej: je´sli k + l = k⁰+ l⁰ = n to albo k + l⁰ > n lub k⁰+ l > n.

2.25 R´ownowa˙zne sformu lowanie: (V, φ) ' [ 1 ]^k ⊕ [−1 ]^{⊥ `}⊕ [ 0 ]^{⊥ m}.

2.26 W Twierdzeniu o bezw ladno´sci liczby k, l, m:

– liczba k jest r´ona wymiarowi maksymalnej podprzestrzeni, na kt´orej φ jest dodatnio okre´slona, – liczba l jest r´ona wymiarowi maksymalnej podprzestrzeni, na kt´orej φ jest ujemnie okre´slona, – m = dim(V^⊥).

2.27 Liczba σ = k − l nazywana jest sygnatura_,formy. Sygnatura oraz rza_,d r(M (φ)) wyznaczaja_,typ formy z dok ladno´scia_,do izomorfizmu liniowego. Innymi s lowy wyznaczaja_,klase_,kongruencji M (φ).

(To wszystko jest prawda nadR. Nad Qjest o wiele ciekawiej.)

3 Formy dodatnio okre´ slone, ortogonalizacja Grama-Schmidta, formy symplektyczne

Formy symplektyczne i diagonalizacja form symetrycznych [Kos roz.1 §4], [Tor VII]

3.1 Formy nad_Rokre´slone dodatnio i ujemnie.

3.2 Je´sli forma jest dodatnio okrze´slona, to det(M (φ)) > 0 (w dowolnej bazie. Dotyczy to te˙z dowolnego minora g l´ownego (tzn symetrycznie po lo˙zonego).

3.3 Kryterium Sylwestera. Forma (Rⁿ, φ) jest dodatnio okre´slona wtedy i tylko wtedy wyznaczniki kolejnych minor´ow g l´ownych ∆1, ∆2, . . . , ∆n sa_, dodatnie. To jest proste zastosowanie metody Jaco- biego.

3.4 Forma (Rⁿ, φ) jest ujemnie okre´slona wtedy i tylko wtedy wyznaczniki kolejnych minor´ow g l´ownych

∆1, ∆2, . . . , ∆n maja_,naprzemienne znaki -+-+. . . (−1)ⁿ.

3.5 ´Cwiczenie: wyznaczniki kolejnych minor´ow maja_, znaki jak poni˙zej. Jakiej postaci mo˙ze by´c forma?

a) + 0 −, b) + + 0 −, c) + − 0 +, d) + + 0 −, e) + − 0 −, itp.

3.6 ´Cwiczenie: Czy mo˙zemy otrzyma´c cia_,g znak´ow + + 0 + ?

3.7 Metoda Jacobiego jeszcze raz: za l´o˙zmy, ˙ze dla macierzy M (φ) minory g l´owne ∆₁, ∆₂,. . . ∆_n sa_, r´o˙zne od zera. Wtedy istnieje baza_Kⁿ, w kt´orej φ ma posta´c diagonalna_,z liczbami ∆₁, ∆₂/∆₁,. . . ∆_n/∆_n−1 na przeka_,tnej.

Dok ladniej: dana baza α₁, α₂, ... α_n. Szukamy indukcjnie bazy spe lniaja_,cej 1) β₁ = α₁,

2) β₂ = α₂− c₂₁β₁, φ(β₂, β₁) = 0, tzn β₂=rzut α₂ na α^⊥₁ = β₁^⊥

3) β3= α3− c₃₁β1− c₃₂β2, φ(β3, β1) = 0, φ(β3, β2) = 0, tzn β3=rzut α3 na lin(α1, α2)^⊥= lin(β1, β2)^⊥ itd. Wsp´o´czynniki cij (i > j) sa_,r´owne φ(αi, βj)/φ(βj, βj). Z warunku ∆j 6= 0 wynika, ˙ze φ(β_j, βj) 6= 0.

3.8 Za l´o˙zmy, ˙ze φ jest forma_,symetryczna_,dwuliniowa_,dodatnio okre´slona na_R. Wtedy istnieje baza taka, ˙ze M (φ) = I. Taka baza nazywa sie_,ortonormalna.

3.9 Je li φ jest standardowa_, forma_,symetryczna_,dodtnio okre´slona_,w _Rⁿ, (tzn M (φ)_st = I), to baza B jest ortonormalna wtedy i tylko wtedy gdy B^TB = I, gdzie B = M (Id)^st_B. Zbi´or takich macierzy jest oznaczny przez O(n) to jest podgrupa w GL_n(_R).

3.10 Diagonalizacja formy metoda_, Jacobiego w przypadku formy dodatnio okre´slonej nazywa sie_, ortogonalizacja_, Grama-Schmidta. W efekcie znajdujemy baze_, ortogonalna_,, a p´o´zniej przeskalowuja_,c wektory baze_,ortonormalna_,.

3.11 Dana baza A. Ortogonalizacja G-S: βi= αi−Pi−1 j=1

(αi,βj)

(βj,βj)βj , γi= √ ¹

(βi,βi)βi (piszemy (α, β) zamiast φ(α, β)). Otrzymujemy procedure_,

A B C

dowolna baza baza ortogonalna baza ortonormalna.

gdzie M (Id)^B_A jest g´ornotr´ojka_,tna z jedynkami na przeka_,tnej (bo M (Id)^A_B jest taka), M (Id)^C_B jest diagonalna, M_C^st ∈ O(n).

3.12 Przyjmuja_,c:

G = M_A^st(I), K = M_C^st(I), A = M_B^C(I), N = M_A^B(I)

traktujemy ortogonalizacje_,G-S jako algorytm pozwalaja_,cy przedstawi´c dowolna_,macierz odwracalna_,G w postaci

G = K · A · N ,

gdzie K ∈ O(n), macierz A jest diagonalna z dodatnimi wyrazami, N g´ornotr´ojka_,tna z jedynkami na przeka_,tnej. To sie_, nazywa rozk ladem Iwasawy (patrz np Wikipedia ,,Iwasawa decomposition” aby zobaczy´c uog´olnienia.)

3.13 Przyk lad:

α₁ = (3, 4), α₂ = (1, 1) β1 = (3, 4), β₂= (₂₅⁴, −₂₅³) γ1= (³₅,⁴₅), γ₂= (⁴₅, −³₅)

G =3 1 4 1



=

₃

5 4 4 5 5 −³₅

 5 0 0 ¹₅

 1 ₂₅⁷ 0 1



3.14 ´Cwiczenie. Rozk lad Iwasawy KAN jest jednoznaczny. Mamy bijekcje_, O(n) × (_R+)ⁿ×_R^n(n−1)2 → GL(_Rⁿ) ,

(K, A, N ) 7→ K · A · N .

(Tu (_R+)ⁿuto˙zszamiamy ze zbiorem macierzy z wyrazami dodatnimi na przeka_,tnej,_R^n(n−1)2 z macierzami g´ornotr´ojka_,tnymi z jedynkami na przeka_,tnej.) Na przyk lad

GL(_R²) ' O(2) × (_R+)²×_R. 3.15 ´Cwiczenie: Pokaza´c

SO(_R³) ' _P³(_R) . gdzie SO(n) = {K∈ O(n) | det(K) = 1}.

Formy symplektyczne

3.16 Za l´o˙zmy, ˙ze φ jest antysymetryczna oraz niezdegenerowana, dim(V ) < ∞. (M´owimy, ˙ze φ jest symplektyczna.) Wtedy wymiar V jest parzysty oraz istnieje baza V : α₁, α₂, . . . α_n, β₁, β₂, . . . , β_ntaka,

˙ze macierz formy w tej bazie jest blokowa J = 0 I

−I 0



. Ta baza nazywa sie_,baza_,symplektyczna_,lub Darboux.

3.17 Wniosek z istnienia bazy symplektycznej: ka˙zda macierz antysymetryczna i niezdegenerowana jest kongruentna do macierzy J = 0 I

−I 0



, czyli postaci C^TJ C.

3.18 Wniosek: wyznacznik macierzy antysymetrycznej jest kwadratem. Z ´cwicze´n wiemy, ˙ze istnieja_, formu ly wielomianowe pozwalaja_,ce wycia_,gna_,´c pierwiastek z wyznacznika: np

det









0 x12 x13 x14

−x₁₂ 0 x₂₃ x₂₄

−x₁₃ −x₂₃ 0 x₃₄

−x₁₄ −x₂₄ −x₃₄ 0









= (x₁₂x₃₄− x₁₃x₂₄+ x₁₄x₂₃)².

(patrz Pfaffian).

4 kwadryki afiniczne

Kwadryki [Kos roz.5 §2-4, tam jest bardzo dok ladnie]

4.1 Zbiory algebraiczne wKⁿ to zbiory opisane uk ladami r´owna´n wielomianowch.

4.2 Przyka_,d: okra_,g, hiperbola, parabola wR².

4.3 Kwadryki afiniczne: Ka˙zda kwadryka afiniczna w Rⁿ mo˙ze by´c przekszta lceniem afinicznym sprowadzona do kwadryki opisanej r´ownaniem:

k

X

i=1

x²_i −

k+`

X

j=k+1

x²_j = δ

k + ` ≤ n, δ = 0 lub 1 albo

k

X

i=1

x²_i −

k+`

X

j=k+1

x²_j = x<sub>k+`+1</sub> k + ` < n.

4.4 Afiniczne typy r´ownowa˙zno´sci kwadryk wR³ i rzutowe typy. Zak ladaja_,c, ˙ze po ujednorodnieniu otrzymujemy forme_,niezdegenierowana_,mamy naste_,puja_,ce typy:

- elipsoida (sfera) x²+ y²+ z² = 1, typ rzutowy + + +−

- hiperboloida jednopow lokowa x²+ y²− z² = 1, typ rzutowy + + −−

- hiperboloida dwupow lokowa x²+ y²− z²= −1, typ rzutowy + + +−

- paraboloida eliptyczna x²+ y²= z, typ rzutowy + + +−

- paraboloida hiperboliczna x²− y²= z, typ rzutowy + + −−

- zbi´or pusty x²+ y²+ z² = −1, typ rzutowy + + ++

4.5 Po ujednorodnieniu zdegenerowana forma:

- x²+ y²+ z² = 0 ,,gruby punkt”, typ rzutowy +++0 - x²+ y²− z² = 0 sto˙zek, typ rzutowy ++-0

- itd

4.6 kwadryki wPⁿ(K).

4.7 ´Cwiczenie:

– Wszystkie niezdegenerowane kwadryki w _Pⁿ(_C) sa_,r´ownowa˙zne.

– Poda´c typy r´ownowa˙zno´sci niezdegenerowanych kwadryk w_Pⁿ(_R).

4.8 Przk lady. Hiperbola i parabola wR²: ich rzutowa r´ownowa˙zno´s´c z okre_,giem, przecie_,cie z prosta_, w ∞.

4.9 ´Cwiczenie: niezdegenerowana_,kwadryke_,typu ++−− wP³(R) (tzn rzutowe domknie_,cie paraboloidy hiperbolicznej lub hiperboloidy jednopow lokowej) mo˙zna uto˙zsami´c z torusem S¹× S¹. (Wskaz´owka:

patrz prostokre´slno´s´c, odwzorowanie Segre.)

Wsp´o lczynniki wektora w bazie ortogonalnej

4.10 Przypu´s´cmy, ˙ze baza niezdegenerowanej formy 2-liniowej β1, β2, . . . , βnjest ortogonalna. Wtedy dla ka˙zdego wektora α mamy

α =

n

X

i=1

φ(α, βi) φ(βi, βi)βi

4.11 Kr´otsza suma

k

X

i=1

φ(α, β_i) φ(βi, βi)βi

to rzut α na lin(β₁, β₂, . . . , β_k) wzd lu˙z β_k+1, β_k+2, . . . , β_n.

4.12 W przestrzeni niesko´nczenie wymiarowej cze_,sto nie ma bazy ortogonalnej (tylko sa_, uk lady zupe lne, t.˙z. lin{β_i}_i∈

N

⊥

= 0. Ale mo˙zna rozwa˙za´c rzut α na lin(β₁, β₂, . . . , β_k) wzd lu˙z lin(β₁, β₂, . . . , β_k)^⊥. 4.13 Wa˙zny przyk lad: V = C(S¹) z iloczynem skalarnym (f, g) =R2π

0 f (t)g(t)dt, podprzestrze´n W = Wielomiany trygonometryczne. Baza_,ortogonalna_,W sa_,funkcje 1, sin(nt), cos(nt) dla n ∈N+. Ponadto W^⊥ = {0} (patrz tw Stone’a-Weierstrassa) Otrzymujemy przyk lad zupe lnego uk ladu wektor´ow, kt´ory nie jest baza_,w sensie algebry liniowej.

4.14 Z ka˙zda_,funkcja_,ca lkowalna_,(w sensie Lebesgue’a) stowarztszamy szereg

a +

∞

X

n=1

b_ncos(nt) + c_nsin(nt) ,

gdzie a = _2π¹ Rπ

−πf (t)dt, b_n = _π¹Rπ

−πf (t) cos(t)dt, c_n = _π¹Rπ

−πf (t) sin(t)dt. Badaniem takich szereg´ow zajmuje sie_,analiza fourierowska. Co prawda nie musi by´c zbie˙zny punktowo, ale jest zbierzny wed lug mairy. Ponadto gdy funkcja jest klasy C¹, to mamy zbie˙zno´s´c jednostajna_,.