Sources et puits de chaleur en aeronautique

TECHNICAL MEMORANDUM lO

SOURCES ET PUITS DE CHALEUR EN AERONAUTIQUE

par

R.H. Korkegi

Conférence présentée à l'Association Belge des Ingénieurs et Tecbniciens de l'Aéronautique et

de l'Astronautique, le 10 mats 1960.

RHODE - SAINT - GENÈSE (BELGIQUa) 72.. CHAUSSËE DE WATERLOO.

-0 -0

.

<

SOVRCES ET PUITS DE CHALEUR

EN AERONAVTIQUE

par

R.H. Korkegi

Conférence présentée à l'Association Belge des Ingénieurs et Teçhniciens de l'Aéronautique et

I - INTRODUCTION 1.

11 - NOTIONS FONDAMENTALES 2.

1. Température d'arr!t 2.

2. La couche l~ite et la température pariétale

adiabatique 4.

III - ECHAUFFEMENT CINETIQUE 10.

IV - EFFETS DU RAYONNEMENT 24.

V - REFROIDISSEMENT 26.

I. 1NTRODUCT10N

Aux grandes vitesses de vol que nous permettent les moyens de propulsion modernes, il se produit une conversion de quantités considé-rables d'énergie en chaleur par compression et par effets visqueux dans des couches d'air relativement minces à la surface deun engin. Une partie de cette chaleur est transmise à la paroi, qui, e1le-même, en émet sous forme de rayonnement.

La cha1eur transmise peut mener à des températures parié-tales élevées présentant ainsi un sérieux prob1ème au constructeur, d'ou la nécessité d'approfondir les connaissances sur les sourees et puits de chaleur et 1eurs effets quantitatifs.

Pour étudier les phénomènes de l'écoulement et du transfert de chaleur la pratique courante est de fixer l'origine des coordonnées à la paroi du corps (au bord d'attaque d'une plaque plane, par exemple), ce qui équivaut à considérer l'air en mouvement avec une vitesse uniforme à l'in-fini amont. Les propriétés locales de l'air et les vitesses re1atives au corps sont les mêmes que pour Ie cas réel du véhicule volant dans une atmosphère ambiante. Une excellente revue des sources de cha1eur en aéro-nautique contenant une bibliographie importante est donnée par M. B1oom(réf.l)

11 est nécessaire de préciser que ce texte est destiné à la fois à l'aérodynamicien et à l'ingénieur pour lesque1s les prob1èmes en aérodynamique sont moins familiers. La première partie du texte, "Notions Fondamentales" J est destinée principa1ement à ce dernier. Elle définit les paramètres importants en leur donnant un sens physique et présente les relations é1émentaires relatives au transfert de chaleur.

11. NOTIONS FONDAMENTALES

1. Température d'arrêt

Pour fixer l'ordre de grandeur des températures à la paroi, ou près de la paroi d'un véhieule, définissons la température d'arrêt, To' Un fluide en mouvement possède de l'énergie thermique (ou enthalpie H

= cpT)

due aux actions moléeulaires, et cinétique (U2 /2) due à la vitesse moyenne de l'écoulement. Si 1e mouvement du fluide est arrêté adiabatiquement, c'est-à-dire en l'absence de sourees ou puits de cha1eur, l'énergie totale reste constante et toute l'énergie cinétique se transforme en énergie thermique. Ceei s'exprtIDe par l'équation de eonservation d'énergie

Hl lJ2 Ho +

,

72

~ ou (1) 2. c.._p

T

_o Cp

1";

+~

-2

-

cp constant

*

( )0 représente les conditions d'arr@t ou de stagnation.

( )1 représente les conditions atmosphériques, soit à l'infini amont d'un f1uide en mouvement.

cp est la cha1eur spéeifique à pression constante.

Ho et To sont done l'entha1pie et la température d'arr@t respectivement, Hl et Tl l'entha1pie et la température atmosphérique, et U1 la vitesse de

l'écoulement à l'infini amont, ou, dans le cas réel, la vitesse d'un véhicu1e dans une atmosphère ambiante.

*

Bien que la valeur de cp soit essentiellement constante aux températures voisines de la température atmosphérique ambiante, el1e ne l'est plus aux températures élevées (T

»

10000

K) ou el1e est une fonetion de la tempéra-ture et de la pression -- cp (T,p).

u

2

H

+

-

___

2

~J

2 ' +~

2

(2)

ou les quantités sans indice représentent les conditions locales d'un écoulement perturbé par la présence d'un corps, par exemple.

La présence d'ondes de choc ne change en rien la validité de l'équation 2.

En introduisant Ie nombre de Mach

*,

M, qui est Ie rapport de la vitesse, U, à la célérité du son, a, l'équation 1 peut s'écrire

I

+

y-2

(3)

ou 1( est Ie rapport de chaleurs spécifiques (

Y

=

cp/Cv)

Pour la gamme de températures dans laquelle les propriétés de l'air sont essentiellement constantes, l'équation 3 se réduit à

+

~-,

2

(4)

Ainsi, pour un nombre de Mach égal à 3 (presque atteint par des avions de chasse modernes)

To/Tl

= 2,8

Dans la partie isotherme de l'atmosphère (environ 10.000 à 30.000 m.) la température ambiante est approximativement 2200 _{K, la}

tempé-rature d'arrêt serait donc

*

M = U/a ; a

=

VYRT ou R est la constante du gaz (R

=

cp - cv' Cv est la chaleur spécifique à volume constant; )(= cp/Cv ).

En l'absence d'autres s9urces ou puits de chaleur, cette tempé-rature règnerait au point d'arrêt à la paroi d'un engin volant à cette vites-se qui, bien qu'étant d'environ 900

mIs,

est faible comparée aux vitesses de fusées et d'engins balistiques qui atteignent plusieurs milliers de mètres par seconde. La vitesse de rentrée dans l'atmosphère d'un engin balistique peut dépasser 5.000 mIs et la vitesse de libération du champ de gravitation est d'environ 10.000

mIs.

2. La couche limite et la température pariétale adiabatigue

Nous avons vu qu'il existe des températures élevées au point d'arrêt d'un engin en vol à grandes vitesses. Ceci est dO à la compression adiabatique de l'air. En fait, une température élevée voisine de To règne tout le long de la paroi, due cettefuis aux effets visqueux manifestés dans les couches d'air qui lui sont adjacentes.

Deux paramètres ncn-dimensionnels importants interviennent dans les écoulements visqueux et conducteurs de chaleur, ce sont les nombres de Reynolds et de Prandtl.

Le nombre de Reynolds exprime le rapport entre les forces d'inertie et 'les farces visqueuses d'un fluide en mouvement, soit

: ₍₅₎

ou (( est la masse spécifique,

jJ-

le coefficient de viscosité, et x une dimension caractéristique d'un corps, comme par exemple, sa longueur ou son épaisseur. Dans Ie cas d'une plaque plane, x serait la distance à

partir du bord d'attaque. Quand ie nombre de Reynolds est très élevé (Re

=

106 par exemple), la viscosité n'est importante que dans une mince

couche d'air adhérente à la paroi d'un corps -- couche limite -- et peut, de ce fait, être négligée en dehors de cette zone dans 1aque11e l'écoulement est dit I1sain".

A partir de sa valeur dans l'écoulement sain la vitesse du fluide diminue à travers la couche 11mite pour atteindre une valeur nu11e à même la paroi, ceci d6 à l'adhérence des molécules à la paroi.

La couche limite peut être laminaire ou turbulente se10n le nombre de Reynolds, l'état de la paroi, et des caractéristiques de l ' écou1e-ment.

Dans son évo1ution 1e long d'une paroi, si ce11e-ci est suffisam-ment longue, la couche 1imite laminaire tend à devenir instable, et, après une région dite de transition, la couche 1imite devient turbulente. Le nombre de Reyno1ds auque1 apparatt la transition est de l'ordre de 106•

Dans la couche 1imite laminaire, 1e ra1entissement de l'écoulement approchant de la paroi est da à l'échange ou au transport de quantité de mou-vement des molécu1es du fluide et donne 1ieu au frottement.

Dans la couche 1imite turbulente, au mouvement mo1écu1aire s'ajou-te un mouvement tourbi110nnaire et de ce fait, 1e frots'ajou-tement est plus impor-tant que dans la co uche 1imite laminaire. 11 en sera de rnêrne pour le trans-fert de cha1eur qui est dO cette fois au transport d'énergie mo1éculaire dans 1e cas laminaire, et en plus, d'énergie tourbi110nnaire dans 1e cas turbulent.

L'épaisseur ~ de la couche 1imite par rapport à la distance x à part ir du bord d'attaque d'une plaque p1ane -- pour prendre 1e plus simp1e exe~p1e -- est approximativement

S

I laminaire )(

VR

e

[

.

_-X

R

lis e turbulent

Par exemple, pour un nombre de Reynolds de 106 à x

= 1 m,

l'épaisseur d'une couche limite laminaire serait d'environ 5 mm, et d'une couche turbulente environ 20 mmo Ceci correspond à de faibles vitesses d'écoulement. Aux grandesvitesses, l'épaisseur de la couche limite est plus importante.

Le nombre de Prandtl exprime Ie rapport eotre Ie transport de la quantité de mouvement et Ie transport d'énergie moléculaire, et s'écrit

(6)

ou k est la conductivité thermique

La valeur du oombre de Praodtl pour l'air est essentiellemeot constante et voisine de 1, ce qui iodique que Ie processus de transport de la quantité de mouvement et de transport d'énergie sont essentiellemeot les m@mes. On peut en déduire qu'une certaioe similitude doit exister entre Ie frottement et Ie transfert de chaleur

*.

Même aux températures élevées, Ie nombre de Prandtl pour l'air ne s'écarte que très peu de sa valeur Pr

= 0,72

à la température atmosphérique ambiante.

*

Ceci se rapporte à la couche limite laminaire car il s'agit de transports moléculaires seulemeot; oéanmoins, 00 verra que cela vaut aussi pour la

I

Ainsi, la perte d'énergie cinétique due à la décroissance de vitesse en approchant la paroi, se retrouve presque en totalité dans Ie gain d'énergie the~ique, c'est-à-dire, en accroissement de température. Si la paroi est isolée thermiquement, et en l'absence d'autres sourees ou puits de chaleur extérieurs, sa température ou l'enthalpie atteindra la valeur adiabatique ou

2

+1L

Y -

1

2.

H (

Y2-

I

Me.

2 )

e.

l'tlL (7) Cp constant

( )e représente les conditions à la frontière de la couche

I imite

*

que nous obtenons en calculant Ie champ d '~écoule­ ment d'après la théorie des fluides compressibles ncn-vis-queux.

r e s t appelé Ie facteur de récupération.

---

---~-*

L'indice eest remplacé par l'indice I si ces conditions sont celles à l'infini amont, comme par exemple, pour une plaque plane.

M.) U:

~)~>T.

~

"r" est relié au nombre de Prandtl et est exprimé avec bonne approximation comme suit

r = Pr 1/2 (environ 0,85) laminaire

(8) r

=

Pr 1/3 (environ 0,89) turbulent

A partir de l'équation 2 on peut aussi écrire Htlp ~e..

!L

Ho

He.

ou (9)

IL. -=.

To..

p

Te.

T _ap = T

0' limite.

11 apparatt immédiatement que pour Ie cas Pr

=

1, H

ap = H o et

et, en fait, l'énergie totale est constante à travers la couche

Dans ce cas,l'équation 2 est non seulement valable dans

l'écou-lement sain, mais aussi dans toute la couche limite. Ceci est dC au fait que le processus de transport de quantité de mouvement est exactement Ie même que le processus de transport d'énergie.

Comme rest proche de l'unité pour l'air, on peut en première

approximation prendre r

=

1 pour déterminer les propriétés de la couche

limite.

En réalité, l'enthalpie totale varie légèrement de sa valeur

Hap à la paroi à une valeur un peu supérieure à Ho' pour finalement revenir

à l'enthalpie d'arr@t à la frontière de la couche limite.

En prenant les données de l'exemple précédent, la température adiabatique pariétale pour une couche limite turbulente, correspondant

à la température d'arr@t To

=

3430 _{C serait}

=

ou 2980

lIl. ECHAUFFEMENT ClNETIQUE

Les températures élevées dans la couche limite donnent lieu à un

flux de ehaleur par convexion forcée qui tend à porter la paroi deun

véhi-cule à la température adiabatique Tap. Le flux de chaleur local à la paroi s 'écrit généralement

Çfe

=

eh

~e

V

e

(Ho..f:> -

HF')

ou . (10)

.ere

-

-

c

ee

U

_e

cp

(T

_{Glf -}

~)

h _{cp c.onvtk~}

ou Tp est la température pariétale actuelle

et Ch est Ie coefficient non-dimensionnel de transfert de ehaleur ou nombre de Stanton.

Afin d'évaluer les flux de chaleur transmis à la paroi, il importe done de connattre Ie coefficient Ch- On peut exprimer les para-mètres dont 11 dépend comme suit

Notons qu'un gradient de température affecte non seulement Ch mais aussi toute la répartition du flux de chaleur.

En plus, il est important de connattre Ie point (ou la région) de transition de la couche limite, car Ie coefficient de transfettde chaleur turbulent peut -être d 'un ordre de grandeur plus grand que Ie coefficient

*

11 faut aussi inclure la valeur de la température absolue dans Ie cas de températures élevées ou la composition de l'air varie due à la dissocia-tion et à l'ionisation.

laminaire. Malheureusement, malgré de nombreux travaux sur la transition, les connaissances sont encore insuffisantes pour des prévisions

quantitati-ves autres que des ordres de grandeur du nombre de Reynolds de transit ion

dans certains cas.

On sait néanmoins que la transition est retardée par un gradient de pression négatif, par Ie refroidissement de la paroi (jusqu'à un certain point) et

en fonction de nombres de Mach croissants •.

Par contre, une paroi rugueuse, ou de la turbulence dans

l'écou-lement extérieur à la couche limite tendent à induire la transition plus

t~t.

D'après l'expérience acquise pour certains cas, on sait que l'on

peut utiliser avec bonne confiance des relations simpleset parfois

empiri-ques pour l'évaluation du coefficient detransfert de chaleur.

D'une part, le processus de transfert de chaleur e~relié au

pro-cessus de frottement que nous avons vu plus t~t pour Ie cas de la couche

limite laminaire.

En fonction des coefficients, ce fait est exprtmé par I'analogie, dite analogie de Reynolds.

(11)

ou Cf est Ie coefficient de frottement pariétal

*

L'expérience a montré que l'analogie de Reynolds est aussi valable pour la couche limite turbulente. En plus, sa validité a été

*

est défini comme suit Î _po

ou

I

est Ie frottement local à la paroL

importantes eonnaissanees sur le frottement servent à l' évaluation des flux de chaleur pariétaux.

D'autre part, l'expérienee a aussi montré que des simples rela-tions pour les écoulements laminaires aux faibles vitesses peuvent être ex-trapolées avec bonne approximation aux vitesses supersoniques par l'utilisa-tion d'une "température de référence" (Réf. 2).

Ainsi la loi du frottement en écoulement ineompressible s'appli-que au eompressible si les propriétés du fluide sont évaluées à une tempé-rature moyenne, T', comprise entre la tempétempé-rature pariétale adiabatique et

la température à la frontiè~e· de la eouehe limite. Cel1e-ei est déduite de bases théoriques et s'exprime comme suit

-.- I

I (12)

Elle tient compte non seulement de la compressibilité mais aussi de l'effet de variation de la température pariétale.

Le coefficient de frottement local pour une eouche limite lami-naire sur une plaque plane en écoulement incompressible est donné par la formule bien connue de Blasius

o

_,

~b4 ₍₁₃₎

Le coefficient de frottement en compressible sur une plaque plane s'écrira

1"p

_-

0, t;;,(,,4

e,'

UI "2-

-

VR~

2

Cf

_e.,

'Y

_U,2-p _~IU"1'"'p _,2

(~)

O,~~4-

(::

)

~

C

-et

Re.

e

Ux

ei'

D..I..L.

-

Rel

-

~

€'

ft

I

el ftl

)-l

Re done 0, ~04

e'F)

c~

~Re.

e.

1 ~,

11 nous faut exprimer

e.

et ~ en fonetion de T.

D'après l'équation d'état d'un gaz parfait P

=

~ RT, et comme

la pression Pest essentiellement constante dans la couche limite, il en

suit que _{_ T,}

T'

La viscosité est une fonction de la température qui peut être

!Tl 0)7(,

donnée en bonne approximation par

r

V\ I ,·.' d' ou

}-t' _

(T')

O,rb

?,

TI

Ainsi Ie coefficient de frottement pariétal pour une couche

limite laminaire sur une plaque plane en écoulement compressible devient

O,~0 4

(TjT

_I

r"2.

et en utilisant l'analogie de Reynolds, le coefficient de transfert de dhaleur

laminaire est

c

V"R

0)41

(R-

=

0,12 ) h e..

_(T'I

r;12

T; (15) ou T'

+

0,032

M

Z

+

0,

SB

(Tp _

I)

T,

,

T,

On voit que Ie coefficient de transfert de chaleur laminaire di-minue pour des valeurs croissantes de H, mais que sa variation n' est pas grande

Vu

que l ' exposant de T' fT 1 es: faible; d' autre part, Ch augmente quand la température pariétale est réduite. Ch

VRë

en fonction du nombre de Hach M pour différents rapports de températures Tp/TI est donné dans la figure 1.

11 a été démontré que la méthode de température de référence est aussi app1icable pour la couche limite turbulente (Réfs 3, 4, 5) et est en bon accord avec l'expérience si les coefficients sont légèrement modifiés comIne suit

TI

r

(16)

Ainsi, nous pouvons déterminer Ie coefficient de transfert de chaleur turbulent compressible en partant de relations pour Ie coefficient de frQttement lncal sur une plaque plane en écoulement incompressible et en invoquant l'analogie de Reynolds.

La formule de van Kàrmàn-Schoenherr paur l'incampressible

0,242

qui est en bon accord avec l'expérience est souvent uti1isée.

Une bonne approximation mais mains fidèle est aussi donnée par la formule plus simple de Colburn

0,059'2

R 'Is

e.

Par la même procédure que pour Ie cas laminaire, on trouve Ie coefficient de transfert de chaleur pour la couche limite turbulente en écoulement compressible

eh

0,03 1 R I/~

(T,./T, )

0, 048 e. ou (18) 1:: 1

+

M2. _{Dj 4}

_ç

(~

_{_}

1)

J-

0,035

+

I TI

On voit que Ie coefficient eh turbulent diminue rapidement avec des nombres de Mach croissants, et qu'il est plus sensible aux variations de température pariétale que Ie coefficient eh laminaire.

La figure 2 donne eh/ehi (ehi étant la valeur incompressible) en fonction du nombre de Mach pour différents rapports des températures Tp/Tl.

Lafigure 3 qui donne Ie coefficient de transfert de chaleur pour une plaque plane isolée montre la différence prononcée entre les valeurs laminaires et turbulentes. Pour un nombre de Reynolds de 107 , par exemple, Ie coefficient et, à fortiori Ie flux de chaleur turbulent, peut être de 5

à 10 fois plus grand que sa valeur laminaire.

On apprécie l'importance de connattre Ie point de transition, à

savoir si en pratique on peut s'attendre à une couche laminaire ou turbulente.

Af:f.n de se rendre compte des grandeurs de flux de chaleur, prenons un exemple.

A partir des équations7 et 10, Ie flux de chaleur, pour une plaque plane peut s'écrire

4c

ou e~ est la masse spéeifique de l'air au sol, ou, si l'on v~ut, 1e poids spéeifique

ea.. :::

1,2 Kg/m3 •

La densité diminue à peu près exponentiel1ement avee l'altitude. Par exemple à 18.000 mètres à 33.000 mètres et à 95.000 mètres

e

l : : : 10- 1 I {ta. ::: 10-2 ::: 10-6

On voit doncl'importanee de l'altitude sur le flux de ehaleur.

Prenons les eonditions suivantes : altitude 20.000 mètres

Re ::: 106 pour ~ne eouche limite turbulente

K

c..a.t

0.0009 e::: . 0,25 -~-p

kt

oe

entre 10.000 et 30.000 mètres Tl ~ 2200 K, d'ou la eélérité du son al

=

Vi

RTl ~ 300 m/sec

Le flux de ehaleur transmis à la paroi afin de maintenir la température pariétale (Tp) à 5000 _{C sera d'environ}

=

2-=;

Notons que les flux de chaleur maxima dans des chaudières à vapeur sont d' environ 20 k

c.:.J....

c,'\'Yl. Z. _ h

L'effet de la vitesse et de l'altitude sur les flux de chaleur pour les eas laminaires et turbulents est donné dans la figure 4.

Les gradients de pression longitudinaux ont pour effet d'au:gmen-ter ou de diminuer Ie coefficient de transfert de chaleur selon qu'ils sont négatifs ou posittiS respectivement. lIs sont traités dans la référence 6, par exemple, pour le cas laminaire.

Ecoulement sur des cOnes.

Les résultats obtenus sur des plaques planes sont applicables aux cOnes en écoulements axi-symétriques.

Pour une couche ltmite laminaire, Ie coefficient de transfert de chaleur à la paroi d'un cOne est

f3

fois plus grand que celui pour une plaque plane si les nombres de Mach et de Reynolds locaux et le rapport de températures sont les mêmes. Pour une couche limite turbulente, Ie coeffi-cient de transfert de chaleur à la paroi dOun cOne est égal à celui d'une plaque plane si Ie nombre de Mach local et Ie rapport de températures sont les mêmes, mais le nombre de Reynolds de la plaque est de la moitié du nombre de Reynolds sur Ie cOne.

Corps émoussés.

Le coefficient de transfert de chaleur, et à fortiori, Ie flux de chaleur, est d'autant plus grand que l'on approche du bord d'attaque

(Re faible). Au bord dUattaque même, les expressions théoriques (équations 14 et 18 pour une plaque plane) indiquent des flux infiniment grands. En réalité, bien que ceci nOest pas le cas, ces flux de chaleurs sont extr@-mement élevés au grandes vitesses, d'ou lUintérêtapporté aux corps émoussés.

Dans la région du point d'arr@t, ou de stagnation deun corps émoussé, les vitesses de l'écoulement sont dVautant plus faibles derrière l' onde de choc frontale que Ie nombre de Hach de vol est élevé.

Ainsi, en supposant que l'air se comporte comme un gaz parfait, c'est-à-dire ne se dissociant et ne s'ionisant pas, les vitesses juste derrière une onde de choc normale (M2) pour quelques nombres de Mach de vol (MI) sont les suivantes

=

3 = 0,47

=

5 = 0,41

= 0,38

*

De ce fait, l'on peut obtenir des approximations pour les flux de chaleur dans la région du nez en supposant un écoulement incom-pressible derrière l'onde de choc frontale.

Le flux de chaleur peut encore s'exprimer

eh

e.e

U_e cp

(To...p -

TI=> ) (19) c.p~

ou, comme auparavant, l'indice e indique les conditions à la frontière de la cQuche limite.

Considérons Ie cas de l'écoulement incompressible. La densité, la température et à fortiori, la viscosité sont partout constantes dans l'écoulement sain et, en particulier, ont les valeurs à l'infini amant

**

*

Si l'on tient compte des effets de dissociation et d'ionisation,ces vitesses sont encore plus faibles.

**

L'indice 0 est utilisé pour l'1ncompressible pour Ie distinguer de

l'indice I représentant les conditions à l'amont du choc dans Ie cas de l'écoulement compressible.

La vitesse ue varie Ie long de la paroi et peut s'éxprimer

\J._e

ft

X

ou

~

est Ie gradient de vitesse ·et x.est la distance Ie long de la paroi à partir du point d'arrêt.

~

est proportionnel au rapport de la vitesse à l'infini amont U

o au rayon de courbure R

pour un écoulement incompressible sur un cylindre et une sphère, sa valeur est constante --

f ;:::

2;:'0

et 3

~

respectivement--.

Le coefficient detransfert de chaleur dans la région de stagna-tion, pour une couche linlite' 1a~inaire' peut s'exprimer :

KL ::: 0,570

=

0,763 et pour une couche limite turbulente

et

c -

_h

Kor

R 1/5

P.

Z./3 e I'

R

_e. cylindre (20) sphère

=

0,040 cylindre ;::: _0,042 sphère

eo

fo

xZ

fo

Le flux de chaleur pour Ie cas de la couche ltmite laminaire peut done s'exprimer

kL

Pour Ie flux de ehaleur dans la région de stagnation en éeoule-ment supersonique, les valeurs E>o et,} 0 dans 1 I équation qui. préeède sont

équivalentes à eelles juste en-dehors de la eouehe limite

ee

et ~ e ) et doivent être reportées aux valeurs dans l'éeoulement à l'amont de l'onde de ehoe c' est-à-dire

e

I et).-t I . De même

ft

doit s' exprimer en fonetion de uI au lieu de U_{o qui est équivalent} à la vitesse à l'aval de l'onde de

ehoc.

U,

R

Pour des nombres de Mach supérieurs à 3, f(Ml'~) ne var ie qu'entre 2,2 et 2,6 environ.

Le flux de ehaleur supersonique laminaire peut donc s'exprimer

p.

0,'-f'

v

0

f

V, L

(te)

1/2.

(jJe

)112 (.

(T

_{t h}.

-T

)

(22)

\. R

F'

T.

~ p --. p

ou, si on introduit Ie nombre de Reynolds basé sur Ie rayon de courbure R,

e,

Ui R -::.

f.,

KLfl

lh

P.

0, b R. I/z. r eR

Le eoefficient de transfert de ehaleur laminaire est

K4

f

1/2

f, O,b R 112.

r eR

(23)

On arrive à une forme semblable pour Ie coefficient turbulent

c

h4-

p.

KT

2/1.

fVr

R I/t;

En uti1isant les valeurs locales de

te ,

jle et du rayon de

courbure R on peut se rendre compte de la variation du flux de chaleur dans toute la r6gion du nez d'un véhicu1e.

D'après ces résultats, 1e coefficient laminaire atteint sa valeur maximum au point d'arrêt, tandis que dans 1e cas turbulent, la valeur maxi-mum est atteinte plus loin le long de la surface (C h ....r.. te4kjAe'/)X 3k et

bien que

ee.

et)te diminuent, x augmente en valeur) à environ 35 ou 40° à

partir de la tangente au point d'arrêt.

Notons que pour le cas de la couche 1imite laminaire dans la région de stagnation d'un cylindre et d'une sphère, des approximations plus simples pour la variation du flux de cha1eur 1e long de la paroi à partir du point d'arr@t sont les suivantes

C

_h

₌

_cos

_e

_cy1indre

Ch~

=

cos

e

3/2. sphère

~ étant l'angle d'inclinaison avec la tangente au point d'arrêt.

Ces approximations ne sont plus va1ables au delà d'un angle d'environ 70° puisque 1e flux de chaleur ne devient pas nul à 90°, mais en rejoignant ce11es-ci aux valeurs pour une plaque plane ou un cOne sur la partie aval du véhicule, on arrive à une première app~oximation de la répar-tition de flux de cha1eur.

Les répartitions du coefficient de transfert de chaleur laminaire et turbulent sur une sphère à un nombre de Mach 3, et un nombre de Reyno1ds basé sur le diamètre de 106 sont 'doutiées dans 1á ,figure 5.

11 est intéressant de voir la forme approximative du flux de

chaleur ~ laminaire au point d'arret aux très grandes vitesses.

'1,~

Reprenant l'équation 22 et notant que

(.

T

_Cp ~

U?

i-

T

-.A V,?.. p a..p _2. e. p , ₂

.A

V'"' T D)1fJ

(),te )

'/2

(T

o

f'8

CU?

)013.8

ft,

TI 2. e.f>T

e.o

~+' _{constant (M} ~)

t,

~- \

Pr varie peu sur une grande gamme de températures

Tl est la température ambiante et varie relativement peu avec l'altitude.

Donc on peut écrire approximativement

. '-'" (25)

Si la température de paroi est très faible par rapport à la

température d'arrêt on peut supprimer la quantité entre parenthèses.

On voit donc Que Ie flux de chaleur augmente très rapidement avec

des vitesses croissantes de vol, qu' 11 diminue avec I' aititude

(e

diminuant)

et qu'il est d'autant plus élevé que Ie rayon de courbure du nez est petit. C'est pour cette dernière raison qU'il est avantageux, sinon nécessaire pour

des raisons pratiques que Ie nez d'engins hypersoniques (M ~ 5) soit

Une bonne revue générale sur le problème de l'échauffement cinétique est donné dans la ~éférence 7.

Nous n'avons fait en somme qu'un bref parcours sur quelques aspects de l'échauffement cinétique. 11 nous faut faire mention aussi des effets de dissociation, d'ionis~tion, et d'autres phénomènes aux températu-res élevées, ainsi que les effets aux basses densités, c'est-à-dire aux très hautes altitudes ou les nombres de Reynolds sont faibles et les rela-tions se rapportant à la couche limite ne tiennent plus. Pour ce dernier cas, le paramètre important est le nombre de Kundsen qui est le rapport du libre parcours moyen moléculaire ( ~) à une dimension caractéristique d'un corps (L).

Kn

=

À

T

11 est intéressant de noter la relation liant le nombre de Kundsen, le nombre de Mach et le nombre de Reynolds.

H

=

-

v

,

a..

Re

=

eY'"

r

}-l

V"

e

è "

d' après la théorie cinétique ou C est la vitesse moyenne

mo1éculaire.

La cé1érité du son "atl étant de 1 'ordre de C , i1 en résulte

que

Le concept des écou1ements classiques oe sont va1ab1es que pour autant que Ko soit extrêmement petit, c'est-à-dire 10-3 à 10-6 •

Des avances ~portantes que nous ne pouvons citer ici, ont été apportées dans les domaine/3 d' effets dits ~ 'kaz téels" et de basses densités. Quelques uns de ceux-ci sont cités dans l'importante bibliographie de la référence 1.

IV - EFFETS DU RAYONNEMENT

Le rayonnement est un important puimde chaleur naturel pour une surface portée à haute température. _{Si la température de paroi est Tp dans} une atmosphère ambiante à _{température Tl (Tp>T1), 1e flux de chaleur}

trans-mis de cette paroi par rayonnement est

-4)

- J _/ (26)

ou ~ est la constante de Stefan-Boltzmann et a la valeur 4,9 x 10-12 ,

K

c..al.

quand qr est donné en et T en oK

C'.IrYl2. _ h

~ est Ie facteur d'émisSbn de la paroi

«(

=

1 pour un corps noir)

La chaleur rayonnée en fonction de la température pariéta1e est donnée dans la figure 6 pour une température ambiante de 220°.

Ainsi une partie de la chaleur apportée à la paroi par convection est réémise de celle-ci par rayonnement. Le net flux de chaleur à la paroi d'un véhicule peut donc s'écrire (voir équation 10).

c constant p

Si le flux de chaleur à la paroi est nul, un équilibre s'établit entre l'apport de chaleur par conveetiDn et la perte de ehaleur par rayonne-ment stabilisant ainsi la température à une valeur intermédiaire entre Tap et Tl que nous appellerons TpEQ.

(28)

La température pariétale d'équilibre sera d'autant plus basse que le facteur d'émission est élevé, et le coeffieient de transfert de ehaleur etla densité sont bas (ou l'altitude élevée). La température d'équilibre pour une plaque plane est donnée en fonction du nombre de Mach pour différentes altitudes dans la figure 7. Il est clair que Ie vol conti-nu aux vitesses hypersoniques (M >5) nIest pratiquement possible qu'aux très hautes altitudes.

Une source de chaleur par rayonnement qui peut ~tre importante est le rayonnement de la eouehe de choe (Réfs 8, 9). On entend par la eouehe de ehoe la mince eouehe d'air entre l'onde de cho~ frontale et Ie nez d'un corps émoussé. Cette couche étant portée à des températures élevées

(voisines de To) par eompression, rayonne de la ehaleur vers la surface du nez. En utilisant une approximation pour l'émissivité de l'air, on peut qualitativement exprtmer ce flux de chaleur par

(29)

Contrairement au flux de ehaleur par convect:ion, on voit que le flux de chaleur par rayonnement est d'autant plus important que le rayon de eourbure du nez est grand; aussi qu'il augmente d'autant plus que la densité et la vitesse sont élevées.

Le flux de chaleur par rayonnement peut devenir important par

rapport à celui par conve~ion pour la rentrée dans l'atmosphère diengins

ba1istiques ou de satellites ou les vitesses sont encore extr@mement grandes

(de 110rdre de 10.000 m/sec disons) aux a1titudes moyennes (20.000 à SO.OOOm)

Dans ce cas il peut être avantageux que 1e rayon de courbure du nez de 1 1engin soit petit. Néanmoins, les connaissances sur Ie rayonnement de la couche de choc ne sont pas encore très étendues et ne peuventencore donner qu1un ordre de grandeur des flux de chaleur.

Enfin, Ie rayonnement solaire est une source de chaleur qui est

négligeab1e pour la plupart des cas d'intérêt à l'exception des satellites.

Des données pour Ie flux de

variation entre 0,04 K~

C/m.'_

h

cha1eur par rayonnement solaire montrent une

au sol à environ 0,2 ~ aux hautes altitudes.

CIyy, _h

v -

REFROIDISSEMENT

Afin de maintenir les températures de paroi d'un véhicule dans des 1imites pratiques du point de vue matériaux, instrumentation et confort humain, il devient nécessaire aux très grandes vitesses de vol de prévoir des moyens de refroidissernent.

Par exernple, les rnoyens de refroidissement par transfettde masse ont fait l'objet de p1usieurs études (Réf. 10) et permettent des solutions pratiques.

Parmi ces méthodes, on trouve :

1e refroidissement par film dans 1equel un gaz ou un liquide est injecté à

travers des fentes Ie long de la parai formant ainsi une couche quasi

le refroidissement par transpiration dans lequel Ie gaz ou liquide est injecté uniformément à travers une paroi poreuse.

Ie refroidissement par ablation dans lequel la paroi est revêtue d'une ma-tière qui a une conductivité thermique basse et en fondant et s'évaporant, absorbe une grande quantité de la chaleur transmise.

REFERENCES

General

1 - BIoom, M.H. : article ''External Sources of Heat" dans "High Temperature

effects in Aircraft Structures", Agardograph No. 28, 1958.

Echauffement cinétigue

2 - Rubesin, M. W., and Johnson, H.A. : "A critical Review of Skin-Friction

and Heat Transfer Solutions of the Laminar Boundary-layer of a

Flat plate", Transactions ASME, Vol No.

71,

pp 385-388, 1949.

3 - Eckert, E.R.G. : "Engineering Relations for Friction and Heat Transfer

to Surfaces in High Velocity Flow", Journalof the Aeronautical Sciences, Vol 22, No. 8, August 1955, pp 585-587.

4 - Sommer, S. C., and Short, B. J. : 'Tree F 1 ight Measurements of Skin Friction of Turbulent Boundary Layers with High Rates of Heat Transfer at High Supersonic Speeds", Journalof the Aeronautica1

Sciences, Vol 23, No. 6, June 1956, pp 536-542.

5 - Michel, R. : "Calcul pratique de la couche 1imite turbulente compres-sib1e - Principes et Applications", ONERA Note Technique No. 49, 1959.

6 - Cohen, C.B., and Reshotko, E. : "The compressible Laminar Boundary-layer with Heat Transfer and Arbitrary Pressure Gradient", NACA TN 3326, April 1955.

7 - Van Driest, E.R. : "The problem of Aerodynamic Heating", Aeronautical

Rayonnement

8 - de 1 'Estoi1e, H., et Rosenthal, L. : "Le transfett de chaleur par rayonnement" , AGARD Rapport 211, Octobre 1958.

9 - Meyerott, R.E. : "Radiation Heat Transfer to Hypersonic Vehicles", presented at Third AGARD Combustion and Propulsion Panel

Collo-quium, Palermo, Sicily, March 17 - 21, 1958.

Refroidissement

10 - Eckert, E.R.G. : "Mass Transfer Cooling, a meansto proteet High speed Aircraft" , Proceedings First International Congress in the Aeronautical Sciences, Madrid, Spain, September 1958.

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10

AERONAUTIQUE

Robert H. Korkegi Une synthèse est faite de quelques pro-blèmes d'échauffement einétique et

d'effets du rayonnement relatifs aux

grandes vitesses de vol.

La première partie vise à rappeler les

paramètres importants relatifs au trans

fert de ehaleur et les relations

élé-mentaires qui les relient.

(voir au verso)

TCEA TM 10

Centre de Formation en Aérodynamique Expérimentale

SOURCES ET PUITS DE CHALEUR EN

AERONAUTIQUE

Robert H. Korkegi

Une synthèse est faite de quelques pro-blèmes d'éehauffement einétique et

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grandes vitesses de vol.

La première partie vise à rappel er les paramètres importants relatifs au trans

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-I I. TCEA TM 10

1. R.H. Korkegi

11. TCEA TH 10

Robert H. Korkegi

A synthesis is made of some of the

pro-blems of kinetie heating and radiation

effeets at high speeds of flight.

The first part gives a review of the important parameters and simple

relations assoeiated with heat transfer.

(over)

TCEA TH 10

Training Center for Experimental

Aerodynamies

HEAT SOURCES AND SINKS IN AERONAUTICS

Robert H. Korkegi A synthesis is made of some of the

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effeets at high speeds of flight.

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1. R.H. Korkegi II. TCEA TM 10

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given. The effeets o~ radiation as a heat sink and souree

are a1so presented.

Fina11y, means ofsurface cooling are briefly mentioned.

FRENCH TEXT ONLY

Copies available at TCEA, Rhode-St-Genèse, Belgium. TCEA TM 10

The second part discusses kinetic heating on simple bodies :

flat plates, cones~ and blunt bodies. Approximate relations

for the evaluation of laminar and turbulent heat rates are ;'

given. The effects of radiation as a heat sink and souree

are also presented.

Finally, means of surface cooling are briefly mentioned.

FRENCH TEXT ONLY

Copies availab1e at TCEA, Rhode-St-Genèse, Belgium.

simple : plaques planes, c5nes et corps émoussés. Les re-lations données permettent le ealcul des .flux de; chaleur

dans les cas laminaire et turbulent. Elle t.aite également des effets du rayonnement .~n.tant que source et puits de c:haleurG

Pour terminer, les méthodes .. de refroidissement des çorp~

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Copies disponibles au CFAE, Rhode-St-Oenèse~ Belgique.

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TCEA TM 10

La deuxième partie traite de méthodes approchées pour " .

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AERONAUTIQUE

Robert H. Korkegi

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La première partie vise à rappel er les

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(voir au verso)

TCEA TI1 10

Centre de Formation en Aérodynamique

Expérimentale

SOURCES ET PUITS DE CHALEUR EN

AERONAUTIQUE

Robert H. Korkegi

Und synthèse est faite de quelques

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d'effets du rayonnement relatifs aux

grandes vitesses de vol.

La première partie vise à rappeler les

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(voir au verso)

II. TCEA TM 10

I. R.H. Korkegi I I. TCEA TH 10

Robert H. Korkegi

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pro-blems of kinetie heating and radiation

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The first part gives a review of the important parameters and simple

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Training Center for Experimental

Aerodynamics

HEAT SOURCES AND SINKS IN AERONAUTICS

Robert H. Korkegi

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The second part discusses kinetie heating on simple bodies :

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