Geometria analityczna pªaszczyzny - hiperbola A. Mróz 1. Napisz równanie hiperboli w najprostszej postaci wiedz¡c, »e:
(a) odlegªo±¢ mi¦dzy wierzchoªkami hiperboli równa si¦ 8, a odlegªo±¢ mi¦dzy jej ogniskami 10; (b) dªugo±¢ póªosi rzeczywistej równa si¦ 5, a wierzchoªki dziel¡ odcinki mi¦dzy ±rodkiem a og-niskami na poªowy;
(c) dªugo±¢ osi rzeczywistej równa si¦ 6 i hiperbola przechodzi przez punkt (9, −4); (d) hiperbola przechodzi przez dwa punkty (−5, 2) i (2√5,√2);
(e) ogniska hiperboli maj¡ wspóªrz¦dne F1 = (10, 0), F2 = (−10, 0)oraz punkt (12, 3
√
5)nale»y do hiperboli;
(f) hiperbola ma wspólne ogniska z elips¡ x2
49 + y2
24 = 1, a mimo±ród hiperboli jest równy 1, 25.
2. Narysuj hiperbol¦ x2
49− y2
25 = 1, jej ogniska i asymptoty.
3. Dana jest hiperbola x2
9 − y2
16 = 1. Znajd¹:
(a) wspóªrz¦dne ognisk hiperboli; (b) mimo±ród hiperboli;
(c) równania asymptot i kierownic hiperboli;
(d) równanie hiperboli sprz¦»onej z dan¡ i jej mimo±ród. 4. Wyznacz k¡t mi¦dzy asymptotami hiperboli wiedz¡c, »e:
(a) mimo±ród hiperboli jest równy 2;
(b) odlegªo±¢ mi¦dzy ogniskami jest dwa razy wi¦ksza ni» odlegªo±¢ mi¦dzy kierownicami. 5. Oblicz mimo±ród hiperboli wiedz¡c, »e o± rzeczywista hiperboli jest widoczna z ogniska hiperboli
sprz¦»onej pod k¡tem 60◦.
6. Dana jest hiperbola równoosiowa x2− y2 = 8. Znajd¹ hiperbol¦ wspóªogniskow¡ przechodz¡c¡
przez punkt M = (−5, 3).
7. Znajd¹ punkty przeci¦cia hiperboli x2
90 − y2
36 = 1 z prostymi
(a) x − 5y = 0, (b) 2x + y − 18 = 0, (c) x − y + 5 = 0, (d) √10x − 5y + 15 = 0.
8. Przez punkt (2, −5) poprowad¹ proste równolegªe do asymptot hiperboli x2− 4y2= 4.
9. Napisz równanie prostej stycznej do hiperboli x2
5 − y2
4 = 1 w punkcie (5, −4).
10. Poprowad¹ (o ile to mo»liwe!) styczne do hiperboli x2
8 − y2
9 = 1 przez ka»dy z punktów (2, 0),
(−4, 3), (5, −1). 11. Do danej hiperboli x2
15− y2
6 = 1 poprowad¹ styczn¡
(a) równolegle do prostej x + y − 7 = 0; (b) równolegle do prostej x − 2y = 0; (c) prostopadle do prostej x − 2y = 0.
12. Hiperbola jest styczna do prostej x−y−2 = 0 w punkcie M = (4, 2). Uªó» równanie tej hiperboli. 13. Znajd¹ warunek na to, by prosta Ax + By + C = 0 byªa styczna do hiperboli x2b2− y2a2= a2b2.
14. Znajd¹ równanie hiperboli znaj¡c równania jej asymptot y = ±1
2x i równanie jednej z jej
sty-cznych 5x − 6y − 8 = 0.
15. Znajd¹ ±rodek i wielko±¢ osi hiperboli
2 Geometria analityczna pªaszczyzny - parabola
1. Uªó» równanie paraboli wiedz¡c, »e:
(a) odlegªo±¢ ogniska od wierzchoªka wynosi 3;
(b) ognisko ma wspóªrz¦dne (5, 0), a o± rz¦dnych jest kierownic¡;
(c) parabola jest symetryczna wzgl¦dem osi Ox, przechodzi przez pocz¡tek wspóªrz¦dnych i punkt M = (1, −4);
(d) parabola jest symetryczna wzgl¦dem osi Oy, ognisko znajduje si¦ w punkcie (0, 2), w wierz-choªek pokrywa si¦ z pocz¡tkiem wspóªrz¦dnych;
(e) parabola jest symetryczna wzgl¦dem osi Oy, przechodzi przez pocz¡tek wspóªrz¦dnych i punkt M = (6, −2).
2. Na paraboli y2 = 8xznajd¹ punkt, którego odlegªo±¢ od ogniska wynosi 20.
3. Oblicz dªugo±¢ boku i pole trójk¡ta równobocznego wpisanego w parabol¦ y2= 2px.
4. Przez ognisko paraboli y2 = 2px poprowadzono ci¦ciw¦ prostopadª¡ do osi paraboli. Oblicz
dªugo±¢ tej ci¦ciwy.
5. Przez punkt A = (2, 1) poprowad¹ ci¦ciw¦ paraboli y2 = 4x, która dzieli si¦ w tym punkcie na
poªowy.
6. Znajd¹ styczne do paraboli y2= 8xwychodz¡ce z punktu P = (5, −7).
7. Dana jest parabola y2 = 4xi dana do niej styczna x + 3y + 9 = 0. Znajd¹ punkt styczno±ci nie
rozwi¡zuj¡c ukªadu równa« tych krzywych.
8. Znajd¹ warunek na to, by prosta y = kx + b byªa styczna do paraboli y2 = 2px.
9. Dana jest parabola y2 = 12x. Poprowad¹ do niej styczn¡:
(a) równolegª¡ do prostej 3x − y + 5 = 0; (b) prostopadª¡ do prostej 2x + y − 7 = 0; (c) tworz¡c¡ z prost¡ 4x − 2y + 9 = 0 k¡t 45◦.
10. Znajd¹ najkrótsz¡ odlegªo±¢ punktów paraboli y2= 64x od prostej 4x + 3y + 46 = 0.
11. Znajd¹ wspólne styczne elipsy x2
45+ y2
20 = 1 i paraboli y 2= 20
3 x.
12. W parabol¦ y2= 12xwpisano trójk¡t tak, »e rz¦dne jego wierzchoªków to odpowiednio 6, 2 i −3.
W jakim stosunku pozostaje pole tego trójk¡ta do pola trójk¡ta utworzonego przez styczne do paraboli w tych punktach (tj. trójk¡ta opisanego na paraboli)?
13. Uªó» równanie paraboli wiedz¡c, »e je wierzchoªek ma wspóªrz¦dne (a, b), parametr równa si¦ p, a kierunek osi symetrii jest zgodny z
(a) Ox; (b) −Ox; (c) Oy; (d) −Oy.
14. Wyznacz wspóªrz¦dne wierzchoªka, parametr i kierunek osi paraboli zadanej równaniem: (a) y2− 10x − 2y − 19 = 0; (b) y2− 6x + 14y + 49 = 0; (c) x2− 6x − 4y + 29 = 0;
(d) y = Ax2+ Bx + C; (e) y = x2− 8x + 15; (f) y = x2+ 6x.
15. Uªó» równanie paraboli symetrycznej wzgl¦dem osi Ox i wyznaczaj¡cej na dodatniej cz¦±ci Ox odcinek dªugo±ci a, a na osi Oy odcinek dªugo±ci 2b.
16. Strumie« wody wyrzucany przez fontann¦ przybiera ksztaªt paraboli z parametrem p = 0, 1. Wyznacz wysoko±¢ strumienia, który wpada do basenu w odlegªo±ci 2 m od punktu wylotu. 17. Znajd¹ miejsce geometryczne ±rodków ci¦ciw paraboli przechodz¡cych przez jej ognisko.
