Wrocªaw, 14 marca 2013
FAKULTET MATEMATYCZNY - LISTA 9
MARCIN PREISNER (PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL)
Nierówno±ci, cz. 2: nierówno±¢ o ±rednich
O tym, »e ±rednia arytmetyczna jest potrzeba i u»ywana nie treba nikogo przekonywa¢. Ale s¡
jeszcze inne ±rednie, które spotykamy rozwi¡zuj¡c ró»ne zagadnieniach. Naszym celem jest zbadanie nierówno±ci mi¦dzy ±rednimi, a potem zobaczenie jak mo»na inne, trudniejsze nierówno±ci sprowadzi¢
do nierówno±ci o ±rednich.
Zakªadamy, »e a1, a2, ..., an s¡ rzeczywiste dodatnie. Ogólna ±rednia pot¦gowa dla p 6= 0 jest dana wzorem:
Sp(a1, ..., an) = p
rap1+ ... + apn
n , S0(a1, ..., an) = √n
a1· ... · an. Ogólny fakt mówi, »e dla p < r zachodzi
Sp(a1, ...., an) ≤ Sr(a1, ...., an) oraz równo±¢ zachodzi tylko wtedy, gdy a1= a2= ... = an.
W szczególno±ci dla p=1 mamy ±redni¡ arytmetyczn¡ (A = S1), dla p=0 ±redni¡ geometryczn¡
(G = S0), dla p=-1 ±redni¡ harmoniczn¡ (H = S−1) oraz dla p = 2 ±redni¡ kwadratow¡ (K = S2).
Mamy wi¦c:
H(a1, ...., an) ≤ G(a1, ...., an) ≤ A(a1, ...., an) ≤ K(a1, ...., an).
1. Samochód jedzie przez poªow¦ czasu z pr¦dko±ci¡ v1, a przez drug¡ poªow¦ z pr¦dko±ci¡ v2. Jaka jest jego ±rednia pr¦dko±¢ na caªej trasie?
2. Samochód jedzie przez poªow¦ drogi z pr¦dko±ci¡ v1, a przez drug¡ poªow¦ z pr¦dko±ci¡ v2. Jaka jest jego ±rednia pr¦dko±¢ na caªej trasie?
3. Samochód jedzie przez kolejne 1/n-te drogi z pr¦dko±ciami v1, v2, ..., vn. Jaka jest jego ±rednia pr¦dko±¢ na caªej trasie?
4. Co to jest mediana? Jakie s¡ jej zalety i wady, gdy okre±lamy za jej pomoc¡ n.p. ±rednie wynagrodzenie w danej grupie osób.
5. Trapez o podstawach a, b przecinamy w poªowie wysoko±ci. Jaka jest dªugo±¢ przeci¦cia?
6. Uzasadnij, »e wysoko±¢ w trójk¡cie prostok¡tnym wysoko±¢ poprowadzona z wierzchoªka przy k¡cie prostym ma dªugo±¢ b¦d¡c¡ ±redni¡ geometryczn¡ dªugo±ci odcinków na przeciwprosto- k¡tnej, na które je podzieliªa.
Zanim przejdziemy do zastosowa« udowodnimy kilka z tych nierówno±ci.
7. Udowodnij nierówno±¢ mi¦dzy A(a1, ..., an)a K(a1, ..., an) podnosz¡c do kwadratu i porz¡d- kuj¡c. Mo»esz skorzysta¢ te» z nierówno±ci Schwarza.
8. Udowodnij, »e dla dowolnych liczb dodatnich a1, a2, . . . , an zachodzi nierówno±¢
G(a1, a2, . . . , an) ≤ A(a1, a2, . . . , an) wedªug nast¦puj¡cego planu:
(a) udowodnij j¡ dla n = 2,
(b) udowodnij, »e je±li jest ona prawdziwa dla n = k, to jest te» prawdziwa dla n = 2k, (c) udowodnij, »e je±li k < ` i nierówno±¢ jest prawdziwa dla n = ` to jest te» prawdziwa dla
n = k,
(d) wyci¡gnij konkluzj¦.
9. Które nierówno±ci mo»esz wywnioskowa¢ z tych udowodnionych w dwóch poprzednich zada- niach?
1
10. Udowodnij nierówno±¢ mi¦dzy ±rednimi korzystaj¡c z takiej obserwacji: je±li mamy liczby a1, ..., an, dodatnie, to znajdziemy zawsze wi¦ksz¡ od ich ±redniej arytmetycznej liczb¦ aioraz wi¦ksz¡ od tej ±redniej liczb¦ aj (uzasadnij). Je±li teraz zabierzemy z jednej liczby tyle, »eby staªa si¦ dokªadnie ±redni¡ A(a1, ..., an), to po pierwsze ±rednia arytmetyczna si¦ nie zmieni, a po drugie ±rednia geometryczna si¦ powi¦kszy. Tak¡ operacj¦ mo»emy powtarza¢, a» wszystkie liczby b¦d¡ równe.
A teraz konkretne przykªady stosowania. Zakªadamy, »e a, b, c, d > 0. Udowodnij nierówno±ci:
11. 1 + a ≥ 2√ a, 12. 1a + a ≥ 2, 13. ab +ab ≥ 2, 14. 1a +1b ≥ a+b4 ,
15. (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc,
16. Niech a1, a2, . . . , anspeªniaj¡ warunek: a1·a2·. . .·ak≥ 1dla dowolnego 1 ≤ k ≤ n. Udowodnij,
»e 1
1 + a1
+ 2
(1 + a1)(1 + a2)+ . . . + n
(1 + a1)(1 + a2) . . . (1 + an) < 2 . Wsk: udowodnij najpierw prostsz¡ nierówno±¢:
1 1 + a1
+ 1
(1 + a1)(1 + a2)+ . . . + 1
(1 + a1)(1 + a2) . . . (1 + an) < 1 przy tych samych zaªo»eniach o liczbach a1, . . . , an.
17. a6+ b9≥ 12a2b3− 64 18. ab +bc +cd+da ≥ 4 19. a+bc +b+ca +c+ab ≥ 6 20. √3
abc +√3
bcd +√3
cda +√3
dab ≤ a + b + c + d
21. Pi=1n 1−aaii ≥n−SnS , gdzie 0 < ai < 1, a S = a1+ . . . + an
22. a+b2 +b+c2 +c+a2 ≥ a+b+c9 23. √
2a + 1 +√
2b + 1 +√
2c + 1 ≤√
15, o ile a + b + c = 1 24. Pni=1S−aaii ≥n−1n , gdzie S = a1+ . . . + an
25. 2(a3+ b3)2≥ (a2+ b2)3
26. a + b + c ≤ 9 dla a, b, c takich, »e a3+ b3+ c3= 81 27. a3+ b3+ c3≥ 16q
2
3 dla a, b, c takich, »e a2+ b2+ c2= 8 28. √n
ab + √n bc +√n
ca ≤ √n
3n−2 dla a, b, c takich, »e a + b + c = 1 29. a+ab+abc1 +b+bc+bca1 +c+ca+cab1 ≤ 1
3·√3
abc(1a +1b +1c) 30. Pni=1(2i − 1)m> nm+1
2
