12. Przestrzenie funkcji caªkowalnych przygotowanie do
sprawdzianu
Zad. 12.1 Obliczy¢ normy L∞ oraz Lp, p ≥ 1, dla funkcji f : ([0, 1], B[0,1]) → R danych
przez 1. 1Q,
2. sin(2πx), 3. |x − 1/2|.
Zad. 12.2 Policzy¢ iloczyny skalarne w L2([0, 1], B[0,1], l[0,1]) :
1. h1A, 1Bi,dla A, B ∈ B[0,1],
2. hx − 1/2, |x − 1/2|i.
Zad. 12.3 (*) Pokaza¢ »e jedynymi funkcjami prostopadªymi do caªej przestrzeni L2([0, 1], l[0,1])
s¡ funkcje to»samo±ciowo równe 0.
Zad. 12.4 (*) Pokaza¢ »e »adna z przestrzeni Lp(R, BR, l), Lq(R, BR, l), 1 ≤ p < q < ∞,
nie zawiera si¦ w drugiej.
Zad. 12.5 (*) Niech (Ω, F, µ) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡. Pokaza¢ »e je±li p, q s¡ takie, »e 1
p + 1
q = 1, to dla ka»dej funkcji φ ∈ Lq(Ω, F , µ) funkcjonaª liniowy
Iφ: Lp(Ω, F , µ) → R zadany przez Iφ(f ) = Z Ω φf dµ jest ci¡gªy.
Zad. 12.6 (*) Niech µ b¦dzie pewn¡ miar¡ sko«czon¡ na (Ω, F). Pokaza¢ »e odwzorowanie P : L∞(Ω, F ) → R zadane przez P (f ) := log Z Ω exp(−f (x))µ(dx) jest wypukªe na L∞(Ω, F ).
