14. Zmienne losowe – przygotowanie do sprawdzianu
Zad. 14.1 Doświadczenie może zakończyć się dwoma wynikami, które nazwiemy odpo- wiednio sukcesem i porażką, przy czym prawdopodobieństwo sukcesu równe jest p, a porażki 1 − p (p ∈ (0, 1)). Niech X = 1, jeśli uzyskano sukces, i X = 0 dla porażki.
Oblicz EX i V arX.
Zad. 14.2 Dana jest funkcja
f (x) =
√ c
1−x2 dla |x| < 1, 0 dla |x| 1,
gdzie c jest nieznaną stałą. Wiedząc, że f jest gęstością rozkładu pewnej zmiennej losowej X:
1. wyznacz wartość c,
2. podaj wzór na dystrybuantę zmiennej X, 3. oblicz EX.
Zad. 14.3 Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych losowych 1. S = 2X + 1,
2. T = X2, 3. U = −X2+ 2,
jeżeli EX = 2, V ar X = 1, EX4 = 34.
Zad. 14.4 Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej Y = 3X − 5, jeśli X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ.
Zad. 14.5 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 2]. Wyznacz dystry- buantę zmiennych Y = min(X, X2) i Z = max(1, X).
Zad. 14.6 Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Znajdź gęstość zmiennej losowej Y = X1.
Zad. 14.7 Znając rozkład zmiennej X wyznacz rozkład (dla rozkładów absolutnie cią- głych gęstość) zmiennej Y .
1. X ∼ E(λ), Y = eX,
2. X ∼ U (0, 1), Y = max(X, 1 − X), 3. X ∼ G(p), Y = max(2 + (−1)X, 2), 4. X ∼ E(λ), Y = [X].
Zad. 14.8 Niech X ma rozkład G(1/2). Znajdź rozkład, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y = sin(π2X).
