ESTYMATOR NIEOBCIĄŻONY CZY ESTYMATOR MINIMALIZUJĄCY BŁĄD ŚREDNIOKWADRATOWY

Hanna G. Adamkiewicz*

Politechnika Gdańska

TEORETYCZNE ASPEKTY KONKURENCYJNOŚCI MIĘDZYNARODOWEJ –

KONCEPCJA KATALIZATORA PRODUKTYWNOŚCI

STRESZCZENIE

W artykule zaproponowano ujęcie konkurencyjności międzynarodowej jako katali-zatora produktywności ekonomicznej. Przyjęto, iż jest to właściwość, która określa zdol-ność kraju do tworzenia warunków wzrostu produktywności oraz pożądanych zachowań rynkowych w sytuacji, gdy kraje pozostałe czynią to lepiej, sprawniej i efektywniej. Tak pojęta konkurencyjność tkwi w otoczeniu procesów produkcyjnych, sprzyjając wzrostowi gospodarczemu.

Słowa kluczowe: konkurencyjność międzynarodowa, wzrost gospodarczy, katalizator

produktywności

Wprowadzenie

Celem artykułu jest ustalenie teoretycznych podstaw ekonomicznych koncep-cji „konkurencyjności międzynarodowej” (rozumianej jako „konkurencyjność kra-ju”) zaproponowanej przez Portera (1990), która jest stosowana przy sporządzaniu rankingów krajów, między innymi przez Światowe Forum Ekonomiczne (World Economic Forum – WEF) oraz Międzynarodowy Instytut Zarządzania Rozwojem

* _{E-mail: had@zie.pg.gda.pl}

DOI: 10.18276/sip.2016.44/2-01

Hanna G. Adamkiewicz*

Politechnika Gdańska

TEORETYCZNE ASPEKTY KONKURENCYJNOŚCI MIĘDZYNARODOWEJ –

KONCEPCJA KATALIZATORA PRODUKTYWNOŚCI

STRESZCZENIE

W artykule zaproponowano ujęcie konkurencyjności międzynarodowej jako katali-zatora produktywności ekonomicznej. Przyjęto, iż jest to właściwość, która określa zdol-ność kraju do tworzenia warunków wzrostu produktywności oraz pożądanych zachowań rynkowych w sytuacji, gdy kraje pozostałe czynią to lepiej, sprawniej i efektywniej. Tak pojęta konkurencyjność tkwi w otoczeniu procesów produkcyjnych, sprzyjając wzrostowi gospodarczemu.

Słowa kluczowe: konkurencyjność międzynarodowa, wzrost gospodarczy, katalizator

produktywności

Wprowadzenie

Celem artykułu jest ustalenie teoretycznych podstaw ekonomicznych koncep-cji „konkurencyjności międzynarodowej” (rozumianej jako „konkurencyjność kra-ju”) zaproponowanej przez Portera (1990), która jest stosowana przy sporządzaniu rankingów krajów, między innymi przez Światowe Forum Ekonomiczne (World Economic Forum – WEF) oraz Międzynarodowy Instytut Zarządzania Rozwojem

* _{E-mail: had@zie.pg.gda.pl}

DOI: 10.18276/sip.2016.44/2-01

jan Purczyński*

Uniwersytet Szczeciński

ESTYMaTOR NIEOBCIążONY

CZY ESTYMaTOR MINIMaLIZująCY BłąD ŚREDNIOkWaDRaTOWY

Streszczenie

Celem artykułu była odpowiedź na pytanie, czy należy stosować estymator nieobcią-żony (EN), czy też estymator zapewniający minimum błędu średniokwadratowego (EMSE). W tym celu rozpatrzono proste przykłady wyznaczania estymatorów parametrów rozkła-du wykładniczego oraz rozkłarozkła-du Laplace’a. Jako kryteria rozpatrzono wartości statystyki testów chi-kwadrat i testu Kołmogorowa. Uzyskane wyniki nie dają jednoznacznej odpo-wiedzi na postawione pytanie.

Słowa kluczowe: estymator nieobciążony, estymator minimalizujący błąd

średniokwadra-towy Wstęp

Jednym z ważniejszych zagadnień statystyki jest estymacja parametrów roz-kładu zmiennej losowej aproksymującej rozkład danych empirycznych. Teoria esty-macji wyróżnia między innymi takie cechy estymatorów, jak nieobciążoność oraz efektywność. Estymator nieobciążony jest zmienną losową o wartości przeciętnej równej nieznanej wartości parametru. Właściwość nieobciążoności zapewnia otrzy-manie ocen parametrów nieobciążonych błędem systematycznym. Im mniejsza jest

* _{Adres e-mail: jan.purczynski@wzieu.pl.} DOI:10.18276/sip.2016.45/2-05

wariancja estymatora, tym bardziej skupione są jego możliwe wartości wokół war-tości przeciętnej, a więc tym większe jest prawdopodobieństwo, że oszacowanie nie-znanego parametru będzie bliskie jego prawdziwej wartości. Wskazane jest zatem, aby wariancja estymatora była możliwie mała. Tę właściwość posiada estymator najefektywniejszy. Fakt, że dany nieobciążony estymator jest bardziej efektywny od innego nieobciążonego estymatora, oznacza, że jego wartości są bardziej skupione wokół szacowanego parametru, niż w przypadku drugiego estymatora. W litera-turze przedmiotu można zauważyć, że wyznaczając postać estymatora, zwraca się uwagę na jego nieobciążoność. Natomiast efektywność estymatora jest rozpatrywa-na w dalszej kolejności. Istnieje prosty sposób uwzględnienia obydwu właściwości, a mianowicie błąd średniokwadratowy stanowiący sumę wariancji oraz kwadratu obciążenia estymatora.

W świetle dotychczasowych rozważań przyjęto, że celem artykułu jest stwier-dzenie, czy należy stosować estymator nieobciążony (EN), czy też estymator zapew-niający minimum błędu średniokwadratowego (EMSE). W związku z tym zostaną rozpatrzone proste przykłady wyznaczania estymatorów parametrów rozkładu wy-kładniczego oraz rozkładu Laplace’a.

1. Estymacja parametru rozkładu wykładniczego

Zadanie estymacji polega na wyznaczeniu oszacowania θˆ nieznanego parame-tru θ. Jedną z ważniejszych właściwości estymatora θˆ jest jego obciążenie b

( )

b

( ) ( )

O jakości estymatora decyduje również błąd średniokwadratowy (Mean Squared Error – MSE):

MSE=E

( )

który spełnia zależność (Krzyśko, 1997, s. 17):

_MSE=V

( ) ( )

( )

( )

( )

W dalszej części opracowania będzie wykorzystana wartość obciążenia względnego:

(4)

oraz wartość względnego błędu średniokwadratowego:

bse = MSE_θ2 (5)

Właściwości estymatora zostaną przetestowane na przykładzie szacowania pa-rametru rozkładu wykładniczego. Wzór (6) określa jedną z dwóch postaci (wariant A) gęstości rozkładu: _      − = β β x x f( ) 1 exp (6)

Stosując Metodę Największej Wiarygodności (MNW), uzyskuje się następującą postać oszacowania parametru

β

= =

∑

x

Estymator ten jest nieobciążony (Housila, Sarjinder, Jong-Min, 2012, s. 301). Natomiast estymator wyrażający się wzorem:

x N N 1 ˆ₃ + = β ₍₈₎

zapewnia najmniejszą wartość błędu średniokwadratowego (Housila i in., 2012). Dla zróżnicowania wyników zostanie rozpatrzony estymator opisany wzorem:

x N N 1 ˆ₁ − = β (9)

Bardziej popularny jest wzór (10), również określający gęstość rozkładu wy-kładniczego (wariant B):

f(x)=λexp

(

)

Estymator parametru

λ

λˆ1= _x1 (11)

Można wykazać, że estymator ten jest obciążony (El-Sayyad, 1967, s. 525). Nieobciążony estymator wyraża się zależnością:

x N N ⋅ − = 1 ˆ₂ λ (12)

Natomiast estymator EMSE wyraża się wzorem (El-Sayyad, 1967):

x N N ⋅ − = 2 ˆ₃ λ (13)

W celu rozstrzygnięcia, którą postać estymatora powinno się stosować, prze-prowadzono symulacje komputerowe z użyciem generatora liczb losowych o roz-kładzie wykładniczym dla próbki liczącej N = 21 elementów. Jako wynik podano uśrednione wartości względnego obciążenia bL [wzór(4)] i względnego błędu śred-niokwadratowego bse [wzór (5)] dla K = 100000 powtórzeń, zamieszczonych w ko-lumnie 2 i 3 tabeli 1.

Następnie wykonano test chi-kwadrat. Jako wynik testu przyjęto unormowaną statystykę h stanowiącą stosunek wartości statystyki testu chi-kwadrat do wartości krytycznej. W przypadku wartości unormowanej statystyki h większej od 1 należało odrzucić hipotezę o zgodności rozkładu wykładniczego z rozkładem empirycznym.

W tabeli 1 zamieszczono wartość średnią unormowanej statystyki oznaczo-ną jako hS (kolumna 4) oraz procentową wartość przypadków negh negatywnego wyniku testu (kolumna 5). Opisane postępowanie dotyczące testu chi-kwadrat po-wtórzono w odniesieniu do testu Kołmogorowa. Wykorzystano unormowaną staty-stykę k, na podstawie której określono uśrednioną wartość kS (kolumna 6 tabeli 1) oraz procentową wartość negatywnych przypadków testu kneg (kolumna 7 tabeli 1).

Tabela 1. Wyniki symulacji komputerowych dotyczących estymacji parametru rozkładu wykładniczego

Estymator bL bse hS hneg [%] kS kneg [%]

1 ˆβ 0,0505 0,0553 0,417 5,02 0,525 0,490 2 ˆβ 0,00046 0,0479 0,413 4,73 0,530 0,498 3 ˆβ –0,0450 0,0456 0,419 4,64 0,547 0,748 1 ˆ λ 0,0497 0,0607 0,413 4,73 0,530 0,498 2 ˆ λ –0,00029 0,0528 0,417 5,02 0,525 0,490 3 ˆ λ –0,0503 0,0502 0,432 5,51 0,537 0,636

Wyniki obliczeń zamieszczone w kolumnie 2 tabeli 1 jednoznacznie potwier-dzają, że estymatory β2 i λ2 są estymatorami nieobciążonymi. Na podstawie

war-tości bse (kolumna 3) stwierdza się, że estymatory β3 i λ3 są estymatorami EMSE.

Wyznaczając wartość ilorazu ₀0_,,₀₅₀₂0456=0,908, stwierdza się, że nieco mniejszą wartość

błędu średniokwadratowego zapewnia estymator β3. Na podstawie rezultatów

za-wartych w kolumnach 2 i 3 stwierdza się, że estymatory β2 i λ2 są EN oraz

estyma-tory β3 i λ3 są EMSE, natomiast uzyskane wyniki nie rozstrzygają o przydatności

poszczególnych estymatorów.

Z danych zawartych w tabeli 1 wynika zgodność wyników obydwu testów dla estymatorówβ1 i λ2, a także dla estymatorów β2 i λ1. Przyczyny tego należy

upatrywać w postaci wzorów (14) i (15): ∑ = = _N i xi N 1 1 ˆλ _; N x N i∑= i = 1 2 ˆβ (14) ∑ = − = N i xi N 1 2 1 ˆλ ; 1 ˆ 1 1= ₋ ∑ = N x N i i β (15)

z których wynika, że estymator λ1 (λ2) jest odwrotnością estymatoraβ2 (β1).

Najmniejszą wartość uśrednionej statystyki testu χ2 (kolumna 4) w przypadku wariantu A [wzór (6)] zapewnia estymator β2 (hS = 0,413), natomiast dla wariantu

B [wzór (10)] najmniejszą wartość hS = 0,413 uzyskuje się dla estymatora λ1, który

nie jest EN ani EMSE.

Najmniejszą wartość liczby negatywnych przypadków testu χ2 _{(kolumna 5)}

w przypadku wariantu A odnotowuje się dla estymatora β3 (hneg = 4,64%),

nato-miast dla wariantu B najmniejszą wartość hneg = 4,73% uzyskuje się dla estymatora

1

λ _{. Tym samym wyniki testu} χ2 _{zamieszczone w kolumnach 4 i 5 nie przesądzają}

o przewadze określonego estymatora. Podobnie wygląda sytuacja dla wyników testu Kołmogorowa, gdzie dla wariantu A najmniejsze wartości w kolumnie 6 i 7 zapew-nia estymator β1, który nie jest EN ani też EMSE.

Podsumowując wyniki zamieszczone w tabeli 1, stwierdza się, że nie ma podstaw do wskazania jednego z estymatorów EN lub EMSE.

Odwołanie się do wyników testu chi-kwadrat oraz testu Kołmogorowa było wy-muszone brakiem rozstrzygnięć na podstawie wcześniejszych kryteriów. Mianowicie estymator EN zapewniał najmniejszą wartość obciążenia względnego bL, natomiast estymator EMSE prowadził do najmniejszej wartości błędu średniokwadratowego.

2. Estymacja parametru rozkładu Laplace’a

Jako wariant A rozpatruje się zależność (16) opisującą gęstość rozkładu Laplace’a: _      − − ⋅ = β µ β x x f exp 2 1 ) ( ₍₁₆₎

Stosując MNW, uzyskuje się następującą postać estymatorów rozkładu:

µˆ=mediana(x_i) ₍₁₇₎ ∑ = − = N i xi N 1 ˆ 1 ˆ _µ β ₍₁₈₎

Estymator opisany wzorem (18) jest zgodny i asymptotycznie normalny (Kotz, Kozubowski, Podgórski, 2001, s. 71).

W celu uproszczenia wnioskowania zakłada się, że wartość parametru µ _jest

znana.

W ramach symulacji komputerowych parametr ten był zadeklarowany w gene-ratorze liczb losowych o rozkładzie dwuwykładniczym:

(19)

gdzie R⊂(−0,5;0,5) – liczby losowe o rozkładzie równomiernym. Stosując MNW, uzyskuje się:

∑ = − = N i xi N 1 3 1 ˆ _µ β ₍₂₀₎

gdzie: µ jest znane.

Estymator opisany wzorem (18) jest nieobciążony i najefektywniejszy (Kotz i in., 2001).

Estymator opisany wzorem

∑ = − + = N i xi N 1 2 1₁ ˆ _µ β ₍₂₁₎

zapewnia minimum błędu średniokwadratowego (EMSE). Dodatkowo zostaną uwzględnione następujące estymatory:

∑ = − + = N i xi N 1 1 1 ₂ ˆ _µ β ₍₂₂₎ oraz ∑ = − − = N i xi N 1 4 1₁ ˆ _µ β ₍₂₃₎

Jako wariant B rozpatrzony został rozkład Laplace’a, którego gęstość wyraża się wzorem: exp( ) 2 ) (x =λ −λx−µ f ₍₂₄₎

Podobnie jak dla wariantu A zakłada się znajomość parametru µ_{. W wyniku}

zastosowania metody największej wiarygodności otrzymuje się (Purczyński, 2003, s. 135):

∑

gdzie: µ jest znane.

Estymator nieobciążony wyraża się wzorem:

∑

Natomiast estymator EMSE opisuje wzór:

∑

Dodatkowo rozpatrzono estymator:

∑

W tabeli 2 zamieszczono wyniki obliczeń opisanych szczegółowo przy omó-wieniu tabeli 1. Wyniki zawarte w kolumnie 2 i 3 potwierdzają rozważania teore-tyczne, to znaczy: estymatorami nieobciążonymi są estymatory β3 i λ2, natomiast

2

β _i λ_{3 są estymatorami EMSE. Wyznaczając wartość ilorazu} 0,909 054994 , 0 04542 , 0 _{= , stwierdza}

się, że nieco mniejszą wartość błędu średniokwadratowego zapewnia estymator β2.

Tym razem powtórzenie wyników testów występuje dla estymatorów β3 i λ1

oraz β4 i λ2. Minimalną wartość parametru hS (kolumna 4) oraz hneg (kolumna 5)

uzyskano dla estymatorów β4 i λ2 orazβ3 i λ1. Należy zauważyć, że estymator 4

β _{nie jest EN ani też EMSE. W przypadku testu Kołmogorowa minimalną wartość}

parametru kS (kolumna 6) odnotowano dla estymatorów β4 i λ2. Natomiast

naj-mniejszą wartość kneg (kolumna 7) otrzymano dla estymatorów β4 i λ4, które nie

Tabela 2. Wyniki symulacji komputerowych dotyczących estymacji parametru rozkładu Laplace’a

Estymator bL bse hS hneg [%] kS kneg [%]

1 ˆβ –0,08666 0,0472 0,601 14,8 0,619 4,77 2 ˆβ –0,04514 0,04542 0,583 13,8 0,608 4,37 3 ˆβ 0,00033 0,0476 0,571 13,4 0,600 4,06 4 ˆ β 0,05034 0,05503 0,569 13,2 0,596 3,82 1 λ 0,04957 0,06036 0,571 13,4 0,600 4,06 2 λ –0,00041 0,05252 0,569 13,2 0,596 3,82 3 λ –0,05039 0,04994 0,577 13,7 0,596 3,69 4 λ –0,10037 0,05262 0,598 14,7 0,601 3,59

Źródło: opracowanie własne.

Podsumowanie

Wracając na chwilę do tabeli 1, warto zwrócić uwagę na wartości negatyw-nej liczby wyników testu. Mianowicie dla kolumny 5 uzyskuje się wartość średnią hnegsr = 4,94%, natomiast dla kolumny 7 wartość średnia wynosi knegsr = 0,56%. Stosunek tych wartości to 4,94/0,56 = 8,82. Oznacza to, że niemal dziewięciokrotnie częściej uzyskiwano negatywny wynik testu χ2 niż testu Kołmogorowa. W przy-padku tabeli 2 nie ma aż tak znaczącej różnicy: 3,424

0225 , 4,775 13 ₌ = knegsr

hnegsr _{, ale w dalszym ciągu}

częściej uzyskuje się negatywny wynik testu chi-kwadrat niż testu Kołmogorowa. Wynika to z faktu, że test Kołmogorowa odnosi się do przypadku, kiedy znane są parametry rozkładu. Natomiast w podrozdziale 1 oraz 2 wyznaczany był jeden pa-rametr rozkładu. W takim przypadku należy zachować ostrożność w stosunku do uzyskanych wyników (Domański, Pruska, 2000, s. 171).

Tabela 3. Zestawienie estymatorów

zapewniających minimalne wartości uwzględnionych kryteriów Tabela 1

Wariant Minimum hS Minimum hneg Minimum kS Minimum kneg

A β_{2 – EN} β_{3 – EMSE} β₁ β_{3 – EMSE} B _{λ1 λ1 λ2 – EN λ2 – EN} Tabela 2 A β₄ β₄ β₄ β₄ B λ_{2 – EN} λ_{2 – EN} λ2 – EN 3 λ – EMSE λ3 – EMSE Źródło: opracowanie własne. W tabeli 3 zestawiono estymatory, które realizowały najmniejsze wartości dla poszczególnych kryteriów. Estymator EN występuje 6 razy, a estymator EMSE 4 razy. Najlepiej wypadł estymator β4, który dla rozkładu Laplace’a (wariant A) był

optymalny dla wszystkich kryteriów. Jednak estymator ten nie jest EN ani EMSE. Pytanie postawione na wstępie artykułu, który estymator, EN czy też EMSE, wyka-zuje przewagę, pozostaje bez odpowiedzi. Uwzględnione testy zgodności rozkładu miały na celu ocenę przydatności wybranych estymatorów. Można też było rozwią-zać inny problem, a mianowicie dobrać estymator zapewniający minimum statystyki testu chi-kwadrat. Jednak to wykracza poza ramy artykułu.

Literatura

Domański, C., Pruska, K. (2000). Nieklasyczne metody statystyczne. Warszawa: PWE. El-Sayyad, G.M. (1967). Estimation of the Parameter of an Exponential Distribution.

Jour-nal of the Royal Statistical Society, 29, 3, 525–532.

Housila, P.S., Sarjinder, S., Jong-Min, K. (2012). Some Alternative Classes of Shrinkage

Es-timators for a Scale Parameter of the Exponential Distribution. The Korean Journal of Applied Statistics, 25 (2), 301–309.

Kotz, S., Kozubowski, T., Podgórski, K. (2001). The Laplace Distribution and

Generaliza-tions. Boston: Birkhauser.

Krzyśko, M. (1997). Statystyka matematyczna. Cz. 2. Poznań: Wyd. UAM.

Purczyński, J. (2003). Wykorzystanie symulacji komputerowych w estymacji wybranych

uNBIaSED ESTIMaTOR VERSuS MINIMuM MEaN SQuaRE ERROR ESTIMaTOR abstract

The aim of this paper in to answer the question whether the unbiased estimator (UN) or the minimum mean square error estimator (MMSEE). For this purpose simple examples of determining estimators of exponential and Laplace distributions parameters were consid-ered. As criteria, the values of chi-square test statistic and Kolmogorov test statistic were examined. The obtained results do not provide an unequivocal answer to the problem.

Translated by Ewa Stefanowska

Keywords: unbiased estimator, minimum mean square error estimator JEL Code: C51