Estymator ˆg(X) wielkości g(θ) jest nieobciążony, jeżeli dla każdego θ ∈ Θ Eθˆg(X

Własności estymatorów

Niech X = (X₁, . . . , X_n) będzie próbą losową na przestrzeni próbkowej Xⁿ, zaś {P_θ : θ ∈ Θ} będzie rodziną rozkładów prawdopodobieństwa na Xⁿ.

Definicja 1. Estymator ˆg(X) wielkości g(θ) jest nieobciążony, jeżeli dla każdego θ ∈ Θ E_θˆg(X) = g(θ).

Definicja 2. Jeżeli statystyka ˆg(X) jest estymatorem g(θ), to wielkość b(θ) = E_θ(ˆg(X) − g(θ)), θ ∈ Θ

nazywamy obciążeniem tego estymatora.

Definicja 3. Ryzykiem średniokwadratowym estymatora ˆg(X) wielkości g(θ) nazywamy funkcję postaci

R(θ) = E_θ(ˆg(X) − g(θ))², θ ∈ Θ.

Fakt 1. R(θ) = V ar_θˆg(X) + b(θ)².

Fakt 2. Jeżeli estymator ˆg(X) wielkości g(θ) jest nieobciążony, to R(θ) = V ar_θˆg(X).

Definicja 4. Mówimy, że estymator g₁(X) jest lepszy niż g₂(X), jeżeli dla każdego θ ∈ Θ R₁(θ) ≤ R₂(θ)

i dla pewnego θ ∈ Θ mamy R₁(θ) < R₂(θ).

Definicja 5. Estymator ˆg(X) wielkości g(θ) jest zgodny, jeżeli

∀θ∈Θ g(X) −→ˆ ^Pθ g(θ), n → ∞, czyli dla każdego θ ∈ Θ mamy

∀_>0 P_θ(|ˆg(X) − g(θ)| ≥ )−→ 0 .^n→∞

Definicja 6. Estymator ˆg(X) wielkości g(θ) jest mocno zgodny, jeżeli

∀_θ∈Θ g(X) −→ˆ ^p.w.g(θ), n → ∞, czyli dla każdego θ ∈ Θ mamy

P_θ

n→∞lim g(X) = g(θ)ˆ 

= 1.

Twierdzenie (Mocne Prawo Wielkich Liczb). Niech X₁, X₂, . . . będzie ciągiem pa- rami niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie. Jeżeli E|X₁| < ∞,

to X₁+ . . . + X_n

n

n→∞−→ EX1, P -prawie wszędzie.