Zajecia

(1)

Algebra seria A

... Imie֒ Nazwisko Grupa Nr. indeksu

Zadanie 1 ( Punkty 4+4)

Znajd´z wszystkie liczby zespolone z, kt´ore sa rozwi֒ azaniami r´ownania:֒

a) z2

= −6 + 8i,

b) 5z − 2(z + 1) − 7Re z + Im (z + 2i) + |3 + 4i| = 1 − 7i. Zadanie 2 ( Punkty 4)

Oblicz cze´s´c rzeczywist֒ a i urojon֒ a liczby֒

z = (cosπ 9 + i sin π 9) 21 . Zadanie 3 ( Punkty 5)

Rozwia˙z r´ownania sprowadzaj֒ ac macierz uk ladu do postaci schodkowej zredukowanej.֒

Zapisz rozwiazanie stosuj֒ ac zmienne zwi֒ azane i parametry.֒

   x1+ 3x2+ 7x3+ 3x4+ x5 = 12 −3x1+ x2− x3− 9x4+ 2x5 = 11 2x1+ 2x3+ 6x4 = 10 Zadanie 4 ( Punkty 3+4) Niech A =   1 2 1 3 5 0 3 5 1  , B =   1 −2 1 2 2 1  ,

a) Wylicz, je˙zeli to mo˙zliwe, iloczyny: AB, BA, BB i AA b) Wylicz, je˙zeli to mo˙zliwe: A−1 i B−1.

Zadanie 5 ( Punkty 6)

Stosujac metod֒ e Cramera policz zmienn֒ a x֒ 2

       2x1+ 3x2+ 4x3+ 5x4 = 0 3x1+ 4x2+ 6x3+ 4x4 = 2 4x1+ 5x2+ 8x3+ 2x4 = 0 5x1+ 6x2+ 5x3+ 9x4 = 0 , Zadanie 6 ( Punkty 4+3) Niech φ : R3 → R3

bedzie okre´slone wzorem:֒

φ_{(x, y, z) = (6x − 3y, 2x − y, −4x + 2y)}

a) Znajd´z baze i wymiar przestrzeni Im φ i Ker φ.֒

b) Napisz macierz φ w bazach standardowych.

Zadanie 7 ( Punkty 5+3) Niech φ : R3

→ R3

bedzie okre´slone macierz֒ a A =֒

  2 0 0 2 −2 5 2 −1 4  , a) Znajd´z baze przestrzeni z lo˙zon֒ a z wektor´ow w lasnych φ.֒

b) Zapisz macierz przekszta lcenia φ w znalezionej bazie.

(2)

Algebra seria B

a) z2

= 16 + 12i

b) 3z − 2z − 7Re (2 + z) + Im z + |3 + 4i| = 1 − 5i.

z = (i√_{2 −}√2)21

. Zadanie 11 ( Punkty 5)

   x1 + 3x2+ 7x3+ 3x4+ x5 = 12 −x1+ x2+ x3− 3x4+ 2x5 = 1 2x1+ 2x3+ 6x4− x5 = 9 Zadanie 12 ( Punkty 3+4) Niech A =   1 2 1 3 5 0 3 5 1  , B = 1 1 2 −3 2 1

       2x1+ 5x2+ 4x3+ 4x4 = 3 3x1+ 4x2+ 6x3+ 4x4 = 0 4x1+ 5x2+ 8x3+ 5x4 = 0 5x1+ 3x2+ 5x3 + x4 = 0 . Zadanie 14 ( Punkty 4+3) Niech φ : R3 → R3

φ_{(x, y, z) = (6x − 3y + z, 2x − y − z, −4x + 2y + 2z)} a) Znajd´z baze i wymiar przestrzeni Im φ i Ker φ.֒

→ R3

bedzie okre´slone macierz֒ a֒

A=   1 0 0 4 1 2 −2 2 −2  

a) Znajd´z baze przestrzeni z lo˙zon֒ a z wektor´ow w lasnych φ.֒

(3)

Algebra seria C

a) z2

= 16 − 12i

b) 5z − 3z − 7Re z + Im 3z + |3 + 4i| = 3 − 8i.

Oblicz cze´s´c rzeczywist֒ a i urojon֒ a liczby z = (cos֒ π 9 + i sin π 9) 30 . Zadanie 19 ( Punkty 5)

   x1 + 3x2+ 7x3+ x4− 16x5 = 10 −3x1+ x2− x3+ 2x4+ 3x5 = 5 3x1+ 3x3 + x4− 5x5 = 10 Zadanie 20 ( Punkty 3+4) Niech A =   1 2 1 3 −5 0 5 −5 1  , B =   1 −2 1 2 2 1  

φ_{(x, y, z) = (x − 3y + 6z, 2x − y + 2z, x + 2y − 4z)} a) Znajd´z baze i wymiar przestrzeni Im φ i Ker φ.֒

→ R3

  1 0 0 6 _{−1 2} −3 2 2   a) Znajd´z baze przestrzeni z lo˙zon֒ a z wektor´ow w lasnych φ.֒

(4)

Algebra seria D

a) z2

= 6 + 8i,

b) 7z − 25z − 3Re z + Im z + |3 + 4i| = 7 − 9i.

z _{= (3 − 3i)}21

.

   x1− 2x2+ 3x3 − 12x4+ 6x5 = 11 −x1+ 2x2+ x3− 8x4− 2x5 = −3 2x1− 4x2+ 6x4+ 6x5 = 10 Zadanie 28 ( Punkty 3+4) Niech A =   1 2 1 3 −5 0 5 −5 1  , B = 1 1 2 −3 2 1

φ_{(x, y, z) = (6y − 3z, 2y − z, −4y + 2z)}

a) Znajd´z baze i wymiar przestrzeni Im φ i Ker φ.֒

→ R3

  2 0 0 2 −1 2 2 2 2   a) Znajd´z baze przestrzeni z lo˙zon֒ a z wektor´ow w lasnych φ.֒