Wyk lad 7
Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
1 Metoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu
a
11x
1+ a
12x
2+ . . . + a
1nx
n= b
1a
21x
1+ a
22x
2+ . . . + a
2nx
n= b
2.. . .. . . .. .. . a
m1x
1+ a
m2x
2+ . . . + a
mnx
n= b
m, (1)
(w kt´ orym a
ij6= 0 dla pewnych i, j) przy pomocy operacji elementarnych r´ ownowa˙znego mu (czyli posiadaj acego taki sam zbi´
,or rozwi aza´
,n) uk ladu (2), kt´ ory po ewentualnej permutacji niewiadomych x
1, . . . , x
nma posta´ c:
x
1+ c
1, k+1x
k+1+ . . . + c
1nx
n= d
1x
2+ c
2, k+1x
k+1+ . . . + c
2nx
n= d
2x
3+ c
3, k+1x
k+1+ . . . + c
3nx
n= d
3. .. .. . .. . .. .
x
k+ c
k, k+1x
k+1+ . . . + c
knx
n= d
k0 = d
k+1. (2)
Je˙zeli d
k+16= 0, to uk lad (2) nie ma rozwi azania, a wi
,ec te˙z uk lad (1) nie ma rozwi
,azania (czyli
,jest sprzeczny).
Je˙zeli d
k+1= 0 i k = n, to uk lad (1) posiada dok ladnie jedno rozwi azanie:
,x
1= d
1, x
2= d
2, . . . , x
n= d
n. (3)
Je˙zeli d
k+1= 0 oraz k < n, to x
k+1, x
k+2, . . . , x
ns a dowolnymi skalarami (nazywamy je
,parametrami), za´ s pozosta le niewiadome wyliczamy z r´ owna´ n uk ladu (2), tzn.
x
i= d
i− c
i k+1x
k+1− . . . − c
inx
ndla i = 1, 2, . . . , k. (4) Aby sprowadzi´ c uk lad (1) do postaci (2) nale˙zy najpierw przy pomocy operacji elementarnych przekszta lci´ c go do uk ladu postaci:
x
1+ a
012x
2+ . . . + a
01nx
n= b
01a
021x
1+ a
022x
2+ . . . + a
02nx
n= b
02.. . .. . . .. .. . a
0m1x
1+ a
0m2x
2+ . . . + a
0mnx
n= b
0m. (5)
Robimy to np. w ten spos´ ob, ˙ze najpierw znajdujemy element a
ij6= 0, a nast epnie przez
,operacje: x
1↔ x
j, r
1↔ r
i,
a1ij
· r
1doprowadzamy uk lad (1) do postaci (5).
Nast epnie przy pomocy r´
,ownania pierwszego eliminujemy zmienn a x
, 1z pozosta lych r´ owna´ n uk ladu (5) przez wykonanie operacji: r
2− a
021· r
1, r
3− a
031· r
1,...,r
m− a
0m1· r
1. Otrzymamy w´ owczas uk lad postaci:
x
1+ a”
12x
2+ . . . + a”
1nx
n= b”
1a”
22x
2+ . . . + a”
2nx
n= b”
2.. . . .. .. . a”
m2x
2+ . . . + a”
mnx
n= b”
m. (6)
Z kolei stosujemy nasz algorytm do uk ladu:
a”
12x
2+ . . . + a”
1nx
n= b”
1a”
22x
2+ . . . + a”
2nx
n= b”
2.. . . .. .. . a”
m2x
2+ . . . + a”
mnx
n= b”
m(7)
nie ruszaj ac pierwszego r´
,ownania uk ladu (6). Po sko´ nczonej liczbie krok´ ow uzyskamy uk lad postaci:
x
1+ e
12x
2+ e
13x
3+ . . . + e
1kx
k+ e
1 k+1x
k+1+ . . . + e
1nx
n= f
1x
2+ e
23x
3+ . . . + e
2kx
k+ e
2 k+1x
k+1+ . . . + e
2nx
n= f
2x
3+ . . . + e
3kx
k+ e
3 k+1x
k+1+ . . . + e
3nx
n= f
3. .. .. .
x
k+ e
k k+1x
k+1+ . . . + e
knx
n= f
k0 = f
k+1.
Je˙zeli f
k+16= 0, to otrzymany uk lad jest sprzeczny, a wi ec te˙z uk lad (1) jest sprzeczny.
,Je˙zeli za´ s f
k+1= 0, to przy pomocy operacji: r
1− e
1k· r
k, r
2− e
2k· r
k,...,r
k−1− e
k−1 k· r
keliminujemy zmienn a x
, kz pocz atkowych k − 1 r´
,owna´ n. P´ o´ zniej eliminujemy zmienn a x
, k−1z wcze´ sniejszych r´ owna´ n przy pomocy k − 1-szego r´ ownania, itd. W ko´ ncu, po sko´ nczonej liczbie krok´ ow, uzyskamy w ten spos´ ob uk lad (2).
Om´ owiony wy˙zej spos´ ob rozwi azywania uk ladu r´
,owna´ n metod a Gaussa zawiera du˙zo ele-
,ment´ ow dowolnych. Dowolno´ s´ c zachodzi na ka˙zdym etapie rozwa˙za´ n, poniewa˙z mo˙zemy eli- minowa´ c dowoln a niewiadom
,a (pod warunkiem, ˙ze odpowiedni wsp´
,o lczynnik nie r´ owna si e 0).
,Opr´ ocz tego dowolna jest r´ ownie˙z kolejno´ s´ c r´ owna´ n w danym uk ladzie. Je˙zeli np. w jakikolwiek spos´ ob zmienimy kolejno´ s´ c r´ owna´ n w wyj´ sciowym uk ladzie, to proces stopniowego eliminowa- nia niewiadomych przebiega´ c b edzie inaczej. Jednak zawsze musimy otrzyma´
,c t e sam
,a liczb
,e
,parametr´ ow!
W praktyce proces rozwi azywania uk ladu (1) mo˙zemy znacznie upro´
,sci´ c, je˙zeli zamiast prze- kszta lce´ n uk ladu r´ owna´ n b edziemy przekszta lca´
,c jego macierz uzupe lnion a A
, u. Oczywiste jest,
˙ze ka˙zdej operacji elementarnej uk ladu (1) odpowiada odpowiednia operacja elementarna ma-
cierzy A
u, a mianowicie:
operacji r
i↔ r
jodpowiada operacja w
i↔ w
j, operacji a · r
iodpowiada operacja a · w
i,
operacji r
i+ a · r
jodpowiada operacja w
i+ a · w
j,
wykre´ slaniu i-tego r´ ownania odpowiada wykre´ slanie i-tego wiersza,
operacji x
i↔ x
jodpowiada operacja k
i↔ k
j(nale˙zy przy tym pami eta´
,c, ˙ze nie wolno rusza´ c ostatniej kolumny i na koniec nale˙zy jeszcze uwzgl edni´
,c wszystkie przenumerowania niewiado- mych!).
Przyk lad 7.1. Stosuj ac metod
,e eliminacji Gaussa rozwi
,a˙zemy nad cia lem R uk lad r´owna´
,n:
x
1− x
2− 9x
3+ 6x
4+ 7x
5+ 10x
6= 3
− 6x
3+ 4x
4+ 2x
5+ 3x
6= 2
− 3x
3+ 2x
4− 11x
5− 15x
6= 1 .
B edziemy wykonywali rachunki na macierzy uzupe lnionej naszego uk ladu:
,
1 1 −9 6 7 10 3
0 0 −6 4 2 3 2
0 0 −3 2 −11 −15 1
w1−3w3, w2−2w3
≡
1 1 0 0 40 55 0
0 0 0 0 24 33 0
0 0 −3 2 −11 −15 1
x2↔x4
≡
x1
1
x0
4 x0
3 x1
2x5
40 55
x60
0 0 0 0 24 33 0
0 2 −3 0 −11 −15 1
w2↔w3
≡
x1
1
x0
4 x0
3 x1
2x5
40 55
x60 0 2 −3 0 −11 −15 1
0 0 0 0 24 33 0
x3↔x5
≡
x1
1
x0
4x5
40
x1
2 x0
3x6
55 0 0 2 −11 0 −3 −15 1
0 0 24 0 0 33 0
1
2w2,241w3
≡
x1
1
x0
4x5
40
x1
2 x0
3x6
55 0 0 1 −
1120 −
32−
152 120 0 1 0 0
1180
w1−40w3, w2+112w3
≡
x1
1
x0
4 x0
5 x1
2 x0
3 x0
60 0 1 0 0 −
32 161 120 0 1 0 0
1180
. Zatem zmiennymi bazowymi s a x
, 2, x
3, x
6oraz x
1= −x
2, x
4=
12+
32x
3−
161x
6, x
5= −
118x
6. St ad uk lad posiada niesko´
,nczenie wiele rozwi aza´
,n danych wzorami:
x
1= −a, x
2= a, x
3= b, x
4=
12+
32b −
161c, x
5= −
118c, x
6= c, gdzie a, b, c s a dowolnymi
,liczbami rzeczywistymi. 2
Przyk lad 7.2. Stosuj ac metod
,e eliminacji Gaussa rozwi
,a˙zemy uk lad r´
,owna´ n:
2x
1+ x
2− x
3+ x
4= 1 3x
1− 2x
2+ 2x
3− 3x
4= 2 5x
1+ x
2− x
3+ 2x
4= −1 2x
1− x
2+ x
3− 3x
4= 4
.
Rachunki b edziemy wykonywali na macierzy uzupe lnionej A
, unaszego uk ladu. Mamy, ˙ze
A
u=
2 1 −1 1 1
3 −2 2 −3 2
5 1 −1 2 −1
2 −1 1 −3 4
x1↔x2
≡
x2
1
x2
1x3
−1
x1
41
−2 3 2 −3 2
1 5 −1 2 −1
−1 2 1 −3 4
w2+2w1, w3−w1, w4+w1
≡
x2
1
x2
1x3
−1
x1
41
0 7 0 −1 4
0 3 0 1 −2
0 4 0 −2 5
x1↔x4
≡
x2
1
x1
4x3
−1
x2
11
0 −1 0 7 4
0 1 0 3 −2
0 −2 0 4 5
w3+w2, w4−2w2
≡
x2
1
x1
4x3
−1
x2
11
0 −1 0 7 4
0 0 0 −10 2
0 0 0 10 −3
w4+w3
≡
x2
1
x1
4x3
−1
x2
11
0 −1 0 7 4
0 0 0 10 2
0 0 0 0 −1
. Zatem nasz uk lad jest
sprzeczny (nie posiada rozwi azania), bo ostatnie r´
,ownanie ma posta´ c:
0 · x
2+ 0 · x
4+ 0 · x
3+ 0 · x
1= −1. 2
Przyk lad 7.3. Stosuj ac metod
,e eliminacji Gaussa rozwi
,a˙zemy uk lad r´
,owna´ n:
2x
1− x
2+ x
3− x
4= 1
2x
1− x
2− 3x
4= 2
3x
1− x
3+ x
4= −3
2x
1+ 2x
2− 2x
3+ 5x
4= −6 .
Rachunki b edziemy wykonywali na macierzy uzupe lnionej A
, unaszego uk ladu. Mamy, ˙ze
A
u=
2 −1 1 −1 1
2 −1 0 −3 2
3 0 −1 1 −3
2 2 −2 5 −6
x1↔x3
≡
x3
1
x2
−1
x2
1x4
−1 1
0 −1 2 −3 2
−1 0 3 1 −3
−2 2 2 5 −6
w3+w1, w4+2w1
≡
x3
1
x2
−1
x2
1x4
−1 1
0 −1 2 −3 2
0 −1 5 0 −2
0 0 6 3 −4
(−1)w2
≡
x3
1
x2
−1
x2
1x4
−1 1
0 1 −2 3 −2
0 −1 5 0 −2
0 0 6 3 −4
.
Wykonujemy operacj e w
, 3+ w
2:
x3
1
x2
−1
x2
1x4
−1 1
0 1 −2 3 −2
0 0 3 3 −4
0 0 6 3 −4
w4−2w3
≡
x3
1
x2
−1
x2
1x4
−1 1
0 1 −2 3 −2
0 0 3 3 −4
0 0 0 −3 4
.
Wykonujemy operacje
13w
3i (−
13)w
4:
x3
1
x2
−1
x2
1x4
−1 1
0 1 −2 3 −2
0 0 1 1 −
430 0 0 1 −
43
w1+w4, w2−3w4, w3−w4
≡
x3
1
x2
−1
x2
1 x0
4−
130 1 −2 0 2
0 0 1 0 0
0 0 0 1 −
43
.
Wykonujemy operacje w
1− 2w
3i w
2+ 2w
3:
x3
1
x2
−1
x0
1 x0
4−
130 1 0 0 2
0 0 1 0 0
0 0 0 1 −
43
w1+w2
≡
x3
1
x0
2 x0
1 x0
4 530 1 0 0 2
0 0 1 0 0
0 0 0 1 −
43
.
Zatem uk lad posiada dok ladnie jedno rozwi azanie: x
, 1= 0, x
2= 2, x
3=
53, x
4= −
43. 2
2 Wzory Cramera
Niech dany b edzie uk lad n r´
,owna´ n liniowych z n niewiadomymi x
1, x
2, ..., x
nnad cia lem
K:
a
11x
1+ a
12x
2+ . . . + a
1nx
n= b
1a
21x
1+ a
22x
2+ . . . + a
2nx
n= b
2. . . . . . . . a
n1x
1+ a
n2x
2+ . . . + a
nnx
n= b
n. (8)
Wyznacznikiem g l´ ownym uk ladu (8) nazywamy
W =
a
11a
12. . . a
1na
21a
22. . . a
2n.. . .. . . .. .. . a
n1a
n2. . . a
nn.
Oznaczmy przez W
i(dla i = 1, 2, . . . , n) wyznacznik powstaj acy z W przez zast
,apienie i-tej
,kolumny W kolumn a wyraz´
,ow wolnych
b
1b
2.. . b
n
. Zatem
W
1=
b
1a
12. . . a
1nb
2a
22. . . a
2n.. . .. . . .. .. . b
na
n2. . . a
nn, W
2=
a
11b
1. . . a
1na
21b
2. . . a
2n.. . .. . . .. .. . a
n1b
n. . . a
nn, . . . , W
n=
a
11a
12. . . b
1a
21a
22. . . b
2.. . .. . . .. ...
a
n1a
n2. . . b
n.
W´ owczas zachodzi nast epuj
,ace
,Twierdzenie 7.4 (Cramera). Je˙zeli wyznacznik g l´ owny uk ladu (8) jest r´ o˙zny od zera, to uk lad ten posiada dok ladnie jedno rozwi aza-nie dane wzorami Cramera:
,x
1= W
1W , x
2= W
2W , . . . , x
n= W
nW . (9)
Je˙zeli za´ s W = 0, ale W
i6= 0 dla pewnego i = 1, . . . , n, to uk lad (8) jest sprzeczny (a wi ec nie
,posiada rozwi azania).
,Przyk lad 7.3. Stosuj ac wzory Cramera rozwi
,a˙zemy nad cia lem R uk lad r´owna´
,n:
x
1+ 2x
2− x
3− x
4= −2 2x
1− 3x
2− x
3+ 2x
4= 1 4x
1− 5x
2+ 2x
3+ 3x
4= 5 x
1− x
2− x
3− x
4= −2
.
Obliczamy najpierw wyznacznik g l´ owny naszego uk ladu. Stosujemy kolejno: operacje k
4+k
1, k
3+k
1, k
2+k
1, rozwini ecie Laplace’a wzgl
,edem czwartego wiersza, operacj
,e k
, 2−3k
1, rozwini ecie
,Laplace’a wzgl edem pierwszej kolumny:
,W=
1 2 −1 −1
2 −3 −1 2
4 −5 2 3
1 −1 −1 −1
=
1 3 0 0
2 −1 1 4 4 −1 6 7
1 0 0 0
= (−1)
4+1· 1 ·
3 0 0
−1 1 4
−1 6 7
= (−1) · 3 · (−1)
1+1·
1 4 6 7
= (−3) · (7 − 24) = (−3) · (−17) = 51. St ad W = 51 6= 0, wi
,ec z twierdzenia Cramera
,uk lad nasz posiada dok ladnie jedno rozwi azanie. Obliczamy teraz wyznacznik W
, 1stosuj ac
,kolejno: operacje k
1+ k
2, k
3− k
4, k
2+ 2 · k
4, rozwini ecie Laplace’a wzgl
,edem pierwszego
,wiersza, operacj e k
, 2+ k
3, rozwini ecie Laplace’a wzgl
,edem drugiego wiersza:
,W
1=
−2 2 −1 −1
1 −3 −1 2
5 −5 2 3
−2 −1 −1 −1
=
0 2 0 −1
−2 −3 −3 2
0 −5 −1 3
−3 −1 0 −1
=
0 0 0 −1
−2 1 −3 2
0 1 −1 3
−3 −3 0 −1
= (−1)
1+4·(−1)·
−2 1 −3
0 1 −1
−3 −3 0
=
−2 −2 −3
0 0 −1
−3 −3 0
= 0, bo w ostatnim wyznaczniku mamy dwie identyczne kolumny. Post epuj
,ac podobnie obliczamy: W
, 2= 0 i W
3= 51. Zatem ze wzor´ ow Cramera:
x
1=
WW1= 0, x
2=
WW2= 0 oraz x
3=
WW3= 1. Wyznacznika W
4nie musimy ju˙z oblicza´ c, bo z pierwszego r´ ownania x
4= x
1+ 2x
2− x
3+ 2 = 0 + 0 − 1 + 2 = 1. 2
3 Zadania do samodzielnego rozwi azania
,Zadanie 7.5. Stosuj ac metod
,e eliminacji Gaussa rozwi
,a˙z nad cia lem liczb rzeczywistych
,uk lad r´ owna´ n:
x
1+ x
2= 1
x
1+ x
2+ x
3= 4
x
2+ x
3+ x
4= −3
x
3+ x
4+ x
5= 2 x
4+ x
5= −1
.
Odp. Uk lad ma niesko´ nczenie wiele rozwi aza´
,n danych wzorami:
x
1= 6 − t, x
2= t − 5, x
3= 3, x
4= −1 − t, x
5= t, gdzie t ∈ R.
Zadanie 7.6. Stosuj ac metod
,e eliminacji Gaussa rozwi
,a˙z nad cia lem liczb rzeczywistych
,uk lad r´ owna´ n:
4x
1− 3x
2+ 2x
3− x
4= 8 3x
1− 2x
2+ x
3− 3x
4= 7
2x
1− x
2− 5x
4= 6
5x
1− 3x
2+ x
3− 8x
4= 1
.
Odp. Uk lad jest sprzeczny.
Zadanie 7.7. Stosuj ac metod
,e eliminacji Gaussa rozwi
,a˙z nad cia lem liczb rzeczywistych
,uk lad r´ owna´ n:
4x
1− 3x
2+ x
3+ 5x
4= 7 x
1− 2x
2− 2x
3− 3x
4= 3
3x
1− x
2+ 2x
3= −1
2x
1+ 3x
2+ 2x
3− 8x
4= −7 .
Odp. Uk lad posiada dok ladnie jedno rozwi azanie: x
, 1= 2, x
2= 1, x
3= −3, x
4= 1.
Zadanie 7.8. Stosuj ac metod
,e eliminacji Gaussa rozwi
,a˙z nad cia lem liczb rzeczywistych
,uk lad r´ owna´ n:
12x
1− 18x
2+ 102x
3− 174x
4− 216x
5= 132 14x
1− 21x
2+ 119x
3− 203x
4− 252x
5= 154 x
3+ 2x
4+ 2x
5= −1 4x
3+ 5x
4+ 6x
5= −2 7x
3+ 8x
4+ 9x
5= −3
.
Odp. Uk lad posiada niesko´ nczenie wiele rozwi aza´
,n danych wzorami:
x
1= −
32+
32x
2, x
2-dowolna liczba rzeczywista, x
3=
13, x
4= −
23, x
5= 0.
Zadanie 7.9. Stosuj ac wzory Cramera rozwi
,a˙z nad cia lem Q uk lad r´owna´
,n:
2x
1+ 3x
2+ 11x
3+ 5x
4= 2 x
1+ x
2+ 5x
3+ 2x
4= 1 2x
1+ x
2+ 3x
3+ 2x
4= −3 x
1+ x
2+ 3x
3+ 4x
4= −3
.
Odp. Uk lad posiada dok ladnie jedno rozwi azanie: x
, 1= −2, x
2= 0, x
3= 1, x
4= −1.
Zadanie 7.10. Stosuj ac wzory Cramera rozwi
,a˙z nad cia lem Q uk lad r´owna´
,n:
2x
1+ 5x
2+ 4x
3+ x
4= 20 x
1+ 3x
2+ 2x
3+ x
4= 11 2x
1+ 10x
2+ 9x
3+ 7x
4= 40 3x
1+ 8x
2+ 9x
3+ 2x
4= 37
.
Odp. Uk lad posiada dok ladnie jedno rozwi azanie: x
, 1= 1, x
2= x
3= 2, x
4= 0.
Zadanie 7.11. Stosuj ac wzory Cramera rozwi
,a˙z nad cia lem C uk lady r´owna´
,n:
a) (
2(2 + i)z − i(3 + 2i)w = 5 + 4i (3 − i)z + 2(2 + i)w = 2(1 + 3i) , b)
(
(4 − 3i)z + (2 + i)w = 5(1 + i) (2 − i)z − (2 + 3i)w = −(1 + i) , c)
( (2 + i)z + (2 − i)w = 6b − a + (2a − 3b)i
(1 − i)z + (3 + i)w = a + 9b + (a + 3b)i (a, b ∈ R), d)
(
z2−i
+
1+iw= 2
5z
(2−i)2
