Definicja 10.1. Niech V i W b ed

Wyk lad 10

Przekszta lcenia liniowe

1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasno´ sci

Definicja 10.1. Niech V i W b ed

_,

a przestrzeniami liniowymi nad cia lem K. Przekszta lcenie

_,

f : V → W spe lniaj ace warunki:

_,

(I) ∀

_α,β∈V

f (α + β) = f (α) + f (β) oraz (II) ∀

_α∈V

∀

_a∈K

f (a ◦ α) = a ◦ f (α) nazywamy przekszta lceniem liniowym przestrzeni V w przestrze´ n W .

Stwierdzenie 10.2. Z lo˙zenie przekszta lce´ n liniowych jest przekszta lceniem liniowym.

Dow´ od. Niech f : V → W i g : W → U b ed

_,

a przekszta lceniami liniowymi. W´

_,

owczas dla dowolnych α, β ∈ V jest (g ◦ f )(α + β) = g(f (α + β)) = g(f (α) + f (β)) = g(f (α)) + g(f (β)) = (g ◦ f )(α) + (g ◦ f )(β) oraz dla dowolnych α ∈ V , a ∈ K jest: (g ◦ f )(a ◦ α) =

g(f (a ◦ α)) = g(a ◦ f (α)) = a ◦ g(f (α)) = a ◦ (g ◦ f )(α). Zatem g ◦ f jest przekszta lceniem liniowym. 2

Stwierdzenie 10.3. Niech f : V → W b edzie przekszta lceniem liniowym przestrzeni liniowej

_,

V nad cia lem K w przestrze´ n liniow a W nad cia lem K. W´

_,

owczas:

(i) f (Θ) = Θ,

(ii) f (−α) = −f (α) dla ka˙zdego α ∈ V ,

(iii) f (α − β) = f (α) − f (β) dla dowolnych α, β ∈ V ,

(iv) f (a

₁

◦ α

₁

+ . . . + a

_n

◦ α

_n

) = a

₁

◦ f (α

₁

) + . . . + a

_n

◦ f (α

_n

) dla dowolnych a

₁

, . . . , a

_n

∈ K, α

1

, . . . , α

n

∈ V i dla dowolnego n ∈ N.

Dow´ od. (i). Na mocy (II) jest f (Θ) = f (0 ◦ Θ) = 0 ◦ f (Θ) = Θ.

(ii). Na mocy (I) i (i) mamy, ˙ze f (α)+f (−α) = f (α+(−α)) = f (Θ) = Θ, wi ec f (−α) = −f (α).

_,

(iii). Na mocy (I) i (ii) jest f (α − β) = f (α + (−β)) = f (α) + f (−β) = f (α) + (−f (β)) = f (α) − f (β).

(iv). Stosujemy indukcj e wzgl

_,

edem n. Dla n = 1 teza wynika z (II). Za l´

_,

o˙zmy, ˙ze teza zachodzi dla pewnego naturalnego n i niech a

1

, . . . , a

n+1

∈ K oraz α

₁

, . . . , α

n+1

∈ V . Wtedy na mocy (I), (II) i za lo˙zenia indukcyjnego mamy, ˙ze f (a

₁

◦ α

₁

+ . . . + a

_n+1

◦ α

_n+1

) = f ((a

₁

◦ α

₁

+ . . . + a

n

◦ α

_n

) + a

n+1

◦ α

_n+1

) = f (a

1

◦ α

₁

+ . . . + a

n

◦ α

_n

) + f (a

n+1

◦ α

_n+1

) = a

1

◦ f (α

₁

) + . . . + a

n

◦ f (α

n

) + a

n+1

◦ f (α

_n+1

). Zatem teza zachodzi dla liczby n + 1. 2

Stwierdzenie 10.4. Niech f : V → W b edzie przekszta lceniem liniowym przestrzeni li-

_,

niowej V nad cia lem K w przestrze´ n liniow a W nad cia lem K. W´

_,

owczas zbi´ or Ker(f ) = {α ∈ V : f (α) = Θ} zwany j adrem f jest podprzestrzeni

_,

a przestrzeni V .

_,

Ponadto f jest r´ o˙znowarto´ sciowe (tzn. f jest monomorfizmem liniowym) wtedy i tylko wtedy, gdy Ker(f ) = {Θ}.

Dow´ od. Na mocy stwierdzenia 10.3(i) mamy, ˙ze Θ ∈ Ker(f ). Niech a ∈ K, α, β ∈ Ker(f ).

Wtedy na mocy (I) f (α + β) = f (α) + f (β) = Θ + Θ = Θ, wi ec α + β ∈ Ker(f ) oraz na mocy

_,

(II) f (a ◦ α) = a ◦ f (α) = a ◦ Θ = Θ, sk ad a ◦ α ∈ Ker(f ). Zatem Ker(f ) jest podprzestrzeni

_,

a

_,

przestrzeni V .

Za l´ o˙zmy, ˙ze f jest r´ o˙znowarto´ sciowe i niech α ∈ Ker(f ). Wtedy f (α) = Θ. Ale na mocy stwierdzenia 10.3(i) jest Θ = f (Θ), wi ec f (α) = f (Θ), sk

_,

ad α = Θ. Zatem Ker(f ) = {Θ}. Na

_,

odwr´ ot, za l´ o˙zmy, ˙ze Ker(f ) = {Θ} i we´ zmy dowolne α, β ∈ V takie, ˙ze f (α) = f (β). Wtedy na mocy stwierdzenia 10.3(iii) jest Θ = f (α) − f (β) = f (α − β), czyli α − β ∈ Ker(f ). Zatem α − β = Θ, sk ad α = β i f jest monomorfizmem.

_,

2

Uwaga 10.5. Ka˙zda podprzestrze´ n W przestrzeni liniowej V nad cia lem K jest j adrem

_,

pewnego przekszta lcenia liniowego okre´ slonego na V . Rzeczywi´ scie, z twierdzenia 9.6 istnieje baza X podprzestrzeni W i w´ owczas W = L(X). Ponadto z twierdzenia 9.6 istnieje zbi´ or Y ⊆ V roz l aczny z X i taki, ˙ze X ∪ Y jest baz

_,

a przestrzeni V . Niech U = L(Y ). Latwo

_,

zauwa˙zy´ c, ˙ze V = W + U . Ponadto z liniowej niezale˙zno´ sci zbioru X ∪ Y i tego, ˙ze X ∩ Y = ∅ mo˙zna wyprowadzi´ c, ˙ze W ∩ U = {Θ}. St ad ju˙z wynika, ˙ze ka˙zdy wektor α ∈ V mo˙ze by´

_,

c jednoznacznie zapisany w postaci α = β + γ dla pewnych β ∈ W oraz γ ∈ U . Wobec tego przekszta lcenie f : V → U dane wzorem f (α) = γ jest dobrze okre´ slone. Niech α

1

, α

2

∈ V , a ∈ K. Wtedy istniej a β

_, 1

, β

2

∈ W , γ

₁

, γ

2

∈ U takie, ˙ze α

₁

= β

1

+ γ

1

i α

2

= β

2

+ γ

2

, sk ad

_,

α

₁

+ α

₂

= (β

₁

+ β

₂

) + (γ

₁

+ γ

₂

) oraz β

₁

+ β

₂

∈ W i γ

₁

+ γ

₂

∈ U . Zatem f (α

₁

+ α

₂

) = γ

1

+ γ

2

= f (α

1

) + f (α

2

). Ponadto a ◦ α

1

= a ◦ β

1

+ a ◦ γ

1

oraz a ◦ β

1

∈ W i a ◦ γ

₁

∈ U , wi ec

_,

f (a ◦ α

1

) = a ◦ γ

1

= a ◦ f (α

1

). St ad f jest przekszta lceniem liniowym. Nazywamy je rzutem

_,

przestrzeni V na podprzestrze´ n U wzd lu ˙z podprzestrzeni W . Poniewa˙z dla γ ∈ U jest γ = Θ + γ i Θ ∈ W , wi ec f (γ) = γ. Zatem f jest ”na”. Dla β ∈ W mamy, ˙ze β = β + Θ

_,

i Θ ∈ U , wi ec f (β) = Θ, sk

_,

ad W ⊆ Ker(f ). Je´

_,

sli za´ s α ∈ Ker(f ), to istniej a β ∈ W i γ ∈ U

_,

takie, ˙ze α = β + γ i Θ = f (α) = γ, sk ad α = β ∈ W . Zatem ostatecznie W = Ker(f ).

_,

2

Stwierdzenie 10.6. Niech f : V −→ W b edzie przekszta lceniem liniowym przestrzeni

_,

liniowej V nad cia lem K w przestrze´ n liniow a W nad cia lem K. W´

_,

owczas zbi´ or Im(f ) = f (V ) = {f (α) : α ∈ V } zwany obrazem f jest podprzestrzeni a przestrzeni W .

_,

Dow´ od. Ze stwierdzenia 10.3(i) mamy, ˙ze Θ = f (Θ) ∈ f (V ). Niech α, β ∈ f (V ). Wtedy istniej a α

_, 1

, β

1

∈ V takie, ˙ze α = f (α

₁

) i β = f (β

1

). Zatem α+β = f (α

1

)+f (β

1

) = f (α

1

+β

1

) ∈ f (V ) oraz dla a ∈ K: a ◦ α = a ◦ f (α

₁

) = f (a ◦ α

₁

) ∈ f (V ). Zatem f (V ) jest podprzestrzeni a

_,

przestrzeni W . 2

Stwierdzenie 10.7. Niech f : V → W b edzie przekszta lceniem liniowym przestrzeni liniowej

_,

V nad cia lem K w przestrze´ n liniow a W nad cia lem K. W´

_,

owczas dla dowolnych wektor´ ow α

₁

, . . . , α

_n

∈ V : je˙zeli wektory f (α

₁

), . . . , f (α

_n

) s a liniowo niezale˙zne, to wektory α

_{, 1}

, . . . , α

_n

te˙z s a liniowo niezale˙zne. Je˙zeli dodatkowo f jest monomorfizmem, to wektory α

_, 1

, . . . , α

n

∈ V s a

_,

liniowo niezale˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy wektory f (α

1

), . . . , f (α

n

) s a liniowo niezale˙zne.

_,

Dow´ od. Niech α

₁

, . . . , α

_n

∈ V . Za l´ o˙zmy, ˙ze wektory f (α

₁

), . . . , f (α

_n

) s a liniowo niezale˙zne.

_,

We´ zmy dowolne a

1

, . . . , a

n

∈ K takie, ˙ze a

₁

◦α

₁

+. . .+a

n

◦α

_n

= Θ. Wtedy na mocy stwierdzenia 10.3 mamy, ˙ze a

1

◦ f (α

₁

) + . . . + a

n

◦ f (α

_n

) = Θ, sk ad z lnz wektor´

_,

ow f (α

1

), . . . , f (α

n

) jest a

₁

= . . . = a

_n

= 0, czyli wektory α

₁

, . . . , α

_n

te˙z s a liniowo niezale˙zne.

_,

Niech teraz dodatkowo f b edzie monomorfizmem. Za l´

_,

o˙zmy, ˙ze wektory α

1

, . . . , α

n

s a lnz i

_,

we´ zmy dowolne a

1

, . . . , a

n

∈ K takie, ˙ze a

₁

◦f (α

₁

)+. . .+a

n

◦f (α

_n

) = Θ. Wtedy ze stwierdzenia 10.3 mamy, ˙ze f (a

₁

◦ α

₁

+ . . . + a

_n

◦ α

_n

) = f (Θ), sk ad a

_{, 1}

◦ α

₁

+ . . . + a

_n

◦ α

_n

= Θ. Zatem z lnz wektor´ ow α

1

, . . . , α

n

wynika, ˙ze a

1

= . . . = a

n

= 0, czyli wektory f (α

1

), . . . , f (α

n

) s a liniowo

_,

niezale˙zne. 2

Definicja 10.8. Przekszta lcenie liniowe f : V → W nazywamy epimorfizmem, je˙zeli f (V ) = W (tzn. f jest ”na”). Przekszta lcenie liniowe f : V −→ V przestrzeni V w siebie nazywamy endomorfizmem przestrzeni V .

Stwierdzenie 10.9. Niech f : V → W b edzie izomorfizmem przestrzeni liniowych V i W

_,

nad tym samym cia lem K. Je˙zeli wektory α

₁

, . . . , α

_n

tworz a baz

_,

e przestrzeni V , to wektory

_,

f (α

₁

), . . . , f (α

_n

) tworz a baz

_,

e przestrzeni W .

_,

Dow´ od. Ze stwierdzenia 10.7 wynika od razu, ˙ze wektory f (α

1

), . . . , f (α

n

) s a liniowo nie-

_,

zale˙zne. We´ zmy dowolne β ∈ W . Wtedy istnieje α ∈ V takie, ˙ze β = f (α). Zatem istniej a

_,

a

₁

, . . . , a

_n

∈ K takie, ˙ze α = a

₁

◦ α

₁

+ . . . + a

_n

◦ α

_n

, sk ad na mocy stwierdzenia 10.3 jest, ˙ze

_,

β = a

1

◦ f (α

₁

) + . . . + a

n

◦ f (α

_n

). Zatem wektory f (α

1

), . . . , f (α

n

) generuj a przestrze´

_,

n W i s a

_,

liniowo niezale˙zne, czyli tworz a baz

_,

e przestrzeni W .

_,

2

Twierdzenie 10.10. Niech f : V → W b edzie przekszta lceniem liniowym. Je˙zeli przestrze´

_,

n V jest sko´ nczenie wymiarowa, to przestrze´ n Im(f ) te˙z jest sko´ nczenie wymiarowa i zachodzi wz´ or:

dim V = dim Ker(f ) + dim Im(f ).

Dow´ od. Z uwagi 10.5 istnieje podprzestrze´ n U przestrzeni V taka, ˙ze Ker(f ) + U = V i Ker(f ) ∩ U = {Θ} oraz ka˙zdy wektor α ∈ V mo˙zna jednoznacznie zapisa´ c w postaci α = β + γ dla pewnych β ∈ Ker(f ) i γ ∈ U . St ad f (α) = f (β) + f (γ) = θ + f (γ) = f (γ). Zatem

_,

Im(f ) = f (U ), czyli przekszta lcenie liniowe f |U jest ”na”. We´ zmy dowolne γ ∈ Ker(f |U ).

Wtedy γ ∈ U i γ ∈ Ker(f ), wi ec γ ∈ Ker(f ) ∩ U = {θ}, sk

_,

ad γ = θ. Zatem ze stwierdzenia

_,

10.4, f |U jest monomorfizmem i ostatecznie f |U : U → Im(f ) jest izomorfizmem. Zatem z twierdzenia 10.9, dim(Im(f )) = dim(U ). St ad przestrze´

_,

n Im(f ) te˙z jest sko´ nczenie wymiarowa.

Ale z twierdzenia 9.30, dim(V ) = dim Ker(f ) + dim(U ), gdy˙z dim(Ker(f ) ∩ U ) = 0, wi ec

_,

dim V = dim Ker(f ) + dim Im(f ). 2

Twierdzenie 10.11. Niech wektory α

₁

, . . . , α

_n

tworz a baz

_,

e przestrzeni liniowej V nad cia lem

_,

K i niech β

1

, . . . , β

n

b ed

_,

a dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej W nad cia lem K. W´

_,

owczas istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie liniowe f : V → W takie, ˙ze f (α

_i

) = β

_i

dla ka˙zdego i = 1, . . . , n. Ponadto takie f jest dane wzorem:

f (a

₁

◦ α

₁

+ . . . + a

_n

◦ α

_n

) = a

₁

◦ β

₁

+ . . . + a

_n

◦ β

_n

(1)

dla a

1

, . . . , a

n

∈ K. Przekszta lcenie f jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory

β

₁

, . . . , β

_n

s a liniowo niezale˙zne. Ponadto f jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory

_,

β

1

, . . . , β

n

generuj a przestrze´

_,

n W oraz f jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory

β

₁

, . . . , β

_n

tworz a baz

_,

e przestrzeni W .

_,

Dow´ od. Dla przekszta lcenia f danego wzorem (1) mamy, ˙ze f (α

i

) = β

i

przy i = 1, . . . , n.

We´ zmy dowolne α, β ∈ V i dowolne a ∈ K. Wtedy istniej a a

_{, 1}

, . . . , a

_n

, b

₁

, . . . , b

_n

∈ K takie, ˙ze α = a

1

◦α

₁

+. . .+a

n

◦α

_n

oraz β = b

1

◦α

₁

+. . .+b

n

◦α

_n

. Zatem f (α +β) = f ((a

1

+b

1

)◦α

1

+. . .+

(a

n

+b

n

)◦α

n

) = (a

1

+b

1

)◦β

1

+. . .+(a

n

+b

n

)◦β

n

= (a

1

◦β

₁

+. . .+a

n

◦β

_n

)+(b

1

◦β

₁

+. . .+b

n

◦β

_n

) = f (α) + f (β) oraz f (a ◦ α) = f ((aa

₁

) ◦ α

₁

+ . . . + (aa

_n

) ◦ α

_n

) = (aa

₁

) ◦ β

₁

+ . . . + (aa

_n

) ◦ β

_n

= a ◦ (a

1

◦ β

₁

+ . . . + a

n

◦ β

_n

) = a ◦ f (α). Zatem f jest szukanym przekszta lceniem liniowym.

Je˙zeli g : V → W jest przekszta lceniem liniowym takim, ˙ze g(α

_i

) = β

_i

dla i = 1, . . . , n, to ze stwierdzenia 10.3 mamy, ˙ze g(a

₁

◦ α

₁

+ . . . + a

_n

◦ α

_n

) = a

₁

◦ g(α

₁

) + . . . + a

_n

◦ g(α

_n

) = a

1

◦ β

₁

+ . . . + a

n

◦ β

_n

= f (a

1

◦ α

₁

+ . . . + a

n

◦ α

_n

) dla dowolnych a

1

, . . . , a

n

∈ K. Poniewa˙z {α

₁

, . . . , α

_n

} jest baz a przestrzeni V , wi

_,

ec st

_,

ad g = f .

_,

Je˙zeli f jest r´ o˙znowarto´ sciowe, to na mocy stwierdzenia 10.7 wektory β

₁

= f (α

₁

), . . . , β

_n

= f (α

n

) s a liniowo niezale˙zne. Na odwr´

_,

ot, za l´ o˙zmy, ˙ze wektory β

1

, . . . , β

n

s a liniowo niezale˙zne.

_,

Niech α ∈ Ker(f ). Wtedy istniej a a

_{, 1}

, . . . , a

_n

∈ K takie, ˙ze α = a

₁

◦ α

₁

+ . . . + a

_n

◦ α

_n

, sk ad

_,

Θ = f (α) = a

1

◦ β

₁

+ . . . + a

n

◦ β

_n

, czyli a

1

= . . . = a

n

= 0 i α = Θ. Zatem na mocy stwierdzenia 10.4 f jest monomorfizmem.

Je˙zeli f jest epimorfizmem, to dla ka˙zdego β ∈ W istnieje α ∈ V takie, ˙ze β = f (α). Ale α = a

1

◦α

₁

+. . .+a

n

◦α

_n

dla pewnych a

1

, . . . , a

n

∈ K, wi ec ze wzoru (1) β = a

_, 1

◦β

₁

+. . .+a

n

◦β

_n

, czyli wektory β

1

, . . . , β

n

generuj a przestrze´

_,

n W . Na odwr´ ot, za l´ o˙zmy, ˙ze wektory β

1

, . . . , β

n

generuj a przestrze´

_,

n W . We´ zmy dowolne β ∈ W . Wtedy istniej a a

_{, 1}

, . . . , a

_n

∈ K takie, ˙ze β = a

1

◦ β

₁

+ . . . + a

n

◦ β

_n

= f (a

1

◦ α

₁

+ . . . + a

n

◦ α

_n

), czyli f jest epimorfizmem.

Ostatnia cz e´

_,

s´ c twierdzenia wynika z jego pierwszej cz e´

_,

sci. 2

2 Przyk lady i zastosowania przekszta lce´ n liniowych

Przyk lad 10.12. Niech V i W b ed

_,

a przestrzeniami liniowymi nad tym samym cia lem K.

_,

W´ owczas przekszta lcenie f : V → W dane wzorem f (α) = Θ dla α ∈ V jest przekszta lceniem liniowym, bo dla α, β ∈ V , a ∈ K: f (α + β) = Θ = Θ + Θ = f (α) + f (β) oraz f (a ◦ α) = Θ = a ◦ Θ = a ◦ f (α). Przekszta lcenie to nazywamy zerowym lub trywialnym. 2

Przyk lad 10.13. Niech V b edzie przestrzeni

_,

a liniow

_,

a nad cia lem K. Niech a ∈ K b

_,

edzie

_,

dowolnym ustalonym elementem cia la K. Wtedy przekszta lcenie φ

_a

: V → V dane wzorem φ

a

(α) = a◦α dla α ∈ V , jest liniowe, gdy˙z dla α, β ∈ V , b ∈ K mamy, ˙ze φ

a

(α+β) = a◦(α+β) = a◦α+a◦β = φ

a

(α)+φ

a

(β) oraz φ

a

(b◦α) = a◦(b◦α) = (ab)◦α = (ba)◦α = b◦(a◦α) = b◦φ

a

(α).

To przekszta lcenie nazywamy homoteti a o wsp´

_,

o lczynniku a. 2

Przyk lad 10.14. Niech W b edzie podprzestrzeni

_,

a przestrzeni liniowej V nad cia lem K.

_,

W´ owczas przekszta lcenie f : W → V dane wzorem f (α) = α dla α ∈ W jest oczywi´ scie li- niowe. Jest ono ponadto monomorfizmem podprzestrzeni W w przestrze´ n V . W szczeg´ olno´ sci przekszta lcenie identyczno´ sciowe id

_V

: V → V dane wzorem id

_V

(α) = α dla α ∈ V , jest prze- kszta lceniem liniowym. 2

Przyk lad 10.15. Opiszemy wszystkie przekszta lcenia liniowe f : K

ⁿ

→ K

^m

dla ustalonego

cia la K i dla dowolnych ustalonych liczb naturalnych m, n. Poniewa˙z wektory ε

₁

, ε

₂

, . . . , ε

_n

tworz a baz

_,

e przestrzeni K

_, ⁿ

oraz dla dowolnych x

1

, . . . , x

n

∈ K jest [x

₁

, . . . , x

n

] = x

1

◦ ε

₁

+ . . . + x

_n

◦ ε

_n

, wi ec na mocy twierdzenia 10.11 wszystkimi przekszta lceniami liniowymi f : K

_, ⁿ

→ K

^m

s a jedynie przekszta lcenia f postaci:

_,

f ([x

₁

, . . . , x

_n

]) = x

₁

◦ β

₁

+ . . . + x

_n

◦ β

_n

,

dla dowolnych ustalonych β

₁

, . . . , β

_n

∈ K

^m

. Ale dla j = 1, . . . , n istniej a a

_{, ij}

∈ K (i = 1, . . . , m) takie, ˙ze β

j

= [a

1j

, a

2j

, . . . , a

mj

], wi ec st

_,

ad otrzymujemy tzw. wz´

_,

or analityczny na dowolne przekszta lcenie liniowe f : K

ⁿ

→ K

^m

:

f ([x

1

, . . . , x

n

]) = [a

11

x

1

+ . . . + a

1n

x

n

, . . . , a

m1

x

1

+ . . . + a

mn

x

n

]. (2) Zauwa˙zmy ponadto, ˙ze je˙zeli a

⁰_ij

∈ K dla i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n s a takie, ˙ze przekszta lcenie

_,

f dane wzorem (2) spe lnia wz´ or

f ([x

₁

, . . . , x

_n

]) = [a

⁰₁₁

x

₁

+ . . . + a

⁰_1n

x

_n

, . . . , a

⁰_m1

x

₁

+ . . . + a

⁰_mn

x

_n

], to dla β

_j⁰

= [a

⁰_1j

, a

⁰_2j

, . . . , a

⁰_mj

], j = 1, . . . , n, b edziemy mieli, ˙ze β

_{, j}⁰

= f (ε

j

) = β

j

, czyli a

⁰_ij

= a

ij

dla wszystkich i, j. Wynika st ad, ˙ze przekszta lcenie liniowe f : K

_, ⁿ

−→ K

^m

jest jednoznacznie wyznaczone przez m × n macierz A = [a

_ij

]. Ponadto z definicji mno˙zenia macierzy mamy, ˙ze dla przekszta lcenia f danego wzorem (2) zachodzi wz´ or:

f ([x

1

, . . . , x

n

]) = A ·











 x

₁

x

2

.. . x

_n













. (3)

Przy tych oznaczeniach mamy te˙z, ˙ze f (K

ⁿ

) = L(β

₁

, . . . , β

_n

) oraz wektory β

₁

, . . . , β

_n

mo˙zemy traktowa´ c jako kolumny macierzy A, wi ec st

_,

ad dla przekszta lcenia f mamy wz´

_,

or:

dim Im(f ) = r(A). (4)

Zatem z twierdzenia 10.10 mamy, ˙ze n = dim K

ⁿ

= dim Ker(f ) + dim Im(f ), wi ec na mocy

_,

wzoru (4):

dim Ker(f ) = n − r(A). (5)

Zauwa˙zmy te˙z, ˙ze [a

1

, . . . , a

n

] ∈ Ker(f ) wtedy i tylko wtedy, gdy [a

1

, . . . , a

n

] jest rozwi azaniem

_,

uk ladu jednorodnego



 

 



 

 



a

₁₁

x

₁

+ a

₁₂

x

₂

+ . . . + a

_1n

x

_n

= 0 a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

= 0

.. . .. . . .. .. . a

_m1

x

₁

+ a

_m2

x

₂

+ . . . + a

_mn

x

_n

= 0

. (6)

Wynika st ad nast

_,

epuj

_,

ace

_,

Twierdzenie 10.16. Zbi´ or rozwi aza´

_,

n uk ladu jednorodnego (6) o macierzy wsp´ o lczynnik´ ow

A jest podprzestrzeni a przestrzeni liniowej K

_, ⁿ

wymiaru n − r(A). 2

Podamy teraz spos´ ob wyznaczania jednorodnego uk ladu r´ owna´ n liniowych o zadanej podprze- strzeni rozwi aza´

_,

n. Niech K b edzie ustalonym cia lem i niech V b

_,

edzie dowoln

_,

a podprzestrzeni

_,

a

_,

przestrzeni liniowej K

ⁿ

. Wyznaczamy najpierw baz e i wymiar podprzestrzeni V . Niech wek-

_,

tory α

1

, . . . , α

s

tworz a baz

_,

e podprzestrzeni V . Wtedy dim V = s. W praktyce wyznaczamy

_,

baz e V w takiej postaci, aby mo˙zna by lo j

_,

a uzupe lni´

_,

c w prosty spos´ ob do bazy przestrzeni K

ⁿ

pewnymi wektorami bazy kanonicznej przestrzeni K

ⁿ

. Niech wektory α

1

, . . . , α

s

, β

1

, . . . , β

n−s

tworz a baz

_,

e przestrzeni K

_, ⁿ

. Na mocy twierdzenia 10.11 istnieje dok ladnie jeden epimorfizm f : K

ⁿ

−→ K

^n−s

taki, ˙ze f (α

_i

) = Θ dla wszystkich i = 1, . . . , s oraz f (β

_j

) = ε

_j

dla j = 1, . . . , n−s.

Z okre´ slenia f mamy, ˙ze V ⊆ Ker(f ). Ponadto dim Im(f ) = dim K

^n−s

= n − s, wi ec z twier-

_,

dzenia 10.10 mamy, ˙ze n = dim K

ⁿ

= dim Ker(f ) + dim Im(f ), sk ad dim Ker(f ) = s. Ale

_,

dim V = s oraz V ⊆ Ker(f ), wi ec st

_,

ad V = Ker(f ). Pozostaje zatem wyznaczy´

_,

c wz´ or ana- lityczny na przekszta lcenie f i w ten spos´ ob uzyskamy natychmiast ˙z adany uk lad jednorodny.

_,

Przyk lad 10.17. Znajdziemy uk lad jednorodny r´ owna´ n liniowych nad cia lem R, kt´orego przestrzeni a rozwi

_,

aza´

_,

n jest V = lin([1, −1, 1], [1, 1, −1]). Najpierw znajdujemy baz e przestrzeni

_,

V :

"

1 −1 1

1 1 −1

#

w2−w1

≡

"

1 −1 1

0 2 −2

#

1 2·w2

≡

"

1 −1 1

0 1 −1

#

. Zatem baz a przestrzeni V

_,

jest {[1, −1, 1], [0, 1, −1]}. Nast epnie uzupe lniamy znalezion

_,

a baz

_,

e przestrzeni V do bazy ca lej

_,

przestrzeni R

³

przy pomocy wektora [0, 0, 1]. Istnieje przekszta lcenie liniowe f : R

³

→ R takie,

˙ze f ([1, −1, 1]) = 0, f ([0, 1, −1]) = 0, f ([0, 0, 1]) = 1. Wtedy f ([0, 1, 0]) = f ([0, 1, −1]) + f ([0, 0, 1]) = 0 + 1 = 1 oraz f ([1, 0, 0]) = f ([1, −1, 1]) − f ([0, 1, −1]) = 0 − 0 = 0. Zatem dla dowolnych x

₁

, x

₂

, x

₃

∈ R mamy, ˙ze f([x

1

, x

₂

, x

₃

]) = x

₁

· f ([1, 0, 0]) + x

₂

· f ([0, 1, 0]) + x

₃

· f ([0, 0, 1]) = x

2

+ x

3

. Ale dim(Im f ) = 1, wi ec dim(Ker f ) = 3 − 1 = 2. Ponadto V ⊆ Ker f

_,

oraz dim(V ) = 2, wi ec V = Ker f . St

_,

ad szukanym uk ladem r´

_,

owna´ n jest:

x

2

+ x

3

= 0. 2

Przyk lad 10.18. Znajdziemy uk lad jednorodny r´ owna´ n liniowych nad cia lem R, kt´orego przestrze´ n rozwi aza´

_,

n jest generowana przez wektory: [1, −1, 1, −1, 1], [1, 1, 0, 0, 3], [3, 1, 1, −1, 7], [0, 2, −1, 1, 2].

Znajdujemy najpierw baz e podprzestrzeni V generowanej przez wektory: [1, −1, 1, −1, 1],

_,

[1, 1, 0, 0, 3], [3, 1, 1, −1, 7], [0, 2, −1, 1, 2].











1 1 0 0 3

1 −1 1 −1 1

3 1 1 −1 7

0 2 −1 1 2











w2−w₁, w3−3w₁

≡











1 1 0 0 3

0 −2 1 −1 −2

0 −2 1 −1 −2

0 2 −1 1 2











w2+w4, w3+w4

≡











1 1 0 0 3

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 2 −1 1 2











≡

"

1 1 0 0 3

0 2 −1 1 2

# .

Zatem baz a V jest {[1, 1, 0, 0, 3], [0, 2, −1, 1, 2]} oraz dim V = 2. Poniewa˙z nasze wektory maj

_,

a

_,

5 wsp´ o lrz ednych, wi

_,

ec szukany uk lad r´

_,

owna´ n b edzie si

_,

e sk lada l z 5 − 2 = 3 r´

_,

owna´ n.

Ponadto baz a przestrzeni R

_, ⁵

jest {[1, 1, 0, 0, 3], [0, 2, −1, 1, 2],

[0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1]}, wi ec istnieje przekszta lcenie liniowe f : R

_, ⁵

→ R

³

takie, ˙ze

f ([1, 1, 0, 0, 3]) = [0, 0, 0], (7)

f ([0, 2, −1, 1, 2]) = [0, 0, 0], (8)

f ([0, 0, 1, 0, 0]) = [1, 0, 0], (9)

f ([0, 0, 0, 1, 0]) = [0, 1, 0], (10)

f ([0, 0, 0, 0, 1]) = [0, 0, 1]. (11)

Poniewa˙z wektory [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] tworz a baz

_,

e przestrzeni R

_, ³

oraz nale˙z a do f (R

_, ⁵

), wi ec f (R

_, ⁵

) = R

³

, czyli dim f (R

⁵

) = 3. Ale 5 = dim R

⁵

= dim Ker(f ) + dim f (R

⁵

), wi ec

_,

dim Ker(f ) = 5 − 3 = 2. Ponadto z (7) i (8) mamy, ˙ze V = lin([1, 1, 0, 0, 3], [0, 2, −1, 1, 2]) ⊆ Ker(f ) oraz dim V = 2, wi ec V = Ker(f ). Pozostaje zatem wyznaczy´

_,

c wz´ or analityczny na takie przekszta lcenie f . Niech ε

1

= [1, 0, 0, 0, 0], ε

2

= [0, 1, 0, 0, 0], ε

3

= [0, 0, 1, 0, 0], ε

4

= [0, 0, 0, 1, 0], ε

5

= [0, 0, 0, 0, 1]. Wtedy dla dowolnych x

1

, x

2

, x

3

, x

4

, x

5

∈ R:

[x

1

, x

2

, x

3

, x

4

, x

5

] = x

1

◦ ε

₁

+ x

2

◦ ε

₂

+ x

3

◦ ε

₃

+ x

4

◦ ε

₄

+ x

5

◦ ε

₅

.

Zatem z liniowo´ sci przekszta lcenia f mamy, ˙ze f ([x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

, x

₅

]) = x

₁

◦ f (ε

₁

) + x

₂

◦ f (ε

₂

) + x

3

◦ f (ε

₃

) + x

4

◦ f (ε

₄

) + x

5

◦ f (ε

₅

).

Ze wzoru (8) mamy, ˙ze 2 ◦ f (ε

₂

) − f (ε

₃

) + f (ε

₄

) + 2 ◦ f (ε

₅

) = [0, 0, 0], wi ec 2 ◦ f (ε

_{, 2}

) − [1, 0, 0] + [0, 1, 0] + 2 ◦ [0, 0, 1] = [0, 0, 0], sk ad f (ε

_, 2

) = [

¹₂

, −

¹₂

, −1].

Ze wzoru (7) mamy, ˙ze f (ε

1

)+f (ε

2

)+3◦f (ε

5

) = [0, 0, 0], czyli f (ε

1

)+[

¹₂

, −

¹₂

, −1]+3◦[0, 0, 1] = [0, 0, 0], sk ad f (ε

_{, 1}

) = [−

¹₂

,

¹₂

, −2].

St ad

_,

f ([x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

, x

₅

]) = x

₁

◦[−

¹₂

,

¹₂

, −2]+x

₂

◦[

¹₂

, −

¹₂

, −1]+x

₃

◦[1, 0, 0]+x

₄

◦[0, 1, 0]+x

₅

◦[0, 0, 1] = [−

¹₂

x

₁

+

¹₂

x

₂

+ x

₃

,

¹₂

x

₁

−

¹₂

x

₂

+ x

₄

, −2x

₁

− x

₂

+ x

₅

].

Zatem V = Ker(f ) jest zbiorem rozwi aza´

_,

n uk ladu r´ owna´ n:



 

 

−

¹₂

x

₁

+

¹₂

x

₂

+ x

₃

= 0

1

2

x

1

−

¹₂

x

2

+ x

4

= 0

−2x

₁

− x

2

+ x

5

= 0

. 2

3 Macierz przekszta lcenia liniowego

Niech (α

₁

, . . . , α

_n

) i (β

₁

, . . . , β

_m

) b ed

_,

a uporz

_,

adkowanymi bazami przestrzeni liniowych V i

_,

W nad cia lem K odpowiednio. Niech f : V → W b edzie przekszta lceniem liniowym. W´

_,

owczas dla k = 1, . . . , n jest f (α

_k

) ∈ W , wi ec istniej

_,

a a

_{, 1k}

, . . . , a

_mk

∈ K takie, ˙ze

f (α

k

) = a

1k

◦ β

₁

+ . . . + a

mk

◦ β

_m

. (12)

Otrzyman a w ten spos´

_,

ob m × n macierz

A =













a

11

a

12

. . . a

1n

a

21

a

22

. . . a

2n

.. . .. . . .. .. . a

m1

a

m2

. . . a

mn













(13)

nazywamy macierz a przekszta lcenia liniowego f w bazach (α

_{, 1}

, . . . , α

_n

) i (β

₁

, . . . , β

_m

) prze- strzeni V i W odpowiednio. Zatem kolejne kolumny macierzy (13) s a wektorami wsp´

_,

o lrz ednych

_,

wektora f (α

_k

) w bazie (β

₁

, . . . , β

_m

) przestrzeni W dla k = 1, . . . , n.

Przyk lad 10.19. Niech m, n ∈ N i niech A = [a

ij

] ∈ M

_m×n

(K). W´ owczas A jest macierz a

_,

przekszta lcenia liniowego f : K

ⁿ

→ K

^m

danego wzorem analitycznym

f ([x

₁

, . . . , x

_n

]) = [a

₁₁

x

₁

+ . . . + a

_1n

x

_n

, . . . , a

_m1

x

₁

+ . . . + a

_mn

x

_n

] w bazach kanonicznych tych przestrzeni. 2

Twierdzenie 10.20. Niech A b edzie macierz

_,

a przekszta lcenia liniowego f : V → W w

_,

bazach (α

1

, . . . , α

n

) i (β

1

, . . . , β

m

). Je˙zeli





 a

₁

.. . a

_n





 jest wektorem wsp´ o lrz ednych wektora α ∈ V

_,

w bazie (α

₁

, . . . , α

_n

), to A ·





 a

1

.. . a

n





 jest wektorem wsp´ o lrz ednych wektora f (α) ∈ W w bazie

_,

(β

₁

, . . . , β

_m

).

Dow´ od. Poniewa˙z α =

n

X

i=1

a

i

◦ α

_i

, wi ec z w lasno´

_,

sci przekszta lce´ n liniowych i ze wzoru (12) mamy

f (α) =

n

X

i=1

a

i

◦ f (α

_i

) =

n

X

i=1



a

i

◦

m

X

j=1

a

ji

◦ β

_j



 =

n

X

i=1 m

X

j=1

(a

i

· a

_ji

) ◦ β

j

=

=

m

X

j=1 n

X

i=1

(a

_i

· a

_ji

) ◦ β

_j

=

m

X

j=1 n

X

i=1

(a

_i

· a

_ji

)

!

◦ β

_j

.

Zatem

n

X

i=1

a

_i

· a

_ji

jest j-t a wsp´

_,

o lrz edn

_,

a wektora f (α) w bazie (β

_{, 1}

, . . . , β

_m

). Ponadto z defi-

nicji mno˙zenia macierzy j-tym wyrazem macierzy A ·





 a

1

.. . a

_n





 ∈ M

_m×1

(K) jest

n

X

i=1

a

_ji

· a

_i

=

n

X

i=1

a

i

· a

_ji

. 2

Przyk lad 10.21. Niech A =

"

−1 2

−2 4

#

b edzie macierz

_,

a przekszta lcenia liniowego f : V →

_,

W w bazach (α

₁

, α

₂

), (β

₁

, β

₂

). Obliczymy f (α) dla α = α

₁

− 3 ◦ α

₂

. Wektorem wsp´ o lrz ednych

_,

wektora α w bazie (α

1

, α

2

) jest

"

1

−3

#

, zatem z twierdzenia 10.20, wektorem wsp´ o lrz ednych

_,

wektora f (α) w bazie (β

₁

, β

₂

) jest

"

−1 2

−2 4

#

·

"

1

−3

#

=

"

−7

−14

#

. Otrzymali´ smy wi ec, ˙ze

_,

f (α) = −7 ◦ β

₁

− 14 ◦ β

₂

. 2

Twierdzenie 10.22. Niech A b edzie macierz

_,

a przekszta lcenia liniowego f : V → W w

_,

bazach (α

1

, . . . , α

n

) i (β

1

, . . . , β

m

). W´ owczas

dim Im f = r(A).

Dow´ od. Zauwa˙zmy, ˙ze Im f = L(f (α

1

), . . . , f (α

n

)) = L(

m

X

j=1

a

j1

◦ β

_j

, . . . ,

m

X

j=1

a

jn

◦ β

_j

).

Z twierdzenia 10.11 wiemy, ˙ze istnieje izomorfizm liniowy ϕ : W → K

^m

taki, ˙ze ϕ(β

_j

) = ε

_j

dla j = 1, . . . , m. St ad Im f ∼

_,

= ϕ(Im f ), wi ec w szczeg´

_,

olno´ sci dim Im f = dim ϕ(Im f ).

Ale ϕ(Im f ) = L([a

11

, a

21

, . . . , a

m1

], . . . , [a

1n

, a

2n

, . . . , a

mn

]), wi ec dim ϕ(Im f ) = r(A), czyli

_,

dim Im f = r(A). 2

Lemat 10.23. Niech A, B ∈ M

_m×n

(K). Je˙zeli dla dowolnych skalar´ ow a

₁

, . . . , a

_n

zachodzi r´ owno´ s´ c

A ·





 a

1

.. . a

_n





 = B ·





 a

1

.. . a

_n





 , to A = B.

Dow´ od. Niech A = [a

ij

] oraz niech B = [b

ij

]. We´ zmy dowolne ustalone j = 1, . . . , n i niech a

_j

= 1 oraz a

_k

= 0 dla wszystkich k ∈ {1, . . . , n} \ {j}. Wtedy z definicji mno˙zenia macierzy i-tym elementem macierzy A ·





 a

₁

.. . a

n





 ∈ M

_m×1

(K) jest a

ij

dla i = 1, . . . , m. Podobnie i-tym

elementem macierzy B ·





 a

1

.. . a

_n





 ∈ M

_m×1

(K) jest b

_ij

dla i = 1, . . . , m. Ale A ·





 a

1

.. . a

_n





 =

B ·





 a

₁

.. . a

n





 dla dowolnych a

1

, . . . , a

n

∈ K, wi ec a

_, ij

= b

ij

dla dowolnych i = 1, . . . , m oraz j = 1, . . . , n. Ponadto A, B ∈ M

_m×n

(K), wi ec A = B.

_,

2

Twierdzenie 10.24. Niech V , W , U b ed

_,

a przestrzeniami liniowymi o bazach uporz

_,

adkowa-

_,

nych (α

1

, . . . , α

n

), (β

1

, . . . , β

m

), (γ

1

, . . . , γ

s

) odpowiednio. Niech A b edzie macierz

_,

a przekszta lcenia

_,

f ∈ L(V ; W ) w bazach (α

1

, . . . , α

n

) i (β

1

, . . . , β

m

) oraz niech B b edzie macierz

_,

a przekszta lcenia

_,

g ∈ L(W ; U ) w bazach (β

₁

, . . . , β

_m

) i (γ

₁

, . . . , γ

_s

). W´ owczas B · A jest macierz a przekszta lcenia

_,

g ◦ f ∈ L(V ; U ) w bazach (α

1

, . . . , α

n

) i (γ

1

, . . . , γ

s

).

Dow´ od. Niech





 a

1

.. . a

n





 b edzie wektorem wsp´

_,

o lrz ednych wektora α ∈ V w bazie (α

_{, 1}

, . . . , α

_n

).

Wtedy z twierdzenia 10.20 mamy, ˙ze A ·





 a

₁

.. . a

_n





 jest wektorem wsp´ o lrz ednych wektora f (α)

_,

w bazie (β

₁

, . . . , β

_m

). Ponownie z twierdzenia 10.20 otrzymujemy, ˙ze B ·





 A ·





 a

1

.. . a

n











 jest wektorem wsp´ o lrz ednych wektora g(f (α)) w bazie (γ

_{, 1}

, . . . , γ

_s

). Ale

B ·





 A ·





 a

1

.. . a

n











 = (B · A) ·





 a

1

.. . a

n





 ,

wi ec je´

_,

sli C ∈ M

_s×n

(R) jest macierz a przekszta lcenia g ◦ f ∈ L(V ; U ) w bazach (α

_{, 1}

, . . . , α

_n

) i (γ

₁

, . . . , γ

_s

), to na mocy twierdzenia 10.20 C ·





 a

1

.. . a

_n





 = (B · A) ·





 a

1

.. . a

_n





 dla dowolnych a

1

, . . . , a

n

∈ R. Poniewa˙z B ∈ M

s×m

(R) i A ∈ M

m×n

(R), wi ec B ·A ∈ M

_, s×n

(R). Z lematu 10.23 otrzymujemy r´ owno´ s´ c C = B · A. 2

4 Zadania do samodzielnego rozwi azania

_,

Zadanie 10.18. Znajd´ z przekszta lcenie liniowe f przestrzeni R

³

na przestrze´ n R

²

takie, ˙ze [1, 1, −1] ∈ Ker(f ).

Odp. Og´ olna posta´ c takich przekszta lce´ n f :

f ([x

₁

, x

₂

, x

₃

]) = [(c − a)x

₁

+ ax

₂

+ cx

₃

, (d − b)x

₁

+ bx

₂

+ dx

₃

], gdzie a, b, c, d ∈ R oraz ad 6= bc.

Zadanie 10.25. Znajd´ z przekszta lcenie liniowe f : R

³

→ R

⁴

takie, ˙ze Ker(f ) = L([1, −1, 2]) oraz Im(f ) = L([1, 2, 1, −1], [3, 1, 2, 0]).

Odp. Og´ olna posta´ c takich przekszta lce´ n f :

f ([x

₁

, x

₂

, x

₃

]) = [(a − 2c + 3b − 6d)x

₁

+ (a + 3b)x

₂

+ (c + 3d)x

₃

, (2a − 4c + b − 2d)x

₁

+ (2a + b)x

2

+ (2c + d)x

3

, (a − 2c + 2b − 4d)x

1

+ (a + 2b)x

2

+ (c − 4d)x

3

, (2c − a)x

1

− ax

₂

− cx

₃

], gdzie a, b, c, d ∈ R oraz ad 6= bc.

Zadanie 10.26. Znajd´ z uk lad jednorodny r´ owna´ n liniowych, kt´ orego zbiorem rozwi aza´

_,

n

jest podprzestrze´ n V przestrzeni R

⁵

generowana przez wektory: [−3, 1, 5, 3, 2], [2, 3, 0, 1, 0],

[1, 2, 3, 2, 1], [3, −5, −1, −3, −1], [3, 0, 1, 0, 0].

Odp. Szukanym uk ladem jest (

x

1

− 3x

₂

− 3x

₃

+ 7x

4

= 0

3x

₁

− 2x

₂

− 9x

₃

+ + 28x

₅

= 0 .

Zadanie 10.27. Znajd´ z bazy obrazu i j adra przekszta lcenia liniowego f : R

_, ³

→ R

³

okre´ slone- go wzorem:

f ([x

₁

, x

₂

, x

₃

]) = [2x

₁

− x

₂

− x

₃

, x

₁

− 2x

₂

+ x

₃

, x

₁

+ x

₂

− 2x

₃

].

Odp. Baza Ker(f ): {[1, 1, 1]}. Baza Im(f ): {[1, 0, 1], [0, 1, −1]}.