Dynamika konstrukcji

10.

10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI

10.1. Wprowadzenie

Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w postaci:

M ¨d

_t

C ˙d

t

Kd

t

=P

t (10.1)

Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej chwili. Jest to odwołanie do zasady d'Lamberta, która mówi, że dla układu będącego w ruchu równowaga musi być spełniona w każdej chwili konkretnej przestrzeni czasowej.

Macierz M jest macierzą masową, macierz K - macierzą sztywności. Macierz

P

t jest macierzą określającą przyłożone do układu obciążenia zewnętrzne. Natomiast C jest macierzą określającą tłumienie układu. Macierz tą przyjmujemy najczęściej w postaci tzw. tłumienia proporcjonalnego (zależnego od macierzy K i M) w postaci

C

=

1

M



2

K

(10.2)

Współczynniki ₁ i ₂wyznaczamy na podstawie udziału poszczególnych postaci drgań własnych. Jeśli założymy wartość tłumienia i obciążenia zewnętrzne równe zero, otrzymamy równanie

M ¨d

t

Kd

t

=0

(10.3)

czyli problem drgań własnych układu. Idąc dalej, stosując podstawienie

d

_t

=d

0

⋅sin t

(10.4)

i różniczkując dwukrotnie po czasie t

˙d

_t

= d

0

⋅cost

¨d

_t

=−

2

d

0

⋅sin t

(10.5)

otrzymujemy wartości, które podstawiamy do równania (10.3) i dostajemy



K

−

2

M



d

0

=0

(10.6)

Czyli równanie, które definiuje nam uogólniony problem własny. Równanie to ma n równań rzeczywistych w postaci par: wartości własnej i odpowiadającego jej wektora własnego.

10.2. Metody całkowania

Jak wiemy równanie ruchu jest równaniem różniczkowym. Zastanówmy się zatem nad sposobami jego rozwiązywania. Ze względu na pewne własności macierzy K, M i C w analizie ruchu ciała przedstawionego przy pomocy elementów skończonych zasadniczo stosujemy dwie metody: metodę całkowania bezpośredniego i metodę superpozycji modalnej.

10.2.1. Metody całkowania bezpośredniego

Metody całkowania bezpośredniego są metodami jawnymi. Polegają ona na tym, że równanie ruchu jest całkowane krok po kroku. Równanie ma być spełnione tylko w wybranych chwilach „t”, a nie w całym przedziale całkowania.

Zakładamy, że w chwili t=0 znane nam są przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia (czyli znamy

d

_0,

d

˙

_0,

¨d

₀). Rozpatrujemy określony przedział czasowy (0,T), który dzielimy na n równych przedziałów, w których to poszukujemy naszych nieznanych wielkości. Rozważamy zatem chwile:

0,

t , 2t , ... , t , tt , ... , T

(10.7)

Zadanie polega na zbudowaniu algorytmu, który pozwoli nam na obliczeniu poszukiwanych wartości w danym kroku przy wykorzystaniu wyliczonych wartości z kroku poprzedniego. W taki sposób otrzymamy wartości we wszystkich chwilach czasowych z przedziału (0,T)

Pokażemy na przykładzie, tok postępowania przy rozwiązywaniu zadania z dynamiki przy pomocy jednej z najbardziej efektywnych metod z grona metod całkowania bezpośredniego, a mianowicie metodą różnic centralnych.

Zakładamy zmienność w czasie wektorów prędkości i przyspieszeń w postaci

˙d

_t

≃

1

2

d

_tt

−d

t−t

t

¨d

t

≃

1

t 

2



d

tt

−2 d

t

d

t−t



(10.8)

Jeśli podstawimy operatory różnicowe (10.8) do (10.1) otrzymamy

1

t

2



d

tt

−2 d

t

d

t−t



M



1

2

d

_tt

−d

t−t

t

C

Kd

t

=P

t (10.9)

Należy zwrócić uwagę, że rozwiązanie to otrzymujemy na podstawie rozwiązania w chwili t. Stąd też metodę tę zaliczamy do metod jawnych (explicite). Dużą zaletą tego sposobu rozwiązywania równania (10.9) jest fakt, iż nie musimy odwracać macierzy sztywności.

Należy zwrócić uwagę, że obliczanie wyników w kolejnych chwilach z wykorzystaniem wyników otrzymanych w chwilach poprzednich wymaga przyjęcia pewnej procedury startowej. Warto zaznaczyć, że zakładamy tutaj, iż wektory

d

_0,

d

˙

_0,

¨d

₀ są znane w chwili początkowej czyli w chwili t=0. Stąd też wykorzystując wzory (10.8) możemy wyznaczyć wektor przemieszczenia d w fikcyjnej chwili, która poprzedzać będzie początek ruchu czyli dla chwili

t

−t

:

d

_t−t

=d

0

−t ˙d

0



t

2

2

d

¨

0, (10.10)

Zaznaczmy, że metody jawne są tylko warunkowo stabilne, dlatego też wymagane jest zastosowanie małych kroków całkowania

t

przy obliczaniu kolejnych wartości. Krok nie może być dowolnie duży, lecz musi spełniać poniższą zależność

tt

kr

=

T

_n



,

(10.11)

gdzie

T

_n jest najmniejszym okresem drgań układu

Niespełnienie warunku (10.11) powoduje narastanie – akumulację błędów całkowania i zaokrągleń w trakcie rozwiązywania równań ruchu.

Algorytm obliczeń dla metody całkowania jawnego:

• Obliczamy macierze K, C, M • Następnie obliczamy

d

_0,

d

˙

_0,

d

¨

_0, • Określamy stałe

a

0

=

1

t

2

a

1

=

1

2

t

a

2

=2 a

0

a

3

=

1

a

₂ (10.12) • Obliczamy

d

_t−t

=d

0

−t ˙

d

0



t

2

2

d

¨

0 • Wyznaczamy M



M

=a

0

M

a

1

C

(10.13)

• Triangularyzacja macierzy M przy pomocy wzoru



• Obliczenia dla każdego kroku: - wektora obciążenia efektywnego

R

R=R

t

−K −a

2

M

d

t

−a

0

M

−a

1

C

d

t−t (10.15)

- rozwiązanie równania (10.9) dla chwili

t

t

L

T

_DLd

tt

= R

(10.16)

-obliczenie wektorów prędkości i przyspieszeń:

˙d

_t

≃a

1



d

t t

−d

t−t



¨d

t

≃a

0



d

tt

−2 d

t

d

t−t



(10.17)

W przypadku braku tłumienia czyli gdy

C

=0

, równanie (10.9) upraszczamy do postaci

1

t

2

M d

tt

= R

t (10.18) gdzie

R=R−



K

−

2

t

2

M



d

−



−1

t

2

M



d

(10.19)

Jeśli w równaniu (10.18) macierz mas będzie diagonalna, wówczas rozwiązania otrzymujemy poprzez wykonanie określonego wzorem (10.19) mnożenia

d

_tti

= 

R

it

t

2

m

_ii (10.20)

gdzie

d

i_{tt oraz}



R

i_t będą oznaczać i-te składowe wektorów

d

_tt i

R

_t, natomiast

m

_ii

odnoszą się do i-tej składowej diagonalnej macierzy mas (należy jednakże spełnić założenie, że

m

_ii

0

. Zauważmy, że nie musimy znać macierzy globalnych (zarówno macierzy sztywności K jak i macierzy mas M). Dzieje się tak dlatego, bo nie rozwiązujemy układu równań liniowych. Macierze K i M mogą być określone na poziomie elementów.

Wśród metod całkowania jawnego możemy wymienić, oprócz metody różnic centralnych, między innymi metodę Houbolta, Wilsona i Newmarka. Metody te, pod warunkiem przyjęcia pewnych wartości współczynników charakterystycznych dla danej metody, należą do metod bezwarunkowo stabilnych.

10.2.2. Metody superpozycji modalnej

Równanie ruchu ma postać:

M ¨d

_t

C ˙d

t

Kd

t

=P

t (10.21)

M ¨d

_tt

C ˙

d

_tt

Kd

tt

=P

tt (10.22)

˙

d

_tt

= ˙d

t



[



1 −



¨d

t

 ¨d

tt

]

t

(10.23)

d

_tt

=d

t

 ˙d

t





t



2

[



1

2

−



¨d

t

 ¨d

tt

]

ℵ

(10.24)

 ,

- parametry przyjmowane na podstawie rozwiązań dotyczących dokładności i stabilności otrzymanych rozwiązań

=

1

6

=

1

2

Rozwiązując

_ℵ

względem

¨d

_tt otrzymamy:

¨d

_tt

=

1

t 

2

[

d

t t

−d

t

− ˙d

t

t−



t



2



1

2

−



¨d

t

]

(10.25)

˙d

_tt

=



 t



d

tt

−d

t







1

−







˙d

t

t



1

−



2





¨d

t (10.26)

1

t 

2

[

d

tt

−d

t

− ˙d

t

t−



t



2



1

2

−



¨d

t

]

⋅M =P

tt (10.27)

Z równania tego obliczamy niewiadomy wektor przemieszczeń

d

_{t t} i podstawiamy do

¨d

_tt i

˙d

_tt

Jeśli liczba kroków i liczba stopni swobody układu jest duża, wówczas efektywność obliczeń metodami całkowania bezpośredniego jest niesatysfakcjonująca. Należy wtedy posłużyć się innymi metodami - metodami niejawnymi (implicite), do których można zaliczyć metodę superpozycji modalnej.

Należy tutaj dokonać przekształcenia równania równowagi (10.1) do postaci, która będzie wymagała od nas mniejszego nakładu pracy.

Dokonajmy takiego przekształcenia wykorzystując rozwiązanie problemu drgań własnych (a więc pomijamy obciążenie zewnętrzne i tłumienie)

M ¨d

K d =0

(10.28)

Rozwiązaniem równania (10.28) jest n par



_i2, _i



, czyli macierze _2 _{i  w postaci}



2

=

[



1 2



2 2

.

.

.



n 2

]

,



2

=

[



1



2

. . .



n

]

(10.29)

Spełniony jest tutaj tzw. warunek M-ortogonalności wektorów własnych



T

M

=1

(10.30)

oraz warunek



T

_K

=

2 _(10.31)

Dokonajmy transformacji równania (10.1) stosując podstawienie

d

t = X t

(10.32)

Otrzymujemy w ten sposób równanie ruchu

M

 ¨X C  ˙X K  X =P

(10.33)

Następnie przemnażamy lewostronnie przez

_

T i otrzymujemy



T

M

 ¨X 

T

C

 ˙X 

T

K

 X =

T

P

(10.34)

¨X 

T

C

 ˙X 

2

X

=

T

P

(10.35)

Uzupełniamy równanie (10.34) warunkami początkowymi

X

₀

=

T

_{M d}

0

˙

X

₀

=

T

M ˙

d

₀ (10.36)

Z równania (10.34) wynika, że jeżeli przyjmiemy macierz tłumienia równą zero tzn. pominiemy człon



T

C

 ˙X

to otrzymamy układ równań rozprzężony

¨X 

2

_X

=

T

_{P ,}

_(10.37)

co możemy zapisać jako n równań skalarnych postaci

¨x

i

t

i 2

_x

i

t =r

i

t ,

(10.38) gdzie

r

_i

t=

i T

P

t 

(10.39)

Warunki początkowe otrzymujemy z (10.36)

x

_i0

=

i T

_{M d}

0

,

˙x

i0

=

i T

M ˙

d

₀

,

(10.40)

Zaznaczmy, że rozwiązanie równań (10.38) możemy prowadzić przy wykorzystaniu metod całkowania bezpośredniego lub przy wykorzystaniu tzw. całki Duhamela

x

i

t =

1



i

∫

o

t

r

i

sin 

i

t−d 

i

sin



i

t



i

cos



i

t

(10.41)

stałe _i i _i wyznaczamy z warunków poczatkowych (10.40)

W naszym zadaniu po rozwiązaniu n równań musimy powrócić do transformacji (10.32). Otrzymamy wówczas ostateczne rozwiązanie

d

t =

∑

i=1 n

10.3. Przykłady

Równanie równowagi dynamicznej każdego punktu w każdej chwili:

[M ]

[

¨dt

]

[C ]

[

˙dt

]

[ K ]

[

dt

]

=

[

pt

]

(10.43)

Rozwiązanie tego równania mówi nam, jak dany element przemieścił się w każdej chwili. Przykłady: Rys. 10.1. Przykład 1 k₁ k₁ m_{1 x} 1 p₁ k₂ k₂ m_{2 x} 2 p₂ k₃ k₃ m₃ x₃ p₃

Rys. 10.2. Przykład 2 Równanie równowagi zapisane macierzowo:

[

k1k2 −k2 0 −k2 k2k3 −k3 0 −k3 k3

]

{

x1 x₂ x3

}



[

c1c2 −c2 0 −c2 c2c3 −c3 0 −c3 c3

]

{

˙x1 ˙x2 ˙x3

}



[

m1 0 0 0 m₂ 0 0 0 m3

]

{

¨x1 ¨x2 ¨x3

}

=

{

P1 P₂ P3

}

[ K ]{x}[C ]{˙x}[M ]{¨x}={P} (10.44) Przykład obliczeniowy:

[

3 k −2 k −2 k 2 k

]

{

x1 x2

}



[

m 0 0 2 m

]

{

¨x1 ¨x2

}

=

{

0 0

}

(10.45) X1=A1sint (10.46) X2=A2sint (10.47)

Obliczamy drugą pochodną po czasie wyrażeń 10.46 i 10.47

¨ X1=−A1 2 sint (10.48) k₁ tłumik c₁ x₁ p₁ k₂ c₂ x₂ p₂ k₃ c₃ x₃ p₃ k₁=k x₁ k₂=2k x₂ m₁=m m₂=2 m Q(t)=0

¨

X2=−A2

2_sin

t (10.49)

i podstawiamy do równania 10.45, otrzymując

k

[

3 −2 −2 2

]

{

A1 A2

}

−m2

[

1 0 0 2

]

{

A1 A2

}

=

{

0 0

}

(10.50) Podstawiamy =m 2 k :

[

3− −2 −2 2−2

]{

A1 A2

}

=

{

0 0

}

(10.51)

Przykładowa postać rozwiązania:

1=0,2673 2=3,730

A1=0,732 A2 A1=−2,735 A2

(10.52)

I postać:

10.4. Ekstremalna wartość własna

[A]−[B][X]={0} (10.53) [A][X]=[B][X] /[B]−1 _(10.54) [B]−1[A]



[C] [X]=[



B]−1[B] [I] [X] _(10.55) Otrzymujemy: [C][X]=[X] (10.56) 0,73 1,0

[C_]

[

X_i

]

=

[

X_i1

]

=

[

X_i1

]

(10.57) Dokonujemy iteracji: [C]

[

X0

]

=

[

X1

]

=1

[

X1

]

[C]

[

X1

]

=

[

X2

]

=2

[

X2

]

⋮ [C]

_[

Xk−1

]

=

[

Xk

]

=2

[

Xk

]

(10.58) Przykład:

[

30 6 5 6 30 9 5 9 30

][

l m n

]

=

[

1 0 00 1 0 0 0 0

][

l m n

]

(10.59) • iteracje i=0:

[

30 6 5 6 30 9 5 9 30

]

{

0 0 l

}

0 =

{

59 30

}

i =30

{

0,1660,300 1,000

}

l (10.60) i=1:

[

30 6 5 6 30 9 5 9 30

]

{

0,166 0,300 l ,000

}

=

{

11,78018,996 35,530

}

=35,59

{

0,3520,566 1,000

}

(10.61)

Następne iteracje powtarzamy do momentu, kiedy otrzymane wartości będą zbliżone:

[

30 6 5 6 30 9 5 9 30

]

{

0,766 1,000 0,982

}

=43,49

{

0,781,00 0,97

}

(10.62)

10.5. Dynamika konstrukcji

W przypadku dynamiki konstrukcji macierz mas wyrażona za pomocą funkcji kształtu i gęstości jest postaci: M=

∑

e

∫

V eNe T NedVe (10.63)