16. Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego
c
x
y F
n
Fi
ax ay εz
ri
Mm
Mi
M1
m, Jc
z i
y x i
y x i
M k j i M
k r j r i r
k F j F i F
r r r r
r r r r
r r r r
+ +
=
+ +
=
+ +
=
0 0
0 0
F1
∑
∑
=
=
=
=
n i
iy y
n i
ix
x F ma F
ma
1 1
równania dynamiczne ruchu postępowego
( ) ∑
∑
=
=
+
−
=
m i
iz n
i
ix iy iy ix z
c r F r F M
J
1 1
ε
równanie dynamiczne ruchu obrotowego
Zadanie 1/16
Jednorodny walec o masie m i promieniu r toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie pod wpływem poziomej siły F
przyłożonej do jego środka O.
Jakie przyspieszenie a0posiada środek walca i z jakim przyspieszeniem kątowym ε walec się obraca?
Ile musi wynosić współczynnik tarcia µ między walcem i podłożem, aby nie nastąpił poślizg?
Dany jest współczynnik tarcia toczenia f.
F O r
m
Odp.:
+
≥
=
−
=
r f mg
F r a
r gf m a F
3 2 1 3 2
0 0
µ ε
Zadanie 2/16
Jednorodny walec o promieniu r stacza się po równi nachylonej pod kątem α do poziomu.
Współczynnik tarcia między walcem a równią wynosi µ, zaś współczynnik tarcia toczenia f.
Jaki musi być kąt nachylenia równi, aby pomiędzy nią i walcem nie było poślizgu?
Odp.:
−
≤ r
2f 3 arctan µ α
Zadanie 3/16
Wyznaczyć przyspieszenie środka O jednorodnego walca o masie m i promieniu r odwijającego się z
pionowo przebiegającej nici. Obliczyć siłę S w nici. r
m O
m
α r
Odp.: aO g S mg
3 1 3
2 =
=
α r
r m
m M
Zadanie 4/16
Na równi nachylonej pod kątem α do poziomu ułożono dwie jednorodne rolki o masach m i promieniach r, na nich zaś deskę o masie M, po czym układ swobodnie puszczono.
Obliczyć przyspieszenie deski zakładając, że w układzie nie ma poślizgu zaś współczynnik tarcia tocznego jest do pominięcia.
Odp.:
m M
m g M
a 4 3
4 sin 4
+
= α +
Zadanie 5/16
Jednorodny, cienki pręt o masie m i długości l zawieszono poziomo na dwóch niciach. W pewnej chwili nić B przecięto. Jaka siła wystąpi w tym momencie w nici A?
l m
A B
Odp.:RA mg 4
=1
Zadanie 7/16
Prostokątną, jednorodną płytkę o masie m i wymiarach a×b zawieszono przegubowo w jednym z naroży i wychylono z położenia równowagi o niewielki kąt α.
Wyznaczyć okres drgań tak powstałego wahadła fizycznego.
a
b α
m
Odp.: 2 2
3
2 2 a b
T= π g +
Jednorodny, cienki pręt AB o masie m i długości l zawieszono w punkcie A na pionowej nici, zaś w punkcie B oparto pod kątem α o gładką, poziomą podłogę.
Wyznaczyć reakcję podłogi na pręt w chwili przecięcia nici.
Odp.:
1 cos
3 2 +
= α
RB mg (w górę)
α A
B l
m
r1
m1
r2 m2 O2 O1
Zadanie 8/16
Na jednorodny krążek o masie m1i promieniu r1obracający się bez tarcia wokół nieruchomej osi O1nawinięto nić, z której odwija się jednorodny krążek o masie m2i promieniu r2. Obliczyć przyspieszenie a2środka opadającego krążka oraz napięcie S w nici.
Odp.:
2 1
1 2 2
1 2 1
2 3 2 3 2
2 2
m m g m m m S
m m g m
a = +
+
= +
Zadanie 9/16
Szpulę o masie m, promieniach r i R oraz momencie bezwładności J0względem osi
ustawiono na równi o kącie nachylenia α. Na nici nawiniętej na szpuli zawieszono ciężar o masie M. Przy założeniu braku poślizgu wyznaczyć przyspieszenie a0środka szpuli.
r R O m
M
α
( )
( )2
0 2
sin sin
r R M mR J
R M m gR Mr
a
− +
+ +
= −
α Odp.: α
Zadanie 11/16
Rozwiązać zadanie 10 przy założenia napędu na koła tylne.
r m r m
M c
c d
h
M0
Zadanie 10/16
Pojazd składa się z nadwozia o masie M=500kg oraz 4 kół o masach m=15kg, promieniach r=0.3m i momentach bezwładności
względem osi obrotu J=2kgm2każde. Do każdego z przednich kół napędowych przyłożony został moment M0=250Nm. Jakie
przyspieszenie uzyska pojazd? Ile co najmniej musi wynosić współczynnik tarcia między kołami napędowymi i jezdnią, aby nie nastąpił poślizg? Ramię tarcia toczenia f=0.05m.
Dane jest położenie środka masy nadwozia: a=1.5m, b=1m, h=0.5m.
r
m O
M F
( ) ( )
m M
g m r M
gM f F m a
M
g m r M
gmf F
a +
+
− +
+ = +
−
−
= 3
2 3
3 2 3
0
µ µ
Odp.:
Zadanie 12/16
Na chropowatej płycie o masie M,
spoczywającej na poziomej płaszczyźnie, położono jednorodny walec o masie m i promieniu r. Do płyty przyłożono poziomą siłę F.
Obliczyć przyspieszenie płyty a oraz przyspieszenie środka walca a0 przy założeniu braku poślizgu między płytą a walcem. Dany jest współczynnik tarcia tocznego f między walcem i płytą oraz
współczynnik tarcia ślizgowego µ między płytą i podłożem.
Zadanie 13/16
Jaką maksymalną siłę Fmaxmożna przyłożyć do płyty z zadania 12, aby między nią i walcem nie wystąpił poślizg, jeśli współczynnik tarcia ślizgowego między tymi ciałami wynosi również µ?
+
−
= M m
r g f
Fmax 2 2µ µ Odp.:
Zadanie 14/16
Na chropowatej płycie o masie M, spoczywającej na poziomej
płaszczyźnie, położono szpulę o masie m, promieniach r oraz R i momencie bezwładności względem osi J0. Na szpulę nawinięto nić, której koniec przywiązano do ściany. Do płyty przyłożono poziomą siłę F. Obliczyć przyspieszenie środka szpuli a0 przy założeniu braku poślizgu między szpulą a płytą. Dany jest współczynnik tarcia tocznego f między szpulą i płytą oraz współczynnik tarcia ślizgowego µ między płytą i podłożem.
m
M F
r R O
m
M F
r R O
b)
( ) ( ) ( )
( ) mr
r r J r R M R
r R g m M mgf r R a F
+ +
+
+
+ +
−
−
= +
0 0
1 µ
( ) ( ) ( )
( ) mr
r r J r R M R
r R g m M mgf r R a F
+ +
−
−
− +
−
−
= −
0 0
1 µ
Zadanie 15/16
Mechanizm planetarny składający się z koła centralnego o promieniu R, satelity o masie m i promieniu r oraz korby o masie M ustawiono w pionowej płaszczyźnie. Obliczyć przyspieszenie kątowe ε0korby OA przy jej poziomym położeniu. Korbę potraktować jako jednorodny, cienki pręt zaś satelitę jako jednorodny walec. Tarcie toczenia satelity oraz inne opory ruchu pominąć.
R
r A
O M m
Odp.:
+ +
= +
m M
m M r R
g
9 2 3 2 ε0
Zadanie 16/16
Jednorodny krążek o masie m i promieniu r rozpędzono do prędkości kątowej ω0po czym postawiono na chropowatej, poziomej
płaszczyźnie. Po jakim czasie t od chwili zetknięcia zniknie poślizg między krążkiem a płaszczyzną i jaka będzie wówczas prędkość υ środka krążka jeśli współczynnik tarcia ślizgowego wynosi µ?
r
m
ω0
Odp.: r
g
t 0r 0
3 1
3 υ ω
µ
ω =
=
M r
R O
α
r1 m1 O1
G
Zadanie 17/16
Na szorstkiej równi o kącie nachylenia α położono szpulę o masie M, promieniach r i R oraz momencie bezwładności J0względem osi. Na szpulę nawinięto nić przerzuconą przez jednorodny krążek o masie m1i promieniu r1mogący obracać się bez tarcia wokół nieruchomej osi O1. Na końcu nici zawieszono ciężar G.
Obliczyć przyspieszenie aG ciężaru przy założeniu, że szpula toczy się po równi bez poślizgu.
Odp.: ( )
( )
g g m r G r R
R MR J
MgR r R aG G
2 2
sin
1 2
0 +
+ + +
+
−
= + α
Ciężar o masie M wciągany jest za pomocą bloczka, przez który
przerzucono nieważką linę. Obliczyć przyspieszenie ciężaru, jeżeli lina ciągnięta jest siłą F. Dana jest masa bloczka m, promień r oraz moment
bezwładności J względem osi obrotu. M r
m, J
F
Odp.: ( )
(m M)
r J
g M m a F
+ +
+
= −
2 0
2
Zadanie 19/16
Wyznaczyć przyspieszenia środków krążków O1i O2oraz siły we wszystkich linkach układu pokazanego na rysunku.
Linki są nieważkie i nierozciągliwe.
Dane:
M1=100kg, M2=20kg,
m1=10kg, r1=0.1, J1=0.15kgm2 m2=15kg, r2=0.2, J2=0.25kgm2 m3=12kg, r3=0.15, J3=0.20kgm2 g=9.81m/s2
O1
O3
O2
m1, r1, J1 m2, r2, J2
r3, J3
M1
M2
1 3 2
4 5
6
7
Odp.: aO1= 0.876m/s2, aO2= 1.751m/s2 (w dół)
S1= 893.44N, S2= 497.96N, S3= 484.82N, S4= 308.33N S5= 297.38N, S6= 681.35N, S7= 266.25N
