Wykad 1

Przypomnijmy, dla równanie Bernoulliego. Dla dowolnie wybranego przekroju poprzecznego strugi zachodzi równanie

UOGÓLNIONE RÓWNANIE BERNOULLIEGO

UOGÓLNIONE RÓWNANIE BERNOULLIEGO

(1a)

lub

Podczas przepływu równanie (1a,b) jest nieprawdziwe ze względu na istnienie strat energii. Energia rozporządzalna strugi w przekroju

początkowym przedstawia się równaniem

(2a) 2 1 1 1 1 1, 2 śr p e z g g







  

Wskutek istnienia strat hydraulicznych

(3)

(4) stąd po uwzględnieniu strat energii otrzymujemy równanie

hs jest na drodze pomiędzy przekrojami 1-2.

2 2 2 2 2 2, 2 śr p e z g g       a w przekroju końcowym (2b)

Podstawiając równania (2a,b) do (4) otrzymamy

(5)

Mnożąc równanie (5) stronami przez g otrzymamy inną postać uogólnionego równania Bernoulliego

Nazwy członów / wielkości i jednostki

Nazwy członów / wielkości i jednostki

Człon / Wielkość Nazwa Jednostka



s h  s p  współczynnik Coriolisa wysokość strat ciśnienia

strata ciśnienia

Występujące we wzorze (6) współczynniki 1 i 2, nazywane współczynnikami Coriolisa, korygują sposób wyznaczania energii kinetycznej cieczy za pomocą średnich prędkości przepływu

(7) Współczynnik Coriolisa zdefiniowany jest wzorem

(8)

(9) Energia kinetyczna obliczona za pomocą średniej prędkości przepływu wynosi

2 2 3

,

2

2

2

śr śr śr śr k mśr

E





q



 

t

 

A



 

t



A





t

Współczynnik Coriolisa

Współczynnik Coriolisa

Energia kinetyczna rzeczywista strugi elementarnej 3

,

2

rz k

E



 

t







dA

(10) czyli: (10a) 2 3

2

2

rz k

dE







dA t











dA t



(11)

.

1

3 3 śr A

dA

A











(12) Dla przepływu laminarnego osiowo-symetrycznego rozkład prędkości ma postać



2 2



2

₁

2

₂

₁

2

_.

4

4

śr

p

p

r

r

R

r

R

l

l

R

R





















 

 







_

_



_{ }

_

_



_

_



_{ }

_

_

 

 









Po podstawieniu (12) do (11) otrzymamy (13) 3 2 3 3 2 0 3 2 3 2 0 2 1 2 1 1 16 1 R śr _R A śr śr r rdr dA _R r rdr A R R R          _{ }    _{  } _  _{   } _{   }      _ _{ } _     







Dla przepływów turbulentnych

Rzeczywistą energię kinetyczną strugi można wyznaczyć jako

(13a)

Czyli w przypadku przepływu laminarnego rzeczywista energia kinetyczna strugi jest dwa razy większa od energii wyznaczonej na podstawie prędkości średniej, natomiast dla przepływów turbulentnych rzeczywista energia kinetyczna zbliżona do wyznaczonej na podstawie prędkości średniej.

Rodzaje strat hydraulicznych:

Rodzaje strat hydraulicznych:

1.

1. -

straty liniowe powstające na prostych

odcinkach przewodów o stałej średnicy

d i długości

d

l.

l.

2.

-

straty miejscowe powstające na

przeszkodach lokalnych typu zawory, kolanka, nagła

zmiana pola przekroju, itp.

Liniowe straty hydrauliczne

Liniowe straty hydrauliczne

(14)

 - współczynnik strat liniowych (bezwymiarowy).

Wysokość strat liniowych obliczamy ze wzoru Darcy-Weisbacha

(14a) lub liniowa strata ciśnienia:

(14b)

W ogólnym przypadku współczynnik  jest funkcją liczby Reynoldsa

Z prawa Hagena-Poiseuille’a strata ciśnienia w rurze o wymiarach l, d (15) 2 2

32

32

,

sl

l

v l

p

d

d



_



_







h

sl

32

vl

₂

.

gd







Przepływ laminarny

Po porównaniu wzorów Darcy-Weisbacha (14) i (15) otrzymamy

(16) 2 2

32

2

sl

vl

l

h

gd

d g



 













(17)

W ruchu turbulentnym =f(Re, ).

Chropowatość bezwzględna: a) naturalna, b) sztuczna

Materiał Stan powierzchni k, mm Rury walcowane:

miedź, mosiądz, brąz gładkie 0,0015÷0,100 Rury walcowane: aluminium gładkie 0,015÷0,06 Rury stalowe walcowane nowe 0,02÷0,10 nieznacznie skorodowane 0,4 z większymi osadami kamienia ~ 3,0

Rury żeliwne nowe 0,25÷1,0

z osadami 1,0÷1,5

Rury betonowe średnia gładkość 2,5

Bezwzględny współczynnik chropowatości dla wybranych materiałów:

Współczynnik chropowatości bezwzględnej może przyjmować

wartości od k=0,005 mm dla przewodów szklanych do k=9mm

dla przewodów betonowych chropowatych.

k>lam 7 8 *

8

2 2

Re

25

Re

lam

v

v

d

d











 

_











 

k<

_lam

Formuła Blasiusa

(18) (19)

Re

_kr

<Re < 10

5

Formuła Schillera

0,3

0,054 0,396 Re



_

_

_



_Re

kr

<Re < 10

6

Formuła Altsula

(20)

Formuła Nikuradsego (w strefie kwadratowej zależności oporów)

(21)

74

,

1

lg

2

1

_

_

k

r



Re > Re

_gr

Formuła Colebrooka-Whita (w strefie kwadratowej zależności oporów)

2

2,51

2lg

3,72

Re

k

d









_

_





_

_



_

_









Wykres Nikuradsego

Liniowe straty hydrauliczne w poszczególnych zakresach liczby Re.

Liniowe straty hydrauliczne w poszczególnych zakresach liczby Re.

- w przepływie laminarnym Re < Re

_kr sl

h









2 2 2

64

64

32

,

Re

2

2

sl

l

l

l

h

d g

d d g

d g







 











2 2 4

4

32

₁₂₈

,

v sl v

q

l

_l

d

h

q

d g

d g



_











i

Straty hydrauliczne w poszczególnych zakresach liczby Re.

Straty hydrauliczne w poszczególnych zakresach liczby Re.

- w strefie kwadratowej zależności oporów Re>Re

_gr

sl

h









2

( )

,

2

sl

l

h

f k

d g







2 2 2 5

4

8

( )

( )

,

2

v sl v

q

l

d

l

h

f k

f k

q

d

g

d g























i

MIEJSCOWE STRATY HYDRAULICZNE

(22a)

w którym:

υ – średnia prędkość przepływu , z wyjątkiem szczególnych przypadków, wyraźnie zaznaczonych np. wlot do zbiornika;

ς – współczynnik oporu miejscowego zależny od geometrii oporu miejscowego i liczby Reynoldsa.

Przy dużych liczbach Re, zwykle dla Re>104, współczynnik ς nie zależy od Re

.

Wysokość miejscowych strat hydraulicznych / miejscową stratę ciśnienia obliczamy ze wzoru:

Nagłe rozszerzenie przewodu 2 2 1 2 ₁ 3500 Re                   d d            1 2 Re, 3500 Re 10 d d f  Re 30 10 Re    





_{1 1} Re  d gdzie:

Wylot ze zbiornika a) o ostrych krawędziach 4 10 Re 5 , 0   dla  b) o zaokrąglonych krawędziach

Nagłe zmniejszenie średnicy przewodu 2 2 1 0,5 1 d d    _{  }        

Zasuwa        D S   0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,0 ς 30 22 12 5,3 2,8 1,5 0,8 0,3 0,1 D S

Zawór motylkowy



_ 18 1 _ 9 1  6 1 _ 9 2  18 5 _ 3 1 _ 18 7 _ 2 1  ° 10 20 30 40 50 60 70 80 rad 0,52 1,54 3,91 10,8 32,6 118 751 ∞      90

Kurek gazowy

 

     18 1 _ 9 1 _ 6 1 _ 9 2 _ 10 5 96 , 0 1,17  ° 10 20 30 40 50 55 67 rad 0,31 1,84 6,15 20,7 95 275 ∞

Zawór grzybkowy normalny

 

D   



D, mm 20 40 80 100 150 200 250 300 8,0 4,9 4,0 4,1 4,4 4,7 5,1 5,4

Na podstawie równania ilości ruchu otrzymamy:

Z równania Bernoulliego dla przekrojów 1 – 1 i 2 – 2 otrzymamy: skąd po przekształceniu:



2 1

 

1 2



2 V

q

p

p A



 











_

_

1 2 2 2 1













 p

p



p



p



_

_

_

2

_

_

_g

_

_h

s 1 2 2 2 1

2

1

_

_



Po porównaniu obu powyższych równań:



_



_



_ 2



_{ gh}s 1 2 2 1 2 2 2 1

_

_







Wzór ten nosi nazwę wzoru Bordy-Carnota.

Z równania ciągłości A11=A22 wyznaczamy 1 i po podstawieniu

stąd:



_{2 2}



2 2 1

2

s

h

g







 

                  1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 A A g A A g hs







