Harmonogramowanie zadań produkcyjnych w wytwórni blach dachowych

(1)

Streszczenie

W pracy przedstawiono dwukryterialny problem harmonogramowania produkcji, który polega na jednoczesnym harmonogramowaniu zada i ich grupowaniu w partie produktów. Motywacj bada była analiza procesu planowania w zakładzie przetwór-czym blachy stalowej, w którym zlecenia s przetwarzane w systemie „make to order”. Zagadnienie to jest połczeniem harmonogramowania zada na pojedynczej maszynie z problemem pakowania pudełek. W artykule przedstawiono porównanie, otrzyma-nego z zakładu, planu produkcji z harmonogramami utworzonymi za pomoc prostej, dedykowanej heurystyki i algorytmu genetycznego. Wyniki bada dowiodły skuteczno-ci proponowanych heurystyk.

Słowa kluczowe: harmonogramowanie produkcji, grupowanie obiektów, heurystyki Wprowadzenie

W artykule przedstawiono problem harmonogramowania zadaĔ produkcyjnych na pojedynczej maszynie, gdzie zadania (zamówienia) są przetwarzane w partiach pochodzących z tej samej rodziny produktów. Tworzenie harmonogramu, w tym przypadku, to połączenie jednowymiarowego pro-blemu pakowania pudełek (ang. Bin Packing Problem – BPP) z szeregowaniem zadaĔ na pojedynczej maszynie (ang. Single Machine Scheduling Problem – SMSP), przy dodatkowym za-łoĪeniu, Īe grupowane mogą byü tylko zamówienia o tej samej charakterystyce. Problem polega na znalezieniu najlepszego przyporządkowania zadaĔ z tej samej rodziny do partii i okreĞleniu kolej-noĞci wykonywania wszystkich zadaĔ. Utworzone plany powinny wspieraü przedsiĊbiorstwo w osiągniĊciu wiĊkszych zysków (poprzez minimalizacjĊ strat materiału i czasu wynikającego z ko-niecznoĞci przezbrojeĔ) oraz zapewniü wysoką jakoĞü obsługi klienta (poprzez dotrzymanie ustalonych terminów dostaw). Połączenie tych dwóch kryteriów prowadzi do wiĊkszej złoĪonoĞci rozpatrywanego problemu, poniewaĪ konieczne jest jednoczesne wykonywanie grupowania i szere-gowania zadaĔ [5].

Podobne kwestie były opisywane w literaturze [1, 4, 6, 9], ale w Īadnym z tych badaĔ nie roz-waĪono dwóch aspektów jednoczeĞnie: zamówienia muszą byü łączone w partie produktów o tych samych właĞciwoĞciach (ang. multi-family problem) i kaĪde zamówienie ma przyporządkowany termin realizacji (ang. due date), który powinien byü dotrzymany. Dopiero ostatnio problem ten szczegółowo przedstawili Stawowy i Duda [8]: do jego rozwiązania autorzy zaproponowali model mieszanego programowania całkowitoliczbowego. Badania wykazały, Īe dla problemów o wiĊk-szych rozmiarach (liczba zadaĔ ponad 100) komercyjne narzĊdzia optymalizacyjne nie radzą sobie z rozwiązaniem przedstawionego modelu.

Rozdział 1 opisuje praktyczny przypadek, który był motywacją do podjĊcia badaĔ. Rozdział 2 zawiera definicjĊ problemu. Rozdział 3 przedstawia proponowane heurystyki (algorytmy przybli-Īone), których praktyczne zastosowanie zaprezentowano w rozdziale 4. Rozdział 5 zawiera podsumowanie i wnioski z badaĔ.

(2)

1. Studium przypadku

Motywacją do podjĊcia badaĔ nad problemem równoczesnego harmonogramowania i grupo-wania zadaĔ produkcyjnych była analiza sposobu harmonogramogrupo-wania produkcji w zakładzie zajmującym siĊ produkcją pokryü dachowych, który znajduje siĊ na terenie Polski południowej [10]. Zakład realizuje zamówienia wewnĊtrzne, tworzone na podstawie zamówieĔ klientów, przysyła-nych z oddziałów połoĪoprzysyła-nych na terenie Polski oraz Słowacji. Po otrzymaniu zamówienia pracownik zajmujący siĊ tworzeniem harmonogramów produkcji sprawdza, czy w ramach tworzo-nego harmonogramu wystĊpuje juĪ grupa zamówieĔ na pokrycie dachowe o takich samych parametrach powłoki. JeĞli jest to pierwsze zamówienie charakteryzujące siĊ tymi parametrami, tworzona jest nowa grupa w harmonogramie, do której przypisywane jest to zamówienie. Gdy grupa zamówieĔ została wczeĞniej utworzona, planista sprawdza moĪliwoĞü dołączenia zamówienia do grupy. Przed dodaniem zamówienia do istniejącej grupy pracownik musi sprawdziü, czy suma dłu-goĞci zamówieĔ w grupie, po dodaniu rozpatrywanego zamówienia, nie przekroczy dłudłu-goĞci krĊgu o wymaganych parametrach. Jeden krąg blachy, w zaleĪnoĞci od wielkoĞci zamówieĔ, wystarcza na wykonanie trzech duĪych lub piĊciu małych zamówieĔ. JeĞli suma długoĞci zamówieĔ jest mniejsza niĪ długoĞü krĊgu moĪliwe jest dodanie zamówienia do grupy, w przeciwnym wypadku konieczne jest utworzenie nowej grupy. PrzedsiĊbiorstwo nie dokonuje podziału zamówienia pomiĊdzy róĪne krĊgi: ze wzglĊdu na wymagania jakoĞciowe zamówienie musi zostaü w całoĞci wyciĊte z jednego krĊgu.

W przypadku realizacji grup, które nie powodują zuĪycia całego krĊgu blachy pracownik hali produkcyjnej ma obowiązek poinformowaü pracownika zajmującego siĊ planowaniem produkcji o tym, jak duĪo metrów bieĪących pozostało z wykorzystanego krĊgu. ZuĪycie blachy z krĊgu nie zawsze wynosi tyle, ile wynika z sumy złoĪonych zamówieĔ, naleĪy doliczyü takĪe fragmenty, które zostały zniszczone podczas dokonywania wymiany krĊgu blachy.

Rozpatrywany problem charakteryzują nastĊpujące warunki i załoĪenia:

• NaleĪy minimalizowaü liczbĊ utworzonych grup, przez co ogranicza siĊ wymiany krĊgów i nie-potrzebne straty materiału związane z uszkodzeniem czĊĞci krĊgu przy dokonywaniu przezbrojenia (Ğrednio około 0,5 metra bieĪącego) oraz straty czasu (wymiana krĊgu zajmuje 15 minut, co musi zostaü uwzglĊdnione w planie produkcji).

• Maszyny nie podlegają przezbrojeniu ze wzglĊdu na wykonywany profil: kaĪdy z oĞmiu kształ-tów bĊdących w ofercie firmy wykonywany jest na oddzielnej maszynie, w związku z czym harmonogramowanie odbywa siĊ oddzielnie dla kaĪdego profilu/maszyny.

• Zmówienie w całoĞci musi zostaü wykonane z jednego krĊgu; nie ma moĪliwoĞci podzielenia zamówienia pomiĊdzy dwa krĊgi, ze wzglĊdu na póĨniejsze ewentualne postĊpowanie reklama-cyjne oraz moĪliwe wystĊpowanie róĪnic w odcieniach tego samego koloru w dwóch róĪnych krĊgach.

Niewykorzystane czĊĞci krĊgu – po odnotowaniu ich długoĞci – trafiają do innej czĊĞci zakładu, gdzie produkowane są elementy wykoĔczeniowe potrzebne do wykonania dachu.

(3)

2. Analiza problemu

Podstawowymi atrybutami zadaĔ w analizowanym problemie są: czas przetwarzania – pj, wiel-koĞü (długoĞü) – sj, indeks rodziny (koloru) – fj, planowany termin wykonania – Cj, oraz termin dyrektywny – dj, gdzie j = 1…N oznacza indeks zadania, a N ich liczbĊ.

Dane o złoĪonych zamówieniach w analizowanym zakładzie obejmują: długoĞü, poĪądany ter-min realizacji oraz parametry blachy, z którego zamówienie ma byü wykonane. Odpowiednikiem pudełka (pojemnika), do których zamówienia są pakowane, jest krąg blachy o okreĞlonej długoĞci. KrĊgi charakteryzują ich kolor, rodzaj powłoki i długoĞü B, której nie moĪe przekroczyü suma zle-ceĔ przypisanych do krĊgu.

Problem pakowania pudełek (BPP) naleĪy do problemów grupowania obiektów i jest NP-trud-nym kombinatoryczNP-trud-nym problemem optymalizacji [2]. BPP moĪna sformułowaü nastĊpująco: dostĊpnych jest N pudełek (tu: krĊgów) o pojemnoĞci B i N niepodzielnych elementów (tu: zamó-wieĔ) o rozmiarze sj<= B, tworzących M rodzin (N1 + N2 + … + NM = N, gdzie Ni oznacza liczbĊ zadaĔ tworzących i-tą rodzinĊ). Elementy muszą byü spakowane do pudełek tak, Īe jest uĪyta mini-malna liczba pojemników, pojemnoĞü pojemników nie jest przekroczona, i tylko elementy z tej samej rodziny mogą byü pakowane do pudełka.

Drugi podproblem to szeregowanie zadaĔ na pojedynczej maszynie przy kryterium minimali-zacji ich opóĨnieĔ (ang. tardiness). W przedstawionym przypadku naleĪy zaplanowaü kolejnoĞü wykonywania zadaĔ z uwzglĊdnieniem przezbrojeĔ maszyny (tu: wymian krĊgu), gdy ich czas st nie zaleĪy od kolejnoĞci przetwarzanych krĊgów [3].

3. Proponowane heurystyki

Do rozwiązania problemu planowania produkcji w analizowanym zakładzie rozwaĪono dwie heurystyki: Multi-Family Batch First Fit (MFBFF) oraz algorytm genetyczny (ang. Genetic Algo-rithm – GA).

Heurystyka MFBFF wykonywana jest w piĊciu krokach [8]:

1. Zamówienia są grupowane według kolorów i powłok (czyli wg rodzin produktów), a nastĊpnie sortowane rosnąco, w kaĪdej rodzinie osobno, wg terminu dyrektywnego i czasu wytwarzania. 2. Kolejnym zamówieniom w rodzinie (o tym samym kolorze i powłoce) przypisany jest krąg, z którego zamówienie zostanie wykonane. JeĞli zamówienie nie mieĞci siĊ w danym krĊgu, tworzony jest nowy krąg i zaczyna siĊ przypisanie do niego kolejnych zamówieĔ.

3. Dla kaĪdego krĊgu wyliczane są minimalny i Ğredni termin dyrektywny zamówieĔ.

4. Grupy zleceĔ (krĊgi) są sortowane rosnąco według wartoĞci minimalnych jako pierwsze kryte-rium i według Ğrednich jako drugie krytekryte-rium.

5. Tak posortowane zamówienia tworzą harmonogram na kaĪdy dzieĔ. JeĞli dodanie kolejnego krĊgu powoduje przekroczenie dziennego, dostĊpnego czasu, grupa zamówieĔ jest przypisy-wana do nastĊpnego dnia.

Algorytmy genetyczne potwierdziły swą skutecznoĞü w rozwiązywaniu róĪnych problemów optymalizacji, wĞród nich – planowania i grupowania. W obszarze BPP Reeves [7] przedstawił heu-rystykĊ, która łączyła algorytm genetyczny dla problemu harmonogramowania z istniejącymi prostymi heurystykami dla BPP. Po wstĊpnych badaniach okazało siĊ, Īe to podejĞcie daje niezado-walające wyniki z powodu współzaleĪnej, dwukryterialnej natury analizowanego problemu. Postanowiono wiĊc zastosowaü standardowy (bez hybrydyzacji) GA dla problemu harmonogramo-wania; poniĪej opisano poszczególne elementy proponowanego algorytmu.

(4)

Reprezentacją rozwiązania jest lista liczb naturalnych (permutacja), gdzie kolejne elementy oznaczają numer zamówienia. Jako Īe dla kolejnych zamówieĔ znamy indeks rodziny, wielkoĞü (rozmiar), czas wykonania i termin dyrektywny, przyporządkowanie zadaĔ do grup oraz obliczenie opóĨnienia jest proste. Przykładowe rozwiązanie, dla rozmiaru grupy (krĊgu) B=10 jednostek i czasu przezbrojenia st=1 jednostka, pokazano na rysunku 1.

Rysunek 1. Przykładowe rozwizanie analizowanego problemu

ħródło: opracowanie własne.

Funkcja dopasowania (ang. fitness function – FF) składa siĊ z dwóch elementów odzwiercie-dlających dwukryterialny charakter problemu. Aby uniknąü problemów skalowania, oba kryteria powinny zawieraü siĊ w tym samym przedziale wartoĞci, a tym samym nie mogą to byü wprost liczba uĪytych krĊgów (dla grupowania) i suma opóĨnieĔ (dla szeregowania). Ponadto naleĪy uwzglĊdniü sugestiĊ Falkenauera [2], Īe liczba pudełek (krĊgów) jako funkcja dopasowania słabo róĪnicuje rozwiązania i nie bierze pod uwagĊ stopnia upakowania elementów.

W algorytmie nastĊpująca funkcja FF jest zatem maksymalizowana: ܨܨ ൌσಿ್೔సభቀೄ೔ಳቁ

ே௕ ൅ ்்బାଵ

்்బା்்಴ାଵ (1)

gdzie: Nb to liczba uĪytych krĊgów w danym rozwiązaniu, Si jest sumą długoĞci zamówieĔ spakowanych do krĊgu i, i=1...Nb, B jest długoĞcią krĊgu, TT0 to całkowite opóĨnienie dla sekwencji wejĞciowej, a TTc – dla bieĪącej. TT0 jest wyliczona dla rozwiązania złoĪonego z zamówieĔ posor-towanych wg terminu dyrektywnego, przy załoĪeniu, Īe kaĪde zamówienie tworzy odrĊbną grupĊ (krąg). Dla danych przedstawionych na rysunku 1 FF = 1,536, gdyĪ Ğrednie zapełnienie Nb = 10 krĊgów wynosi 0,75, wejĞciowe opóĨnienie TT0 = 109, a TTc = 30.

Nie próbowano dobraü, drogą rozbudowanych eksperymentów, najlepszych wartoĞci parame-trów algorytmu genetycznego – zastosowano typowe wartoĞci, wynikające z doĞwiadczenia autorów. Jedynie dla prawdopodobieĔstwa mutacji przeprowadzono krótkie badania, które wyka-zały duĪą efektywnoĞü operatora, stąd stosunkowo wysoka wartoĞü tego parametru w zastosowanej wersji GA.

Rozmiar populacji rodzicielskiej ustalono na 20 osobników, populacji przejĞciowej (dzieci) – na 60 osobników, populacja początkowa jest wyznaczana w sposób losowy.

Selekcja rodziców do krzyĪowania nastĊpuje za pomocą dwuelementowego turnieju, stosowana krzyĪówka to operator losowy z uzupełnianiem, prawdopodobieĔstwo krzyĪowania wynosi 0,8. Mu-tacjĊ stanowią wstawianie (ang. insertion) i zamiana (ang. swap) zamówieĔ, stosowane z równym prawdopodobieĔstwem, zaĞ ogólne prawdopodobieĔstwo mutacji wynosi 0,5. Do nastĊpnego poko-lenia rodzicielskiego przechodzi 20 najlepszych rozwiązaĔ z pokopoko-lenia przejĞciowego.

(% ) *&% +% (, -%&) 8 6 3 5 2 9 11 2 2 5 6 12 6 5 5 5 3 8 2 14 . $") 9 15 19 25 27 36 48 50 52 58 64 77 84 90 95 100 104 112 114 129 . ) 8 14 18 26 29 36 48 47 48 54 60 77 84 96 95 95 113 108 119 126 /$0 1 1 1 0 0 0 0 3 4 4 4 0 0 0 0 5 0 4 0 3

(5)

Działanie algorytmu jest przerywane po znalezieniu rozwiązania optymalnego (FF = 2) bądĨ po wykonaniu ewaluacji 300 000 osobników.

4. Przykład harmonogramowania produkcji

W rozdziale tym przedstawiono porównanie rzeczywistego harmonogramu, zrealizowanego w wybranym tygodniu, z rozwiązaniami utworzonymi za pomocą heurystyki MFBFF oraz algo-rytmu genetycznego. Danymi wejĞciowymi uĪytymi do utworzenia harmonogramów była lista zamówieĔ o nastĊpującej charakterystyce. liczba zamówieĔ – 150 sztuk, podzielonych miĊdzy 15 rodzin, z czego 10 licznych (powyĪej 18 zamówieĔ w grupie), reszta liczących poniĪej 7 zamówieĔ w grupie; Ğrednia długoĞü zamówienia to 119 m, przy minimalnej – 2 m i maksymalnej – 390 m. Ponadto uwzglĊdniono parametry organizacyjno-techniczne: długoĞü krĊgu – 800 m, prĊdkoĞü tło-czenia – 2 m/min, czas pracy 1350 min/dobĊ (system trzyzmianowy), czas przezbrojenia maszyny – 15 minut, Ğrednia strata materiału przy przezbrojeniu – 0,5 m.

Otrzymane wyniki przedstawiono w tabeli 1, w której poszczególne pozycje oznaczają: • Ğrednie zapełnienie krĊgów, całkowite opóĨnienie zadaĔ, funkcja dopasowania – jak we wzorze

(1),

• liczba uĪytych krĊgów – liczba utworzonych w harmonogramie grup zamówieĔ, równoznaczna z liczbą wymian krĊgów (przezbrojeĔ maszyny),

• straty materiału – suma długoĞci fragmentów krĊgów uszkodzonych podczas wymian krĊgów. Jako Īe GA nie jest algorytmem deterministycznym, wykonano 15 niezaleĪnych testów, a w tabeli 1 przedstawiono Ğrednie wyników. Najlepsze rozwiązanie otrzymane przez GA liczyło 30 grup zapełnionych w 74,3%, przy wszystkich zamówieniach wykonanych w terminie (w trakcie testów otrzymano 3 takie rozwiązania).

Tabela 1. Wyniki rozwiza wygenerowanych przez porównywane algorytmy

Wynik Harmonogram

rzeczywisty MFBFF GA

ĝrednie zapełnienie krĊgów [%] 35,9 67,6 71,5

Całkowite opóĨnienie [min] 0 0 0

Funkcja dopasowania 1,359 1,676 1,715

Liczba uĪytych krĊgów [szt.] 62 33 31,1

Straty materiału [m] 31,0 16,5 15,5

ħródło: opracowanie własne.

Wyniki zebrane w tabeli 1 wskazują na nieefektywnoĞü stosowanej w przedsiĊbiorstwie proce-dury planowania produkcji: co prawda Īadne zamówienie nie jest opóĨnione, ale odbywa siĊ to kosztem niewłaĞciwego wykorzystania krĊgów blachy (zamówienia nie są naleĪycie grupowane). Porównanie harmonogramu utworzonego w przedsiĊbiorstwie z utworzonymi przy pomocy propo-nowanych heurystyk wskazuje na lepszą realizacjĊ funkcji celu przez MFBFF i GA. W obu przypadkach długoĞü harmonogramu uległa skróceniu o jeden dzieĔ, który moĪe byü wykorzystany na konserwacjĊ maszyny lub realizacjĊ zamówieĔ z nastĊpnego okresu planistycznego. W stosunku do harmonogramu utworzonego przez planistĊ nastąpiło takĪe zmniejszenie liczby grup zamówieĔ (liczba uĪytych krĊgów, a tym samym przezbrojeĔ, zmniejszyła siĊ o 29 w przypadku MFBFF,

(6)

i o 31 w przypadku GA), co pociąga za sobą mniejsze straty materiału i czasu wynikające z prze-zbrojeĔ.

SpoĞród proponowanych heurystyk lepsze rezultaty daje algorytm genetyczny; ma on równieĪ tĊ zaletĊ, Īe łatwo moĪna wprowadziü wagi do funkcji dopasowania (wzór nr 1), wyraĪając w ten sposób preferencje planisty co do waĪnoĞci stopnia wykorzystania krĊgów bądĨ terminowoĞci rea-lizacji zamówieĔ.

5. Podsumowanie i wnioski

W pracy przedstawiono problem harmonogramowania produkcji w wytwórni blach dachowych, realizowanej na pojedynczej maszynie, w systemie „make to order”. Podczas planowania produkcji naleĪy zapewniü terminową obsługĊ zleceĔ klientów, dbając przy tym o niskie koszty produkcji poprzez optymalne wykorzystanie materiałów wsadowych.

W analizowanym przedsiĊbiorstwie harmonogramy produkcji są tworzone rĊcznie, co jest cza-sochłonne i mało skuteczne. Proponowane dwie heurystyki znacznie usprawniają harmonogramowanie: porównując plany dla zestawu rzeczywistych danych wykazano polepszenie wszystkich parametrów procesu tj. liczby dni niezbĊdnych na wykonanie zamówieĔ, wykorzystanie czasu pracy i liczby przezbrojeĔ maszyny.

Dalsze prace dotyczyü bĊdą dwóch obszarów: poprawy algorytmów (lub utworzenie nowych) i rozszerzenie problemu o dodatkowe kryteria.

Szczególnie interesujące moĪe byü rozszerzenie problemu o logistykĊ transportu do odbiorców. Jest to istotne zagadnienie, jako Īe przedsiĊbiorstwo, własnym lub obcym transportem, zapewnia terminową dostawĊ wytworzonych elementów dachu do lokalnych hurtowni albo wprost na plac budowy klienta, przy czym jeden samochód obsługuje 3 do 7 zamówieĔ. NaleĪy zatem tak dobraü harmonogram produkcji i transportu, by zminimalizowaü łączne koszty, przy zapewnieniu termino-woĞci dostaw do klientów. Planujemy równieĪ przeprowadziü badania problemów o róĪnych rozmiarach (liczbie zadaĔ i rodzin), pochodzących z przedsiĊbiorstw sektora blach dachowych. Bibliografia

[1] Allahverdi A. i in., A survey of scheduling problems with setup times or costs. European Journal of Operational Research, No. 187(3), 2008, s. 985–1032.

[2] Falkenauer E., A new representation and operators for GAs applied to grouping problems. Evolutionary Computation, No. 2(2), 1994, s. 123–144.

[3] Janiak A., Kovalyov M.Y., Single machine scheduling subject to deadlines and resources

dependent processing times. European Journal of Operational Research, No. 94, 1996,

s. 284–291.

[4] Mendez C. i in., State-of-the-art review of optimization methods for short-term scheduling of

batch processes. Computers and Chemical Engineering, No. 30, 2006, s. 913–946.

[5] Potts C.N., Van Wassenhove L.N., A decomposition algorithm for the single machine total

tardiness problem. Operations Research Letters, No. 1(5), 1982, s. 177–181.

[6] Potts C.N., Kovalyov M.Y., Scheduling with batching: a review. European Journal of Operational Research, No. 120, 2000, s. 228–249.

[7] Reeves C.R., Hybrid genetic algorithms for bin-packing and related problems. Annals of Operational Research, No. 63, 1996, s. 371–396.

(7)

[8] Stawowy A., Duda J., Bi-criteria single machine batch scheduling with bounded batch and

job families, (w rĊkopisie).

[9] Uzsoy R., Scheduling a single batch processing machine with non-identical job sizes. Inter-national Journal of Production Research, No. 32, 1994, s. 1615–1635.

[10] Wąsik M., Stawowy A., Algorytmy szeregowania partii produkcyjnych na pojedynczej

maszynie w przemyle przetwórstwa blach stalowych, [w:] Zarządzanie przedsiĊbiorstwem

[Dokument elektroniczny]: teoria i praktyka: XVII miĊdzynarodowa konferencja naukowa: 26–27 listopada 2015, Kraków 2015.

PRODUCTION SCHEDULING IN A STEEL SHEET PROCESSING PLANT Summary

The paper presents the bi-criteria problem of production scheduling that consists in simultaneous grouping products into batches and items scheduling. The motivation to undertake this research was analysis of scheduling process in a steel sheet pro-cessing plant in which orders are processed in make to order system. This problem is a combination of the Bin Packing Problem and the Single Machine Scheduling Prob-lem. The article presents a comparison of actual production schedule with schedules created using simple dedicated heuristic and genetic algorithm. The results show the effectiveness of the heuristics used.

Keywords: production management, lot-sizing, heuristics

Praca realizowana i finansowana w ramach prac statutowych nr 11/11.200. 327 Adam Stawowy

Magdalena Wąsik

Katedra Informatyki Stosowanej Wydział Zarządzania

AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie e-mail: astawowy@zarz.agh.edu.pl