Równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego

(1)

Równania różniczkowe

rzędu drugiego

sprowadzalne do równań

rzędu pierwszego

Autorzy:

Julian Janus

2019

(2)

(1)

(2)

(3)

Równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego

Autor: Julian Janus

W module tym będziemy rozpatrywać równania rzędu drugiego postaci

gdzie jest funkcją ciągłą ze względu na wszystkie swoje zmienne. Rozpatrzymy trzy przypadki. Przypadek I.

Przypadek I. Jeśli

W tym równaniu nie występuje w sposób jawny. Dokonujemy podstawienia:

wtedy i rozpatrywane równanie sprowadza się do równania rzędu pierwszego

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Rozwiązać równanie

Zauważmy, że funkcja , gdzie jest to dowolna stała, jest jednym z rozwiązań równania ( 2 ). Szukamy teraz rozwiązań równania ( 2 ), które nie są tożsamościowo równe stałej.

Stosujemy podstawienie ( 1 ) i wówczas otrzymujemy równanie

które jest równaniem rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielonych. Po przekształceniu do postaci formy różniczkowej i rozdzieleniu zmiennych otrzymujemy

Całkując obustronnie powyższe równanie, dostajemy

gdzie jest dowolną stałą. Stąd wynika, że

Całkując obustronnie powyższe równanie, otrzymujemy

Przypadek II. Przypadek II. Jeśli

W tym równaniu nie występuje w sposób jawny. Dokonujemy podstawienia:

Wtedy, ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, mamy

F(t, y, , ) = 0,

y

′

_y

′′

F

F(t, , ) = 0.

y

′

_y

′′

y

(t) = u(t)

y

′

(t) = (t)

y

′′

_u

′

F(t, u, ) = 0.

u

′

(1 + t

)

2

_y

′′

= (

_y

′

₎

2

.

y(t) ≡ c

c

(1 + t

)

2

_u

′

=

_u

2

=

.

du u2 _(1+t)dt2

− = −

1

+

u 1+t1

c

1

c

1

(t) = u(t) =

.

y

′ 1+t 1− (1+t)c1

y(t) = ∫ (

_{1 − (1 + t)}

1 + t

) dt = ∫ (

−

) dt =

c

1

1 c

1

(1 + t) − 1

c

1

1 − (1 + t)

c

1

1 c

2 1

−c

1

1 − (1 + t)

c

1

−

_c

1 ∫ dt −

∫ (

) dt = − t − ln |1 − (1 + t)| + .

1

1 c

2 1

−c

1

1 − (1 + t)

c

1

1 c

1

1 c

2 1

c

1

c

2

F(y, , ) = 0.

y

′

_y

′′

t

(t) = u(y(t)).

y

′

(t) =

= u

′′ dy

(3)

(4) i rozpatrywane równanie sprowadza się do równania rzędu pierwszego

gdzie jest funkcją zależną od .

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Funkcja jest jednym z rozwiązań równania ( 4 ).

Szukamy teraz rozwiązań równania ( 4 ), które nie są tożsamościowo równe stałej. Stosujemy podstawienie ( 3 ) i otrzymujemy równanie

Ponieważ nie jest tożsamościowo równe zero, więc powyższe równanie jest równoważne równaniu

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, które po przekształceniu do formy różniczkowej i rozdzieleniu zmiennych można zapisać następująco

Całkując obustronnie powyższe równanie, otrzymujemy

gdzie jest to dowolna stała większa od zera. Stąd mamy, że

gdzie dowolna stała różna od zera. Po rozdzieleniu zmiennych dostajemy równanie

które następnie obustronnie całkujemy i wówczas otrzymujemy

Rozwiązaniem równania ( 4 ) jest zatem funkcja

Przypadek III. Przypadek III.

Równania różniczkowe jednorodne rzędu drugiego.

(t) =

= u

y

′′ du dy dydt dudy

F(y, u, u ) = 0,

du dy

u

y

−

= 0.

y

′′

(y

′

)

2

y

y(t) ≡ c

u

du

_dy

−

u

_y

2

= 0.

u

− = 0.

du

dy

u

y

=

.

du

u

dy

y

ln |u| = ln |y| + ln c,

c

= u = y ⋅ c,

y

′

c

= c ⋅ dt,

dy y

ln |y| = ct + ln | |.

c

1

y(t) = ⋅ .

c

1

e

ct

(4)

(5) (6)

DEFINICJA

Definicja 1:

Równanie

nazywamy równaniem jednorodnym stopnia równaniem jednorodnym stopnia jeżeli dla każdego mamy

W celu rozwiązania równania ( 5 ) dokonujemy podstawienia

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu powyższej funkcji: i podstawieniu do równanie ( 5 )

przyjmuje ono postać

F(t, y, , ) = 0

y

′

_y

′′

n,

λ ∈ R

F(t, λy, λ , λ ) = F(t, y, , ).

y

′

_y

′′

_λ

n

_y

′

_y

′′

y(t) =

e

u(t)

.

=

,

= ((

+ )

y

′

_e

u

_u

′

_y

′′

_e

u

_u

′

₎

2

_u

′′

F(t, ,

e

u

_e

u

_u

′

, ((

_e

u

_u

′

₎

2

+ )) = 0.

_u

′′

(5)

(7)

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Zauważmy, że funkcja jest jednym z rozwiązan równania ( 7 ).

Szukamy teraz rozwiązań równania ( 7 ), które nie są tożsamościowo równe stałej. Równanie ( 7 ) jest równaniem jednorodnym ( 2 ), ponieważ

Stosujemy podstawienie ( 6 ) i otrzymujemy równanie

Po przekształceniach otrzymujemy

Jest to typ równania omawiany w przypadku Iprzypadku I, zatem stosujemy podstawienie i otrzymujemy równanie rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielonych

Po scałkowaniu stronami ostatniego równania, mamy

gdzie jest to dowolna stała większa od zera.

Stąd gdzie jest to dowolna stała różna od zera. Po scałkowaniu ostatniej równości otrzymamy gdzie jest to dowolna stała.

Rozwiązanie równania ( 7 ) ma zatem postać

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-16 01:33:31

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=15b464df83a4923186feccb48c06412a

Autor: Julian Janus

y + t(

y

′

_y

′

₎

2

− ty = 0.

_y

′′

y(t) ≡ c

F(t, λy, λ , λ ) =

y

′

_y

′′

_{λyλ + t(λ}

_y

′

_y

′

₎

2

_{− tλyλ = (y + t(}

_y

′′

_λ

2

_y

′

_y

′

₎

2

_{− ty ) =}

_y

′′

F(t, y, , ).

λ

2

_y

′

_y

′′

+ t(

− t ((

+ ) = 0.

e

2u

_u

′

_e

u

_u

′

₎

2

_e

2u

_u

′

₎

2

_u

′′

t = .

u

′′

_u

′

z = u

′

t = z ⟺

z

′ dz

= .

z dtt

ln |z| = ln |t| + ln c

1

c

1

= z = t ,

u

′

_c

₁

_c

₁

u =

t2

+ ,

2

c

1

c

2

c

2

y(t) =

e

t2 +

.

2c1 c2