Dynamika ruchu obrotowego bryy sztywnej

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html

Miejsce konsultacji: pokój 27 bud. A-1

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Katedra Optyki i Fotoniki

Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

Wykład FIZYKA I

ŚRODEK MASY

 Każde ciało można traktować jako układ punktów materialnych. Dlatego pęd ciała możemy obliczyć jako sumę pędów wszystkich punktów materialnych ciała:







n i i i

v

m

p

1





 Podstawiając wyrażenie na prędkość każdego punktu materialnego:









   









n i i i n i i i n i i i n i i i

m

r

dt

d

dt

r

m

d

dt

r

d

m

v

m

p

1 1 1 1

)

(











 Środkiem masy albo środkiem bezwładności układu punktów materialnych nazywamy punkt, którego położenie dane jest wzorem:







n i i i S

m

r

M

r

1

1





_gdzie:







n i i

m

M

1

 

r dr M r_S  1



 

ŚRODEK MASY

 Po podstawieniu do wyrażenia na pęd, otrzymamy:





S _S S

M

v

dt

r

d

M

r

M

dt

d

p









_

_

_

 Równanie ruchu środka masy układu:

wyp S S

_M

_a

_F

dt

v

d

M











Środek masy układu porusza się jak punkt materialny, w którym skupiona jest cała masa układu, i na który działa siła, równa wypadkowej sił zewnętrznych przyłożonych do układu.

ŚRODEK MASY

 Ciało ma środek masy zawsze – bez względu na to, czy działa na nie siła grawitacji.

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI

S

C

r

r







 Środek ciężkości ciała to punkt przyłożenia wypadkowej sił ciężkości („ciężarów”) wszystkich punktów materialnych ciała. Gdy wielkość g (przyspieszenie grawitacyjne) jest jednakowa dla wszystkich punktów układu, mamy:

 W przypadku ciał symetrycznych – środek masy znajduje się w środku geometrycznym ciała.

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI

 W przypadku ciał symetrycznych – środek masy znajduje się w środku geometrycznym ciała.

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI

 Manipulacja środkiem ciężkości (i nie tylko)

DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO

 Każde ciało możemy uważać za układ n punktów materialnych, których suma mas równa się całkowitej masie M ciała:







n i i

m

M

1

 Ciało doskonale sztywne to takie ciało, w którym odległości między dwoma dowolnymi jego punktami materialnymi nie zmieniają się w trakcie ruchu (dalej nazwiemy je ciałem sztywnym lub bryłą sztywną).

DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO

 Rozważmy ruch ciała sztywnego wokół punktu O, zwanego środkiem obrotu ciała. Umieśćmy w tym punkcie początek układu współrzędnych. Niech F_ik oznacza siłę, z jaką k-ty punkt działa na punkt i-ty (siły wewnętrzne) a F_i wypadkową wszystkich sił zewnętrznych, przyłożonych do punktu i-tego.

i k

ik

F



 II zasada dynamiki Newtona dla _{i-tego punktu:}





_

 





n i k k i ik i i

v

F

F

m

dt

d

, 1







i

F

DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO

 Mnożymy równanie ruchu stronami wektorowo przez :

_r



_i





_

 











n i k k i i ik i i i i

m

v

r

F

r

F

dt

d

r

, 1













 Pochodną względem czasu z lewej strony równania możemy wyłączyć przed znak iloczynu wektorowego (dlaczego!? – ćwiczenia rachunkowe):







_{i i i}



K

_i

dt

d

v

m

r

dt

d



_



_



nazywamy momentem pędu (krętem) i-tego punktu materialnego względem osi O.

K

i

DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO

 Moment pędu (kręt) punktu materialnego i względem punktu O.

 

_i

_i

i

i

r

m

v

K











 Moment siły względem punktu O:

i

F



i

i

i

r

F

M











czyli: „moment” oznacza (matematycznie) mnożenie lewostronne przez wektor położenia (promień wodzący)

i

DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO

 Używając opisanej symboliki, możemy zapisać nasze równanie jako:

i n i k k ik i i

M

F

r

dt

K

d



_



_



_





 1,

 Dodajemy stronami równania wszystkich punktów materialnych ciała:









    



















n i i n i n i k k ik i n i i

_r

_F

_M

dt

K

d

1 1 1, 1









dt K d dt K d n i i   



1 M M n i i   



1

0

1 1,





















   n i n i k k ik i

F

r





- to moment główny sił zewnętrznych (wypadkowy)

to moment pędu ciała względem punktu O

K



DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO



Ostatecznie:

Szybkość zmiany momentu pędu ciała obracającego się dookoła nieruchomego punktu równa się wypadkowemu momentowi (względem tego punktu) wszystkich sił zewnętrznych, przyłożonych do ciała – zasada dynamiki ruchu obrotowego ciała zamocowanego w jednym, nieruchomym punkcie.

M

dt

K

DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO

 Załóżmy teraz, że ciało sztywne umocowane jest w dwóch punktach tak, że może obracać się wokół nieruchomej osi przechodzącej przez te punkty – przyjmijmy, że jest to oś „z”. Wtedy składowe „x” i „y” momentu siły są zrównoważone przez siły reakcji zamocowania, a obrót wokół osi „z” odbywa się pod działaniem składowej momentu sił zewnętrznych:

M z M z z

_M

dt

dK

_

Szybkość zmiany momentu pędu ciała względem nieruchomej osi obrotu równa się wypadkowemu momentowi (względem tej osi) sił zewnętrznych działających na ciało. z O

K



F



r



M



DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO

 Całkowity moment pędu ciała względem osi „z” jest równy sumie momentów pędu każdego punktu materialnego:







n i iz z

K

K

1





2

cos

cos

_{i i i i i i i i i i} z iz

K

r

m

v

m

v

m

K



















We współrzędnych biegunowych:

wobec tego całkowity moment pędu ciała:







n i i i z

m

K

1 2





DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO

 Wielkość:

nazywamy momentem bezwładności ciała względem osi „z”.







n i i i z

m

I

1 2



 W przypadku granicznym ciała „rozciągłego” sumowanie zastępujemy całkowaniem:





m z

dm

I

0 2



 Ostatecznie otrzymujemy związek między momentem pędu ciała i prędkością kątową obrotu:



z

z

I

DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO

 Wykorzystanie związku: pozwala na wyrażenie

podstawowej zasady dynamiki ruchu obrotowego:

z z M dt dK _

 

_z



_z



_z



z

I

dt

d

I

I

dt

d

M







Przyspieszenie kątowe ciała sztywnego, obracającego się wokół nieruchomej osi, jest wprost proporcjonalne do wypadkowego momentu (względem tej osi) wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności ciała względem tej osi.

z z

I

M





m

F

a



MOMENT BEZWŁADNOŚCI

 Moment bezwładności jest więc miarą bezwładności ciała w ruchu obrotowym (analogia masy jako miary bezwładności w ruchu postępowym).

 Przykładowe momenty bezwładności brył:

Ciało Położenie osi Moment bezwładności

pusty cienkościenny walec o masie m i promieniu R

oś symetrii pełny walec (tarcza) o masie

m i promieniu R

oś symetrii kula o masie m i promieniu R oś symetrii cienki pręt o masie m i

długości L

oś prostopadła do pręta, przechodzi przez jego środek

2

mR

I



 

2

2

1

mR

I



 

2

5

2

mR

I







2

12

1

mR

I



TWIERDZENIE STEINERA

(TWIERDZENIE O OSIACH RÓWNOLEGŁYCH)

 Załóżmy, że znamy moment bezwładności ciała względem osi obrotu, przechodzącej przez środek masy tego ciała, ale ciało obraca się względem innej osi, równoległej do niej:

d

O O’

m

Moment bezwładności ciała I względem dowolnej osi O równa się momentowi bezwładności I’ tego ciała względem innej, równoległej do niej osi O’, przechodzącej przez środek masy tego ciała, powiększonemu o iloczyn masy tego ciała przez kwadrat odległości między tymi osiami.

2

' md

I

I





Wniosek: Gdy środek masy ciała oddala się od osi obrotu, to moment bezwładności ciała względem tej osi wzrasta.

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU



Z zasady dynamiki ruchu obrotowego:

wynika wprost:

M

dt

K

d



_







 

K

const

 

t

dt

K

d

M

















_











0

0

Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu ciała równa się zeru, to moment pędu ciała względem tego punktu nie zmienia się w czasie.

 Można pokazać, że również: moment pędu zamkniętego układu ciał względem dowolnego punktu nieruchomego jest stały.

 Podobnie: jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy zeru, to moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.

TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI

 Rozważmy obrót ciała o dowolnym kształcie wokół osi przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Prędkość i-tego punktu względem początku układu: Stąd wyrażenie na moment pędu całego ciała:

Skorzystamy z tożsamości wektorowej:

Podstawiając, otrzymujemy: i i

r

v

















_







 











n i i i i n i i i i

m

v

m

r

r

r

K

1 1















 

b

c

b

 

a

c

c

 

a

b

a

















































n i i i i i

r

r

r

m

K

1 2















TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI

 Wszystkie punkty mają tę samą prędkość kątową, możemy więc zapisać powyższe równanie wektorowe jako układ trzech równań dla poszczególnych składowych





(tu tylko dla „x”):









 







n i i i i n i i i x x

m

r

m

x

r

K

1 1 2









 Ponieważ: otrzymujemy: z i y i x i i

x

y

z

r

























_

_











_{x i i i y i i i z i i i} x

m

r

x

m

x

y

m

x

z

K



2 2





TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI

 Podobne równania możemy napisać dla składowych „y” i „z” i ostatecznie równanie, wiążące wektor momentu pędu K z pseudowektorem prędkości kątowej ,przyjmie postać:

















































z y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx z y x

I

I

I

I

I

I

I

I

I

K

K

K







,

,

 Macierz z prawej strony równania to tensor bezwładności a jego elementy nazywamy współczynnikami bezwładności lub momentami bezwładności.

 Tensor bezwładności jest symetryczny, to znaczy:

yx xy

I

TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI

 Wyraz przekątny (tu np. „xx”):

jest sumą iloczynów każdej z mas cząstkowych przez kwadrat jej odległości od danej osi (tu „x”), więc możemy go nazwać momentem bezwładności względem tej osi.





_















2 2 2 2 i i i i i i xx

m

r

x

m

y

z

I

 W przypadku ciągłego rozkładu masy z gęstością współczynniki tensora możemy zapisać w postaci całek, na przykład:

 

r 

 

r



r

x



dV

I

_xx









2



2

 

r

xydV

I

_xy









