Liniowe równania różniczkowe rzędu pierwszego

Liniowe równania

różniczkowe rzędu

pierwszego

Autorzy:

Vsevolod Vladimirov

2019

(1)

(2)

Liniowe równania różniczkowe rzędu pierwszego

Liniowe równania różniczkowe rzędu pierwszego

Liniowym niejednorodnym równaniem różniczkowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci

gdzie - wiadome funkcje, przy czym zakładamy że nie równa się tożsamosciowo zeru. Stowarzyszonym równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci

Po przemnożeniu tego równania przez otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych:

Stąd, po stałkowaniu otrzymjemy

Rozwiązanie problemu niejednorodnego uzyskujemy metodą uzmienniania stałejmetodą uzmienniania stałej. Polega ona na zamianie stałej w powyższeym wzorze przez pewną nieznaną funkcję .

Rozwiązanie poszukujemy w postaci , . Po

podstawieniu do równania wyjściowego otrzymamy:

Zatem . Stąd już łatwo można otrzymać postać rozwiązania ogólnego problemu niejednorodnego:

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Z postaci równania odczytujemy że , natomiast . Do policzenia mamy całkę

oraz całkę

Rozwiązanie Rozwiązanie

Rozwiązanie ogólne równania ( 2 ) ma postać

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:23:56

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?

+ p(t) x(t) = q(t),

p(t), q(t)

q(t)

+ p(t) (t) = 0.

x

= −p(t) dt.

= C

,

C ∈ R.

x

e

C

C(t)

x(t) = C(t) e

_{F(t) = ∫ p(t) dt}

= q(t)

lub dC = q(t)

dt.

e

e

C(t) =

C

+ ∫ q(t)

e

dt

x(t) =

e

( + ∫ q(t)

_C

_e

dt) , F(t) = ∫ p(t) dt.

+ x(t) = t

p(t) = 1

q(t) = t

F(t) = ∫ p(t) dt ≡ ∫ dt = t.

∫

e

q(t) dt = ∫ t dt = (t − 1).

_e

_e

x(t) =

e

( + (t − 1)).

_C

_e

link=60e87d4346a90aacb3269ba26a3c8d6e