Zajecia

Podstawy matematyki

Wykład 4 - Dobry porządek, indukcja, funkcje, bijekcje

Oskar Kędzierski 19 kwietnia 2020

Porządek – przypomnienie

RelacjęR _{⊂ X × X} nazywamy

porządkiem

i) zwrotna, tzn. ∀x∈X xRx,

ii) antysymetryczna, tzn.∀x∈X∀y∈X xRy∧ yRx→x = y,

iii) przechodnia, tzn. ∀x∈X∀y∈X∀z∈X xRy∧ yRz→xRz.

Jeśli jest dodatkowo spójna, tzn. ∀x∈X∀y∈X xRy∨ yRx ∨ x = y,to

nazywamy ją relacją

porządku liniowego

Uwaga

Relacja pusta jest relacją porządku liniowego jedynie na zbiorze pustym. JeślixRy to mówimy, że x jest elementem

mniejszym lub

równym

większym lub równym

od

mniejszym

większym

Porządek liniowy – przykład

Dla zbioru X = R (lubX = N, Z) relacja xRy _{↔ x ≤ y} jest relacją

porządku liniowego. Dla dowolnych x, y , z ∈ X

i) x _{≤ x},

ii) x _{≤ y ∧ y ≤ x→x = y,}

iii) x _{≤ y ∧ y ≤ z→x ≤ z,}

Elementy wyróżnione

Niech 4⊂ X × X będzie porządkiem.

Definicja

Element a_{∈ X} nazywamy elementem

i)

największym

ii)

najmniejszym

iii)

maksymalnym

iv)

minimalnym

To znaczy, element największy (odp. najmniejszy) jest większy (odp. mniejszy) lub równy od wszystkich pozostałych elementów, a element maksymalny (odp. minimalny), to taki, dla którego nie istnieje element od niego większy (odp. mniejszy).

Elementy wyróżnione cd.

Stwierdzenie

W zbiorze X z relacją porządku4 istnieje co najwyżej jeden

element największy (odp. najmniejszy). Gdy istnieje, jest on zarazem jedynym elementem maksymalnym (odp. minimalnym).

Dowód.

Przypuśćmy, że a, b_{∈ X} są elementami największymi w X. Wtedy a 4 b orazb 4 a, co z antysymetryczności dajea= b. Niecha_{∈ X}

będzie elementem największym oraz b_{∈ X} elementem

Elementy wyróżnione cd.

Stwierdzenie

W niepustym zbiorze skończonym X z relacją porządku 4⊂ X × X

istnieje element maksymalny i minimalny.

Dowód.

Przypuścimy przeciwnie, że wszystkie elementy w X nie są

maksymalne.

a_{∈ X} nie jest maksymalny_↔∃x∈X a 4 x _{∧ a 6= x,}

zatem, dla każdego elementu w X istnieje element od niego

większy. ElementyX można ustawić w ciąg x₁ 4x₂, x₂ 4x₃, x₃4x₄, . . .

gdzie xi 6= xj dlai < j (jeślixi = xj, to z przechodniości i

Przykłady

Niech X _{⊂ N}>0 będzie zbiorem z relacją porządku 4zadaną

warunkiem

m 4 n_↔m|n.

Wtedy, gdy

i) X =_{2,22,23, . . ._}, to 2 jest elementem najmniejszym (i

zarazem jedynym elementem minimalnym), element maksymalny nie istnieje,

ii) X ={3,2,22,23, . . .}, to nie istnieje element największy i

najmniejszy, 3 jest elementem maksymalnym i minimalnym, 2 jest elementem minimalnym,

iii) X =_{1,2,22,23_}, to 1 jest jedynym elementem najmniejszym

i minimalnym, 23 jest jedynym elementem największym i

maksymalnym,

iv) X ={2,3}, to nie istnieje element największy i najmniejszy, 2 i

Ograniczenia górne i ograniczenia dolne

Niech 4⊂ X × X będzie porządkiem (częściowym). NiechA_{⊂ X}

będzie podzbiorem zbioru X.

Definicja

Element a_{∈ X} nazywamy

ograniczeniem górnym

Element a_{∈ X} nazywamy

ograniczeniem dolnym

Uwaga

Dowolny element a_{∈ X} zbioru X jest ograniczeniem górnym i

Kres górny i kres dolny

Niech 4⊂ X × X będzie porządkiem (częściowym). NiechA_{⊂ X}

będzie podzbiorem zbioru X.

Definicja

Niech B będzie zbiorem wszystkich ograniczeń górnych zbioru A.

Kresem górnym

(o ile istnieje) i oznaczamy sup A.

Niech B będzie zbiorem wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A.

Kresem dolnym

(o ile istnieje) i oznaczamy inf A.

Uwaga

Kraty

Niech 4⊂ X × X będzie porządkiem (częściowym). Definicja

ZbiórX wraz z porządkiem częściowym4nazywamykratą, jeśli dla

dowolnych dwóch elementów x, y_{∈ X} istnieją x_{∨ y = sup{x, y},}

x_{∧ y = inf{x, y}.}

Kratę nazywamyograniczoną, jeśli wX istnieją elementy największy

(oznaczany 1∈ X) oraz najmniejszy (oznaczany 0∈ X). Przykład

Dla dowolnego zbioru A, zbiór potęgowymP(A)wraz z relacją inkluzji⊂

jest kratą ograniczoną. Dodatkowo, jeśliX, Y ∈ P(A), to X_{∨ Y = X ∪ Y ,}

Kraty

Stwierdzenie

Niech zbiór X z relacją porządku 4będzie kratą. Wtedy dla

dowolnych x, y , z ∈ X i) x 4 y _{↔ x ∨ y = y}, ii) x 4 y _{↔ x ∧ y = x}, iii) x_{∨ x = x}, iv) x_{∧ x = x}, v) x_{∨ y = y ∨ x}, vi) x_{∧ y = y ∧ x}, vii) (x_{∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z)}, viii) (x_{∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z)}, ix) x_{∧ (x ∨ y) = x}, x) x_{∨ (x ∧ y) = x}.

Kraty cd.

Dowód.

vii) z definicji zachodzą warunki (elementy są mniejsze od swoich ograniczeń górnych)

x 4 x_{∨ y 4 (x ∨ y) ∨ z,} y 4 x_{∨ y 4 (x ∨ y) ∨ z,}

z 4(x_{∨ y) ∨ z.}

Element (x_{∨ y) ∨ z} jest ograniczeniem górnym elementu y

oraz elementu z, stąd

(y_{∨ z) 4 (x ∨ y) ∨ z.}

Zatem element(x_{∨ y) ∨ z} jest ograniczeniem górnym

elementu x oraz elementu y_{∨ z}, skąd x_{∨ (y ∨ z) 4 (x ∨ y) ∨ z.}

Kraty cd.

Dowód. ix)

x) z punktów i), ii) oraz

x 4 x_{∨ y, x ∧ y 4 x.}

Wniosek

Niech zbiór X z relacją porządku 4będzie kratą.

i) dla dowolnych x, y , z _{∈ X}

x_{∨ y ∨ z = sup{x, y, z},} x_{∧ y ∧ z = inf{x, y, z},}

Kraty cd.

Wniosek

iii) jeśliX jest kratą ograniczoną, to dla dowolnegox _{∈ X} x_∧1= x,

x_∧0=0, x_∨1=1, x_∨0= x.

Krata rozdzielna

Niech zbiór X z relacją porządku 4będzie kratą.

Definicja

Mówimy, że krata X jest

rozdzielna

dowolnych x, y , z _{∈ X}

x_{∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z),} x_{∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z).}

Przykład

Niech x, y , z ∈ X będą nieporównywalnymi, parami różnymi

elementami kraty X. Niech 0,1_{∈ X} będą ograniczeniami

odpowiednio dolnym i górnym, różnymi od x, y , z. Wtedy x = x_{∧ (y ∨ z) 6= (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) =}0,

Krata zupełna

Niech zbiór X z relacją porządku 4będzie kratą.

Definicja

Mówimy, że krata X jest

zupełna

Algebry Boole’a

Definicja

Ograniczoną rozdzielną kratę X z porządkiem4nazywamyalgebrą

Boole’ajeśli dla dowolnego elementux _{∈ X} istnieje jegodopełnienie ¬x ∈ X, tj. element spełniający warunki

x_{∨ ¬x =}1, x_{∧ ¬x =}0. Uwaga

Dopełnienie jest jednoznacznie wyznaczone. Niech y, z _{∈ X} spełniają

warunki

x_{∨ y = x ∨ z =}1, x_{∧ y = x ∧ z =}0.

Wtedy

y = y_∧1= y_{∧ (x ∨ z) =}0_{∨ (y ∧ z) = y ∧ z,}

Algebry Boole’a

Stwierdzenie

Niech krata X z porządkiem 4będzie algebrą Boole’a. Wtedy dla

dowolnych x, y , x′, y′∈ X i) ¬¬x = x, ii) ¬0=1, _¬1=0, iii) ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y, iv) ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y, v) jeślix 4 y, x′ 4y′, tox∨ x′ 4y∨ y′ orazx∧ x′ 4y∧ y′,

vi) x 4 y _{↔ ¬y 4 ¬x ↔ x ∧ ¬y =}0.

Dowód.

i) wynika z jednoznaczności dopełnienia,

Algebry Boole’a cd.

iii) jeślix_{∧ x}′ 4x 4 y oraz x∧ x′ 4x′ 4y′, to x∧ x′ 4y∧ y′,

iv) (_→)jeślix 4 y oraz _{¬y 4 ¬y}, to

x_{∧ ¬y 4 y ∧ ¬y =}0, (_←)jeśli_{¬x ∨ y =}1, to

Atomy, atomowe algebry Boole’a

Niech krata X z porządkiem 4będzie algebrą Boole’a.

Definicja

Dla x, y _{∈ X} definiujemy

x _{≺ y ↔ x 4 y} orazx _{6= y.}

Definicja

Element a_{∈ X} nazywamy

atomem

i) 0≺ a,

ii) nie istnieje elementx _{∈ X} taki, że 0_{≺ x ≺ a}.

Zbiór atomów w X oznaczamy przezAt X. Algebrę X nazywamy

atomową algebrą Boole’a

Własności atomów

W dowodzie poniższego stwierdzenia będzie wykorzystywana równoważność

x 4 y _{↔ x ∧ ¬y =}0. (⋆)

Niech krata X z porządkiem4będzie algebrą Boole’a. Stwierdzenie

Niech a_{∈ X}. Następujące warunki są równoważne

i) ajest atomem wX,

ii) dla każdegox_{∈ X} zachodzia 4 x albo a 4_¬x (tzn. oba warunki

nie zachodzą naraz),

iii) 0≺ aoraz dla dowolnychx, y_{∈ X} zachodzi a 4 x_{∨ y ↔ a 4 x} luba 4 y,

iv) 0≺ aoraz dla dowolnychx, y_{∈ X} zachodzi a 4 x_{∧ y ↔ a 4 x} oraza 4 y.

Własności atomów cd.

Dowód.

i)→ii) jeśli nie zachodzia 4 x, to nie zachodzi także

0≺ a ∧ ¬x 4 a, ponieważ ajest atomem, toa 4_¬x. Jeślia 4 x

albo a 4_¬x, to a_{∧ a 4 x ∧ ¬x =}0.

ii)_→iii) implikacja_← zachodzi zawsze, boa 4 x 4(x_{∨ y)} oraz a 4 y 4(x _{∨ y)}. Przypuśćmy, żea 4 x_{∨ y} ale nie zachodzia 4 x.

Wtedy, a 4_¬x oraz

a= a∧ a 4 (x ∨ y) ∧ ¬x =0∨ (¬x ∧ y) = (¬x ∧ y) 4 y.

Własności atomów cd.

Dowód.

iii)→i) niech 0≺ x ≺ a. Wtedy

a= a∧1= a∧ (x ∨ ¬x) = x ∨ (a ∧ ¬x).

Z punktu iii) zachodzi

a 4 x alboa 4 a_{∧ ¬x,}

przy czym pierwszy warunek jest sprzeczny z założeniem, a drugi daje a= a_{∧ ¬x}, czylia 4_¬x. Z warunku (⋆) zachodzi

Klasyfikacja skończonych algebr Boole’a

Niech X będzie atomową zupełną algebrą Boole’a. Odwozorowanie

zadane wzorem

f: X ∈ x 7→ {a ∈ At: a 4 x} ∈ P(At X ),

i) jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym,

ii) dla dowolnych x, y ∈ X

f(x∨ y) = f (x) ∪ f (y), f(x_{∧ y) = f (x) ∩ f (y),} f(¬x) = [f (x)]′ = X \ f (x), x 4 y _{↔ f (x) ⊂ f (y),} iii) f(0) =_∅, iv) f(1) = At X.

Klasyfikacja skończonych algebr Boole’a cd.

Dowód.

Warunki iii)iiv)są oczywiste. W warunków ii)_{− iv)}

charakteryzacji elementów atomowych, dla dowolnego x_{∈ X} f(x)_{⊔ f (¬x) = At X ,}

f(x_{∨ y) = f (x) ∪ f (y),} f(x_{∧ y) = f (x) ∩ f (y).}

Klasyfikacja skończonych algebr Boole’a cd.

Dowód.

Różnowartościowość:

(tzn. nie zachodzi x 4 y). Ponieważ algebraX jest atomowa, to

istnieje a_{∈ At X} taki, że

0≺ a 4 x ∧ ¬y, co jest równoważne a 4 x oraz a 4_¬y, czyli a_{∈ f (x)} oraza_{∈ f (y),}/ skąd f(x)_{6= f (y)}.

Klasyfikacja skończonych algebr Boole’a cd.

Dowód.

Surjektywność:

:

Y′ _{⊂ [f (s)]}′

:

0≺ a 4 b, skąd, z charakteryzacji atomów, dla dowolnego b_{∈ Y}

zachodzi a 4_{6= b}, czyli a_{∧ b =}0, skąd z rozdzielnościa_{∧ s =}0.

Klasyfikacja skończonych algebr Boole’a cd.

Stwierdzenie

Każda skończona algebra Boole’a jest atomowa i zupełna.

Dowód.

Nie istnieje nieskończony ciąg

0≺ . . . ≺ a3≺ a2≺ a1.

sup_{a1, . . . , an} = a1∨ . . . ∨ am,

inf_{a1, . . . , an} = a1∧ . . . ∧ am.

Wniosek

Każda skończona algebra Boole’a X jest izomorficzna z algebrą P(At X ).

Klasyfikacja skończonych algebr Boole’a cd.

Wniosek

Dowolna skończona algebra Boole’a X jest izomorficzna a algebrą

Boole’a P(At X )i ma 2n elementów. Dodatkowo, dwie skończone

algebry Boole’a są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy maja taką samą liczbę elementów.

Relacja dobrego porządku

Definicja

Relację 4⊂ X × X porządku liniowego naX nazywamy relacją

dobrego porządku

∀A⊂X A6= ∅ → ∃a∈A∀x∈Aa 4 x,

tzn. w każdym niepustym podzbiorze Azbioru X istnieje element

najmniejszy

Stwierdzenie

Porządek ≤na zbiorze liczb naturalnychNjest dobrym porządkiem.

Dowód.

Relacja dobrego porządku cd.

Przykład

Relacje ≤lex oraz≤grlex są relacjami dobrego porządku na Nn.

Dowód.

Dla ≤lex. Niech A⊂ Nn, A6= ∅. Definiujemy rekurencyjnie rodzinę

niepustych zbiorów A₀, . . . , An⊂ Nn A₀ = A, Ak ={α ∈ Ak−1 | πk(α) elt. najmniejszy w πk(Ak−1)}, dla k =1, . . . , n, gdzie πk: Nn→ N, πk(α1, . . . , αn) = αk ∈ N,

jest rzutowaniem na k-tą współrzędną. Wtedy An={α}, gdzie

Indukcja pozaskończona

Niech relacja 4na zbiorze X będzie relacją

dobrego porządku

Stwierdzenie

Jeśli P(x)jest funkcją zdaniową zakresem zmienności równym

zbiorowi X, spełniającą warunek

∀y∈X(∀x∈X x 4 y ∧ x 6= y→P(x)) →P(y),

(tzn. z prawdziwości funkcji P(x)dla wszystkich elementów x

mniejszych od y, wynika prawdziwość P(y )), to ∀x∈X P(x),

Indukcja pozaskończona cd.

Dowód.

Niech

A=_{{x ∈ X | ¬P(x)}}

będzie zbiorem tych elementów x _{∈ X}, dla których P(x)nie jest

prawdą. Jeśli zbiórA jest niepusty, to istnieje w nim element

najmniejszy a_{∈ A}. Wtedy, jeślib 4 aoraz b_{6= a}, to zachodzi P(b)

(w przeciwnym razie b _{∈ A}, co stoi w sprzeczności z tym, że ajest

elementem najmniejszym w A). Z założenia stwierdzenia, P(b)

zachodzi dla elementów b _{∈ X} mniejszych od a, zatem zachodzi

Zasada indukcji matematycznej

Stwierdzenie

Niech P(n) będzie funkcją zdaniową z zakresem zmienności

równym zbiorowi liczb naturalnych, spełniającą warunki:

i) zdanie P(0)jest prawdziwe,

ii) dla dowolnego n_{∈ N}, z prawdziwości zdań P(0), . . . , P(n)

wynika prawdziwość zdania P(n +1).

Wtedy zdanie P(n) jest prawdziwe dla dowolnego n_{∈ N}.

Dowód.

Wynika z indukcji pozaskończonej dla relacji dobrego porządku ≤

na zbiorze N.

Uwaga

Prawdziwość P(0) konieczna jest, aby warunek indukcji

Indukcja – przykład

(przez indukcję matematyczną)

i) dla n=0 wzór jest prawdziwy,

ii) załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla k < n +1. Wtedy

02₊₁2_{+ . . . + n}2_{+ (n +1)}2 ₌ n(n +1)(2n+1) 6 + (n +1)2 = = (n +1)n(2n+1) +6(n +1) 6 = (n +1)2n 2₊7_n+6 6 = = (n +1)(n +2)(2n+3) 6 = (n +1)((n +1) +61)(2(n +1) +1).

Wzór Faulhabera

gdzie B₂, . . . , Bm są

liczbami Bernoulliego

współczynnikami szeregu Taylora

x ex₋1 = ∞ X k=0 Bkxk k! = =1₋x 2 +x 2 12 − x 4 720+ x 6 30240 − x 8 1209600+ x 10 47900160 + . . . W szczególności, dla m=2 n X k=1 k2 = n3 3 + n 2 2 +121 ·2· n = n (n +1) (6 2n+1).

Funkcje – przypomnienie

Definicja

Relację R_{⊂ X × Y} nazywamy

funkcją częściową

tzn. każdy x _{∈ X} jest w relacji z

co najwyżej jednym

zbioru Y.

Definicja

Relację R_{⊂ X × Y} nazywamy

funkcją

tzn. każdy x _{∈ X} jest w relacji z

dokładnie jednym

Kwantyfikator jednoznaczności

Definicja

Dla dowolnej funkcji zdaniowej P(x)zdanie ∃!xP(x)jest

równoważne zdaniu

∃xP(x)∧ ∀y∀z(P(y )∧ P(z)→y = z) .

Kwantyfikator ∃! nazywamy

kwantyfikatorem jednoznaczności

Uwaga

Z definicji

¬ (∃!xP(x))↔ [(∀x¬P(x)) ∨ (∃y∃zP(y )∧ P(z) ∧ y 6= z)] ,

zatem zaprzeczeniem zdania „istnieje dokładnie jeden x taki, że P(x)” jest zdanie „nie istniejex taki, że P(x)lub istnieją dwa różne x, y takie, żeP(x)orazP(y ).

Funkcje – przypomnienie cd.

Przykład

Dla X =_{1,2_} dane są relacjeR, S, T _{⊂ X × X}

R=_{(1,1), (1,2)_{}, S = {(}1,2)_{}, T = {(}1,1), (2,1)_}.

Relacja R nie jest funkcją, relacjaS jest funkcją częściową, ale nie

jest funkcją.

Funkcje – notacja

Definicja

Jeśli relacja R_{⊂ X × Y} jest funkcją, to piszemy R: X → Y .

Dla każdego x_{∈ X} istnieje jednoznacznie wyznaczony element y _{∈ Y}, taki, żexRy. Oznaczamy go przez R(x). To znaczy, dla

funkcji R

y = R(x)_{↔ xRy.}

Piszemy też

R: X _{∋ x 7→ R(x) ∈ Y .}

Zbiór X nazywamy

dziedziną

przeciwdziedziną

Uwaga

Identyczność i złożenie

Definicja

Dla dowolnego zbioru X funkcjęidX : X → X zadaną warunkiem

idX(x) = x,

nazywamy funkcją

identycznościową

identycznością

Definicja

Dla funkcji f : X _{→ Y , g : Y → Z}

złożeniem

funkcję g_{◦ f : X → Z} daną warunkiem (g _{◦ f )(x) = g(f (x)).}

Uwaga

Jako relacja g _{◦ f = f · g}, gdzie po lewej stronie stoi złożenie

relacji, oznaczane „·”. Zmiana kolejności w zapisie złożenia dla

Złożenie funkcji – cd

Złożenie funkcji cd.

Stwierdzenie

Dla dowolnych funkcji f: X _{→ Y , g : Y → Z , h : Z → W} h_{◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f .}

Dowód.

(h_{◦ (g ◦ f ))(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g(f (x))) = (h ◦ g)(f (x)) =} = ((h◦ g) ◦ f )(x).

Przykłady

i) dla dowolnej funkcjif: X _{→ Y} zachodziidY ◦ f = f ◦ idX = f ,

ii) dla funkcjif, g : R→ R danych wzoramif(x) = x2, g(x) = x +3 zachodzi

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2) = x2+3, (f _{◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x +}3) = (x +3)2, (g _{◦ g)(x) = g(g(x)) = g(x +}3) = x +6, (f _{◦ f )(x) = f (f (x)) = f (x}2) = x4.

Obrazy i przeciwobrazy

Niech f: X → Y będzie funkcją.

Definicja

Dla dowolnego zbioru A_{⊂ X}

obrazem

nazywamy zbiór

f(A) ={y ∈ Y | ∃x∈Ay = f (x)} = {f (x) ∈ Y | x ∈ A}.

W szczególności, dla x _{∈ X} zachodzif(_{{x}) = {f (x)}}.

Definicja

Dla dowolnego zbioru B _{⊂ Y}

przeciwobrazem

funkcję f nazywamy zbiór

f−1(B) =_{{x ∈ X | f (x) ∈ B}.}

W szczególności,

włóknem

Przykłady

Niech f: R_{→ R}będzie funkcją daną wzoremf(x) = x2. Wtedy f((1, +∞)) = (1, +∞), f((₋1, +_{∞)) = f (R) = [}0, +_∞), f−1(4) =_{−2,2_}, f−1(3) =_{−√3,√3_}, f−1(0) ={0}, f−1(₋2) = f−1((_−∞,0)) =_∅, f−1([4, +_{∞)) = (−∞, −}2]_{∪ [}2, +_∞), f−1((0, +∞)) = R \ {0}, f−1([0, +_{∞)) = f}−1((₋1, +_{∞) = f}−1(R) = R.

Własności obrazów i przeciwobrazów

Niech A, eA_{⊂ X , B, e}B _{⊂ Y} będą dowolnymi podzbiorami.

i) A_{⊂ e}A_{→f (A) ⊂ f ( e}A),

ii) B _{⊂ e}B_→f−1(B)_{⊂ f}−1( eB),

iii) A_{⊂ f}−1(f (A))orazf(f−1(B))⊂ B,

iv) f(A∩ eA)⊂ f (A) ∩ f ( eA)oraz f(A∪ eA) = f (A)∪ f ( eA),

v) f(A)_{\ f ( e}A)_{⊂ f (A \ e}A),

vi) f−1(B_{∩ e}B) = f−1_{(B)∩ f}−1_{( eB)} oraz

f−1(B∪ eB) = f−1(B)∪ f−1_{( eB),}

vii) f−1(B)_{\ f}−1_{( eB) = f}−1_{(B\ eB).}

Dowód.

iii) x _{∈ A→f (x) ∈ f (A)→x ∈ f}−1(f (A)),

Własności obrazów i przeciwobrazów cd.

Dowód.

iv) y _{∈ f (A ∩ e}A)_{↔∃x∈A∩ eA}y = f (x)_↔∃x x∈ A ∧ x ∈ eA∧ y =

f(x)_{→y ∈ f (A) ∧ y ∈ f ( e}A),

v) y_{∈ f (A) \ f ( e}A)_{↔ (∃}x∈Ay = f (x))∧

∀_{x∈ eA}y _{6= f (x)}_{→∃x∈A\ eA} y = f (x)→y ∈ f (A \ eA),

vi) x _{∈ f}−1(B_{∩ e}B)_{↔f (x) ∈ B ∩ e}B_{↔f (x) ∈ B ∧ f (x) ∈ e}B_{↔x ∈} f−1(B)∧ x ∈ f−1_{( eB),}

Funkcja różnowartościowa

Definicja

Funkcję f: X _{→ Y} nazywamy

różnowartościową

injekcją

jeśli

∀x ,x′_∈X f(x) = f (x′)→x = x′.

Równoważnie,

∀x ,x′_∈X x 6= x′→f (x) 6= f (x′).

Przykład

Funkcja f : R_{→ R}dana wzorem f(x) = x2 nie jest

różnowartościowa, bo−26=2, alef(−2) = f (2). Funkcja g: R_{→ R}dana wzoremg(x) =2x jest różnowartościowa, bo

2x ₌2x′ implikuje

Funkcja „na”

Definicja

Funkcję f: X _{→ Y} nazywamy

funkcją „na”

surjekcją

czylif(X ) = Y .

Uwaga

Funkcja f

nie jest

∃y∈Y∀x∈X y 6= f (x).

Przykład

Funkcja f : R_{→ R}dana wzorem f(x) = x2 nie jest „na”, bo f(R) = [0 +_{∞) 6= R.}Funkcja g: R_{→ [}0, +_∞)dana wzorem g(x) = x2 jest „na”.

Własności funkcji różnowartościowej

Stwierdzenie

Niech f, f′: X → Y oraz g: Y → Z będą funkcjami. Wtedy

i) jeślif ig są różnowartościowe, to złożenie g_{◦ f} jest funkcją

różnowartościową,

ii) jeśli złożenie g _{◦ f} jest funkcją różnowartościową, to f jest

funkcją różnowartościową,

iii) jeślig _{◦ f = g ◦ f}′ oraz g jest funkcją różnowartościową, to f = f′_.taka, że_{g ◦ f = id}

X.

Dowód.

i) niech funkcje g, f będą różnowartościowe, wtedy g(f (x)) = g (f (x′))_{→f (x) = f (x}′)_{→x = x}′,

Własności funkcji równowartościowej cd.

Dowód.

ii) niech g_{◦ f} będzie funkcją różnowartościową, przypuśćmy

przeciwnie, że istniejąx _{6= x}′ takie, że f(x) = f (x′). Wtedy g(f (x)) = g (f (x′₎₎, co daje sprzeczność,

iii) dla dowolnego x_{∈ X} zachodzi g(f (x)) = g (f′_(x)), co daje

f(x) = f′(x). pewnika wyboru istnieje selektor, to jest funkcja g: f (X )_{→ X}, taka, że g(y )_{∈ f}−1(y ), funkcjęg można

dowolnie rozszerzyć na Y _{⊃ f (X )}, i wtedy g_{◦ f = id}X, bo

Monomorfizm (teoria kategorii)

Niech f: x _{→ y} będzie morfizmem w kategorii C. Definicja

Morfizmf jestmonomorfizmemjeśli, dla dowolnego obiektuz _∈C oraz

dowolnych morfizmówh₁, h2: z→ x jeślif _{◦ g = f ◦ g}′_, to_{g = g}′_. z g′ / / g / / x f //y Wniosek

Następujące warunki są równoważne:

i) f jest monomorfizmem,

ii) dla dowolnego obiektuz _∈C funkcja

f_∗: Hom(z, x)→ Hom(z, y),

Monomorfizm (teoria kategorii) cd.

Wniosek

Monomorfizmy w kategorii Set to dokładnie funkcje różnowartościowe.

Uwaga

Morfizm z obiektu końcowego jest monomorfizmem.

Uwaga

Funkcja

∅: ∅ → Y ,

jest różnowartościowa dla dowolnego zbioru Y.

Uwaga

Monomorfizm (teoria kategorii) cd.

Stwierdzenie

i) morfizmid jest monomorfizmem,

ii) jeśli złożenie morfizmów f′_{◦ f} jest monomorfizmem, to

morfizmf jest monomorfizmem,

iii) złożenie monomorfizmów jest monomorfizmem.

Dowód.

Własności funkcji „na”

Niech f: X _{→ Y} oraz g, g′_{: Y → Z} będą funkcjami.

Stwierdzenie

i) jeślif ig są „na”, to złożenie g_{◦ f} jest funkcją „na”,

ii) jeśli złożenie g _{◦ f} jest funkcją „na”, to g jest funkcją „na”,

iii) jeślig _{◦ f = g}′_{◦ f} oraz f jest funkcją „na”, tog = g′. f _{◦ g = id}Y.

Dowód.

i) (g _{◦ f )(X ) = g(f (X )) = g(Y ) = Z ,}

ii) dla dowolnego z _{∈ Z} istnieje x_{∈ X} takie, że z = (g_{◦ f )(x)},

Własności funkcji „na” cd.

Dowód.

iii) z założenia, dla dowolnego y _{∈ Y} istnieje x_{∈ X} takie, że y = f (x), zatem, dla dowolnego y_{∈ Y} mamy

g(y ) = g (f (x)) = g′(f (x)) = g′(y ). wyboru istnieje selektor,

to jest funkcjag: Y _{→ X}, taka, żeg(y )_{∈ f}−1_{(y )}, i wtedy

Epimorfizm (teoria kategorii)

Niech f: x _{→ y} będzie morfizmem w kategorii C. Definicja

Morfizmf jestepimorfizmemjeśli, dla dowolnego obiektuz _∈C oraz

dowolnych morfizmówg, g′_{: y → z} jeślig _{◦ f = g}′_{◦ f ,} to_{g = g}′_. x f //y g′ / / g / / z Wniosek

Następujące warunki są równoważne:

i) f jest epimorfizmem,

ii) dla dowolnego obiektuz _∈C funkcja

f∗_{: Hom(y , z)→ Hom(x, z),}

Epimorfizm (teoria kategorii) cd.

Wniosek

Epimorfizmy w kategorii Set to dokładnie funkcje „na”.

Uwaga

Każdy morfizm do obiektu początkowego jest epimorfizmem.

Uwaga

Funkcja

∅: ∅ → Y ,

jest funkcją „na” dokładnie wtedy, gdy Y =_∅.

Uwaga

Epimorfizm (teoria kategorii) cd.

Stwierdzenie

i) morfizmid jest epimorfizmem,

ii) jeśli złożenie morfizmów f _{◦ f}′ jest epimorfizmem, to morfizm f jest epimorfizmem,

iii) złożenie epimorfizmów jest epimorfizmem.

Dowód.

Obcięcie i rozszerzenie funkcji

Definicja

Dla dowolnej funkcji f: X _{→ Y} oraz zbioru A_{⊂ X} relacja f_|A = f ∩ (A × Y ) ⊂ A × Y

jest funkcją, nazywaną

obcięciem

Definicja

Dla dowolnego zbioru A_{⊂ X} oraz dowolnej funkcjig: A→ Y

funkcję f: X _{→ Y} nazywamy

rozszerzeniem

Stwierdzenie

Obcięcie funkcji różnowartościowej jest funkcją różnowartościową. Rozszerzenie funkcji „na” jest funkcją „na”.

Zmiana przeciwdziedziny

Uwaga

Funkcja f : X → Y jest wyznaczona jednoznacznie przez swoje

wartości

oraz

Stwierdzenie

Dla dowolnej funkcji f: X _{→ Y} istnieje funkcja „na” f′: X → f (X ),

o tej samej dziedzinie i tych samych wartościach, tj. f(x) = f′_(x)

dla x _{∈ X}.

Dowód.

f′ = f _{∩ (X × f (X )) ⊂ X × f (X )}

Uwaga

Zachowując wartości i dziedzinę, za przeciwdziedzinę można ustalić dowolny zbiór Z _{⊃ f (X )}.

Aksjomat wyboru w języku funkcji

Uwaga

Aksjomat wyboru jest równoważny następującemu stwierdzeniu: dla dowolnego zbioru I _{6= ∅} oraz dowolnej, indeksowanej przezI,

rodziny niepustych, parami rozłącznych zbiorów {Ai}i∈I tzn.,

Ai 6= ∅ dlai ∈ I orazAi ∩ Aj =∅ dlai, j∈ I , i 6= j,

istnieje

selektor

i∈I

Ai

taka, że

Lewa i prawa odwrotność

Stwierdzenie

Niech f: X _{→ Y} będzie funkcją. Wtedy

i) f jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieje funkcjag: Y _{→ X} taka, że g_{◦ f = id}X,

ii) f jest funkcją „na” wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja g: Y _{→ X} taka, żef _{◦ g = id}Y .

W przypadku i), funkcję g nazywamy

lewostronną odwrotnością

a w przypadku ii)

prawostronną odwrotnością

Dowód.

i) (_←)wynika z własności funkcji różnowartościowej, idX jest

funkcją różnowartościową, (_→)relację f−1 rozszerzamy

dowolnie do funkcji g: Y → X, dlay _{∈ f (X )}

y(f−1)x_{∧ y(f}−1)x′ _{→ y = f (x) ∧ y = f (x}′)_{→ x = x}′,

Lewa i prawa odwrotność– cd

Dowód.

ii) (_←)wynika z własności funkcji „na”, idY jest funkcją na, (→)

rodzina{f−1_{(y )}}

y∈Y, indeksowana przez zbiór Y jest rodziną

niepustych, parami rozłącznych zbiorów, na mocy pewnika wyboru istnieje selektor, to jest funkcja

g: Y → X = [

y∈Y

f−1(y )

Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Definicja

Funkcję f: X → Y nazywamy funkcją

wzajemnie jednoznaczną

(lub

bijekcją

Stwierdzenie

Funkcja f : X → Y jest funkcją wzajemnie jednoznaczną wtedy i

tylko wtedy, gdy istnieje funkcja g: Y _{→ X} taka, że g _{◦ f = id}X, f ◦ g = idY .

Dowód.

Funkcja wzajemnie jednoznaczna– cd.

Dowód.

(→)z własności funkcji różnowartościowych i funkcji „na”, istnieją g, g′: Y _{→ X} takie, że

g _{◦ f = id}X, f ◦ g′ = idY .

Zatemg = g◦ (f ◦ g′_{) = (g◦ f ) ◦ g}′ _{= g}′. Dodatkowo, jako relacje

g = f−1.

Stwierdzenie

Dla funkcji wzajemnie jednoznacznej f : X → Y istnieje dokładnie

jedna

funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna jest także funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz

Izomorfizm (teoria kategorii)

Niech f: x _{→ y} będzie morfizmem w kategorii C.

Definicja

Morfizm f jest

izomofizmem

g_{◦ f = id, f ◦ g = id .}

Wniosek

Izomorfizm jest monomorfizmem i epimorfizmem.

Uwaga

W kategorii Set izomorfizmy, to dokładnie funkcje wzajemnie jednoznaczne.

Przykłady

i) funkcja f: R_{→ R}zadana wzoremf(x) =_−x jest wzajemnie

jednoznaczna oraz f−1= f.

ii) funkcja f : R→ Rzadana wzoremf(x) =2x nie jest

wzajemnie jednoznaczna (jest funkcją różnowartościową ale nie jest „na”),

iii) funkcja f : R_{→ R}zadana wzoremf(x) = x3_{− x} nie jest

wzajemnie jednoznaczna (nie jest funkcją różnowartościową ale jest „na”),

iv) dla dowolnej sumy prostejRn= V _{⊕ W} symetriaS: Rn _{→ R}n

względem podprzestrzeniV równolegle do podprzestrzeni W

jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (boS _{◦ S = id}Rn),

v) odwzorowanie linioweϕ : Rn_{→ R}n jest funkcją wzajemnie

jednoznaczną wtedy i tylko wtedy, gdy det M(ϕ)A_{A 6=}0 dla

Przykłady

vi) funkcja f : R→ Rzadana wzoremf(x) = ax + b jest

wzajemnie jednoznaczna dlaa₆₌0 oraz

y = ax + b_{↔ ax = y − b ↔x =} y− b a ,

zatem funkcja odwrotna jest równa f−1(x) = x−b_a ,

vii) dla dowolnego n_≥2 funkcja f: C_{→ C}zadana wzorem f(z) = znnie jest wzajemnie jednoznaczna (nie jest funkcją

różnowartościową ale jest „na” z podstawowego twierdzenia algebry).

Funkcje – notacja cd.

Stwierdzenie

Dla dowolnego zbioru X, zbiór wszystkich podzbiorów P(X )można

utożsamić ze zbiorem {0,1}X. Funkcja

F:_{0,1_}X _{∋ f 7→ f}−1₍1_{)∈ P(X )}

jest wzajemnie jednoznaczna, z funkcją odwrotną

F−1: P(X )∋ A 7→  X _{∋ x 7→}  ₀ x ∈ A/ 1 x _{∈ A}  ∈ {0,1}X_.

Currying

Uwaga

Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru X do zbioru Y oznaczamy YX =_{{f ⊂ X × Y | f : X → Y }.}

Stwierdzenie

Dla dowolnych zbiorów X, Y , Z istniej funkcja wzajemnie

jednoznaczna

ZX×Y _{∋ f 7→ (x ∋ X 7→ (Y ∋ y 7→ f (x, y) ∈ Z )) ∈ (Z}Y)X.

Dowód.

Ćwiczenie. Funkcja odwrotna, to

Currying (teoria kategorii)

W języku teorii kategorii, istnieje

naturalny izomorfizm

gdzie Hom(X , Y ) w kategorii zbiorów Set oznacza zbiór wszystkich

funkcji ze zbioru X do zbioru Y.

Równoważnie, funktory

· × Y :Set→Set, Hom(Y ,_·):Set_→Set,

są sprzężone/dołączone (ang. adjoint). Funktor · × Y jest lewym

funktorem dołączonym do funktora Hom(Y ,_·). Funktor Hom(Y ,_·)

Currying (teoria kategorii) cd.

Lewy funktor dołączony zachowuje kogranice

suma rozłączna X _{⊔ Y}, zatem1

(X _{⊔ Y ) × Z ∼}= X × Z ⊔ Y × Z .

Prawy funktor dołączony zachowuje granice

kartezjański X _{× Y}, zatem

Hom(X , Y _{× Z ) ∼}= Hom(X , Y )× Hom(X , Z ).

1w obu przypadkach_∼

Ideały w pierścieniu

Ideałem

a) ZI ⊂ I,

b) I + I _{⊂ I}.

Piszemy I⊳ Z.

Definicja

Ideał I⊳ Z nazywamy

głównym

Ideały w pierścieniu

cd.

Każdy ideał w pierścieniu Zjest główny.

Dowód.

Niech J = I_{∩ N}. Niecha_{∈ J} będzie najmniejszym elementem w

zwykłym porządku. Wtedy (a)⊂ I. Jeślib _{∈ I} orazb >0 to b= ar + q,

Własności ideałów

Stwierdzenie

i) a_{|b ↔ (b) ⊂ (a)},

ii) (a) = (b)_{↔ a = ±b},

iii) (a) Z↔ a 6= ±1,

iv) d_{|a, d|b ↔ (a) ⊂ (d), (b) ⊂ (d) ↔ (a) + (b) ⊂ (d),}

v) a_{|d, b|d ↔ (d) ⊂ (a), (d) ⊂ (b) ↔ (d) ⊂ (a) ∩ (b).}

Dowód.

Liczby pierwsze

Definicja

Liczbęp_{∈ Z, p ≥}2 nazywamy liczbę pierwszą, jeśli dla dowolnej liczby n_{∈ Z, n 6=}0

jeślin_|p, ton=1 lubn= p,

lub równoważnie

jeśli(p)_{⊂ (n),}to(n) = (1)lub(n) = (p). Definicja

JeśliI ⊳ Z, I_{6= Z}jest ideałem oraz dla dowolnego ideałuJ⊳ Z,

jeśliI _{⊂ J,} toI = J lubI = Z,

toI nazywamyideałem maksymalnym. Wniosek

Lemat Euklidesa

Stwierdzenie

Niech p _≥2 będzie liczbą pierwszą. Dla dowolnych liczba, b∈ Z

jeślip_|ab, to p_|a lubp_|b,

lub równoważnie

jeśli(ab)_{⊂ (p),} to(a)_{⊂ (p)}lub(b)_{⊂ (p).}

Dowód.

Niech (ab)⊂ (p), przypuśćmy, że (a)6⊂ (p). Wtedy

(p) ( (a) + (p)_{⊂ (}1) = Zskąd (a) + (p) = (1). Istnieją zatem k, l _{∈ Z} takie, że

ka+ lp =1.

Mnożąc obustronnie przez b dostajemy kab+ lpb = b,

NWD

i

Niech a, b∈ N>0.

Najmniejszą wspólną wielokrotnością

NWW ) liczba ib nazywamy liczbęd = NWW(a, b)_{∈ N}>0 taką,

że

i) a_{|d, b|d},

ii) jeślia_|d′, b_|d′, tod_|d′,

lub równoważnie, na mocy powyższego stwierdzenia

i) (d)⊂ (a) ∩ (b),

ii) jeśli(d)_{⊂ (a) ∩ (b)} to(d′_{)⊂ (d)}, liczba _d generuje

największy ideał główny zawarty w ideale (a)∩ (b).

Wniosek

NWD

i

cd.

Niech a, b∈ N>0.

Największym wspólnym dzielnikiem

NWD) liczb a, b∈ Z nazywamy liczbęd = NWD(a, b)∈ N>0 taką,

że

i) d_{|a, d|b},

ii) jeślid′_{|a, d}′_|b, tod′_|d,

lub równoważnie, na mocy powyższego stwierdzenia

i) (a) + (b)⊂ (d),

ii) jeśli(a) + (b)_{⊂ (d}′₎ to_{(d)⊂ (d}′₎, tzn. liczba jest dodatnia i

d generuje najmniejszy ideał główny zawierający ideał (a) + (b).

Wniosek

NWD

i

cd.

Jeśli d = NWD(a, b), to istnieją k, l _{∈ Z} takie, że ak+ bl = d.

Wniosek

Element [a]_{∈ Z/nZ} jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, n) =1.

Dowód.

Jeśli [a] jest odwracalny, to istniejeb_{∈ Z} taki, że ab₋1= kndla

pewnego k _{∈ Z}, skąda in nie mają wspólnych dzielników. Jeśli NWD(a, n) =1 to istniejąk, l _{∈ Z} takie, że ak+ ln =1 skąd [a][k] = [1].

Twierdzenie chińskie o resztach

Stwierdzenie

Jeśli NWD(m, n) =1, to

Z/mnZ≃ Z/mZ × Z/nZ,

gdzie ≃oznacza izomorfizm pierścieni.

Dowód.

Odwzorowanie

x (mod mn)_{7→ (x (mod m), x (mod n)),}

zadaje homomorfizm równolicznych pierścieni. Jest on

różnowartościowy, bo jeśli m_|x oraz n_|x, tomn_|x (korzystamy z

Twierdzenie chińskie o resztach cd.

Wniosek

Jeśli liczby n₁, . . . , nk ∈ N>1 są parami względnie pierwsze, to dla

dowolnych a₁, . . . , ak ∈ Zukład kongruencji

         x_{≡ a1} (mod n₁), x_{≡ a2} (mod n₂), ... x _{≡ a}k (mod nk),

ma dokładnie jedno rozwiązanie

x_≡ k X i₁ ai n ni  n ni −1 , modulo n= n₁· . . . · nk, gdzie  n ni −1 jest dowolnym reprezentantem odwrotności n ni modulo ni.

Funkcja Eulera

Definicja

Dla n _≥2 niech

ϕ(n) =_{|{a ∈ {}0, . . . , n₋1_{} | NWD(a, n) =}1_{}| =} =liczba elementów odwracalnych w Z/nZ.

Stwierdzenie

i) ϕ(pn_{) = p}n_{− p}n−1 dla dowolnej liczby pierwszej_p,

ii) ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) dla dowolnych liczbm, n takich, że NWD(m, n) =1, iii) jeślin= pα₁ 1 · . . . · pkαk, to ϕ(n) = n k Y i=1  1−_p1 i  .

Funkcja Eulera cd.

Dowód.

Wystarczy udowodnić punktii). Z chińskiego twierdzenie o resztach

wynika, że liczba ajest jednością modulo mn wtedy i tylko wtedy,

Małe twierdzenie Fermata

Twierdzenie

Jeśli NWD(a, n) =1, to

aϕ(n) _≡1 (mod n).

Dowód.

Liczba a(dokładnie, jej warstwa [a]∈ Z/nZ) jest jednością w

pierścieniu Z/nZaϕ(n) jest rzędem grupy jedności.

Wniosek

Przykład

Jaka jest odwrotność do 11 modulo 150?

ϕ(150) = ϕ(2)ϕ(3)ϕ(52) =1_·2_{· (}52₋5) =40. 1139 _≡11(1119₎2_, 1119_≡11(119₎2_, 119 _≡11(114₎2_, 114_{≡ (11}2_)2≡1212 _{≡14641≡91,} 119_≡11·912 _{≡93104≡41,} 1119_≡11·412 _{≡18491≡41,} 1139 _≡11·412 _≡41. Rzeczywiście 11·41=3·150+1.

Przykład

W grupie co najwyżej 30 osób ustawiano wszystkich po kolei w parach, trojkach i piątkach i zawsze zostawały odpowiednio jedna, dwie i trzy osoby. Ile osób było w grupie?

   x _≡1(mod 2), x _≡2(mod 3), x _≡3(mod 5),

Można sprawdzić, że

(3_·5)−1 _≡1(mod 2), (2_·5)−1 _≡1(mod 3), (2_·3)−1 _≡6(mod 5),

Krata liczb naturalnych z relacją podzielności

Przykład

Zbiór X = N>0 z relacją

a 4 b_{↔ a|b,}

jest kratą rozdzielną, ograniczoną z dołu, gdzie

a_{∧ b = NWD(a, b),} a_{∨ b = NWW(a, b).}