str. 10
4. Algebra Boole’a
4.1. Boole George(1815-1864), brytyjski logik, matematyk samouk; od 1849 prof. matematyki w Queen's College w Cork;
członek Towarzystwa Królewskiego w Londynie; Boole wniósł istotny wkład w kilku dziedzinach matematyki, lecz najważniejsze są dwa dzieła z lat 1847 i 1854, w których przedstawił wyrażenia logiczne w formie matematycznej, znanej obecnie jako algebra Boole'a. Praktyczne zastosowanie znalazła dopiero po prawie 100 latach, kiedy Claude Shannon zaproponował zastosowanie jej do rozwiązywania problemów projektowania układów przekaźnikowych i elektronicznych układów cyfrowych. Ze względu na wagę zastosowań algebry Boole’a w informatyce i matematyce logicznej, Boole jest powszechnie uważany za jednego z twórców tych dziedzin nauki.
4.2. Algebra Boole’a
Def. Algebrą Boole’a nazywamy zbiór Bz wyróżnionymi elementami: 0 i 1, w którym określone są trzy działania:
(dopełnienie logiczne) :B B (iloczyn logiczny) :B B B + (suma logiczna) :B B B
spełniające następujące aksjomaty (dla dowolnych elementów a ,,bc B):
(pp) prawa przemienności: a b b a a b b a (1.1)
(pł) prawa łączności: (a b) c a (b c) (a b) c a (b c) (1.2)
(pr) prawa rozdzielności: a (b c) a b a c a (b c) (a b) (a c) (1.3)
(pid) prawa identyczności: a 0 a a 1 a (1.4)
(pd) prawa dopełnień: a a 1 a a 0 (1.5)
Twierdzenie B. Następujące własności są prawdziwe w każdej algebrze Boole’a, dla dowolnych a ,,b c B:
(p2a) prawa idempotentności: a a a a a a (1.6)
(pO1) prawa identyczności 2: a 1 1 a 0 0 (1.7)
(pdM) prawa de Morgana : a b a b a b a b (1.8)
(ppch) prawa pochłaniania: a (a b) a a (a b) a (1.9)
(ppd) prawo dopełnienia: a a (1.10) Uwagi:
Używając symboli działań, stałych 0 i 1 oraz zmiennych budujemy wyrażenia boolowskie, np. (a 1 b) a a
Gdy wyrażenie nie zawiera nawiasów, kolejność wykonywania jest następująca: dopełnienie, iloczyn, suma.
Jedną z metod upraszczania wyrażeń boolowskich jest stosowanie powyższych praw Boole’a.
Np. ( ) 0 1
) ( )
( ), ( )
( ), 2 ( )
(pr p a pd pid pdM pd
b a b a b
a b a b
a a a b a a b a a b a a
Wyrażenia boolowskie wygodnie jest zapisywać w jednej z dwóch tzw. postaci kanonicznych: sumy iloczynów lub iloczynu sum.
Np. a a b a a b a a b a a a b a b a b a b a b
pdM pd
a p
pr) ( 2),( ) ( )
(
0 )
(
Korzystając z praw de Morgana każde wyrażenie boolowskie można zapisać za pomocą tylko działań dopełnienia i iloczynu (lub dopełnienia i sumy).
Np. ( ) ( ) ( )
) ( )
2 (
a b a a a b a a a b a a
pdM a
p
str. 11
4.3. Dwuargumentowa algebra Boole’a
Dwuargumentowa algebra Boole’a to algebra, w której zbiór B={0,1}. Działania dopełnienia, iloczynu i sumy opisują tabele:
x x 0 1 1 0
x y x y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
x y x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Zadania
4.1. Uprość wyrażenia:
a) z y z xy b) (z x 1 x)y y c) z z z z y z z d) z (z z x y x z) e) x (y x) x xy
f) x y z x y z x y z
g) (x y)(x y) x
h) (x y) (x y) i) x (x z x y z x) j) x y z z
k) x y z z
l) x y y x y x
m) x z (x y) (x y) n) (x y)(y x)
4.2. Sprawdź metodą 0-1, czy:
a) x y z x y z x y
b) (x y x) z y z x y x y
c) x x z x y x y z
d) x z w x y x y z w (x y)(z w)
4.3. Udowodnij Twierdzenie B. (prawa 1.6-1.10)
4.4. Przekształć tak wyrażenia, aby występowały w nich tylko iloczyny i dopełnienia:
a) a (b c) b) a b c
c) a b c a d) (a b) c a b
4.5. Wyrażenia z zadania 1.4 przekształć tak, aby występowały w nich tylko sumy i dopełnienia.
4.6. Przedstaw wyrażenia w postaci kanonicznej:
a) x (y z) b) x y z y x y
c) (x y) z x y d) x(y x) x xy - wartości logiczne dopełnienia logicznego
- wartości logiczne sumy logicznej - wartości logiczne iloczynu logicznego
