14 marzec 2006

14 mar a 2006

Nie h

B

ozna za

σ

- iaªo zbiorów borelowski h na

R

(tzn.

σ

- iaªo generowane przez wszystkie zbiory otwarte).

Je»eli

f

: R → R

oraz

A = B

, to funk j

A

-mierzaln¡ nazywamy funk j¡ borelowsk¡. 1. Pokaza¢, »e nastpuj¡ e warunki s¡ równowa»ne:

(a)

f

: X → R

jest

A

-mierzalna. (b)

f

−1

(U) ∈ A

dla ka»degozbioru otwartego

U

⊂ R.

( )

f

−

1

((a, b)) ∈ A

dlaka»dego

a, b

∈ R.

(d)

f

−1

((a, b)) ∈ A

dlaka»dego

a, b

∈ Q.

(e)

f

−

1

((a, b)) ∈ A

dlaka»dego

a, b

∈ R \ Q.

(f)

f

−1

((a, +∞)) ∈ A

dlaka»dego

a

∈ R.

(g)

f

−1

((−∞, b)) ∈ A

dlaka»dego

b

∈ R.

(h)

f

−1

([a, b]) ∈ A

dlaka»dego

a, b

∈ R.

(i)

f

−1

([a, +∞)) ∈ A

dlaka»dego

a

∈ R.

(j)

f

−

1

((−∞, b]) ∈ A

dlaka»dego

b

∈ R.

(k)

f

−1

((a, b]) ∈ A

dlaka»dego

a, b

∈ R.

(l)

f

−

1

([a, b)) ∈ A

dlaka»dego

a, b

∈ R.

2. Nie h

f

: X → R

bdzie funk j¡

A

-mierzaln¡. Pokaza¢, »e funk ja

a

· f

jest równie»

A

-mierzalnadladowolnego

a

∈ R

.

3. Pokaza¢, »e funk ja harakterysty zna zbioru mierzalnego jest funk j¡ mierzaln¡. A na

od-wrót?

4. Pokaza¢, »e ka»da funk ja i¡gªa

f

: R → R

jestfunk j¡ borelowsk¡. A naodwrót?

5. Pokaza¢, »e ka»da funk ja rosn¡ a

f

: R → R

jest funk j¡ borelowsk¡. A mo»e jest nawet funk j¡ i¡gª¡?

6. Nie h

V

⊂ R

bdzie zbiorem niemierzalnym w sensie Lebesgue'a. Czy funk ja

f

: R → R

dana wzorem

f(x) =

(

x

gdy

x

∈ V,

−x

w prze iwnym przypadku, jestmierzalnaw sensie Lebesgue'a.

7. Pokaza¢, »e je»eli funk ja

f

: X → R

jest mierzalna, to funk ja

|f |

te» jest mierzalna. A naodwrót?

8. Nie h

f

: X → R

bdzie funk j¡ mierzaln¡. Pokaza¢, »e zbiór

f

−1

(a)

jest mierzalny dla ka»dego

a

∈ R

. A na odwrót?

9. Wykaza¢, »e je»elifunk je

f

: A → R

+

,

g

: A → (0, +∞)

s¡

M

-mierzalne,to funk ja

f

g

jest

M

-mierzalna.

10. Wykaza¢, »e je»eli funk je

f

: A → (0, +∞)

,

g

: A → R

s¡

M

-mierzalne, to funk ja

f

g

jest

M

-mierzalna.

11. Wykaza¢, »e je»elifunk je

f, g

: A → R

s¡

M

-mierzalne, to zbiory (a)

{x ∈ A : f (x) < g(x)}

,

(b)

{x ∈ A : f (x) ≤ g(x)}

, ( )

{x ∈ A : f (x) = g(x)}

nale»¡do

M

.

12. Nie h

µ

bdzie miar¡ na

σ

- iele

A

podzbiorów

X

. Nie h

f

: X → R

bdzie funk j¡

A

-mierzaln¡. Deniujemy

ν(B) = µ(f

−1

(B))

dladowolnego zbioruborelowskiego. Pokaza¢, »e

ν

jest miar¡ na

σ

- iele

B

.

13. Nie h

µ

bdzie miar¡ na

σ

- iele

A

podzbiorów

X

tak¡, »e

µ(X) = 1

. Nie h

f

: X → R

bdzie funk j¡

A

-mierzaln¡. Deniujemy funk j

g

: R → R

wzorem

g(t) = µ(f

−1

((−∞, t)))

dla

t

∈ R

. Pokaza¢, »e

g

jestfunk j¡: (a) rosn¡ ¡;

(b) lewostronnie i¡gª¡;

( )

lim

t→−∞

g

(t) = 0

oraz

lim

t→∞

g(t) = 1

. 14. Nie h

(f

n

)

n

bdzie i¡giemfunk ji rze zywisty h

M

-mierzalny hokre±lony h nazbiorze

A

. Wykaza¢, »e zbiór

{x ∈ A :

i¡g

(f

n

(x))

n

jest zbie»ny

}

nale»y do

M

.

15. Nie h

(f

n

)

n

bdzie i¡giemfunk ji rze zywisty h

M

-mierzalny hokre±lony h nazbiorze

A

. Wykaza¢, »e zbiór

n

x

∈ A : lim

n→∞

f

n

(x) = +∞

o

nale»y do

M

.

16. Nie h

f

: X → R

bdzie funk j¡

A

-mierzaln¡ oraz

g

: R → R

funk j¡ borelowsk¡. Pokaza¢, »e zªo»enie

g

◦ f

jest funk j¡

A

-mierzaln¡.

17. Pokaza¢, »e je»eli zbiór punktów nie i¡gªo± i funk ji

f

: R → R

jest miaryLebesgue'a zero, to

f

jestmierzalnaw sensie Lebesgue'a.

18. (*) Nie h

f

: R → R

bdzie funk j¡ mierzaln¡w sensie Lebesgue'a oraz

g

: R → R

funk j¡ borelowsk¡. Czy

f

◦ g

jest funk j¡ mierzaln¡wsensie Lebesgue'a?

19. (*) Czy obraz zbioru mierzalnego w sensie Lebesgue'a przez funk j i¡gª¡ jest zbiorem