14 marzec 2019

Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 8. – rozwiązania

14 marzec 2019

1. Znajdź dziedzinę funkcji

f (x, y) =

r x

x²+ y²+ 2x− 1.

Punkt (x, y) leży w dziedzinie o ile, _x2+y^x2+2x− 1 ­ 0, czyli _x^x2²+y^+y22+2x^+x ¬ 0, co jest możliwe tylko, gdy x < 0 oraz x²+ y²+ 2x < 0 i x²+ y²+ x ­ 0. Czyli, gdy:

(x + 1)²+ y²< 1 oraz jednocześnie

 x + 1

2

²

+ y²­1 4,

Czyli to punkty leżące wewnątrz koła o promieniu 1 i środku w punkcie (−1, 0) za wyjątkiem wnętrza koła o promieniu 1/2 i środku w (−1/2, 0), inaczej pisząc ta dziedzina to K((−1, 0), 1) \ K((−1/2, 0), 1/2).

2. Zbadać granicę

lim

x→0y→0

x⁴− y⁴ x + y .

Mamy^x_x+y^4−y4 = (x−y)(x²+y²). Niech xn → 0 oraz yn→ 0 będą dowolnymi ciągami takimi, że Xn+yn 6= 0.

Wtedy:

lim

x→0y→0

x⁴− y⁴ x + y = lim

n→∞

x⁴_n− y_n⁴ x_n+ yn

= lim

n→∞(x_n− y_n)(x²_n+ y_n²) = 0.

3. Zbadaj ciągłość funkcji:

f (x, y) =







1 , dla xy > 0, 0 , dla xy > 0,

−1 , dla xy < 0,

Jest jasne, że funkcja jest ciągła w każdym punkcie poza osiami (czyli dla punktów xy > 0 oraz xy < 0), które są podejrzanym obszarem (czyli gdy x = 0 ∨ y = 0). Widać, że w tych punktach funkcja nie jest ciągła. Jeśli bowiem (x, y) jest taki, że x = 0 lub y = 0, to niech x_n = x +^x_n +^y_n, y = y + ¹_n +^x_n +^y_n. Wtedy lim_n→∞f (x_n, y_n) = 1 lub lim_n→∞f (x_n, y_n) = −1, natomiast f (x, y) = 0.

4. Niech

f (x, y) =





 x²y

x⁴+ y² , dla (x, y) 6= (0, 0) 0 , dla x = y = 0.

Pokaż, że granica jest równa zero w punkcie (0, 0) jeśli przybliżamy się wzdłuż dowolnej prostej przecho- dzącej przez (0, 0), ale f nie jest ciągła w (0, 0).

Dla y = ax mamy

x²y

x⁴+ y² = ax³

(x²+ a²)x² = ax

x²+ a² → 0, 1

gdy x → 0. Tymczasem dla x = 1/n, y = 1/n²mamy x²y

x⁴+ y² = 1/n⁴

1/n⁴+ 1/n⁴ = 1 2. więc funkcja nie ma granicy w (0, 0), a tym samym nie jest ciągła.

5. Niech f : R²\ {(0, 0)} będzie zdefiniowane jako

f (x, y) = x²y² x²y²+ (x − y)², Pokaż, że chociaż

lim

x→0lim

y→0f (x, y) = 0 = lim

y→0lim

x→0f (x, y), to granica lim(x,y)→(0,0)f (x, y) nie istnieje.

Licznik dąży do 0 dla x → 0 i stałego y, za to mianownik jest niezerowy, więc całość

y→0lim

x²y²

x²y²+ (x − y)² = 0, więc

x→0lim lim

y→0f (x, y) = 0.

Podobnie przy przeciwnej kolejności przechodzenia do granicy.

Ale dla x = y = 1/n mamy

x²y²

x²y²+ (x − y)² = 1/n⁴ 1/n⁴+ 0 = 1, więc granica w tym przepadku jest 1, więc granica funkcji nie istnieje.

6. Pokaż, że funkcja f : R^k → R jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otwartego zbioru G ⊆ R zbiór

{(x1, . . . , xk) ∈ R^k: f (x1, . . . , xk) ∈ G}

jest zbiorem otwartym w R^k.

Przypuśćmy, że f jest ciągła oraz niech G ⊆ R będzie otwarty. Załóżmy, że (x¹, . . . , xk) jest taki, że g = f (x1, . . . , xk) ∈ G. Ale skoro G jest otwarty, to istnieje ε > 0, że (g − ε, g + ε) ⊆ G. Ale skoro f jest ciągła, to istnieje r > 0, że jeśli k(x1, . . . , xk) − (y1, . . . , yk)k < r, to f (y1, . . . , yk) ∈ (g − ε, g + ε) ⊆ G, a więc kulka o środku (x1, . . . , x_k) i promieniu r jest zawarta w

{(x1, . . . , x_k) ∈ R^k: f (x₁, . . . , x_k) ∈ G}

co dowodzi otwartości tego zbioru.

Odwrotnie, ustalmy (x₁, . . . , x_k) oraz ε > 0, oraz niech g = f (x₁, . . . , x_k) oraz G = (g − ε, g + ε). Wówczas {(x1, . . . , xk) ∈ R^k: f (x1, . . . , xk) ∈ G}

jest otwarty, a zatem istnieje r > 0, że kulka o środku w (x1, . . . , xk) i promieniu r jest zawarta w tym zbiorze. Wobec dowolności ε dostajemy ciągłość funkcji.

2