Über die berechnung des wellenbildenden widerstandes von schiffen, insbesondere die Hognersche Formel

Band 10. Heft &

Oktober 1130 Weinhium, Wellenbildender Widerstand von Schiffen 453 T a y lo r (tu Ship - shaped Stream Forms, Naval Architecte 1894.

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Über die Berechnung des wellenbildenden Widerstandes

.

von Schiffen, insbesondere die

Hgnersche Formel.

Von GEORG WEINBLUM In crlIn.

Mitteilungen der Versuchsanstalt fUr Wasserbau und Schiffbau.

Die

Berechnung des Schiffswidcrstandes ist durch William Froude als Begrtinder der Schlepptechnik bis au den heutigen Tag richtunggebend beeinflußt. Erfassung des Reibungswiderstandas ) auf Grund experimentell gewonnener empirischer Forme)n, I cststellung des Formwiderstandes durch den Modellversuch kennzeichnen das Verfahren,

welches seit CO Jahren InI Schiffbau angewandt wird und darüber hinaus das

Versuchs-wesen im Luftîahrzeugbau nachhaltig angeregt hat. Der Weg, den Froude beschritten

htt, Ist praktisch begründet in der Tatsache, daß der Wellenwiderstand von einer sehr

großen Anzahl von selbst z. Zt. nicht sicher zu übersehenden Faktoren abhängt

-theoretische Lösungen waren damals unbekannt - während der Reibungswiderstand durch Linge, Geschwindigkeit und Rauhigkeit empirisch genügend genau festgelegt zu

sein schien. Vom Standpunkt der Mechanik liegen aber die Verhältnisse so, daß die Wellenbewegung, auf welche die Vorstellung von der idealen Flüssigkeit weitgehend zutrifft, der prinzipiell enfaehere Fall ist, und der Reibungswiderstand theoretisch erst ungenügend erfaßt werden kann, d. h. das Vorgehen von Froude widerspricht dem sonst

in der Hvdrodynamik üblichen, welches an das mechanische Modell der idealen Flüssigkeit später Korrekturen zur Berücksichtigung der Zähigkeit anzubringén versucht. Trotzdem

wird das Versuchswesen aus den angeführten Gründen -bei Beantwortung praktischer

Fragestellungen im großen ganzen bei dem Fr-oudeschen Schema bleiben; daneben sieht sich jedoch die Schiffstheorie gezwungen, au Lösungen des Wellenwiderstandes zurück-zugreifen, wobei in erster Liniò zwei Gesichtspunkte maßgebend sind: -

-- 1. den Abliisungswiderstand, weleher bei Froude mit dem Wellenwiderstand in

einen Topi zusammengeworfen wird, hiervon abzutrcnnco und

-. Gesetzmäßigkeiten im Wellenwiderstand aufzufinden, welche sich aus dem

'sehr umfangreichen, aber nicht genügend systematischen empirischen Material

bisher nur in beschränktem Maße folgern lassen.

Dieser zweite, hydrodynamische Weg - die- Druckpunktiheorie - führt über Arbeiten Lord Kelvins zu denen von Havelock und Hogner daneben ragt als

ein-sauner Höhepunkt die Micheilsche Veröllcntlicliung2) über den Wellenwiderstand hervor.

Die vorliegende Arbeit stellt sich als Aulgabe, in Forisetzung früherer

Unter-suchungen 3) die vorhandenen Ergebnisse der Hydrodynamik für die Schifistheorie nutzbar zu maclien. Sic zerfällt ib drei Teile: zuerst wird der Wellenwiderstand (im nachfolgenden einfach mit »Widerstand« bezeichnet) in Fortuiihrung Michellscher Gedankengänge

ange-1) 1m - Schiffbau wird die Differenz Geaamtwlderstand - Reibungswhderatand als Form- oler Itostwiderstand bezeichnet; dieser enthitit nach dec üblichen Terminologie sowohl den Wellen- wie den

Abicaungawiderstan d.

t Philosophical Mag. 1898. .

Ztscbr,f.angew. 4')4 Weinbium, Wellenbildender Widerstand von Schiffen Math.undMech.

setzt, sodann die HognerseheFormel kurz 'wiedergegeben und zumSchluß werden

mime-rische Auswertungen, ein Vergleich mit Versuchsergebnissen undAnwendungen auf Prob-leme der Gleitvorgìinge') gebracht.

Die Voraussetzungen, von denen wir ausgehen, sind: ideale Fiiissigkeit, Wirbel-freiheit (so daß 'wir ein Geschwindigkeitspotential ansetzen können) und kleine Neigungen

der Wellenoberihiche zur Horizontalen. Es sei zunitchst zwischen reinen

Deplacoment-schigen, deren Gewicht nur durch den statischen Auftrieb nach dem archimedisehen

Prinzip ausgeglichen wird, und Gleitschiflen unterschieden, bei 'welchen der dynamische

Auftrieb überwiegt. Die ersteren haben als Grenze ein scharfes kiellörmiges Gebilde, für

welches die Lösung Michelis gilt, die zweiten ein flaches Brett, auf welches die

Hognor-sehe Widerstandsformel angewandt 'werden kann. Die beiden Verfahren sind also je an einer Grenze brauchbar. Wir behandeln zunliehst den ersten Grenzfall.

L Ansìttze für das Deplacementschiff.

Wir setzen für die Deplacementschilfe die Dillerentlaigleichungen und

Randbc-dingungen in der Michelischen Form an, wobei wir uns jedoch von den Bedingungen

kleiner Schitiswinkel und des

ebenen Kiels möglichst frei zu

TJ--X machen suchen. Wir

begniigen

/

-

uns mit dem praktisch nur in

Frage kommenden Fall der

sta-tionitren Bewegung, wobei das Schilf mit der Geschwindigkeit

y0 :tngeströmt wird. Das

Ko-ordinatensystem sei wie folgt gewlihit (Abb. 1):

Das Gechwindigkeitspotential fiiiren wir, um das Ueberwiegen der Schiflsgeschwindigkeit über die

Wassergeschwindig-ktsit explizit zum Ausdruck zu bringen, nach Michell in der Form

==-vox±q)

(i)

ein. Die kinematische Oberflitelsenbedingung, welche uns den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit in der Tielgaiìgsriehtung liir (lie OberfilichenwolleÇ mit der Wasser-geschwindigkeit gibt, lautet:

z Abb. 1.

-zO» x'

Die Druckgleichung nimmt die Form an:

±

-Für den Kiel, dessen Gleichung

sei, lautet die Randbedingung desgleichen an den SchilTîswiinden

v=v(x,7/,z)

()

const zo=x(z) (4) 97 lD

---V.--

()

{x

wenn s f(x,z) die Gleichung der Schisoberfläehe bedeutet, welche fast immer mit

hinreichender Genauigkeit durch ganz rationelle Funktionen ausgedrückt werden kann.

Die Potontialfunktion gentigt natürlich der Koutinuitiitsbedingung

(7) Dieses schwierige Gleichungssystem, welches durch die Annahme kleiner Winkel

von Michell linearisiert worden ist, gibt uns noch keineswegs den Vorgang bei

wirk-lichen Schiffen richtig wieder, weil der Trimm E und die Absenkung t, welche

insbe-I) IJntor 'Gleitvorgaug verteheii wir das Schwimmen 'on Fahrzeugen Inrolge dynamischen

Auftriebs.

) Diese Gleichung enthitit dio Voraussetzung der i.iblichen Schlffsform: die z, y Komponenten von e (x, y, z) müssen gegenüber der x Komponente klein sein, d. b. die Strümung erfolgt hauptItehiieh nach Vasseritn1en.

Baud lo, Heft S

Oktober 1930

son(lere bei höheren Geschwindigkeiten sehr wesentlich sein können, vernachlhssigt werden und dann die Voraussetzungen des reinen Dcplacementsschiffes nicht mehr stimmen. Dio

obigen Gleichungen geben den Zustand des »Zwangstrimms wieder. lii Wirklichkeit

wird sich unser Schilf um eine Achse Y drehen und eine kleine Vertikalverschiebung in der ZX-Ebene erfahren, so daß die Gleichung der Schiffsoberfläche und des Kids

die Form

, f (x, z, e, t) (8),

zo = z (x, e, /) (9)

annimmt. Die Ausdrücke e, _{sind Funktionen der F'roudeschen Zahl'), es tritt daher,}

bevor wir' zur Berechnung des Schifiswiderstaudes für eine bestimmte Geschwindigkeit

unter Berücksichtigung von e und /o schreiten können, die Notwendigkeit auf, diese

Aus-drücke zu bestimmen; mit anderen Wrorten stellt sich das Problem so dai', daß zuerst

die Lage und hieraus erst der Widerstand des Schilfes gerechnet werden muß. Prinzipiell

ist der Lösungsweg durch das HamiltonschePrinzip gegeben: die wirkliche Lage un-seres Fahrzeugs wird sich aus den Gleichungen

of('r_ V)d/=o

(ii)

und _{(T - V) = o für stätionäre Bewegung finden lassen, wobei die Variation nach}

e auszuführen ist, wenn wir auf den geringeren Einfluß der Absenkung t _verzichten

wollen. Die Ausdrücke fur dio potentielle und die kinetische Energie sind für die

Zeit-einheit anzusetzen. Die Variationsaufgabe wird selbstverständliche so große

Schwierig-keiten bieten, daß mit ihrer Lösung in absehbarer Zeit nicht zu rechnen ist. Andererseits

können wir aber behaupten, daß eine Lösung existieren muß, da die, Gleichungen einen

wirklich eintretenden physikalischen Vorgang beschreiben.

Dio Lincarisierung der Grundglcichungen durcit Miohell, welche für ein Schiff

mit. kleinen Neigungen der Schifisoberflächo zur Syinnietrieebono und rechteckiger

Lungs-kontur gilt, bringt die Lösung unseres I'roble.zns, für den Grenzfall scharfer Fahrzeuge

mit großem Tiefgaug und- geringer Breiteströmung nach Wasserlinien. _{Sie ergibt die}

folgenden GI. (12 - (14), wobei die eingeführten Vereinfachungen gleich beurteilt werden sollen. (Die Micheilsche Formel findet man auf Seite 458 als Gl. (33)

- (35):)

Weinbium, Welienbildender Widerstand von Schiffen 455

d. h. im Vergleich zu GI. (2) die Einfiihrung der konstanten Schifisgesehwindigkeit statt der jeweilig vorhandenen Wassergeschwindigkeit; _{dies kann am Heck und am Bug bei} ausladenden Schiïfsforinen einen wesentlichen Fehler vorstellen. Auch die Vereinfachung

der Gi. (3) zu

(13) ist an den Schiufoenden nicht unwesentlich.

Dic bedenklichste Annäherung liegt jedoch in der Annahme

tDy

fu,,

= - Vo (14))

statt GL (c) Abb. 2.

Die Bedingung der rechteckigen Liingskontur

_{z 4.}

zo = h statt (5) erschwert die Behandlung von Schiffstypen mit stark weggeschnittenen Enden.

Der Geltungsbereich der Michellsch.en An- t

nahmen ist Gegenstand eingehender experimenteller

- ¿

-Untersuchungen, welche auf Veranlassung von Herrn '

'

Prof. Dr.-Ing. Horn mit Unterstütung der Deut- Abb. 2.

s ehen Forsch ungsgerneinschaft in der

Versuchs-anstalt Ihr Wasserbau und Schiffbau, Berlin, vom Verfasser durchgeführt werden 3). _Diese

Versuche sollen erbringen, ob die Micheilsche Theorie ausreicht, eine für die Praxis notwendige Systematik zu schaffen oder ob weitergehende Lösungen unentbehrlich _sind.

') Die le ro u (le sehe Zahl ist f il L?, wenn mit L dia Schiffslltnge bezeichnet wird..

gL

2) \V ei n i g hat den Vorschlag gemacht, einen plausible,, Geschwindigke1tshodoraphen einzufUhren,

doch ist iticlit zu ersehen, wie die Iiitegratlonsschwierigkeiten hiernach zu bewaitigen alud.

2) S. a. Wigley, Transi just. Nay. arch. 1926 1927, 1930.

fu9'

r - '_L.___...$' »7_4.

Ztschr.f trngow.

456 Weinblum, Wellenbildender Widerstand von Schffen Math.undMech.

II. Ansltze für da

Gleitsehiff.

Bis hierher hatten wir vorwiegend Deplacementschilfe im Auge gehabt und die

dadurch bedingten Einschränkungen untersucht. Die Grundgleichungen könnten mit

einer groben Annäherung in gewissen FitUen auch für Auftriebschifte herangezogen werden, ebenso für die Zwischenstadien, in welchen die beiden Formen ineinander über-gehen, sie versagen jedoch, sobald die Annahme der Abströmung nach Wasserlinien durch die nach Schnitten zu ersetzen ist. Im extremen Fall eines Fahrzeugs mit

ver-schwindendem Tielgang, spez. eines Gleitschiffes, kommt man zu einer angenilherten

Lösung durch die Hognersche Formel. Es bestehen hier folgende Bedingungen):

Innerhalb des Schiilsbodens S= z3 (x, y)muß unsere Wellenoberfläche die Gleichung desselben annehmen:

o(x,y)=z0(x,y) (15),

2. die Summe des Auftriebs ist gleich dem Schiffsgewicht

.7A=D

(16)

und das Aultriebsmoment gleich dem Gewichtsmoment

Ax=M

(17)

Die wirklich eintretende Lage des Fahrzeugs wird wieder eine Funktion der Fr0 u d e

-sehen Zahl sein und könnte genau wie oben aus dem HamiltonschenPrinzip gewonnen

werden, nur daß wir hier wegen der Wichtigkeit der Anfuhrvorgänge den Ansatz in

seiner allgemeinsten Form zu wählen haben:

.

f(VT)d=o

(is). Auch diese Lösung ist vorläufig unzugänglich, insbesondere wird die Erfüllung der

Rand-bedingungen am Boden selbst für einen vorgegebenen Ansteliwinkel außerordentliche

Schwierigkeiten bereiten; wir sehen uns daher nach einem anderen mechanischen Modell

um, welches den VorgaDg genügend exakt wiedergibt. Aus Messungen von Sottorf)

ist bekannt, daß vorgeschriebenen Bodênformen in Abhängigkeit von der Froudeschen

Zahl verschiedene Druckverteilungen entsprechen; da mathematische Schwierigkeiten

eine Berechnung der Drücke für bestimmte Bodenformen nicht zulassen, ist man

ver-sucht, statt der Randbedingung fur den Boden z (x, y) = auf Grund von Messungen

eine Druckverteilung p für den Anfangszustand vorzugeben und dann die-Variation

an-zusetzen.

Wie weit die rechnerischen Schwierigkeiten auch hier noch bestehen, werden wir weiter unten sehen.

Ilit dieser Betrachtung haben wir einen Anschluß an die Theorie der Druckpnnlcto

gewonnen, welche über den zweiten Grenzfall - Schiff mit verschwindendem Tiefgang

- einige Aufschlïisse geben wird. Eine Identität der Variationen für gegebenen Boden

und Druck besteht aber nicht, es können daher durch den Ersatz im Verlauf des

Be-wegungsvorganges Abweichungen von unserer ursprünglichen Bodenlorin auftreten.

t Alle uns interessierenden Vorgänge am Fahrzeug sind eindeutig definiert, wenn

Ç die Druckverteilung bekannt ist durch Summierung der Komponenten in der Fahrt. Die

Schwierigkeit liegt gerade in der Auffindung der Drücke. In dieser Beziehung ist ein

tieferes Eindringen in den Mechanismus des Widerstanaes durch systematischeMessungen

am Modell, wie sie von Horn in der Versuchsanstalt-Berlin veranlaßt sind, zu erwarten.

Die Theorie stellt sich wesentlich bescheidenere Aufgaben:

- Die Unmöglichkeit, die Wellenbewegung für vorgegebene Formerj exakt zu

be-stimmen, hat zum Ersatz von Widerstandskörpern durch Drucksysteme geliihrt, welche

die Bezeichnung 1orcive« tragen. Die Frage, wie die Druckverteilung, welche vir uns

über ein bestimmtes Gebiet der Oberfläche angreifend denken, zustande kommt und

welchen $chiffsformen bestimmte Verteilungen entsprechen, ist dabei vollkommen offen gelassen Wir sehen, daß hiermit nur eine rohe Annäherung an praktisch vorliegende

Verhältnisse gegeben Ist; dementsprechend hat die Theorie in ihren Anfängen für Unter-suchungen im Schiffbau wenig geleistet, bis es Havelockz) gelang, eine Lösung uhr

zweidimensionale Druicksysteme und Druckgruppen mit aebsensymmetriseher Verteilung

I) Wir sehen von einer tntersuchung der Gierbewegungen ab.

2) _{Werft, Reederel, Hefen 1929.}

Band 10. tIeft S

Oktobor 1930 We i n blu m, \Vl3llenhildonder Widerstand von Schiffen 457

Gegenüber der Micheilschen Theorie ist hervorzuheben, daß eine Beschränkung hin-sichtlich der Konfiguration des Drucksystems (entsprechend der Bedingung sehr kleiner Winkel zur Mitsehifisebene) nicht besteht, und wir daher versuchen können, die

Hog-nersehe Theorie unter gewissen Kautelen zur Kontrolle des Michelischen Integrals

anzuwenden.

In unendlich tiefem Wasser muß die Geschwindigkeit O herrschen, was durch die

Bedingung

(23)

erfüllt, wird. Das Drucksystem kann durch das Fouriersche Integral da-gestelIt werden,

wobei mit X0 y die Koordinaten eines Druckpunktes bezeichnet werden sollen. Hieraus

ergibt sieh das Hogncrsche Geschwindigkeitspotcntial:

- r , i[(X X0)+

(yj)] +

+ 2z

Ø_

¡

da dß ¡

p(Xn,yo) dXodF (24).

.J .1 .1.1

-00 o

Ueber die Auswertung des letzten Integrals, siehe Hogner (Dissertation), Upsala

1925. Für verschiedene Gebiete der Oberfläche werden Entwicklungen angesetzt, welche

die Darstellung der Wellcnform ermöglichen; nur im eigentlichen Bereich des

Druck-systems sind dio Schwierigkeiten noch nicht überwunden. Dese Tatsache ist vom Standpunkte des Sehifibauers bedauerlich, weil er nicht in der Lage ist, festzustellen,

welche Bodenfor-ra einer bestimmten Druckverteilung entspricht. Dagegen erweist sich die Beschränkung für die Widerstandsrechnung nicht als nachteilig, weil alle der

Rech-nung unzugänglichen Glieder verschwinden.

Wie schon erwähnt, betrachten wir ein Drucksystem, welches nur in einem Ge-biete S von O verschieden ist. Die Beziehung für den Widerstand ergibt sieh dann ein-fach durch die Summation der Komponenten in der Bewegungsrichtung als

R__ffp(xo,yo)_dxodyo

(25)

und die Hognersehc Formel lautet:

)) Dallier Bericht 1024. Arktv lCr Matematik, Astronomi och Fysik .1925, 1928. 29 sehen Gleichungen V,) Vo

lO=g

2

[2f

i;? z=O =0 (21), (22). i)X2

zu finden. Einen gewissen Abschluß haben diese Arbeiten durch Hogncr I) erfahren,

der nachgewiesen hat, daß selbst fir cin beliebige Druckanordnung auf der Oberfläche

der Widerstand sich verhältnismäßig einfach rechnen läßt. Wir wollen uns zunächst mit einer kurzen

Wieder-gabe der physikalischen Voraussetzungen und des

Geltungs-bereiches der Hognersehen Formel befassen, wobei

voran-gestellt werden soli, daß für (lie Zwecke der Schilistheorie

nicht so sehr das Wollenbild, als der Widerstand

entschei-dend ist - eine gliicklich3 Problemstellung, da es sich bei Abb. 3.

allen Rechnungen zeigt, daß der Widerstand als cine

ver-hältnisrniißig einfache Aufgabe ira Vergleich zur Oberflächenform zu betrachten ist.

Unter der Annahme idealer Flüssigkeit und geringer Wellenhühe im Vergleich

ZUo Länge wird die gleichförmige Bewegung eines Drucksystems p untersucht, welches

sich in Richtung der positiven X-Achse bewegen soll. Der Vorgang ist stationär, wenn

wir dic Beziehung

X=xv0t

(19)

einführen, wobei das Zusammenfallen beider Systeme für den Zeitpunkt t = O

voraus-zusetzen ist. Für diese Bewegung wird ein Geschwindigkeitspotential angesetzt,

welches der L aplace sehen Gleichung

j=O

(20)

Euler-tschr.tnnow. 458 Weinblum, Wellenbildender Widerstand von Schiffen Math.undMcch.

R

-

_{it o a0} (u) ± G (u)} (u' ± I)? du (2G),

o

(27),

(28). G, (u)

s

Diese Beziehungen legen wir unseren weiteren Ifech-nungen über den Widerstand von Gleitfahrzeugen zugrunde und führen zur Auswertung der Funk-tionen (u), o (u) die Annahme ein, daf3 die Be-.grenzung des Gebietes immer symmetrisch zur X-Achso sein soll; nur dieser Fall hat praktisches Interesse,

die Brauchbarkeit unserer Folgerungen leidet nicht

darunter. Die Y-Achse legen wir dann zwischen die huf3ersten Punkte von S (Lunge fiber alles) a und

bezeichnen ag I Xj

-- 2 f2

bg X.2 = vo

um mit dimensionslosen Größen operieren zu können,

p==p(o, o)=poXXamno"'17o',

P=ab/fpdod i7o

. - . (30).

Bei BeschrLnkpng auf eine symmetrische Begrenzung auch in der X-Richtung, erhalten

wir sofort folgendes Resultat: zum Integral

abrr

t

. (31)

tragen nur symmetrische (gerade) Glieder der Drucklunktionen X X a,,,,, so" etwas bei, zulu Ausdruck

G1 (u)

-

(o rio) sin (?i

o ± ,

o) d o d - .

()

nur unsymmetrische, da bei symmetrischen Grenzen das Integral einer ungeraden Funktion O ergibt.

In der Struktur der Hognerschen Formel besteht eine weitgehende Aehnlichkeit

mit dem Micheilschen Integral:

11=

f(J2

+ Ji) fry) dy (33),

j = cif f -- e

sin d d (34),

L,T

1=

rff

elu cos ,'

d (35),

= f (,

) - Schiiisoberditehe.

Statt der Druckfunktion erscheint der Diîerentialquotient der Schifisoberfliiche auf; zu

be-achten ist, daß nach Hogner die Breiten-, nach Micheil Tiefenkoordinate auftritt,

wo-durch die beiden Formeln als Grenzilille gekennzeichnet sind. in beiden Fällen zeitigt

eine Abweichung von der Symmetrie zusätzlichen Widerstand, cia die quadratischen

;lieder G21u), P immer größer als O sein müssen. Damit ist ein erster Zusammenhang

Abb. 4.

t

X0

a

yo

-

ff p

(X0, yo) ces

r

(X, ± u yo)Vu2 ± i] d X0 d o

L vo

s

G (u) = -b. fJ p (X0, yo) sin

[i1 (X, ± u

yo)T/' d X0 d o

Froudesehe Zahl,

Ti = Xi 3/ui i = X2 u 3/u2 ± i

t.

and 10, Heft

Oktober 190 Weinbluin, Wellenbildender Widerstand von Schiffen 46 zwischen Druckverteilung und Widerstand ewonnen. Auch rechnungsmïißig besteht eine

weitgehende Analogie insofern, als in beiden 1ntegralloren Produkte der Druckfunktion bzw. der Oberflüchentangenten mit einfachen Kreisfunktionen auftreten. Bei konstanten

Grenzen Ihr y und ganzen rationalen Funktionen für das Drucksystem erhalten wir die

einfachen Quadraturen:

,,

(7).=/t sin

d . (as), Q (y)

=ft

cos yl dl . . (37),

wclehe Michcll-Funktioncn genannt worden sind. Sohiit können wir Ihr diesen wichtigsten Fall einen groLlen Teil der an anderer Stelle') gewonnenen Rechnungsergcbnisse benutzen

mit dein Unterschiede. daß hier fur symmetrischen Druck der cos.Typus maßgebend ist.

Als zweites Ergebnis folgt unmiitclbar, daß für v = , R = O, d. h. der

Wellen-widerstand verschwindet.

Legen wir uns jetzt die entscheidende Frage vor, wie die Hognerschen

Ergeb-nisse in der Schifistheorie auf Gleitboote, Flugzeugschwimtner usw. angewandt werden

können. Gegenüber dem außerordentlich verwickelten Vorgang beim Gleiten gibt uns

die Theorie nur für eine bestimmte vorgeschriebene Druckverteilung den dazugehörigen

Widerstand. Wir sind, wie hervorgehoben, z. Zt. nicht einmal in der Lage, die Form

des Bodens, welche einem angenommenen Auftriebssystem entspricht, mit genügender

Genauigkeit zu bestimjncn. Daß für eine empirische Druckmessung der Widerstand

ge-rechnet werden kann, ist kein praktischer Vorteil, da bei cineni solchen Versuch der

leicht zu bestimmende Ansteliwiukel immer gemessen wird, der Wellenwiderstand daher unmittelbar bekannt ist.

Auch dr Versuch, cine Widerstandskurve über das Gebiet der uns interessierenden Frondoschen Zahlen zu ermitteln, wenn ihr eine Geschwindigkeit y1 die Druckverteilung

p (

) bekannt ist, scheitert an Schwierigkeiten der Rechnung. Die Variation für den

stationären Vorgang ö (T - V) = O ist für die Nebenbedingungen

ppi(o,'2o),

P=abffpdodijo,

M=a2b/fp.odod,uo

y1 =konst. zu lösen; nun ist die X-Achse des forcive innerhalb gewisser Schranken (Abb. 5),

welche durch dio auftretenden Druckverteilungen gegeben sind, variabel, daher sowohl

T= F1 (p, Integraigrenze)

wie V= F (p, Integraigrenze)

(39),

mithin die Schwierigkeit der Variationsaufgabe außerordentlich. Wegen der Voraussetzung einer stationären Bewegung scheiden alle Anfahr-Vorgänge aus.

Trotz aller dieser Einschränkungen wird dio systematische Forschung schon jetzt aus den hydrodynamischen Ergebnissen Nutzen

ziehen können, wenn auch zur Berechnung von Einzelfällen immer

der Versuch heranzuziehen sein wird. Beschränken wir uns im

folgenden auf feste Grenzen, also ein unveränderliches Gebiet der

Oberfläche, wählen wir einfache Druckverteilungen und einfache

Kon-Luron dieses »1orcive' Gebietes, so können wir die Abhängigkeit des

t'

Za 'Widerstandes von allen diesen Größen generell feststellen. Darüber

hinaus können wir versuchen, Minimalüberlegungen für Drucksysteme Abb. 5.

anzustellen, welche bei peinlieher Beachtung der einschränkenden

Bedingungen von Wert sein können. Setzen wir p = o . a,,. _o' no", worin die Cm

so zu bestimmen sind, daß der Widerstand ein Minimum wird, und halten wir nach wie

vor die Grenze fest, so ergibt die Ritz sehe Methode als angenaherte Lösung der

Varia-tion ö 11=0 dic Bcstimmnngsgleichungen für eine gegebene Froudo sehe Zahl:

= O mit den Nebenbedingungen P= konst., M= konst. . (40).

Praktisch würde man die Rechnung so durchführen, daß man

P Pox (vo) . a,,, E' oder

p =po p () .

a,, . . . . (41)

ansetzt, d. h. in einer Ilichtung eine bestimmte Verteilung annimmt und die günstigste

Lösung in der anderen Richtung sucht. Man könnte das Minimumprinzip einer

43O Welublum, Wellenbildender Widerstand von Schiffen

matischen Untersuchung zugrunde legen; wir beschränken uns weiterhin auf eine direkte Auswertung einiger einfacher Beispiele. Bei systemátisehen Versuchen wird man

so vorgehen können, dad man die Zusammenhänge für Druckverteilung und Boden

experimentell zu klären sucht und dann die Bodenformen in Richtung günstiger Drücke

abitndert.

III. Widerstände einiger einfacher

Drucksysteme.

Wir untersuchen Folgerungen aus der Hognerseheri Formel für untenstehende

Fälle

A. Rechteckige Druckgcbicte.

p = o = konst. Abhängigkeit des Widerstandes vom Breitenverbäitnis des

Druckgebietes für eine Reihe von Froudeschen Zahlen. Die Anuahu]e p =po = konst.

entspricht nicht der Wirklichkeit, da aus den Messungen von Sottort bekannt ist, daß

bei höheren Froudeschcn Zahlen die Druckverteilung fast dreieckförmig wird; sie

er-gibt aber eine erste Näherung.

p = po (i ±

). Eintluß einer unsymmetrischen Druckverteilung auf den

Widerstand.

e) p

o (i 4_ 2)

p . 'o (i ± 170'). Untersuchung der Druckverteilung in der Querrichtung.

Vergleich der Hognersehen Formel mit zwei Messungen von Sottort.

B. Druckgebi et durch zwei Parabeln begrenzt = ± (i - o'), Po = konst.

Betrachteiì wir zuerst dic Forwel:

RfP.ds.

Für den einfachsten Fall konst. = sin a

...(43)

wird

W=Rr=Psina

(44)

ein selbstverständliches Ergebnis.. Bei gegebener Belastung ist der Winlel a möglichst

gering zu halten, um den Widerstand zu drücken. Nach der Beziehung R = P sin a

=Atga ist von Sottorf in einem umfangreichen

Ver-suchsprogramm für ebene Platten der Formsviderstand

ausgewertet worden mit dem Ergebnis, daß bei Anwen-dung der Praudtischen Beiwerte für den restlichen

Rei-bungswiderstand eine ausgezeichnete Uebereinstimmung zwischen Versuch und Rechnung festgestellt werden

L- konnte; mit anderen Worten: es existieren nur Verluste

durch Reibung und Wellenbildung. Dio Anwendung des aus der Tragflächentheorio übernommenen Begriffes

»in-Abb. duzierter Widerstand ant Gleitvorgiinge, welcher sich in

der Literatur einzubiirgern scheint, ist nicht haltbar und

hat zu Unklarheiten, wie der Abtrennung eines weiteren \Vellenwiderstandes geführt.

Die hydrodynamische Erklärung des Widerstandes cines endlich langen Tragfliigels und eines Gleitkürpers ist gänzlich verschieden,', im ersten FI1 müssen gebundene und freie Wirbel angenommen- werden, im zweiten ist dio Bewegung durch ein

Geschwindigkeits-potential charakterisiert; gemeinsam ist beiden Problemen nur das Auftreten cines Widerstandes im idealen Medium. Dementsprechend unterscheiden sich auch dic Wider-standsgcsetze. Die Hogncrsehc Formel hat den Typus

-,

E=E(f,p)=,E

. (45).

Ztschr. f. anrow. Muth. und Medi.

s=b:a,

Pp,.(F1ächeS).c,

t2=;Vg

Die Länge des Druckgobietes 2a entspricht der Flt1goltioe, die Breite 2h der

Spannweite, während nach der bekannten PrandtlschenBeziehung

43

(4G).

Bei festem A - P fällt für den Tragfiuigel W1 quadratisch mit der Breite, wlthrend

Band 10, lieft 5

Oktober 1930 Weinhlum, Wellenbildencler Widerstand von Schiffen 461

wird und der Exponent von b sich etwa zwischen i - 1,7 bol den üblichen Verhältnissen ändert (s. weiter Diagramm 8).

A. Rechteckige Bereiche.

a) dan könnte die Hognerschen Integrale für verschiedeno Froudcsche Zahlen,

Gebiete und Drücke tabellicren; wegen der großen Zahl von Argumenten wird die Arbeit

sehr umfangreich sein. Wir wollen uns für die Zwecke der praktischen Rechnung der

Zwlsehenuiinktlon1) M, M' bedlonon, durch welche sieh R sefort bei gegebenem pp a,,, o'" ausdrücken läßt,

11= M,'(y) M'(?'i)]2± 1r,,,(71) M, ()]} (u2± i)'!ldu (47)

':

B = C1 x12E= CE,

wobei wir das Integral gleich x,2 E gesetzt haben und' darauf x1 C'1 C bilden,

i 16 _{b2po3, P= 4 abpo}

a

die Einführung des spez. Di'uclies p statt P ist notwendig, wenn P= O wird, d. h. die

Hognerseho Form des Koeffizienten ihren Sinn verliert.

Weiterhin ist folgende Ueberlegung im Auge zo behalten:

Für p = konsi. konvergiert das Integral:

11 C1 f'°lío' ('3)Mo' (y) (u3± 1)'Ildu= Ci J2fsin'i M0' (7i)(u2+1)'i'zdu=C.E

da .Sfo' (7i) = " Yl (4S)

bei klçinen /= _2ga sehr schnell, so daß der Fehler, den wir begehen, wenn die

Be-rechnung nach Ermittlung von drei Wellen des integrals E abgebrochen wird, unwesentlich ist. Bei höheren j' (etwa von 0,7 an) verfahren wir analog und überlegen dann weiter

Es 'ist zu beachten, daß für große u in E die Funktion sin2 y linear, die andere

M' y2) dagegen von dem Quadrat des Parameters u abhängt, d. h. bei genügend großem u

der zweite Faktor eine Welle beschreibt, ohne daß sich das Produkt (u2 ± i)'Iz sin1 ?'i in dem entsprechenden Bereich wesentlich ändert. Das Integral kann wie folgt dargestellt werden:

E =f 3 Wellen sin2 'Ii (u2 ± i!o

!' du=J+.±2J sin2y2 -jdu=f±J (49)

da für große u x1 u, '2 x1 u2. Ist jetzt u0 genügend groß, so kann unter Beachtung

gin271 . . . .

der Tatsache, daß eine positiv definite Große ist, mit genugender Genauigkeit

,c24J u3

(so)

u0

gesetzt werden. Anschaulich geht aus nebenstebcnder Skizze

hervor, daß die gesuchto 'Fläche ungefähr dem ganzen Gebiet

multipliziert mit dem Völligkeitsgrad der Sinus2-Wellen (0.5) ent-spricht, da die Sinus3-Kurve hierbei aus jedem elementaren

Recht-eck die Hälfte des Inhalts wcgschneidet.

Das Restglied lautet daher Abb. 7.

gin 2 , co

- cos2,c1UJ

+

_{2 x1 - Ci 2 z1 u0' 4 x1}

. . (si).

Uj J

Die Ergebnisse der Auswertung gemäß (48) sind in den Diagrammen S, 9 als Bei-werte . für gleiches P nach der Beziehung

R

2

irovoial ¿5

) J. S. T. G. 1930.

Ztschr. f. flnet)W.

4G Weinhium, \Velhenhildender Widerstand von Schiffen Mnth.undMech.

als Funktion der Froudesehen Zahlen

und b : a = dargestellt Man sieht, daß fur jedes bestimmte Seitenverhilitnis die Abhiingigkeit von, der Geschwindigkeit einen besonderen Verlauf hat. Die

Auf-tragung über t Abb. 9 zeigt folgendes

interessante Resultat: Fur kleine F ro udc

-sehe Zahlen bzw. große , welche den

Beginn des Gleitens angeben, nimmt der

Exponent r von i _in der Beziehung

--c schnell zu. Die in der Praxis

fer

wichtigen Bereiche haben für allo

& Froudeschen Zahlen nur wenig

ver-schiedene Exponenten, welche im Mittel

mit 1,7 gegen den Prandtischen Wert

von 2 fUr Tragtltichen eingesetzt vcrden können. Die gleiche Darstellung der

Sottorfschen Versuche, Abb. 10,

be-stiltigt generell den Verlauf der

theo-retischen Auswertungen; der Exponent

der Brcitenabhitngigkeit liegt etwas

01 tiefer - etwa bei 1,55 - und zeigt bei

kleinen Seitenverhiultnissen, denen kleine

Froudeseho Zahlen entsprechen, den

charakteristischen Abfall. Au? eine

Dis-kussion der absoluten Größen soll hier

nicht eingegangen werden, da dio

Druck-verteilungen in der Rechnung konstant und im Experiment stark veränderlich sind, nur soviel sei festgestellt, daß die Theorie um 15 bis 20 vH zu geringe Werte des Widerstandes liefert.

(-'n

r. 3.2«

Abb. S. Beiwerte E/ der Formol (52) [tdr P = PL)

Beiwerte E der Formel (47)] M: 1 cm = 0,25, wenn nicht anders angegeben.

402 07

7 8

03

.iuiuuaaiu

uuIu.muuuuRu..--..

iiiiniuiinuunuiuuuu.iiami

_{UUU UURURU}

...uuuuu

,

- im..m.u..arnu.uu

.

uun.uuuai

- i.uuuuiuuuuiuumii

iii.iuium '

iiu.iiuu...uui

....__...__...

\e'1-::L'r. Jvr

uluiuuililu

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'IIliIllIIiiIIIU

IlillIflhl

J

V 'uiuiiuuiiiiiuui

's. ua.wmi....

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\\\. i....ii.u.iu

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.uIuRuuuuuIuIuaauIuua w.i.uuiu

I.I...aIlaalk...uuumuua.rn "auui..uuu

NhhIIIuIUIIiiIuIhIIIIuIlIuil ,iIiII ii

uuIuuuuiuuIuiINauhIuuIiul

,

iIIIllii

.iu.uuiuuuuuuiiuuu u

_{iuuiurnuuuuauuuuam u 1*1 u}

uI

UlIUIlHlHlHlUlflIUIu

I

Ilk

403 Or 02 40 4.0

o

100 BPe!tenobflá?7g/qke/Y

Abb. 0. Abnahme des Beiwerte E fCr p = = konst. mit wachsender Breite.

z J ¿1

10

E

43

BRnd 10, flift 5

Oktober 1930 \Veinblum, Wellenbildender Widerstand von Schiffen

b) Um eine

wcitere.An-nihc.rung an die Wirklichkeit zu erhalten, ist für quadratische

Böden der zusätzliche Betrag,

welcher durch lineare Unsymme-.

trie der Druckverteilung p

entsteht, berechnet. I)i Werte

sind ebenfalls lin Diagramm 8

eingezeichnet; man sieht, daß

rechnungsmäßig dieWiderstands-vermehrung nur für kleine

Frondeschen Zahlen erheblich

sein kön nto. In Wirklichkeit

ist aber gerade in diesem

Be-reich die Abweichung von einer gleichförmigen Druckverteilung

gering; für höhere Froudesche Zahlen, welche tatsächlich cinc ungefähr dreickförmige Druck-.

kurve aufweisen, beträgt der

Zusatz durch Unsymmetrie 7 bis

S vil und fällt mit wachsender

G eschwiudigkeit.

Der Rechuungsgang bleib.t

ähnlich wie früher: von u = O

'bis u u0 werden 2 - 3 Wellen

gerechnet, dann können wir

wie folgt verfahren

loo 'qe qQ 'o 3.0 E la 09 08 0.7 as 05 0.4 0.3 02 '21 0:

E=fMI2(7m)Mo'(ym)(u±1)12du=

Id0 o, un w

=

2

xi2f±_°SJ M3(?I)d

Nach Auswertung von 2 Wellen der Funktion M1 (') sind weitere Restglieder nicht mehr notwendig. Ein ähnliches Verfahren wird überall da am Platze sein, wo die

Verschieden-heit der M' () ilí(y) von der Sinus- oder Cosinus-Kurve beträchtlich Ist, wir daher

keine Möglichkeit haben, bequeme Restabschiitzungen vorzunehmen, d. h. bei allen höheren Potenzen der Verteilungsfunktion p ( rj). Da die Beziehung G (u) als Quadrat in das

Widerstandsintegral eingeht, ist es gleichgültig (für den Widerstand!) ob

p=po(1±) oderp=po(l)

(54'),

d. h. der Druck vorne oder hinten seinen höchsten Wert hat.

e) p

po (i ± ) die Untersuchung gilt nur für 'z 1, 0 h. quadratische Böden; die numerische Aufwertung bleibt dieselbe wie unter b, die Auftragung im Diagramm S lehrt uns folgendes: Das Auftreten von symmetrischen Staupunkten an den Enden Ist im prak-tisch wichtigen Geschwindigkeitsgebiet nützlich, ein symmetrischer Abfall

-

dagegen meistenteils ungünstig.

0) p

po (t ± ). Die Versuche von Sottorf zeigen nur eine geringe Aenderung

der Drücke in der Richtung quer zur Fahrt, so dad die Annahme einer konstanten Ver-teilung in dieser Richtung, wie sie in den drei ersten Fällen gemacht wurde, eine gute

Annäherung an die Wirklichkeit gibt. Da bei anderweitigen Bodenformen eine stärkere

Aenderung p = p (go) nicht ausgeschlossen erscheint, sind im Diagramm die Werte für

= i

bei dieser Annahme eingetragen. l'dan sieht, daß die 'Verteilung p = po (t

-Ihr kleine Froudcsche Zahlen bezogen auf den gleichen Gesamtdruck ungünstiger als = konst. ist, später aber günstiger wird; die Stauverteilung am Rande p = o

(i ±

2)

ist praktisch durchweg ungünstiger. Die Widerstandsformel lautet

R = C7M0' (7') 1M0' (72) ± M2' (7m)] (u2 ± 1)": du (os) und läßt sióh wie früher ohne Schwierigkeiten auswerten.

03 0+ 05 06 4'708OStO

Abb. Beiwerte E/o2 der Formel (52)

,Lt t0 .fO *0 qQ 0 70 oogo 100 IO,

nach Versuchen on Sottorf.

4 fl

Ztschr. f. angew.

464 W ein hi um, Wellenbildender Wlder9tand von' Schiffen 4,itI,. md Mech. e) Für zwei im Aufsatz von Settori wiedergegebene Versuche mit Druckmessungen

können die Be1asungen wie folgt dargestellt werden:

i. P1

=fp,

ds= 36kg

p,

po(1 ±)

Ç praktisch unabhängig

2. P,

f

p ds= iS kg p

Po (i + 1,4 2,3 o7) voll '7,

Der erste Fall bietet nichts Neues, der zweite (Abb. ii) läßt sich leicht aus der

Be-ziehung

2? C/'MO' (y.,) {[M0' (7i) + 1,4 M9'

(,J' +

2,32 f2 (7,)) (u'-+- i)'/ d u (57) berechnen. Statt der gemessenen Werte 2,51 kg und 1,24 kg

erhalten wir 2,17 und 0,98 kg, wobei von den 2,17 2,03 durch

die gicichförmige Belastung und 0,14 durch die Unsymmetrio

beigesteuert werden. Die Kurve 12 veranschaulicht den Roch-nungsgang für das zweite Beispiel.

x

B. Nicht rechtecklörmige Bereiche. p

p, konst.

Für die Grenze oo = ± (i tO) (Abb. 13) nimmt das

Hognersche Integral 1? die Form an

.1iiiiillhIIllIIIflhIllh1IIflhIIII

Abb. Il.

f5

¿9,5

Abb. 12.

1? =

efG(u) (u2± i)'l'du,

G, (u) -- . COS 7 sin

(i - tI) cl

(58).

Sehr nachteilig für die Berechnung ist die Abhängigkeit der

Quadraturen H von o. Für jeden Wert von u Ist H durch an-genäherte Integration (Simpson, Planimeter usw.) zu ge-winnen, wobei wegen des fluktuierenden Vorzeichens auf

Ge-nauigkeit zu achten ist. Für große u wird die Rechenarbeit

mühselig. Man könnte daher versuchen, in diesen Fällen

dio Methode der stationrcn Phasen anzuwenden (s. Lamb,

S. 372)

J

r

(z) c-- ¿1(x) dx 'Çr (q) e I()

./ Vi'i2 't"(')!

wenn a = x f (r) stationär macht

(r) = cos ,

f(x) = 7(1 _,2),

a=o, J=

sin [72-r14J (59).

Für kleine u ist die Genauigkeit des Verfahrens nicht befriedigend, da die Bedingung, daß viele Wellen von sin '... (i - o) auf cos 'i , kommen, nicht erfüllt ist.

45 9,0 9,5 2,0 45 40

Band 10; lIeft 5

Oktober 1930 Weinblum, Wellenbildender Widerstand von Schiffen

465

Beziehen wir dcn Vergleich zwischen quadratischer und parabolischer Grundform

auf gleiches Gesamt P fur x = x2= i, so sind die beiden Formen ungefähr gleichwertig;

dasselbe gilt für inhaltsgleieho Flächen bei konstanten Geschwindigkeiten, da sich dio

Beiwerte E nicht wesentlich ändern.

Abb. 14. H=fcos y o siny (L

-o.

Um weitergehende Schlüsse ziehen zu lönncn, müßte für eine Reihe von

Froude-sehen Zahlen und Seitenverhbltnisscn eine analoge Rechnung durchgeführt werden. Die

numerischen Schwierigkeiten wären beträchtlich, aber nicht unüberwindlich.

Denkt man sich ein Dreieck einmal mit der Spitze, das andere Mal mit der Basis voraus durch das Wasser geshIeift,

ijo = ±(i±),

2'IO =

(i

-so wird das Widerstandsintegral R1

R, da

Gr (u) = cl COS 7 o Gos a o dio, Gg(u) = c cas sin 7 sin o d

(60),

d. h. der Widerstand ist davon unabhiïngig, ob wir mit der Grundlinie oder Spitze vor-ausfahren, natürlich immer unter Voraussetzung eines konstanten Druckes.

Außer idr Gleitboote erscheint

die Rognersche Lisung nicht

ohne Wert für

flache Dcplacemcntsfahrzeuge, deren Tiefgang im Verhältnis zur Länge und Breite so gering ist, daß die Grundglcichung (6) unwichtig gegenüber einer angenäherten Be-ziehung zo (x, y) = (x, i) wird, doch müßten erst einige empirische Druekmessuugen

vorliegen. Im Diagramm 9 ist die Abhängigkeit eines langgestreckten Drucägebietes vom Breitenverbältuis bei 2 verschiedenen FroudeschenZahlen und konstanter Verteilung

untersucht worden; es ist noch nicht angängig, hieraus praktische Schlüsse zu ziehen, da der Bedingung, welche ein Deplacementslabrzeug charakterisiert

P=fpds=ô

icbt genügt ist.

Für eine der wesentlichsten Aufgaben - Borechnung der Widerstandskurve eines

Glcitf;hrzeugcs in. Abhängigkeü von der Geschwindigkeit kann man einige Richtlinien aufstellen:

Der Uebergang vom Schwimmen zum Gleiten läßt sich nur summarischbeschreiben, da er zwischen den Grenzannahmcn der Theorie liegt. Der Widerstand des Deplacements-fahrzeugs in diesem Gebiet ist charakterisiert durch den letzten Buckel der Widerstands-kurve (Abb. 15) und folgt beim Beginn des Vorgangs (soweit hiervon die Rede sein kann)

enem Gesetz, welches ein langsames Ansteigen mit derGeschwindigkeit verlangt; treffen die Voraussetzungen des Gleitbootes zu, so fällt der Widerstand in der Regel etwas

langsamer als das Quadrat der Geschwindigkeit, denn in

Zthchr.fanow.

466 Weinblum. Wellenbildender Widerstand vonSchiffen Math.undMech.

ä Cc.O,JO

f_..-ALb. 15. Wellenwiderstand eines Dcplacementsíahrzeugs. P2 n o2 b2 b=konst.,

.konst

(61)

wird b: a = i durch Vcrkiirzeu von (2a) infolge der Konzentration cies Druckes an der

eintretenden Kante mit wachsender Geschwindigkeit größer, ebenso E1

t°r (J).

Auch die Zunahme der Froudesehen Zahl bewirkt ein Antcigen von E,, so daß unter üblichen

Verhältnissen E, mit y wächst ucd die Potenz von v' herabgesetzt wird hei starker

Aenderung von . welche aberunwahrscheinlich ist, können die Verhältnisse sich so

ge-Abb. 16. Gesamtw!derstand W

eines Gleitfahezeuge von i m Lftnge.

stalten, daß der quadratische Abfall ungefähr bestehen bleibt. Die Diagramme S und 9

geben dcii ersten rohen Anhalt zur Klärung der Widezstandsverhiiitnisso. Skizze 16

zeigt uiir ein Schwiminermodeul von ca. 1 m Länge die Abhängigkeit des Gosamtwider-standes von der Geschwindigkeit.

Zusammenlassung. Das Problem des Wellenwiderstandes ist für den ersten

Grenzfall eines scharfen keilförmigen Körpers dnrc IIièhelI gelöst. Fur den zweiten

Grenzfall des Gleitsehilles gibt die Hognersche Formel aul Grund des meehanischen

Modells der Druckpunkte die Möglichkeit, folgende wichtige Aussagen zu machen:

1. Die Abhängigkeit des Widerstandes von der Froudeschen Zahl, dcm

Seiten-verhältnis und der Druckverteilung wird generell richtig wiedergegeben. Es ist unzweckmäßig, die 'rcinìino1ogie der Tragfluchentheorie auf die i'otentialbewegung der Gleitvoigii.nge zu übertragen.

Die absoluten Werte des Widerstandes sind zu klein; voraussichtlich ist die An-nahme kleiner Welienhöhon hieran schuld.

Die Annahme einer konstanten Druckverteilung p =konst. gibt den Widerstand

auch für komplizierte Verteilung in ciar Größenordnung richtig wieder.

Widerstandskurven lassen sich auf theoretischem WTege nur generell aufstellen,

der Widerstand nimmt mit einer Potenz, die in der Regel etwas kleiner ]s die

zweite ist, ab, für unendliche Geschwindigkeit wird der Wellenwiderstand gleich O.

Die Theorie scheint geeignet, eine gute Arbeitshypothese fur systematische

Ver-suche, z. B. zur AuÍindung günstiger Bodenformen, abzugeben. Zur Lösung

von Einzelfragen ist der Versuch unentbehrlich.

Durch Druckmessungen an Sc'hiiîsmodellcn ist zu klären, ob die Drucäpunkt-theorie auch für Deplacementsfahrzeuge brauchbare Beziehungen liefern kann;

Hotfnungcn sind in dieser Beziehung nur für flache Fahrzeuge berechtigt.

Durch dio Lösungen von Michell und Hogner besteht die Aussicht, daß das

Problem das Schifiswiderstandes von zwei Grenzfiillen her unter Hinzuziehung ausgiebiger systematischer Versuche in weitem l5wfange gefördert werden kann.

Zum Schluß ist es mir eine angenehme Pflicht, meinem Kollegen F. Eisner 1tii

freundliche Unterstützung bei der Abfassung dieser Arbeit zu danken. 68 w