Problemy Matematyczne
11 (1989), 93-99
H e a S e j i e B B i r p y n b i c ^ o n o j i H i i e M B i M H
c e p B a H T H b i M H n o ^ r p y i m a M H
J I . M . K j u m K a i i
T e o p w i a 6ejie B b ix r p y n n , Ka.K
m
T e o p w i KOHemibix r p y n n , Bcer.ua CJiy- >KMJia hctom hm kom h o b m x Ba>KHbix M/iew n im obuieJi TeopMM r p y n n . Ile p e H e - c e n n e pe3yjibTaTO B T e o p n n a6eJieBbix r p y n n Ha Te mjih HHbie KJiaccbi He KOMy- TaTMBHbix r p y n n npwBoaMT m io r ,a a k noHBJierimo (J)yHjiaMeHTajibiibix T eopeM h nonflTHM. K jiaccn necK M M npH M epoM o t o t o cJiy>KMT T e o p m i nojiribix r im e p - HeHTpaJibHbix m jioKaJibiio-nHJibnoTeHTHbix r p y r m , C 03aann aH b p a 6 o T a xC .H .
M epm iKOBa mA .M .
M a jib n e B a .143
n o c J iem m x nocTmKeiiMM n a s t o m nyTM m o- >kho BbmeJiMTb, nan p M M ep, n o jiy n e n u b ieIO .M .
TopHaKOBbiM aH ajiorw T eopeMH pioctiepa-KyjiM KOBa
ann
jioKaJibHO-nopMaJiHbix r p y n n .B 50-x
r o a a xC .H .
HepriHKOBbiM Skijih M3yneHbi aSejieB bi r p y n n w , b KOTopbix ^ o n o jm n e M b i B ce cepBaHTiibie n o,n rpyn n bi.H cn oJ ib30B aH H e ocHOBHbix b T e o - p im a 6ejie B b ix r p y n n noriTMM cepnanTiioM n o n r p y n n b ia
n p n M o ro pa3Jioa<eHHH npM bejio b 3 to m c ji y n a e k KOHCTpyKTMBHOMy onucanHK) yKa3aHbix r p y n n , n p w -neM , ocHOBHbiMH ejieM eiiTaM n K on cT p yK n n n HBHJiHCb riojm bie r p y n n b i, n p m i a p - iibie orp aH H n en u b ie r p y n n b i
w
r p y n n b i K o n e m io r o p a u r a 6 e 3 K p y H eiiw i. H H T e- p e c n o , b MacTHOCTn, m to Bbinejiem ibin KJiacc r p y n n 0K a 3 a jic n c xapaKTepiibiMM ycjioBMHMM KoiieMiiocTM.C .H .
MepnHKOBbiM 6bui yna3aH T a K * e n ycT b n e p e n e - c e n w i 3tm x p e3y jiT aT 0B n a n eaG ejienbi r p y n n b i, c o c to h ih h K b to m , m to ycjiOBMe non ojiim eM ocT M iia jia r a e T c n n a cepBaHTiibie n o n r p y n n b i B cex MaKCHMajibHbix a 6ejie B b ix r io n r p y n n . Ta.Kne r p y n n b i nonyMMJiM iia3 B a m ie C P - r p j m n . O n u c a -Hue h x npencTaBJineT noBOJibiio cJioiKiiyio 3anaM y n a»ce b c jiy n a e .zm ycTynem io pa 3p em n M b ix r p y n n b oSuieM c ji y n a e n o n a n e p e m e m iy io .
B
n a c T a im ie n p a S o T e M3yMaeTcn C T poen n e iiepn/iiiM ecK n x C P - r p y r mnpH
ycjioBMM iiajiHMMii y n n x n op M a jib H o n MaKCMMajibiioM a b e iie n o n n o n r p y n n b i.B
n a n b iien m eM m bi CyneM n oJib30B aTbcn c jie;iy io m n M H yTBep>KnennflMH:94
JI.M . KjifmKaH
J I E M M A 1 . ( c m .[2 , ji e M M a 2 ]) Ily c T b
G = AXB,
A
DB —
1 r,neA
h i^ -a 6 e jie B b i r p y n n b i. EcjimA\-
n o a r p y n n a H 3A, G1 = C s i A , ) , C 2
=C
a
(G
i
),
t oC\
XC
2 - MaKcnM ajibHan a S e jie n a n o n r p y n n a r p y n n b iG.
J I E M M A 2 . ( c m .[ 1, T e o p e M a 6 ] ) . Ecjim G - a G e j i e B a p - n p M M a p n a H
C P -
r p y - n n a . mG
= 17a G a - H e K O T o p o e e e n p u M o e p a 3 J io » c e H M e b n p H M o e n p o M 3 B e a e i i M e r p y n n p a u r a 1 , t o ohhhm M3 n o n o jr a e H M M c e p B a H T H o f i n o .a .r p y n b i bG
H B J in eT C fl r i p o M 3 B e a e i iM e H e n o T o p o r o M M H O * e c T B a n o n r p y n nG a .
J I E M M A 3 . Ily c T b
G -
nepM aM necKan C P - r p y n n a , c o iiep sta in a H MancM- M ajibH yio H op M ajibiiyio a 6 e jie B y n o n r p y n n yA.
T o r ,a aG
=A X B
, r /ieA
m Z ?-a 6 e jie B b i r p y n n b i,A
=U i A ,
jiioS aB Aj-KBa3MHMKJiMnecKaji h jih UMKJiMMe- cKafi n p n M ap H a fl r p y n n a ,A{
<1G.
U eiiT p a jiM 3a T o p jiioGom n o n r p y n n b iA[
bB
c o B n a /ia e T c u eH TpajiM 3aTopoM ee HM>Knero cjio.h.Z [ o K a 3 a T e j i b C T B o . FIo T e o p e M e 7 [1]
G = A X B
,A = U A t,
Ai
<]G
i
y4i-ripnM ap naH nMKJiMMecKan h j i m KBa3MtiMKJiMMecKa.fi r p y n n a ,
B
-a S e n e B a r p y n n a . fly c T b ( a ) - n o j i r p y n n a n p o c T o r o n o p n a n a M3A{, D = Cb{(i)i C —
Ca { D) .
T a K KaKC
<1G,
TOCi
=C
nA{
MHBapMailTHO BG
M, 3IlaMMT,C
X
D = Yli Ci
x
D.
I lo ji r p y n n aC t
KaK cepBaiiTH aji n o jir p y n n a mbkcm- Ma.jibHOM aG ejieBoti n o /ir p y n n b iC
XD
n o n o jiim e M a bG,
a 3HaMMT m b c o - n.ep>KauieM ee n o n r p y n n e A ; . A 3 t o bo3mo>kho TOJibKO b c jiy n a eCi
= /l ,- . C jiejio B aT ejib H o A ; < G =C a ( B ) ,
n noaTOMyD
= G e ( a ) <Cb(A{ ).
O T c io /ia BbiTeKaeT, m toD
= C g ( a ) = G g ( A j )-ITpMMeMaiiMe. M o * n o n oK a3aT b , m to n o jir p y n n a
B
M3 jieMMbi 3 n e MMeeT n o -j i h h x n o a r p y n n .
C jiea cT B M e. Ecjim
A p
m i ? p-cMJioncKMep-
n o j i r p y n n w r p y n nA
nB
c oo T B eT - cT B en n o, t oA p
XBp -
a S e jie B a CMJioBCKaH n o n r p y n n a r p y n n b i.JIoKaaaTejibCTBO. FIo J ieM M e 3
A p
fiBJifieTCfi npfiMbiM npoM3BeneHMeM HeKO-T o p o r o M iio * e c T B a hmkjimm6ckmx mjim KBa.3MiiMKJiMMecKMX p -n o j t r p y m i , H op - M ajibiibix b
G .
I lo n r p y n n aB p
nenT p ajiM 3yeT n o /ir p y n n y n p o c T o r o riopn/iK ap
Ka>K/ioro Miioj+tMTejiH, a 3HaMMT, n e i i T p a j i M 3 y e T m Becb M H OJKM TejibA p.
C n e n o - BaTeJibno,A p
XBp -
a S e jie B a n o n r p y n n a . M a K C H M a jib H O C T b ee KaKp-
rp y n n b i OMeBM^na.T E O P E M A 1. ITepMOHMMecKafi r p y n n a , conepsK ainaji n o p M a jib iiy io m b k c m- M ajib iiy io a G e j i e n y n o n r p y n n y , Tor.ua m TOJibKO Torna. fiBJifieTCfi C -P -r p y n n o M ,
Hea6eJieBbi rpyribi c nonojiHfleMbiMM cepBaiiTHbiMn no^rpynnaMH ...
95
K o r a a O H a p a 3 J io > K H M a b n o J i y n p B M o e n p o M 3 B e a e H H e
G = A X B
O T y x a 6 e j i e B b i x
C P
- r p y n nA
mB ,
n p H M e M ,1 ) I l o a r p y n n a
A
n B i m e T c n n p H M b iM n p o H 3 B e z t e r m e M H o p M a ji b H b i x bG
n p n - M a p H b IX IIHKJIHMeCKHX HJIH KBa3M nHKJIM M eCKM X n O U r p y n nA i
(i
G/)
w u e H T p a j i H 3 a T o p K a » c ,n o r o M H o » c e c T B aA i
b r p y n n eG
c o B n a j i a e T c u e n - T p a j i H 3 a T o p o M e r o n o ^ r p y n n b i n p o c T o r o n o p i m K a ; 2 ) / I j i h j i K j 5 o r o H a 6 o p a W n o / t r p y n n A i n e n T p a J i H 3 a T o p n p o M 3 B e ,n ;e H n H 3T M X n o ,a .r p y n n b M H o * e c T B eB
c e p B a H T e H bB .
H e o 6 x o a n M o c T b .Vl3
jie M M1,3
c j i e n y e T , m t oG
H M e e T T p e 6 y e M o e p a 3 J i o » c e - n n e ( 1 ) , y ^ o B J i e T B o p j n o m e e y c j i o B M i o 1 ) ,C a ( B )
X j 5 - M a K C M M a j i b n a H ~ a 6 e j i e B a n o / i r p y n n a r p y n n b iG.
T a n K aK c e p B a H T H a n n o n r p y n n a H 3B,
6y\ ay M H c e - p B a iiT H O M bC a ( B )
XB
a o n o j i i m e M a b ć r , a 3H a M H T , h bB ,
t o 5 - C P - r p y n n a . E c j i mC\
- n e H T p a j i H 3 a .T o p b n o z i r p y n n eB
H e K O T o p o r o H a 5 o p a n o a r p y n nA {
m C a { C \ ) = C
2, t o n o ji e M M e 1 C2 X C i - M a K C M M a j i b H a n a 6 e j i e B a n o a r p y n n a r p y n n b iG .
I l o a r p y n n a C i - c e p B a H T H a bC
2 XC\
u n o T O M y ^ o n o j i n n e M a bC P
- r p y n n e G , a 3H aM M T , m b c o a e p j K a m e n e e n o a r p y i m eB .
C j i e .n o B a T e j i b H O ,C\
c e p B a H T H a bB .
H o c T a T O H i i o c T b . I l y c T b G - r p y n n a , M M e io m a .fi c T p o e m i e , y K a 3 a H H o e B y c n o - bmm T e o p e M b i ,M - e e
M a K C M M a jib H a H a ó e n e B a n o j i r p y n n a . B B e n e M o 6 o 3 H a n e - iim h :M
a— A
DM ,
A ' / B - n p o e K n n H n o / i r p y n n b iM
bB
(M B
=A M
f iB ) .
T a K K a KM -
M a K C M M a jib H a H a S e n e B a n o ^ r p y n n a , t oC
a{ M )
<M
u 3H aM M TC
a{ M )
=M D A .
IIo C K O J Ib K y B c eA i
H O p M a J Ib H b l BG M C
a( M )
- H o p M a j i b H a f l n o a r p y n n a r p y n n b iG ,
toC
a( M
) - p a 3 J i a r a e T c n b n p n M o e n p o n 3 B e n e m i e :C A ( M ) = I l ( A i n C A ( M ) ) .
i
E c j i m n p n 3 t o m j u m K a K o r o - H n S y T bi
n e p e c e n e i i M eA{
HC
a
( M )
H e p a B H O 1 , t o n o y c j i o B M i o 1 ) T e o p e M b iAi
<
C
a
{ M ) .
3 t m m a o K 0 3 a H O m t oC A { M )
=
A
DM
=M a
B B J iH e T c n n p u M b iM n p o M 3 B e,a .e H M e M H e K O T o p o r o M H o m e c T B a n o j i r p y n nA
m, 3 n a M M T ,(
1
)
A
l A jT ą XA
q96
J l.M . KjifiuKaii
r / i e A T a K > K e fi B J i fi eT C . fi n p o M 3 B e , z i e i i M e M n e n o T o p o r o \ m o > K e c T B a n o ^ r p y n n A { .I
. / l o K a a < e M , m t o n o a r p y n n a A l c e p B a i i T n a bB. C
3 T 0 M u e j i b i o n o n a j K e M , m t o a n n j n o G o r o p - a j i e M e i i T a b M3 M i i a n f i e T C f i c o ^ e p a < a u i a B s t o t a j i e M e i i T n o y i r p y n n aC
r p y n n b i A l 8 , c e p i i a i m i a f i bB,
t o e c r b , B b i c o T b i a j i e M e i i T a b b n o , a r p y n n e Al 8 n b r p y n n e 13 o / n i a K o n b i . T a n n a K bG
A l 8 , t o b n o ^ r p y n u eAl
i i a H i i e T C B a j i e M e n T g , m m c i o i u h m b c n o e l i K O M n o n e i i T O M b D , t o e c T b 3 a n n - C bl B a iO I H M M C Jl B B k i a eg
— a a i . . . ( i a n b ( a Q>G
A a i , u at 1 ) .Ily c T b
a a i , . . . ,o Q,-p -3Jie M eiiTb i,
(Za . + 1 , • • • jpaJieM eiiTbi. H e orp aiiM
-M W B a f l061IUIOCTH,
M O W I I OCMMTaTb
3JieMeilT
g p - 3 J l e M e H T O M .BliM /iy CJie^CTBMB
M3 jieMMbi
3cmioBCKa.fi iio a r p y im a
A p = A a i X . . . X A Qf X (6)rp yn n b i
A = ( A Ql X . . . x A a s X A a s + l . . . A a n ) A (6)a G ejicB a . T a K n a n
r p y n n a K j i h G oK0Hemia.fi,
j i m G o M e p n n K O B C h a j i , t olice
c m j i o b c k me p - n o jjrp yn rib i
ii m cmconpb i-
aj+ceiibi,
m n o B T O M y brp y n n e
A i i a i i i i e T C f iTanon ajieM eirr
x m t o x ~ l g x G A ,t o
e crb ero
m o j k i i o 3anw caTb
bBM.ae:
• • • V A
a 'alpha,
GA ° r
I l e T p y a n o b m j i c t b , m t o K O M n o n e n T a i i o i i r p y i m b i X~ 1A l x b 13 c o r n i a / i e l i c A l 8 : { x - l M x ) B = A l 8 . 0 6 o 3 i i a M M M M e p e3 A i i o j i r p y i i n y r p y n n b i A , n o p o j + y i e i i n y i o n c e M M t c m m M M O f K M T eJ I f l M M A a , B Ka fK J lO M M3 K O T O p i » I X X 0 TfI G b l OJIMII a j i e M d l T M3 X ~ l A t x M M e e T n e e ^ M H M M i i y i o K O M n o n e n r y , a M e p e3 A n o a r p y n n y r p y n n b i A , n o p o3- x e n n y i o b c c m m o c T a j i b i i b i M M A a . I I e n T p a j i M3a T o p C ' n { A ' ) n o / i r p y n r i b i A b 1 3 n o y c J i o i i M i o 2 ) T e o p e M b i c e p n a i i T e i i n 1 3. / I o K a a < e M , m t o b j i c m c i i t b c o j i e p 3 - x m t c b bC
b
[ A
' ) , a ( ^ ^ ( / l ^ - n o y i r p y n n a A l 8 . 3 t m m G t w e T 3a B e p i n e n o a o K a3a - T e j i b C T B o n y H K T a 1. T a n K a n b c j i y n a e , K o r . n a A g < A f i n j i f i e T C . f i p - r p y r m o n 3 t o t (JiaKT y c T a n o B J i e n b c j i e n c T B M H M3 j i c m m u 3 , t o o c T a j i o c b p a c c M O T p e r b c j i y M a n , K o r n a / l ^ - i y - r p y i m a ( g 7^ p ) . M3 T o r o , m t o A g m A c J i e .z i .y e T , m t o b n o n r p y n n e x ~ l A l x H a i i H e T C J i a j i e w e i i T g M M e i o u i n n b A g n e e / i M H M M u y i o K O M i i o n e H T y a g : g = . . . a g . . . b i , b x G 1 3 , a g G A g , a g ^ 1 .y M M T b i n a f i M H B a p M a i i T i i o c T b B c e x n o n r p y n n A g b r p y n n e C l , a 'ra K j+ ce t o t (Ii aKT ,
m t o c p e / i M n o n r p y n n A g l , . . . , A g < i i e T n o / i r p y i n i b i A g n o j i y M a e M :
HeaSejieBbi rpynbi c aonojinneMbiMM cepBaiiTHbiMn no/irpynnaMH ...
97
to ecTb &a/
36
_1-KOMnoHenTa
3
JieMeHTa (x ~^ gx ) gi b Ag.
C apyroii cTopoHbi
g i ( x ~ 1g x ) = ( . . . a g . . . b l ) ( a ai . . . aa b) = ( . . . ag .. .)bbu
to ecTb a^-KOMnouenTa
3
Jie\ienTa g\ ( x ~ 1g x ) b Ag.
Tan KaK BJieMeiiTbi g\ w x ~ lg x W
3
o/uion aGejieBon rpyrmbi x ~ 1A l x , to
( x ~ lg x ) g i = g i ( x ~ g x ) n no
3
TOMy bcigb
- 1
= ag, oTKy^a cjieayeT, hto
3JieMeHT b nepecTanoBOMeM c 3JieMenT0M ag, a 3naHHT n c Kajtt^biM sjieMenTOM
H
3
Ag, TO ecTb b e C B( A ) .
I I . M
3
cepBanTnocTM noflrpynnbi A 1 B
BC P - rpynne B cjie/iyeT ee zionoji-
iweMOCTt
bB :
(2)
B = M
bx B 0
143
(2) HMeeM:
G = A X B = ( M
a xA 0) \ B = M
aX ( A 0 B)
To ecTb no/irpynna M
aaonojiHBeMa b rpynne G , a
3
nannT n b co,nep>KameM
ee no^rpynne M :
(3)
M = M
ax M ,
(
4
)
r^e
Al = Al
fi
AoB
PaccMOTpHM no^rpynny
N = AIa X M B .
Tan KaK no ycjioBmo
A m
Z?-a6ejieBbi
C P - rpynnbi, to ynuTbiBan (2) u (3), nojiywaeM, mto N 'raK>Ke aSejieBa. C P
- rpynna. IIpnnnMaH bo BiiMManne HUBapnanTnocTb no/trpyrm A , Ao u
M a
b
rpynne G , a Ta.K>Ke pa3Jio>KeHHH noarpynn N u Al nojiynaeM:
(5) A 0N = A 0( M
ax M b ) = AA1
b= A M = ( A 0 x M A) M = A 0M
oTK.y^a BbiTeKaeT M30Mop<J)M3M noarpynn
A l
w N
.
IlycTb ^-npoHSBOJibiiaB cepBaiiTHa.fi no^rpynna H
3
A l ,
T - e e o
6
pa
3
ripu ec-
TecTBennoM M30M0pci)H3Me
A l
na N, to ecTb T = Ao S fi N. Tor.ua, ynMTbiBaH
(
6
), nojiynaeM:
98
J I.M . KjifiUKaH to ecTb(6)
A 0T = A 0S.
T a n H a nS
c e p B a H T i i a bJW,
t oT
c e p B a i m i a bN h
n o T O M y nonojraneMa b a 6 e j i e B o i iC P
- r p y n n eN :
(7)
N = T x A x B,
n p n n e M , BBM.ny J ieM M bi 2 m o* iio CMMTaTb, mto
a
< M
a, B < M B, A < G.
HaKOHeu, H3 cooTHouieiiMM ( 1 ) , ( 3 ) , ( 6 ) , ( 8 ) , ( 7 ) , yMHTbiBaii MHBapnaHTHocTb n o ^ rp y n n
A, Ao, A
b rp yn n eG
, nojiynaeM :G = A \ B = A X ( M
bx Bo) = (.A M
b) B 0 = (A M ) B 0 = (A 0M ) B 0 =
{ A 0N ) B = (A 0{ T x /i x B ) ) B 0 = ((A 0T ) { A B ) ) B 0 =
{ { A 0S ) ( A B ) ) B o = (S ( A 0A B ) ) B 0 = S ( A 0A B B 0).
H e n o c p e a c T B e n n o M np o B ep K on H e T p y /m o y 6 e n H T b c n b tom , mto n e p e c e M e m ie
S fi A o A B B o
TpwBnaJibHo. T eopeM a aoKa3aHHa.JlnTepaTypa
[ 1 ] MepHMKOB C . H . rp y n n b i c cHCTeMaMH z[onojiHHeMbix n on rp y n n , M a T . c 6 . , 1 9 5 4 , 3 5 ( 7 7 ) , B , c. 9 3 -1 2 8 .
[2]
3a n n en i l . H . , KainiKa.fiJI.M .
rp y n n b i c ireKOTopoM cncTeMon ^onojiHbi-aeMbix a6ejieiibix non rpynn . B k ii.-.rpynnbi c CHCTeMaMH /ion o aH n eM bix n o a r p y n n , K ., 1 9 7 2 , c. 1 8 0 -2 2 2 .-IleaSeJienw rpynbi c aonoJiiweMHMH cepsaiiTiibiMM noarpynnaMH ...
99
rp y n n a M H . B k h.: B H B cec o io 3H b iił CMMno3nyM n o T e o p n n r p y n n ( H e p -
Kaccbi, c e n T i i 6 p b
1978
r . ) , T e 3 . Hok ji., K n eB , Ila y K . ayM K a ,1 978,
c.30.
HepKaccKMM n eanncT M TyT H e p n a c c b i
