Eenige toepassingen van de leer der eigenfuncties op vraagstukken uit de toegepaste mechanica

p,^*.

o •*» o u« o II!! I

j i jilllfaif'lliL

mmmmiiMlf lï.ïL

fs* o t - O

p.:^*"

' w ; fAyaaXi^ ^Tfi^ r ^ t j a ^ L *'#J Bibliotheek TU Delft P 1020 3211

'^''m.

^ . ^ ^ ' " •inr

Ha

EENIGE TOEPASSINGEN VAN DE LEER

DER EIGENFUNCTIES OP VRAAGSTUKKEN

f

EENIGE TOEPASSI]<TGEN VAN

DE LEER DER EIGENFUNCTIES

OP VRAAGSTUKKEN UIT DE

TOEGEPASTE MECHANICA.

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN DE TECH-NISCHE HOOGESCHOOL TE DELFT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS, T. K. L. SLUYTERMAN, HOOGLEERAARINDEAFDEELINGDERBOUWKUNDE, VOOR EENE COMMISSIE UIT DEN SENAAT TE VER-DEDIGEN OP WOENSDAG 17 APRIL 1929, DES

NA-MIDDAGS TE 3 UUR DOOR

JACOBUS JOHANNES KOCH,

ELECTROTECHNISCH INGENIEUR,

GEBOREN TE TIEL.

GEDRUKT BIJ DE TECHNISCHE BOEKHANDEL EN DRUKKERIJ J. WALTMAN JR. DELFT — 1 9 2 9 .

uiting te geven aan mijn gevoelens van dankbaarheid jegens allen, die tot mijn wetenschappelijke vorming hebben bijgedragen, in het bijzonder jegens de hoogleeraren van de afdeelingen Werktuig-en Scheepsbouwkunde Werktuig-en Electrotechniek van de Technische Hoogeschool.

Hooggeleerde BlEZENO, hooggeachte promotor, de acht jaren, gedurende welke ik als Uw assistent onder Uw leiding heb mogen werken, hebben mij een groote voldoening gegeven; steeds vond ik U bereid, mij met Uw raadgevingen, die voor mij van zooveel waarde waren, en met Uw vruchtbare kritiek ter zijde te staan. De dank voor Uw steun, mij bij de bewerking van dit proefschrift verleend, laat zich niet in enkele woorden uitdrukken. De vele leer-rijke gesprekken, die ik met U mocht voeren en de ondersteuning met Uw groote kennis hebben een diepen indruk op mij gemaakt. Hooggeleerde BURGERS, ook U dank ik voor het vele, wat gij in het belang van dit geschrift hebt willen doen.

Hooggeleerde FELDMANN, het aandeel dat gij in mijn vorming tot ingenieur hebt gehad, zal steeds in mijn herinnering blijven; met het door U gestelde probleem bij het ingenieursexamen hebt gij mij aangemoedigd tot het in dit proefschrift neergelegde werk. In het tweede hoofdstuk is de oplossing van dit probleem in algemeenen vorm neergelegd.

Het is mij een voorrecht allen, die op eenigerlei wijze bij het tot stand komen van dit proefschrift hun hulp hebben verleend, op deze plaats dank te zeggen.

Pag.

INLEIDING i HOOFDSTUK I. Kritische toerentallen van sneldraaiende assen.

Buigings- en torsietrillingen van staven 3 1. Kritische toerentallen. Het opstellen van de

ver-gelijkingen 3 2. Orthogonaliteit van de eigenoplossingen 4

3. Convergentiebewijs van de gebruikelijke

benaderings-methode 5 4. Nieuwe benaderingsmethode 7

5. Het bepalen van de hoogere eigenwaarden en

eigen-oplossingen 10 6. Trillende staven 12 7. Trillende staven (Vervolg) 13

8. Behandeling van continu verdeelde massa's. . . . 18 9. Het vervangen van een elastische staaf, door een

stijve staaf met elastische scharnieren 20 10. Toepassing op het bepalen van trillingen van schepen 23

11. Benaderingsmethode voor het bepalen van de

eigen-trillingsgetallen van schepen 25

12. Torsietrillingen 26 13. Benaderingsmethode tot het bepalen van de

trillings-getallen bij torsietrillingen 28 HOOFDSTUK II. Berekening van staven, waarop periodiek

ver-anderlijke krachten inwerken 29 1. Het opstellen van de bewegingsvergelijkingen . . . 29

2. Behandeling van het vraagstuk met behulp van de

leer der eigenfuncties 29 3. Benaderingsmethode 32

HOOFDSTUK III. Knik van staven 34

Pag.

2. Orthogonaliteitsbewijs 37 3. Benaderingsmethode tot het bepalen van de eerste

eigenwaarden 38 4. Knik van staven, waarbij de hoofdassen van traagheid

der verschillende dwarsdoorsneden verschillende

rich-ting hebben 41 5. Andere statisch bepaalde knikgevallen 42

6. Statisch onbepaalde knikgevallen 4 4

7. Orthogonaliteitsbewijs 45 8. Benaderingsmethode 46 HOOFDSTUK IV. Berekening van staven, belast met

samen-drukkende en doorbuigende krachten 48 1. Het opstellen van de vergelijkingen 48 2. Behandeling van het vraagstuk met behulp van de

leer der eigenfuncties 48 3. Benaderingsmethode 50 4. Iteratiemethode 53 5. Uitbreiding van de iteratiemethode 54

HOOFDSTUK V. Berekening van balken op veeren . . . . 56

1. Bestaande iteratiemethode 56 2. De bij het vraagstuk behoorende eigenbelastingen . 57

3. Orthogonaliteit van de eigenbelastingen 59 4. Benaderingsmethode tot het bepalen van de

eigen-belastingen 60 5. Nieuwe benaderingsmethode tot het berekenen van

balken op veeren 62

6. Voorbeeld 66

HOOFDSTUK VI. Berekening van balkramen 70

1. Inleiding 70 2. Splitsing van het gegeven laststelsel B in B^ en B^. 70

3. Splitsing van het laststelsel B^ 71

4. Vervolg 71 5. Eigenbelastingen 74

6. Orthogonaliteit van de eigenbelastingen 78 7. Ontwikkeling van het laststelsel B^^ naar de

eigen-belastingen 79

8. Benaderingsmethode 81

9. Voorbeeld 82 HOOFDSTUK VII. Berekening van vliegtuigvleugels . . . 94

1. Inleiding 94 2. Splitsing van het laststelsel B 95

3. Het bepalen van de grootheden a; en qp . . . . 96

4. Splitsing van het laststelsel B^ 100 5. Splitsing van het laststelsel B^ 102

6. Eigenbelastingen 104 7. Orthogonaliteit van de eigenbelastingen . . . . 106

8. Benaderingsmethode tot het bepalen van de

eigen-belastingen 108 9. Iteratiemethode 109

In de eerste plaats wordt de elasticiteit eener constructie in een eindig aantal, doelmatig te kiezen punten geconcentreerd, zoodat steeds een eindig aantal eigenfuncties optreedt en de te behandelen vraagstukken van het terrein der differentiaalvergelijkingen (resp. in-tegraalvergelijkingen) naar dat van de algebra worden overgebracht.

In de tweede plaats (en in verband hiermede) wordt iedere continue belasting vervangen door een met het getal der eigen-belastingen overeenkomend, eindig aantal geconcentreerde krachten of momenten.

Uit den aard der zaak zijn de gegeven oplossingen dus alle benaderingsoplossingen. De graad der benadering wordt echter steeds onderzocht. In meerdere gevallen blijkt de uitkomst die van met andere hulpmiddelen verkregen antwoorden te overtreffen.

Behalve aan de concrete oplossing der behandelde vraagstukken worden de eigenoplossingen dienstbaar gemaakt aan het verdiepen van het inzicht in den aard van reeds bestaande iteratie-methoden (hoofdstuk I § 3, hoofdstuk 5) en de draagwijdte en beteekenis van reeds bekende benaderingsformules (hoofdstuk 4 § 3).

Het proefschrift is gesplitst in twee deelen, waarvan het eerste trillings- en stabiliteitsvraagstukken behandelt, het tweede deel samenwerkende constructies.

Kritische toerentallen van sneldraaiende assen.

Buigings- en torsietrillingen van staven.

I. Kritische toerentallcn. Het opstellen van de vergelijkingen. Geven we een oorspronkelijk rechte — voldoend ondersteunde — as, die met een hoeksnelheid w draait, een kleine uitwijking, dan is het mogelijk, dat deze uitwijking onder inwerking van de traagheidskrachten blijft bestaan. Een toerental, waarbij dit ge-schiedt, heet een kritisch toerental; de daarmee correspondeerende 't hoeksnelheid, een kritische hoeksnelheid o;.

We beschouwen voorloopig het geval, dat de as een eindig aantal geconcentreerde massa's nii(i = i «) draagt, gelegen op afstanden Xi {i = i «) van één der steunpunten en dat de massa van de as zelve ten opzichte van deze massa's te ver-waarloozen is. Beperken we ons tot het geval, dat de doorbuiging van de as in één enkel vlak plaats heeft en noemen we op de gebruikelijke wijze «/, de verplaatsing van het punt i van de stil-staande as ten gevolge van een éénheidskracht in het punt j en V[i de verplaatsing van het punt i ten gevolge van alle krachten, dan vinden we, gebruikmakende van het principe van D'ALEMBERT, dat voor de bij een kritisch toerental optredende doorbuigingen geldt:

ft

yii = Z »tj «^ «y *^j {t = i «) . . I) y = I

Z^ j Mj ocijvij —^^\=o {i= I «) . . 2) Deze n, in de grootheden ^, homogene, vergelijkingen laten slechts dan een van nul verschillende oplossing toe, wanneer de determinant van de n' orde, gevormd uit de coëfficiënten, nul is; dat wil zeggen, wanneer:

;«i Ö:„ -V W l ' ^ 2 1 W, « „ , I ;«2 "3:12 • »^2 ''!22 ~ " m^ cc,,,^ . I • • • m„ a.^,,'^ • m-n CC,n • fn„ a-nn — 1 ^ 2

Deze «= machtsvergelijking in -^ heeft uitsluitend positieve reëele wortels, zoodat er n waarden cxi/-'- [k = \ . . . . n) bestaan, waarbij aan de verg. i) en 2) door van nul verschillende waarden Vji wordt voldaan. •) Deze waarden van u/,^ zijn gerangschikt naar hun grootte, zóó, dat cc^^ <i(j).j^ <i cc,^ <C.ui,^. Het bij de waarde cc/p' behoorende systeem van verplaatsingen >) wordt met Vik aangeduid. Meer in het bijzonder de verplaatsing van het punt i door v\ki • Een uitzonderingswaarde u^^ waaronder de

vergelijkin-gen i) een andere oplossing toelaten dan vji = o{i = 1 «), heet een eigenwaarde van o;^. Een bijbehoorend stelsel waarden

Vji^i {i = \ n) een eigenoplossing van het stelsel l). De bij een eigenwaarde OJ^^ behoorende eigenoplossingen verschillen slechts in een evenredigheidsfactor. In de keuze van dezen factor zijn we voorloopig vrij. Wordt hij zóó gekozen, dat:

n

. 2 ;«, vj^.,2 = I 4)

f = : I

is, dan heet de oplossing viki (t =^ i . . . . n) genormeerd. We zullen voortaan steeds aannemen, dat de eigenoplossingen ge-normeerd zijn.

2. Orthogonaliteit van de eigenoplossingen.

Een belangrijke eigenschap van de eigenoplossingen is hunne orthogonaliteit, welke wordt uitgedrukt door:

1) Door de rijen resp. met K wj, ym^, . . ' . . . , ynin te ver-menigvuldigen en de kolommen door resp. \/mi, ]/m2, . . . . , \^fn„ te deelen, gaat verg. 3) over in een seculairvergelijking. Zijn in een secu-lairvergelijking alle coëfficiënten reëel, dan zijn ook alle wortels reëel. Zie o.a. SCHUH, Lessen over de Hoogere Algebra, Deel I blz. 489. Zijn de coëfficiënten bovendien (zooals in verg. 3)) invloedsfactoren van Maxwell, dan zijn alle wortels positief. (Zie BIEZENO, Z . f. a. M. a. M. Bd. 4 p. 93).

Vullen we voor y\ki de waarde in, bepaald door verg. i), dan gaat verg. 5) over in:

n n n

Z nii Viki vi'i = cci^ 'E Z mi mj «ij vikj v)« . . . 6)

ï = l i ^ t j = i

Substitueeren we echter de uit verg. i) volgende waarden van yiii, dan krijgen we:

« « «

^ Z f^i viki Vjii = c4)/2 Z Z nti mj Xij vjij via . . . 7) « = I ï = I y = I

De uitdrukkingen onder het Z Z teeken in verg. 6) en 7) zijn aan elkaar gelijk, hetgeen onmiddellijk blijkt, wanneer we in het tweede lid van verg. 7) t en j ' met elkaar verwisselen en daarna, gebruikmakende van de stelling van MAXWELL a;,y = «y,- stellen.

We vinden dus:

« M n n

^^ Z 2 nii nij aij yjkj vm = oji^ X 2 ^i ^y ^ij Vïkj yai - . 8)

ï = 1 y = I i = z j = i

zoodat, wanneer co^^ ^ oop-: n V

Z Z Wi mj Xij Vjkj viii = o 9)

1 = 1 j = i

Uit verg. 6) en 9) volgt daarna:

n

Z ffti Viki viH = O, voor UI? J^ oop'. 3. Convergentiebewijs van de gebruikelijke

benaderingsmethode. ')

De algemeen gebruikelijke methode tot het bepalen van de eerste eigenwaarde is de volgende: Neem een willekeurige door-buiging jv, van de as aan, d.w.z. neem een willekeurig stel waarden y^i (ï = I . . . n) aan voor de doorbuigingen der massapunten

1) Zie b.v. STODOLA, 5e druk, blz. 381.

ViANELLO (voor knik) Z. d. V. d. I. 1898, p. 1436. DELAPORTE. Revue de mécanique 1903 B. III. j). 517.

'''.'•%,. 6

ftti {i ^ I n) en laat in die punten in de richting van yu krachten werken van de grootte nti y^i (massakrachten bij een hoeksnelheid w = i). Noem de bij deze krachten optredende doorbuigingen y^i en herhaal hetzelfde proces zoolang, totdat twee opeenvolgende krommen j ^ ^ - j en ƒ„ gelijkvormig zijn. Het quotient

y^^^^ a>2 lO)

bepaalt de eerste eigenwaarde o;,^ van u"^.

We zullen de juistheid dezer uitspraak nader onderzoeken met behulp van de leer der eigenfuncties. We analyseeren daartoe jy, in de eigenoplossingen van de as, hetgeen steeds mogelijk is, daar er n doorbuigingen y^i en ook n lineair van elkaar onafhankeïjke eigenoplossingen vik zijn. Men kan dus stellen:

yxi = «1 In- + «2 '^« + UnVini {i= l ft) I I )

Passen we het bovengenoemde proces nu op de doorbuigingen y^i = a/i viki (ï = I n) — geleverd door den /è'" term van bovenstaande ontwikkeling — toe, dan vindt men:

»

y,i = Z fftj ai Xij Vjij, (t= I «) . . . 12)

j = «

of, indien we gebruikmaken van verg. i ) :

y,i = ; ^ 1*. 13)

n

Daar ^ „ = Z «A yju, levert het genoemde proces toegepast

A = I

op yu :

y,i = -h^" + 771^" + ;—2 '»'"• (^ = I «) M) Op de voorgeschreven wijze verder gaande, vinden we ver-volgens :

iiW^i:

yv = —, ix-- + — . » ! - • + ^ * "-• (^ = "^ «)

15) Daar cck^ met groeiende k steeds grooter wordt, zullen, wanneer n groot genoeg is, de termen met de hoogere eigenoplossingen zeer klein worden ten opzichte van den eersten term.

We kunnen dan schrijven:

^«-',.~^;v5r^'^•'- (^=' «)

y«' ~ ^ . (! - .r '^" ('' = '^ ") • • • ^^) zoodat inderdaad bij groote n practisch gelijkvormigheid is bereikt

Uk u ) , ' ' ' " " ' '

en bil « = 00 (omdat — . —^—, r voor « = oo naar nul con-vergeert) absolute gelijkvormigheid wordt verkregen.

Tevens blijkt, dat verg. lo) voor « = oo exact is, en voor voldoend groote waarde van n een bevredigende benaderingsop-lossing geeft.

4. Nieuwe benaderingsmethode. ')

Het is echter mogelijk reeds uit de waarden van ƒ „ en y^i {i = 1 «) w,^ met zeer groote nauwkeurigheid te bepalen en wel uit:

n

Z fKi yu y,i 2 mi y,i'

i — I

1) J., J. KoCH. Bestimmung höherer kritischer Drehzahlen schnell-laufender VVellen. Verhandlungen des 2=" internationalen Kongresses für technische Mechanik, Zurich, 1926.

Substitueeren we voor y^i en jj/,,- de waarde uit verg. 11) en 14) in 17), dan vinden we, gebruikmakende van de orthogonaliteit van de eigenfuncties:

ff n

Z ^i y^i y^i = Z w,- { a, vi^i + a,vi,i -\- a„ vi„i } —s'-lii - | ^^i - j - —. ^ 2 « a ^ " d ! ^ " W| £ — 1 ^ 2 I = I W» J = I = ^ + ^ + ^ : 18) i = . £ = i 1 0 ) , ' ' Wj2 O , / ) a ^ " a •^ " a ^ "

= - \ I. mi vi,i^ + - ^ Z mi /),i2 -{• ~ I, mi vj^i"^ =

«!*.•= I ^•ii=i ^n ; = i

= ^ + è+ ^ ^9)

"1 "-2 « . 2 E mty^i y,i - ^ + 2 + ~i « /2 2 /z 2 „ i V 9 1 I 2 r " »

ir"'^

^ + ^ + ^^

I + ^ ^ _ l - ?!L f^ " ' ' ' T 4- ^ ' i 4- « ? ~ ^ 2 0 )

Deelen we teller en noemer van de laatste breuk uit verg. 20) op elkaar en verwaarloozen we de termen, waarin —L (^ = 2 . . . . «)

Ci)k

in een zesde of hoogere macht voorkomt, dan gaat het laatste lid van verg. 20) over in:

Verwaarloozen we bovendien de termen met de hoogere eigen-waarden omdat —^ (^ == 2 «) met k zeer sterk afneemt

weer over in:

zoodat verg. 17) met een relatieve fout van ongeveer

fa? fill! / i _ ^

a , 2 W2^ \ ^1

bevredigd wordt. Nu zal —^ in een normaal geval ongeveer '/. _1G bedragen, terwijl —^ bij een doelmatige keuze van 7, niet grooter dan '/jQo behoeft te zijn. De relatieve fout in u^ zal dus in het algemeen kleiner dan 0,1 "/„ zijn.

Willen we een nog grootere nauwkeurigheid bereiken, dan construeeren we bovendien de kromme ^3 en bepalen de eerste eigenwaarde uit:

Z miy^i yy

2 ' l ^ j ₂₃₎

Z mi yy 2

i =^ I

waarbij de optredende relatieve fout slechts ongeveer

bedraagt. Men vindt immers:

2 miy^i y^ = Z mi l^vj^ -\ ^ vj^i -\- . i = I i = 1 \ CVt CC,; a„ _{o ''^Ifii} ' . 1 *" U4 »., a„ - * ï >lii + - ^ "1=; + • • • • —4 ^m W j * Ol^ * CC„^ _ a^ a.} a,?

- ^ + ^ + ^ ''4)

' aj_ ^ , «« '2 miyy 2 = S »«,• - ! j vj„- H \^^i + —r ;j„,- = = 1 ! = I I CU] («2 ' ^ «

= Ê 4 + ^ + ^ . . . . ^5)

2 miy^i yy 776 + TTê + «1* . a,} , aj 2 miy,i 2 ::f8 + 7^8 + OIj^ 0)2® Wn® «1^ , aJ , a 2 2^ a-J® a„2 ü)j^

ï + ? 2 - ^ +

\ + ^ . ^ _ L « 2 ^ V

flj2 ' 0)2* « 1 * ' O),," «,2 o ; / ' / a.jïXl ^

J l + ^ . ^ J l - ^ i l J ' ^ ^ r 26)

( « 1 - 0.2" V W27i .

5. Het bepalen van de hoogere eigenwaarden en eigenoplossingen.

Voortbouwende op het in § 4 behandelde kunnen we nu ook de hoogere eigenwaarden en eigenoplossingen bepalen. Zooals uit § 3 blijkt, zal y„ bij geschikte keuze van y^ — hierdoor be-bepaald, dat a^ ^ o en a^ .... a,, voldoende klein zijn — bij voldoend groote waarde van « met ;}, gelijkvormig zijn. Door de ordinaten van deze kromme met een zoodanigen factor (3 te

ver-«

menigvuldigen, dat Z mi{(iy„iY =^ i wordt, verkrijgt men dus de eerste eigenfunctie vi^i practisch nauwkeurig. Dikwijls is dit reeds het geval met y^, n.l. dan, wanneer j j en y,, reeds eenigermate gelijkvormigheid vertoonen.

We nemen nu een kromme Zi aan en bepalen in de ontwikkeling:

M

Zri = I, ai Viki 26)

de coëfficiënt a^. Dit geschiedt naar anologie van de wijze, waar-op bij een functie de coëfficiënten van haar FoURlER-reeksont-wikkeling worden gevonden. We vermenigvuldigen dus beide leden van verg. 26) met mi vj.i en sommeeren daarna de beide leden over i. Men vindt dan:

2 mi z^i viu = 2 >)„• 2 mi ak Vtki = 2 2 w,- ak vja vi,i =

''•*^-- « « M 71

• = 2 1. mi ak viki vj^i = 2 «^ 2 w,- viki ^u . • 27) Wegens de orthogonaliteit van v^k en ;^j (k 52^ i) wordt dit:

1 = 1

Bepalen we daarna een nieuwe functie z^ uit:

n

z,i = z,i — a, vi,i = I, ai vjki, . . . . 28) dan zal deze functie in hare ontwikkeling naar de eigenoplossingen geen term met >^,,- bevatten. Op deze z^ wordt het in § 3 aange-geven proces toegepast, waardoor een kromme z.^^ verkregen wordt. Door onnauwkeurigheid in de constructie of de berekening van «j zal echter de eerste eigenfunctie voor een zeker bedrag in z,^ zijn blijven steken en dus vermenigvuldigd met den factor —^ in z.,

in-ClC,^'•

geslopen zijn. Evenals uit z^ kan dit bedrag wederom uit Z2 ver-wijderd worden, waardoor een kromme z^ ontstaat, welke j}j niet bevat. We vinden uit Zi en z^ nu als volgt met groote benadering de tweede eigenwaarde: 2 mi z^i z^i ^ + « 2 ! , ^ I f ^ _{2 " * " , . , 2 ^ ,.,2} OJ.^" O ) , - ' O), .• = . ^ 2 * 0 ) 3 * O)/ , , t ^2^ ^.-i" «2" t » ^ ' ' ^

= ^ ^ ^ 1 1 + ^ - ^ ^ ( 1 - ^ ^ ) ! = ^ 2 ' . . • 29)

De tweede eigenoplossing wordt op een factor na meestal voldoende nauwkeurig door z^ voorgesteld, n.l. steeds dan, wanneer z^ en z^ blijken ongeveer gelijkvormig te zijn. Laat deze gelijkvormig-heid te wenschen over, dan kunnen we achtereenvolgens z-^, z^,

Tot het bepalen van de derde eigenwaarde gaan we uit van een kromme «j die noch de eerste noch de tweede eigenfunctie bevat, welke kromme analoog met z^ bepaald wordt. Men neemt dus een kromme u^ aan:

n

«„• = I, ai mi 30) en bepaalt:

« «

« 1 = 2 mi u,i vj.i-, «2 = 2 mi Uji vj^i . . . 31)

t ^ t I ^ I

zoodat:

n

Uti = u,i — a,i VI,i — a^i vi^i = 2 «^ vm . . 32) oc.^ is dan bepaald door:

M

2 mi «„•

«^,-^.'^'-^ 33) 2 mi u^i^

i = i

Zoo voortgaande zijn ook, zij het met aanmerkelijk meer reken-of teekenwerk, de hoogere eigenwaarden te bepalen.

6. Trillende staven.

We zullen allereerst een staaf beschouwen, waarbij de hoofd-assen der dwarsdoorsneden in twee onderling loodrechte vlakken vallen. Het is dan slechts noodig de trilling in elk van deze vlakken afzonderlijk te onderzoeken.

De staaf zij voldoende ondersteund en draagster van een aantal massa's t.o.z. waarvan de massa der staaf zelve verwaarloosd mag worden. Voor de nomenclatuur zij verwezen naar § I.

We kunnen ter bepaling van den oogenblikkelijken buigings-toestand het bewegende systeem vervangen door een stilstaand systeem, dat in de punten Xi belast is door de krachten

Voor de doorbuiging yi vindt men dan: d"^ y:

yi= — ^ffijUij—^ {t= i «) . . . 34) Stellen we den eisch, dat alle massa's een naar den tijd sinus-vormige beweging uitvoeren met gelijke frequentie en phase, zoodat:

yi = Vji sin cc t

d"^' yi „ . ,. , , • 2 = —'^'-vii sin u t (« = I n), . . 35)

dan gaan de verg. 34) over in:

VI i sin cc t = 2 mj CA?' Xij vij sin cc t

j = » «

vil = • V nij o? Xij -/Ij {i ^= 1 n) . . . . ^6) 'j =»

De verg. 36) stemmen volkomen overeen met de verg. 1), zoodat voor hunne behandeling verwezen kan worden naar de § § i tot en met 5. In het bijzonder blijkt, dat slechts voor bepaalde waarden van cc^ aan den door de verg. 35) gestelden eisch kan worden voldaan, dat met elke eigenwaarde van w^ één trillingsvorm van de staaf (één eigenoplossing) correspondeert en dat een willekeurige trilling van de staaf als een lineaire combinatie van de « „eigen-trillingen" kan worden opgevat. De n „eigenwaarden" van o;^ stellen het kwadraat van de trillingsgetallen der eigentrillingen voor.

Een ruimtelijke trilling van een staaf kan steeds ontbonden gedacht worden in twee onderling loodrechte vlakken, gaande door de as van de staaf en door de hoofdtraagheidsassen der dwars-doorsnede. We hebben hier te maken met twee series van eigen-waarden en eigenoplossingen.

7. Trillende staven. (Vervolg).

Bij staven, waarvoor de hoofdtraagheidsassen van de opeen-volgende dwarsdoorsneden niet in twee platte vlakken liggen, zal het aangrijpingspunt eener kracht werkend in de richting van één der hoofdassen van de betrokken dwarsdoorsnede niet alleen een verplaatsing in de richting van de kracht ondervinden, doch ook

een verplaatsing loodrecht daarop. De trillingen in twee loodrechte vlakken zijn dus niet onafhankelijk van elkaar.

Geven we nu met de oneven ^'s (y^, y,^, jg, enz.) de normale verplaatsingen van de massa's in één bepaald vlak aan en met de even j ' s {j,^, y,^, y^, enz.) de verplaatsingen van dezelfde massa's in een daarop loodrecht vlak en noemen we de eerste massa, naar het ons goeddunkt tn^ of m^, de tweede m^ of m,^, enz., dan kun-nen de verg. i) of 34) onveranderd opgeschreven worden. Hierin beteekent dan b.v.: ajj.j de verplaatsing van de massa m^ in de normale richting van het tweede vlak tengevolge van een éénheids-kracht — werkende op hetzelfde massapunt — in de normale richting van het eerste vlak. De verplaatsing x^^ valt dus in het eerste vlak.

Bij het bepalen van de grootte der «'s denken we ons de staaf horizontaal, terwijl de even verplaatsingen in een vertikaal en de oneven verplaatsingen in een horizontaal vlak gemeten worden, resp. naar beneden en naar voren positief. Gezien van rechts naar links zij de hoofdas t.o.z. waarvan het traagheidsmoment /j wordt genoemd (sr-as) een hoek /3 vanaf de horizontale as (^r-as) rechtsom gedraaid.

We moeten nu 8 formules afleiden, n.l. voor de grootheden x,,i^y, '5:2;+i, 2^, «j/.sy+i, en a^,-+,,^y + ^ , en wel voor het geval, daX x^i <^ Xy en dat x^i ]> Xy . We beperken ons tot de berekening van a,,-, ,y en a^^+i, ,y voor het geval x^i <ixy- en geven van de andere 6 berekeningen slechts het resultaat.

Fig. I

Allereerst gaan we de verplaatsing na van het punt x^i, wanneer de geheele staaf stijf is op een stukje dx na ter plaatse x (gemeten

vanaf het linker steunpunt. Werkt op het punt Xy een vertikale éénheidskracht, dan is het moment in het vertikale vlak op de plaats X

j^^xd ^ x^ {x<xy)

37) terwijl het moment in het horizontale vlak nul is. De momenten om de z- en j - a s worden resp.

Mi= M cos (3 en M.^ = M sin (3 . . . . 38)

M i d x . [ ^ - x ] 3 C

E I , . e

Fig. 3

Uit fig. 2 is af te lezen, dat de verplaatsingen van het punt x in de richting van de y- en ^r-as resp.

M^ x{l— x)

WT^'

l

dx

en

M^ x{l— x) ^^

EL 39)

bedragen. De ontbondenen dezer verplaatsingen in horizontale en vertikale richting zijn resp.:

M, xU—x) „ , , M^ x{l—x) . - , M, EI, \ x{l—x) . . , M^ x{l—x) ^ —^—; stn B dx — -—- ; EL cos (3 dx. 40)

De verplaatsingen van het punt x^i in vertikale en horizontale richting worden resp.

My x[l—x,i) _ , , Afj x{l—x.i) . OV , ^ X — ^ — —- cos (3 dx -\- -=rjr —^^— ~ stn p dx {x<C x^i) EI, l M, x,,i {l—x) EI, l en M, x{l—x,,,) .

ËT, T

EL,

cos (3 dx -f- -=rjr " sin ^ dx {x ]> x,i)

. M, x(l--x,i)

srni3dx- — cos (3 dx {x <Cx^i) Ml x,i(l—x) . M,^ x,i(l — x) a ^ I -^ \ „ \ - ^ -, stn p dx — -=^. ^—, ~ cos [3 dx (x J> x^i). 41)

De gevraagde a:j,_jy en <%„• + i, sy worden verkregen door achter-eenvolgens alle deelen van de staaf elastisch te veronderstellen en de daardoor verkregen verplaatsingen te sommeeren. Substitueeren we bovendien de uitdrukkingen 37) en 38) in 41), dan vinden we voor de a's: I

dx

+

o

• +^/....(/-..)(/-.)|^+^-^i^.+

dx . . 42)

+ J^/,.,...,,/-.)t-^ + ^

Xij Xii ««•+i,ay = 7 r ^ Jx^{l — x,j){I—x,i^cos(3sinp(j- — ~Mdx +

dx

4-+ ^ j x,j . x , i (/— xY I cos (3 sin (3 (j j-j\^dx . 43) Xij

Schrijven we ter afkorting: X'' ( / - X.j) ( / - Xai) = f, X . X^i ( / — Xaj) ( / — X ) = ƒ 2 .»^,> . Xai ( / — Jr)=' = / 3 ;f,y . ;r (/— .r) ( / — ;«:„) = / ^ . . . . 44) cos (3 sin (3 / I Ï \ SI l^ E ' VA A j / « ^ /S cos^ (3 ~^\ ~ ^ 12 E =^' 45) dan vinden w e : Xai Xij l

OCai. aj = f flgidx -\- J f^gidx ^ J ƒ3 gy dx {Xai < X^j)

O Xai Xaj Xaj Xai l

«•^i. aj = j figidx + j f^ g, dx + ƒ ƒ3 ^1 dx {Xai > X,j)

O Xaj Xai

en op overeenkomstige wijze:

Xai Xaj l

»ai + I, aj = f/l gl dx -ir f /2 g^dx + f / 3 ^2 dx {Xai < Xaj)

O Xai Xaj Xaj Xai l

«•ai + ., aj = f/i gt dx + f / i g^dx + f ƒ3 ^2 dx {Xai > Xaj)

O Xaj Xai Xai Xaj l

»ai. V + I = ƒ / l gl dx + f A gt dx + ƒ ƒ3 gt dx (Xai < Xaj )

O Xai Ctj Xaj Xai l

«.,•, V+i = J / l ê'i dx + J A g2 dx -i- f /3g2 dx {Xai > Xaj)

Xai Xaj l

Xai +,,aj +^ = f fig'idx 4- ƒ ƒ2 ^3 dx + f /g-i dx {Xai < > y )

O Xai Xaj Xaj Xai', l

Xai + i,v +. = f Ag%dx -f ƒ /i^g^dx + ƒ /^g^dx {Xai>Xaj ),

O Xaj Xai

46) 8. Behandeling van continu verdeelde massa's.

In werkelijkheid zal bij trillende staven de massa dikwijls niet in eenige punten geconcentreerd zijn, doch continu over de lengte-as verdeeld. Ook de combinatie van beide gevallen doet zich voor. Van mathematisch standpunt ligt het voor de hand voor deze gevallen aan de in § 4 en 5 behandelde methode uitbreiding te geven door het uitvoeren van een limietovergang naar n ^ cc . Deze overgang is dan ook reeds lang gemaakt. ') Wij zullen er echter hier niet op ingaan, omdat we juist omgekeerd het geval van continu verdeelde massa's willen terugbrengen tot dat met geconcentreerde massa's, teneinde het daardoor voor numerische behandeling makkelijker toegankelijk te maken.

Wij vervangen derhalve de continu verdeelde massa door een zoo gering mogelijk aantal geconcentreerde massa's die er als „gelijkwaardig" mee kunnen beschouwd worden en plaatsen daar-bij ter vereenvoudiging van het cijferwerk, deze massa's op gelijke afstanden.

W e verdeelen de staaf dus in een zeker aantal gelijke inter-vallen 4) is voor het bepalen van het eerste eigentrillingsgetal van een staaf reeds ruim voldoende) en vervangen de massa van elk interval door 3 geconcentreerde massa's, resp. in de uiteinden en het midden van het interval gelegen. Om de vervanging zoo nauw-keurig mogelijk te doen zijn, stellen we den eisch, dat voor elk interval het werkelijke en het vervangende massasysteem dezelfde massa hebben en voorts t.o.v. hunne lineaire en quadratische momen-ten gelijkwaardig zijn, d.w.z. dat (verg. fig. 3)

1) Zie voor de uitvoerige behandeling b.v. R. COURANT und D . HILBERT, Methoden der mathematischen Physik.

m Fig. 3. i -\- m^ -\- mo,^ I mdx = F + J — m,^ -\- m,^l •= I m X dx = S = SS m, 2^ -}- m^S^:

1 m

x^ dx

= I^=

₄₇₎ - *

Uit deze vergelijkingen vindt men: f»l = V2 ( ^ - ^) m2 = E — /

^3

=

'k

{A+ S),

48)

Daar bij elke intervalgrens 2 massa's samenvallen, zullen in totaal bij 4 intervallen slechts 9 massa's overblijven.

Wanneer behalve de verdeelde massa nog geconcentreerde massa's aanwezig zijn, die zich niet bevinden in de punten, waarin de verdeelde massa geconcentreerd is, zoo is het voor de numerische behandeling van het vraagstuk wenschelijk ook elk van deze massa's te vervangen door drie geconcentreerde massa's in de uiteinden en het midden van het bijbehoorende interval. Men stelt in dit geval: (zie fig. 4)

6 S

m i

Fig. 4

m

m, -\- m^ -{- m^ ^= m — m^S -\- m^S = maS m, S^ -\- m^P = ma'-'h ₄₉₎

zoodat:

»i, = Vï »» («^,— «)

W j = w ( l — a^)

m^= ^j^m {a^ -{- a) 50) Als voorbeeld ter illustratie van de nauwkeurigheid van de hier

behandelde methode diene de berekening van het eerste trillings-getal van een prismatische staaf met constante massaverdeeling, welke aan één zijde ingeklemd is en aan de andere zijde vrij. De staaf is slechts in twee intervallen verdeeld, zoodat de massa in 5 punten {x = o, ^/^ /, ^j^ l, ^/, / en /) geconcentreerd is. Wanneer de totale massa van de staaf m. genoemd wordt, zijn de gecon-centreerde massa's resp. '/^o m, '/3 m, '/g m, 1/3 m, '/12 m. Nemen we voor de y^s aan:

o, I, 4, 9 en 16, dan volgt hieruit voor de y-l^: ml^

— j - ^ X resp. o ; 128; 449; 874 en 1332. We vinden dan voor CA}^:

c,^ = s 2 mi yu yai < = i 2 mi yai^ EI SI)

De exacte berekening met behulp van de differentiaalvergelijking voor de staaf met gelijkmatig verdeelde massa levert:

. ^ , EI ^ EI

" ' = 1.8751^^^3 = 1 2 . 3 6 ^ ^ 3 52) waaruit blijkt, dat bij een onderverdeeling in slechts 2

inter-vallen een resultaat bereikt wordt, waarbij de fout in o)j* kleiner dan 0,1 % blijft.

9. Het vervangen van een elastische staaf, door een stijve staaf met elastische scharnieren.

Doordat de massa's in een aantal op den onderlingen afstand S gelegen punten geconcentreerd zijn, zal de momentenlijn, behoorende bij de krachten m, y^i (i = i «), ontleend aan de willekeurig aangenomen doorbuigingen yu, bestaan uit een aantal rechte

stukken. Om hierbij de elastische lijn {y^j te construeeren moet de ordinaat van deze momentenlijn door EIjc gedeeld en de aldus gevonden kromme (gereduceerde momentenlijn) tweemaal geïnte-greerd worden. Wanneer EIj^ een onregelmatig verloop heeft, zal deze integratie, al wordt zij graphisch uitgevoerd, zeer tijd-roovend zijn. Wij vervangen daarom de werkelijke staaf door een andere bestaande uit stijve, door elastische scharnieren verbonden stukken. De elasticiteit van een staafinterval gelegen tusschen twee opeenvolgende massa's zal geconcentreerd worden in drie schar-nieren, resp. aan de uiteinden en in het midden van dit interval. De afstand van twee op elkaar volgende scharnieren is dus — S, We stellen nu den volgenden eisch: Wanneer we van de werkelijke en van de vervangende staaf een interval (lengte S) aan één zijde inklemmen en dit zoodanig belasten, dat het moment lineair (en zonder knik) verloopt, dan moeten de zakking en de hoekverdraaiing van het andere uiteinde van de werkelijke en de vervangende staaf gelijk zijn.

a. Werkelijke staaf

Fig.

5-Uit fig. 5 is af te leiden:

M^ = M-^r Dx M. 53) J Ii) CM, , M fxdx n f CM,, M f dx D f 1? dx

lËH

X dx 54)

b) Vervangende staaf.

Fig. 6.

We vinden hier (zie fig. 6):

Mi = M; M2 = M+\DS; M^ = M+Dl . 55)

Noemen we de scharnierconstanten ^) in de punten i, 2 en 3 resp. ky, k^ en k^, dan vinden we voor de relatieve verdraaiings-hoeken ö van de scharnieren:

öi = Mk,; Ö2 = ( 7 1 / + 1/2^3)^2; h = {M^Dl) /&3, 56) waarna verder uit fig. 6 is af te leiden, dat

A = Ö3.I/2 ^ + {K + ^3)- \ ^ = ','2 «2^ + 03^ = = Ml (>;2 k^ -f ^3) + ^ ^' (Vi K + k.^ (jp„ = öj -f öj 4- Ö3 =

= 7l/(/^l+/&2 + /&3) + ^ M ' / 2 * 2 + '&3)- • • • 57) De eisch dat voor elke waarde van M en / ? : ƒ „ , = ƒ , ; en qp^j = f.j levert de volgende vergelijkingen ter bepaling van ^ j , k^ en k,^\

^1 + «2 I "^3

ƒ

^ 7 ,

V2 ^2 + -^3 - -y J

^^T;

o

/* '^2 ~r '^3 ^ "p' I x'^dx

_~ÊZ

58)

1) Onder scharnierconstante wordt verstaan de hoekverdraaiing van een scharnier onder invloed van een éénheidsmoment.

dx waaruit na uitwerking'volgtj: ^ ^ / . o

C

dx

3 f xd^ _i_ - f

^^^

^'

- J ËZ~ S J Eh^

S-^J Eh

o o 4 Cxdx 4 Cx'^dx EI^ ''•dx I C X dx . 2 C x^ d:>

'^s

= — T j

'ËL ^ F j

^ËT: 59)

lo. Toepassing op het bepalen van trillingen van schepen. Een in het water drijvend schip kan beschouwd worden als een staaf op een elastische onderlaag, welke onderlaag echter zoo slap is, dat bij de vervorming van het schip de krachten practisch on-veranderd blijven. De uiteinden van het schip blijven niet op hun plaats, zoodat de verg. 36) uit § 6 niet gebruikt kunnen worden. Denken we echter voorloopig het schip in zijn uiteinden, ter plaatse van de massa's o en « + i opgelegd, dan kan de definitie van de invloedsgetallen a;,y onveranderd gehandhaafd blijven. In werkelijkheid krijgt een willekeurig punt nu nog een extra ver-plaatsing ten gevolge van de verver-plaatsingen van de punten o en « 4 - 1 , daar de opleggingen in de uiteinden niet aanwezig zijn,

Fig. 7

zoodat de waarde die si, (zie fig. 7) aanneemt wanneer het schip aan de bij de trilling optredende massakrachten is onderworpen, gelijk wordt aan:

vii = 2 mj cü^ Xij vij + X„ + : Xi

fx + I >lo + x„ +

De grootheden s^^ en vi„+j kunnen in >}j vjn worden uit-gedrukt door de voorwaarde op te stellen, dat alle traagheids-krachten een evenwichtskrachtsysteem moeten vormen en dat dus:

2 mj cxP- {x„+, — Xj) -/Ij = o i = ° « + i 1. mj a? Xj vij = o 6 i ) ƒ = " Hieruit volgt: ilo = — 2 - - ^ i Vij , vi„+x = — 2 ^ i— Vjj 62) Door deze waarden van >jo en ;^«4_, te substitueeren in de verg.

60), gaan deze over in:

Vji = Z ntj Cf)^ ocij vij *- 2J —~ Vij —

- ~ - 2 -p--^,j (/=i «). . 63)

of anders geschreven:

nzj yjj Cü^ ocij . — ^ .

Xi Xj i

x„+i x„+i mn+i (ï = I «) . . 64) Het verdere verloop van de berekening der eigentrillingsgetallen en van de bijbehoorende trillingsvormen geschiedt als in § i, alleen leiden de verg. 64) tot een determinant van de « ' orde, ') zoodat ook slechts n eigenoplossingen gevonden kunnen worden, terwijl er « 4~ 2 massa's zijn. Intusschen kan toch ook iedere willekeurige trillingsvorm van het systeem worden opgevat als een lineaire functie van de eigenoplossingen, omdat onder de « - j - 2 waarden yi van een dergelijken trillingsvorm er slechts n onafhankelijke

voorkomen, (b.v. y, y,). Voor de orthogonaliteitsbetrekking: 1) Deze determinant kan omgewerkt worden in een seculairverge-lijking. Zie verder noot op blz. 4.

2 mi '/iki viii = o {k j ^ t) 65) 1 = 0

kan naar § 2 verwezen worden. ')

II. Benaderingsmethode voor het bepalen van de eigentrillingsgetallen van schepen.

De benaderingsberekening is analoog aan de in de § § 4 en 5 ontwikkelde methode. We moeten er echter zorg voor dragen, dat de op het schip werkende krachten samen een evenwichtskracht-systeem vormen. Daartoe nemen we een willekeurige uitwijkings-kromme y, aan en tellen hier een zoodanig rechtlijnig verloopende doorbuiging x, -\~ /?, Xj bij op, dat y^j = y^j -f- iZj -|- /3j Xj aan den gestelden eisch voldoet.

Daartoe moet: « + i M-!-T « - t - i « 4 - 1 2 mj y^j = 2 mj y^j -\- x 1. mj -\- (3 "ï. mj Xj = o j = o y ^= o y ^ o y = o « + i « 4 - 1 « 4 - 1 « 4 - 1 2 mj Xj y^j = 2 mj Xj y,j -{- x Y mj Xj -\- (3 "L mj xj' = o. . 66) y = o y = o y = ° y = o

De bepaling van x en (3 uit de v'erg. 66) kan graphisch geschie-den. Wanneer echter de massa's mj (y = o . . . . « - | - i) op gelijke afstanden gelegen zijn, is een numerische oplossing minder bewerkelijk.

1) Weliswaar moet een kleine wijziging in de bewijsvoering worden aangebracht, hierin bestaande dat in verg. 6) de termen

« 4 - 1

01/2 2 mi m^ xio vjki yjio ,

i = O

OO!^ £ mi mn + i «i,«-|-i Vjki 1/, «-i-i >

1 = 0

e n in v e r g . 7) d e t e r m e n

w*2 2 Mi « 0 «,o viii vjko e n t = o

K 4- I

oci- 2 nti m„+i «,, «+./ tin )lA,M-fi

welke indentiek nul zijn wegens xio — xt, «-1-1 = o, moeten worden bijgevoegd.

o p de kromme y, kan nu het in de §§ 3 en 4 beschreven proces toegepast worden, waardoor een kromme ^2 ontstaat. Hieraan voegen we, even als bij j , een lineair verloopende doorbuiging toe, zoodat de aan y^ = y^ -|- aij + l^o Xj te ontleenen krachten mjyy {/^ O . . . . n -\- \) andermaal een.evenwichtskrachtsysteem vormen. Uit j/j en^^ vinden we de gewone manier:

«4-1 . 2 m i yu yai

^^

=

lil 67)

» + i _ 2 m i yai''' i ^ o

Het bepalen van de hoogere eigenwaarden levert geen bijzondere moeilijkheden op, zoodat hiervoor naar § 5 verwezen kan worden. Vooral bij de berekening van de eigentrillingsgetallen van schepen is het raadzaam zoowel de elasticiteit als de massa van het schip volgens de in de §§ 8 en 9 ontwikkelde methode in eenige punten te concentreeren, omdat zoowel m als EI zeer grillig veranderen.

Voor de massa moet niet alleen de massa van het schip, doch ook de gereduceerde massa van het meetrillende water in rekening gebracht worden.

Indien het noodig mocht blijken, ook de vervorming van het schip tengevolge van de dwarskracht in rekening te brengen, dan kan dit zonder bezwaar geschieden, daar immers alleen de iuvloeds-grootheden xij eenige wijziging ondergaan.

12. Torsietrillingen.

We beschouwen een as met « -f- i gecentreerde massa's, waar-van de polaire traagheidsmomenten / , [i = o «) genoemd zullen worden. De afstand van massa i tot massa o worde x ge-noemd, terwijl onder «^ de verdraaiing verstaan wordt, welke de doorsnede / ondergaat tengevolge van een eenheidskoppel werkende ter plaatse ƒ, wanneer doorsnede O vastgehouden wordt. Noemen we de hoekverdraaiing van doorsnede i O/, dan levert het beginsel van D'ALEMBERT de volgende vergelijkingen:

waarin S^ bepaald wordt uit de vergelijking:

,ï/'^-° ^'

welke uitdrukt, dat de geheele as onder invloed van alle traagheids-krachten in evenwicht is.

Stellen we weer den eisch, dat alle massa's een naar den tijd sinusvormige beweging uitvoeren met gelijke frequentie en phase, zoodat gesteld kan worden:

^i = 9i sin u' t

d''6i , .

2 = — ^ f' ^'*' ^^ [1 = 0 «) . . 70) dan leveren de verg. 68) en 69):

n (qp, — qpg) sin cc ^*2 Ij cc'' xtj cpj sin cct (i = i n). 71) y = ' « — 2 Ij Cl}'(f j sin 001 = o 72) y = ° resp.: n <P' — <Po = ^ ^j ^"^ "•!] fj {'— ^ ..M). . . 73) y = I « 2 7, <py = o 74) y = °

Uit verg. 74) volgt:

%== f— ^ ^j Vj 75) • ' 0 y = 1

roodat de verg. y^) bij substitutie van deze uitdrukking worden:

< P i = 2 Ij Jxj ^--\q>j = o [i=l «) . 76)

.; = >

Het verdere verloop van de berekening wordt door § i weer-gegeven ; alleen krijgen we hier slechts n eigentrilling.svormen, terwijl er « - j - i massa's zijn. Daar er echter wegens verg. 74) slechts n onafhankelijke hoekverdraaiingen zijn, kan wederom elke ver-vorming in de eigenoplossingen ontwikkeld worden.

De orthognaliteitseigenschap luidt:

13 Benaderingsmethode tot het bepalen van de trillingsgetallen bij torsietrillingen.

Neem een stelsel verdraaiingshoeken ;/^„- (i = i ..,. n) aan en tel bij deze waarden een constante x^ van zoodanig bedrag op, dat de nieuwe waarden i/',, = \p,i -\- x voldoen aan de vergelijking: 2 /,• ip,i= "Lli^p.i -\-Xi I, Ii=o . . . 78) i := o i ^ O 1 = 0

Laat nu op de as momenten werken van de grootte 7, i/»,,-(i = o «) en bepaal daarbij nieuwe verdraaiingen. Tel bij deze waarden i/'^,- (t = o n) opnieuw een constante x^ op, zóó dat 2 Ii \p,i = o wordt en bepaal met i/'j en 1/^2 tenslotte cc^^ als volgt: « 2 /,• ^^i . ilai ^l' = '—, 79) 2 /,• 4^ai' t = o

Voor de motiveering van verg. 79) kan naar § 4, voor het bepalen van de hoogere eigentrillingsgetallen Ui naar § 5 verwezen worden.

Berekening van staven, waarop periodiek veranderlijke

krachten inwerken.

I. Het opstellen van de bewegingsvergelijkingen.

Werken op de staaf van hoofdstuk I, in de punten Xi{i ^ i «) met den tijd veranderlijke krachten Q^ (i = I «), dan gaan de bewegingsvergelijkingen, hoofdstuk I, verg. 34) over in:

« / d^y\

^'• = .!.(öy-«V^j^.y I)

Zijn er bovendien nog krachten, welke niet aangrijpen in de

punten Xi (i = i n), dan vervangen we het door hen ge-vormde krachtstelsel door twee andere stelsels, die tezamen met het eerste identiek zijn. Het eene is zoo gekozen, dat de punten Xi {i = i n) geen verplaatsing ondergaan, terwijl het andere slechts bestaat uit in de genoemde punten aangrijpende krachten. Het eerste krachtstelsel zal als gevolg van de eraan gestelde voorwaarde geen invloed op de beweging van de massa's uitoefenen.

2. Behandeling van het vraagstuk met behulp van de leer der eigenfuncties.

We denken ons de doorbuiging y op eenig tijdstip van de beweging ontwikkeld in de in hoofdstuk i % 6 bepaalde eigen-doorbuigingen van de staaf:

yi= I.aiViii {i = I «) . . . 2) waarin de coëfficiënten ak (welke nu als functies van den tijd moeten worden opgevat) wederom bepaald zijn door:

«

a^ = S mi J/i i^kz (^ = I n). , , . 3) i = t

Bij iedere eigendoorbuiging (vj*) behoort een systeem van in de punten Xi aangrijpende krachten {Pki = mi cck^ viki), dat in staat is de staaf deze doorbuigingen t e geven.

Bij de « verschillende eigendoorbuigingen behooren dus ook n verschillende „eigenbelastingen", zoodat het steeds mogelijk is een willekeurig in de punten xi aangrijpend krachtsysteem te ontbinden in de bij de staaf behoorende eigenbelastingen.

a = 2 èiPki ( / = I « ) . . . 4) De bepaling van de coëfficiënten èk in deze ontwikkeling, is op eenvoudige manier mogelijk, indien men gebruik maakt van de betrekkingen:

« Pi Pr

i = r mi ^ T- I

en

n p i n

2 — = Ui^ 2 nti viki'' = cck^ 6)

. = 1 mi ; = ,

die gemakkelijk geverifieerd worden door de waarden voor Pa er in te substitueeren.

We vinden dan uit verg. 4 ) :

6 . ^ - 2 bk^"'^" ( / = i n) . . . 7) nti k^,, mi

waaruit door sommatie over den index i in beide leden volgt: v» ^i ^ii V V r ^ki ^Ii v* ^ z. ^ki ^Ii , L

2; = Z 2^ Ok = 2 - ^ Ok = Ol Oil*, f = I mi i^^ k^i mi * = I ,• = , mi

of met vervanging van den index / door k:

b k = \ ' ï ^ ^ ( ^ = I n) . 8) Substitutie van de verg. 2) en 4) in i) levert n u :

" " " d'' ak

2 ak Viki — ^ 2 {bk Pkj — mj , vnj) Xij =

* = i y = i * = i at-" at-"

d''a/-= 2 2 [uk"^ bi -y-^) mj Xij Vlij {i = 1 «) . 9)

I^Met behulp van de verg. i) hoofdstuk I kunnen de verg. 8) als volgt geschreven worden:

« " / d'ak\ I

2 ak viki = 2 (cck^ bi - r - j - ) ^ • 1H {i= I «) lo)

* = i * = i \ o * / "^/t

Door elk van de vergelijkingen lo) te vermenigvuldigen met mi Vla en deze zoo gevonden vergelijkingen te sommeeren, vinden we ten slotte, gebruik makende van de orthogonaliteit en van het genormeerd zijn van de functies vi;

, I d''ak . ak= bk 2 ~ 7 7 2 " ° '

ci)i' dt'

, J -\- cük'' ak = cci' bk {k = i n) . . I l ) De oplossing van deze differentiaalvergelijkingen luidt:

ai = G-i cos cckt + Cka sin ccit -\- B.I. {k = i n) . 12) Zijn de coëfficiënten bk periodieke functies van den tijd, met dezelfde periode 2 n/fji,, dan kunnen ze in een reeks van Fourier ontwikkeld worden:

00

bk = 3*0 + 2 bip sin ( / i ^ / + (pif) {è= i n) . 13) Men vindt dan voor ai

ai = G i oos cCkt-\- Cka sin w* ^ + bko +

+ ^ ^ ^ 2 ^ ^ " « ( / ^ ^ + * ' ' • / ) ( ^ = ^ '^) • '4)

> = I ,I Ff*

Cük''

De coëfficiënten Q , en C^.^ kunnen bepaald worden uit de beginvoorwaarden. Bevindt het systeem zich ten tijde / = = o in den middenstand en in rust, dan luiden deze beginvoorwaarden

00 ^

o = G i + bio + 2 ~— sin fkp / = i j _£i!£_

00 A Z

0= uiida -{- 2 '^ ^A 2 coscfkp {k= i n) . I S )

middenstand, dan moeten de uitwijkingen y^ en de snelheden yJ eerst in de eigenfuncties ontwikkeld worden.

n

yoi = 2 XiViki

k = i n

yoi = i: (3kviki {i=l n) . i6)

* = I « waarin «* = 2 mi yoi vm ; ^ = 1 n en ^ * = 2 myjviki (/è = i «) . . 17) De eerste leden van de verg. 15) moeten dan vervangen worden door Xk en /S^.

3. Benaderingsmethode.

Beschouwen we het geval, dat demping aanwezig is, en dat de wisselende krachten reeds geruimen tijd op het systeem hebben ingewerkt, dan is de beweging onafhankelijk geworden van de beginvoorwaarden, zoodat ze alleen beheerscht wordt door de bij-zondere integraal van de dèn geldende differentiaalvergelijking. Is de demping bovendien zeer klein, dan kan met groote benade-ring voor deze bijzondere integraal de uitdrukking

sin {pM-t-i- <fi^) {è = I « ) . 18) 00 Ui = bko -\- I- ~ ^ = ' 1 bk, A'2 2 p'fx,' CCi^ geschreven worden.

Voor de totale uitwijking vinden we dus:

yi = 2 «i viki = 2 \bko -^ ^ ^^, 2 ^^^ iPl^^ + ^i'p) \ ^ki =

/> = ' j P (^

CjCk'

cc = 2

* = i

bko - f 2 bif sin {pi^t-{- <fki)\

viki-\->* = '

« <» u^

-f- 2 'L bkp T^TT^^" {Pl^t + fkp) viki {i= i n) 19)

A = i f = i P

Zouden de krachten, die op het oogenblik aanwezig zijn onein-dig langzaam op de staaf worden opgebracht, dan zouden statische doorbuigingen ontstaan ter g r o o t t e :

n I co

yi stat. = 2 \ bko -{- 'ï. bip sin {p fx, t -{- (fip)\ijii (i— i... n) 20) A = I ( p = i ^ )

Substitutie van 20) in 19) levert:

" °° CCk'

Ji = fi stat. -\- 2 2 bip '-K--Tsin{piAt-\-(fkp)viki{i=i..n)

* = ' ^ = ' i - ^ . . . 21)

In het algemeen zal ba, voor grootere waarden van / zeer klein worden, zoodat de bijbehoorende termen in de verg. 21) ver-waarloosd kunnen worden. Bovendien kunnen alle termen met groote^ verwaarloosd worden, omdat cci' voor groote waarden van k zeer groot wordt. Om de dynamische doorbuiging je, te vinden behoeven we dus bij de statische doorbuiging yi stat. slechts enkele termen van de dubbelreeks uit de verg. 21) op te tellen.

Deze benadering is niet toelaatbaar, indien we in de buurt van een resonantiepunt komen (cck <^ py^; p = \ 00). In dat geval zal in de verg. 18) in plaats van de betreffende term de exacte waarde, volgende uit de differentiaalvergelijking geschreven moeten worden.

Knik van staven.

I. Het opstellen van de vergelijkingen.

X n + i

Fig. 8.

Als eerste voorbeeld van een op knik belaste staaf zal het in fig. 8 aangegeven belastingsgeval beschouwd worden. De krachten P werken alle in de richting van de aanvankelijk rechte staaf. Zij zijn voorloopig onbekend, doch staan in constante verhouding tot de krachten van een gegeven krachtsysteem Qi, zoodat:

Pi=xQi ( i = I n-\-l) _{I )}

Bij niet te groote krachten (voldoend kleine waarde van A) kan de staaf slechts bij een rechte staafas in evenwicht zijn. Er zijn evenwel waarden van A aan te wijzen (de „eigenwaarden" van het vraagstuk) waarbij ook evenwicht bij een uitgebogen staafas mogelijk is. Het is de bedoeling deze A-waarden te bepalen en wel in de eerste plaats voor het geval dat de staaf uit een (eindig) aantal stijve stukken bestaat, door elastische scharnieren aan elkaar verbonden.

35

Aangenomen wordt dat de uitwendige krachten slechts in de scharnierpunten aangrijpen. Een kracht, welker aangrijpingspunt X tusschen twee scharnieren Xi en ;tr, + , inligt, kan worden ver-vangen door twee in Xi en ;ir,+ i aangrijpende componenten, die zich omgekeerd verhouden als de segmenten x — Xi en ;r, _|_ ^ — x.

De elasticiteit van de scharnieren (de relatieve verdraaiing der betrokken scharnierelementen per eenheid van moment) wordt k genoemd. Voor het vervangen van een continu elastische staaf door een staaf bestaande uit stijve segmenten, verbonden door elastische scharnieren kan naar hoofdstuk i § 9 verwezen worden.

Xnti ^

l'ig. 9

Worden alle scharnieren behalve het j ' vastgezet en wordt in dit scharnier een hoekverdraaiing <fy kunstmatig opgewekt, dan ontstaat ter plaatse Xi onder invloed van de krachten <2i . • • • ö« +1

en de erdoor opgewekte reactie Dr (zie fig, 9) een moment Mi. Mi

Het „specifieke buigmoment", dat is de grootheid —^ zullen we het fy

invloedsgetal x^ noemen. Uit fig. 9 is de grootte van x^ ge-makkelijk te berekenen. We vinden achtereenvolgens:

Dr^ i ^^^-"^^-I^^jQk^. T ^- {X.^r - Xk) ^. Q^ ^j

k = X Xfi-\-1 k =j -\- 1 X/t 4-1

Mi = qPy Xij = D {x„+, — Xi) —

_ i 1 Xk {X„+, — XJ) _ Xi {X„+, — XJ) j _ « + • I Xj (x„+. - Xk) _ Xi (^„+. - Xj) I ^^ ^^_ _ ^ _ ^^ A = y - l - i > x„j^T, XK-^.1 ) ^ Xi {x,,^, — Xj) {x„+, — Xi) / Xij = i 2 t^* + • > Xi {Xn + x — .l^y) {X„+^ — Xk) ^ ,

u + -^

;:—2

^——

i^i-r •

V + " 2 ' ^- (^"^-x^ - 2 ^ „ + , 4ry + Xk XJ) Q^ ^^^ ^ ^^^ ^ _ _ ^ k^ j - \ - I ^ « - j - i

Voor twee punten / en $», waarbij p rechts van q ligt, vindt men op overeenkomstige wijze:

| , Xi {X„+^ — xj) {X„+, — Xp) xpj^ 2, 2 Uk -\-* = I •-\-*« + ! • V ^ g (-^« + 1 -yj») ( ^ « + 1 ^k) Q . " y ' ^? (-^n-f 1" — 2 ;ir«-n ;f/ + ^^ Xp) f. , ^ ^ . ,. + -^ — 2 Uk \xp > ;ir4,) . 5) A = / -f. I .*«-i-i

Vervangt men in deze laatste formule p door j en ^ door i, dan blijkt, dat aiy; = Xij.

De vergelijking welke het knikvraagstuk beheerscht kan nu in de hierboven gedefinieerde grootheden opgeschreven worden.

Immers, wanneer onder inwerking van een krachtsysteem A ö j A ö«-f-1 een evenwichtsstand mogelijk is, waarbij in de scharnieren i n hoekverdraaiingen ()PJ qp„ optreden, dan kan het moment Mi ter plaatse i eenerzijds uit de plaatselijke hoek-verdraaiing qp, en den elasticiteitsfactor ki van het scharnier

Mi = : - ^ j bepaald worden, anderzijds met behulp van de invloeds-getallen Xij. Een hoekverdraaiing qpy ter plaatse j veroorzaakt n.l. bij overigens stijf gedachte staaf ter plaatse i een moment x,j cpj wanneer de uitwendige krachten Q^ Qn+i groot zijn en dus een moment XxijCfj wanneer deze krachten de A-voudige waarde hebben. Totaal treedt dus ter plaatse i een moment A 2 Xijffj op, zoodat ₀

ki A 2 «•ij^j (i: n) 6)

De verg. 6) laten alleen dan een voor de qp's van nul verschil-lende oplossing toe wanneer:

k^ A *12

*21 *22 _{^ 2 A}

/è,, A _{• . 7)}

zoodat n reëele waarden van A gevonden worden. ') Bij elk dezer A-waarden behoort een stel qp-waarden (of één z.g. eigen-functie). In totaal zijn er dus ook n eigenfuncties. Daar de vorm-verandering van de staaf bepaald wordt door n qp-waarden, karr elke willekeurige staafvorm dus zonder rest in de eigenfuncties ontwikkeld worden.

2, Orthogonaliteitsbewijs.

De orthogonaliteitseigenschap van de eigenfuncties luidt: 2 ^ ? ü ^ o {k^l) . . .

ki 8)

Uit de verg. 6) volgt:

2 — j = 2 (pki h 2 Xij q>ij = A/ 2 2 a,y (fa cptj . . g)

ft rr\ , (t) ,. ff W t! ft

2 '^' ' = 2 q>ii Xk 2 Xjj (fkj = Ai 2 2 Xy <pkj qp« . . l o ) ï = I ^ / i = 1 y = 1 / = I y = I

De uitdrukkingen onder het 2 2 teeken in verg. 9) en 10) zijn aan elkaar gelijk hetgeen blijkt wanneer in één van beide i en j verwisseld worden en daarna Xji door a;,y wordt vervangen.

Wanneer A; ^ A^, dus wanneer l j£ k '\s, moet derhalve V 'fki <Pli

.^ —k~^°

t ^ I f^z

zijn. De eigenfuncties zijn ook nu weer slechts tot op een constanten factor bepaald. Wordt deze factor zóó gekozen, dat

is, dan heeten de functies genormeerd.

3. Benaderingsmethode tot het bepalen van de eerste eigenwaarden.

Behalve de in § i beschreven exacte methode tot het berekenen van de eigenwaarden en eigenfuncties, welke voor een groot aantal scharnieren zeer bewerkelijk is, zal hier een benaderingsmethode gegeven worden, waarmee de eerste eigenwaarden en eigenfuncties met zeer voldoende nauwkeurigheid op eenvoudige wijze bepaald kunnen worden.

Neem een stel relatieve hoekverdraaiingen (fl,) in de scharnieren aan, construeer hierbij de elastische lijn, bepaal daarbij de momenten tengevolge van de gegeven uitwendige belasting en bereken bij deze momenten de nieuwe hoekverdraaiingen (^2). door ze met de bijbehoorende k's te vermenigvuldigen. De eerste eigenwaarde volgt dan bij benadering uit:

Om dit te bewijzen ontwikkelen we ö, in de eigenfuncties:

n

6,_i = "Z ai<fki {i=z i n) . . . . 12) i = i

Wordt hierop het bovengenoemde proces toegepast, dan vinden we voor d^:

6ai-= 2 -^ qpw ( « = I «) . . . . 13)

k=i Xk

Substitutie van 12) en 13) in 11) levert:

" 6.i ö.i « I ( " J ( V '^'^ 2 — V — 2 -^ 2 «4 qpi,- . 2 —

qp*,-1 = qp*,-1 Ki i = T Ki '. k=i ' 'i = ,iXi

2 - ^ 2 1 I 2 f* cfii

O . 2

2 ^ ^ 1 + 2 h.% ^

y «* I _L y '^1 "•'' ^ '^l -* = i A^2 i = a>^k' a^'

\ 2

De relatieve fout bedraagt ongeveer -J~ . - ^ , welke fout meestal

A2 a-^

zeer gering is.

Berekenen we b.v. volgens de aangegeven methode de knik-kracht van een aan beide zijden scharnierend bevestigde prismatische staaf, alléén belast door krachten aan de uiteinden, dan vinden we, wanneer we 7 elastische scharnieren aanbrengen (volgens hoofdstuk I § 9 verdeeling in 4 intervallen) voor de knikkracht ——^j , zoodat dit bedrag slechts 0,37 "/Q verschilt van de

, %''EI exacte waarde — 2 ~ - .

Voor het bepalen van de hoogere eigenwaarden en eigenfuncties kan verwezen worden naar hoofdstuk i § 5.

Ter illustratie volgt hier een voorbeeld van een staaf, belast door één samendrukkende kracht aan het einde en één even groote en gelijkgerichte kracht in het midden. De staaf wordt in 8 inter-vallen verdeeld, zoodat 15 scharnieren ontstaan. De krachten Q% en Ö16 zijn dus Q, terwijl de andere nul zijn. In tabel I zijn de resultaten van de verschillende berekeningen opgenomen.

h4 m < |.=s o O -"* M o> - " « o •^ ty o O \o '^ N o» •v» .-.^ ^ o o VD o> • ^ l-H 1 ^ O - ^.» 1 ^ O o «^r o o 1 '-' M «ra '> tij O O \o ^ N O" 1 •*« hil

^k

^ _{M 1} ^^

1

O» ^^ ^ o o "^ ^ o o 1 *~* '^ VO ï-O O^ rT H H

1

_i r-1 cc o_ es" ,—i 1 ,__ ' i -O UD

1

VO r o q\

1

r o VO ON o"

1

l - H 1 1 VO M M r o *—' w i t ^ ,.., -O c o )^ O 1—1

1

1 ^ i-O ) - i o )—1 1 j T f VTi 1—< O 1—•

1

co O 0\ 4 VO VO a\ o" w 1

1

o\ o VO -^ (S

1

VO 1 ^ ^ VO •<f CS

1

co r o CO CS

1

u-v l-<( O N i-r. I t - ^ o _ON ó *-< ' • * VO N t l ^ CS ' l -I - ) l - ( M VO M CO CO u - i ON »-( M CO t - ^ VO vO_ M " B H

I

₁ i ^ O t ^ f^ 1 — 1

1

t ^ O t ^ t s > — 1

1

u ^ < — 1 o VO"

i

x l -^ ON o"

1

1 ^ 1 1 o r ^ t - t o -+ T i -cs )_, T t -r v , t ^ M CS M

1

0 0 VO c o C) C~)

I

T ) -0 -0 K -. - 1

1

h-4 t ^ 1 — 1

1

c o t ^ 0 0 o"

1

( - H t

1

O ON CS I T N ^ ITN t ^ C) H H L O CO x/-. t ^ 0 0 c c - ^ t ^ u - i

1 1

• 1 - ^ c^ co C \ i j - ^ ^ > . i-O

1 i

" CS C3N O •* 1—1 VO O -^ ^ (S O N VO CJN t ^ t ^ CS

1 1

c o Tf-L O O ^ CO co o CS CS c o VO 0 \ o o o" o"

1 1

• H »-H 1 1 ' ( 0 0 0 0 Tt- (3N 1-1 CS o^ ^ t ^ o t ^ M oo VO O o" 1 O oo - t 1—4 0 0 O N 0 0 ^ ^ l i l O -c o -c o H-t H VO t ^ -st-CS c o t - l 0 0 o VO t ^ ^ ! —< 0 0 VO VO ^ 1—1 •^ c o c o t ^ o L n .-, VO 0 0 M M H H t - l ^ c^ Cï ï - n t r ^ ^ i r ^ t-t c o ,_, (3N c o r ) t i - i O N M OO T j -ON ,_ CO x t -ON VO VO ^ co o\ L i ^ o_^ •^ h H CS -st-i l CS ^ o c o i-i O M I - t CS ^ CS VO c o 1—1 i - i CS 0 0 VO l i ^ o CS CS t ^ ON VO o 1—( ""• l - l l-O t ^ N l i ^ t ^ c o i-r^ t ^ CS H-l w >-« VO t i - t o t—l C3N CS L O o 1—1 O N CS l i - i O CS t ^ oo CS t ^ u - ï CS VO O N O c o c o 1 O N t ^ c o 1—' 1 O ON VO > ^ • * t ^ O N c o c o 0 0 t ^ 0 0 1—* t r j CJN c o 0 0 ^ 0 0 T l - c o — ON tv« T t t ^ l-t c ^ t ^ 1-1 l-t O N o o O N 0 0 t ^ T|-I T N ^ o_ '-' l - H CS c<-) t-t CS c o -+ CS l-t CS l - t CS " - 1 I ^ t ^ CS CS

°.

°.. °.,

l-t HH l-t l-t 1.H l-t l-t 0 0 ON l i " l l-< l-t CS l-t CS 1/1 u-1 m 0 0 O N N - 1 l O u - , O N T l - t ^ »-. l-t HH CO "«^ l O

In tabel i zijn opgenomen onder: ö j : de aangenomen hoekverdraaiingen. j / , : de daarbij behoorende uitwijkingen.

M2'- de momenten bij deze uitwijkingen optredende tengevolge van de krachten ^g = Q en ön; =

Q-Ö2: de bij deze momenten behoorende hoekverdraaiingen (bij benadering evenredig met de eerste eigenfunctie).

Ö3: de aangenomen hoekverdraaiingen ter bepaling van de tweede knikkracht.

Ö3: dezelfde grootheden als onder Ö3, doch nu gezuiverd van de eerste eigenfunctie.

jl/3: de daarbij behoorende uitwijkingen.

M^: de momenten bij deze uitwijkingen, optredende tengevolge van de krachten Q^= Q en ÖIK =

Q-ö^: de bij deze momenten behoorende hoekverdraaiingen. ö^: dezelfde grootheden als onder fl^, doch gezuiverd van de nog

ingeslopen eerste eigenfunctie (bij benadering evenredig met de tweede eigenfunctie).

Voor de eigenwaarden, dus voor de eerste twee knikkrachten, wordt gevonden: A, == i =-, I _'S

2

i = 1 15

2

i = 1 15

2

ki 6ai' ki ki ~d.i' 510 24.16EI EI = 6,565 29798 - i'Q " ' r-Q __ 121,6 24.16 EI EI ki

4. Knik van staven, waarbij de hoofdassen van traagheid der verschillende dwarsdoorsneden verschillende richting hebben. In de vorige paragrafen hebben we als vanzelfsprekend aange-nomen, dat de hoofdassen van opeenvolgende dwarsdoorsneden twee vaste richtingen hadden. Hierdoor krijgen we twee onderling onafhankelijke reeksen eigenwaarden. De staaf knikt of in het

ééne óf in het andere der door genoemde assen bepaalde vlakken uit. ')

Liggen de hoofdassen van de verschillende dwarsdoorsneden niet in twee platte vlakken, dan moeten we, indien de staaf even-als in § I weer door met elastische scharnieren aan elkaar verbonden stijve stukken vervangen wordt, aan ieder scharnier twee draaiings-hoeken toekennen om de plaatselijke hoofdassen. Ter onderscheiding zal de draaiing om de eerste hoofdas met één streep en die om de tweede hoofdas met twee strepen aangegeven worden. Zoo be-teekent qpy (ZT; 7 het moment om de eerste hoofdas in het punt Xi ten-gevolge van alle ö-krachten, wanneer het scharnier ter plaatse Xj om de tweede hoofdas een verdraaiing qoy krijgt. Noemen we /3,. den hoek, dien de eerste hoofdas van scharnier i maakt met een ge-geven lijn loodrecht op de staafas en kennen we aan «/, de waarde toe, volgende uit de verg. 4) en 5), dan vinden we voor de nieuwe invloedsgrootheden:

«•IJ = Xij cos {(3j — (3,) xrj= Xij cos {(3j — (3i) xYj= Xij sin {(3j— (3i)

XTj= —Xij sin {(3j— (3i) 16) Met deze invloed.sgrootheden kunnen de verg. 6) onveranderd

opgeschreven worden, alleen is het aantal vergelijkingen en onbe-kenden twee maal zoo groot als het aantal (dubbel-) scharnieren. Elke uitwijkingsvorm wordt nu gegeven door 2 n scharnierver-draaiingen. Er bestaan echter ook 2 n eigenfuncties, zoodat het steeds mogelijk blijft elke willekeurige (ruimte-) kromme in de eigen-functies te ontwikkelen.

5. Andere statisch bepaalde knikgevallen.

De in de vorige paragrafen ontwikkelde methode blijft zooals vanzelf spreekt ook nog geldig voor andere statisch bepaalde knikgevallen, b.v. voor een staaf, die aan de ééne zijde ingeklemd en aan de andere vrij is. Alleen de «'s nemen een andere waarde aan. 1) In het voorgaande hebben we ons slechts met één van deze vlakken bezig gehouden.

Als voorbeeld volge hier de berekening van een ter plaatse x^ = o ingeklemde en overigens vrije staaf, belast door een over de geheele lengte gelijkmatig verdeelde axiale belasting. ') De staaf is hiertoe in vier intervallen verdeeld, zoodat de vervangende staaf bestaat uit 8 stijve stukken verbonden met 8 elastische

T A B E L IL i I 2 3 4 5 6 7 8 9 8 Ö o, 5 o, 5 100 ö, I 4 2 2 I I O O 8oo o I 6 13 22 32 43 54 65 6400

TQ ^'

203,5 196 163,5 125 84,5 49.5 22 5,5 2 4 ^ / I 4 2 4 2 4 2 4 24.6400^/^

PQ

'

203,5 786 327 500 169 198 44 22

scharnieren (zie tabel II; voor de beteekenis van de hoofden zij verwezen naar § 3). We vinden voor de eerste knikkracht:

A i = ki 8 Q .'^ 1 = 1 f^t 24.64 EI 1700 ^ I^I = 7,76 V' q • 336600 i'Q 17)

G R E E N H I L L , M A N T E L en BIEZENO vinden resp. 7,91, 8 en 7,80 El

, zoodat het verschil van de hier gevonden waarde met ge-/ 2 Q

noemde schrijvers resp. 2"/,,, 3 % en 0,5"/,, bedraagt. 1) Zie voor de exacte behandeling van dit knikgeval:

A. G. GREENHILL, Cambridge Phil. Soc. Proc, vol. 4 (1881) C. CHREE, Cambridge Phil. Soc. Proc, vol. 7 (1892)

W.MANTEL, Een bijzonder geval van knik, „De Ingenieur" 1925 blz. 465 C. B. BIEZENO, Over eenige bijzondere knikgevallen, „De Ingenieur''