Kinetyczna teoria gazw.

10. Kinetyczna teoria gazów.

Wybór i opracowanie zadań od 10.1do 10.6 - Bogusław Kusz. Więcej zadań z tej tematyki znajdziesz w II części skryptu.

10.1.

Funkcję rozkładu prędkości cząsteczek gazu doskonałego można zapisać w formie:

kT mV e CV V f 2 2 2 )

( = − gdzie C jest pewną stałą a m jest masą cząsteczki. Jest to jednocześnie rozkład prawdopodobieństwa znalezienia w gazie o temperaturze T cząstek o prędkości V. Wyprowadź wzór oraz oblicz najbardziej prawdopodobną prędkość wodoru i tlenu jeśli T=300K, µH2=2g/mol=2·10-3 kg/mol i µO2=32g/mol=32·10-3 kg/mol, R=8,31 J/(kg mol).

Naszkicuj wykres f(V) obu gazów.

10.2.

Funkcję rozkładu prędkości cząsteczek gazu doskonałego można zapisać w formie:

kT mV e DV V f 2 2 2 )

( = − gdzie D jest pewną stałą a m jest masą cząsteczki. Jest to jednocześnie rozkład prawdopodobieństwa znalezienia w gazie o temperaturze T cząstek o prędkości V. Wyprowadź wzór oraz oblicz najbardziej prawdopodobną prędkość cząstek azotu gdy temperatura gazu wynosi T1=300K i T2=900K. Naszkicuj wykres f(V) gazu w obu

temperaturach. µN2=28g/mol=28·10-3 kg/mol, R=8,31 J/(kg mol).

10.3.

Ocenić ciśnienie i koncentrację powietrza na wysokości: a/ 0m npm, b/ 2499m npm, c/ 4807m npm, d/ 8850m npm. Założyć, że przyspieszenie ziemskie i temperatura powietrza nie zależą od wysokości przy czym g=9.81m/s2 i tp=70C.

10.4.*

Czy na Mount Evereście można zagotować jajko na twardo ? Założenia: 1/ ścinanie białka zachodzi w temperaturze t=60-720C ,

2/ związek temperatury wrzenia wody z ciśnieniem powietrza przy powierzchni wody jest następujący: x x T T p p A 1 1 ln 1 0 0 − =

gdzie: p0=9,81·104Pa, T0=373K, A=4950 K, a Tx jest temperaturą wrzenia wody pod

ciśnieniem px, przyspieszenie ziemskie i temperatura powietrza nie zależą od wysokości przy

czym g=9.81m/s2 i tp=70C. 10.5.

Na jakiej wysokości ciśnienie powietrza spada do połowy swej wartości przy powierzchni morza ? Założyć, że przyspieszenie ziemskie i temperatura powietrza nie zależą od wysokości. Dane: g=9.81m/s2, tp=100C, ciśnienie p0=1000hPa.

10.6.**

W wirówce o promieniu R=1m obracającej się z prędkością obrotową ω=3000obr/min. znajdują się pary fluorku uranu UF3.Określ jak zmienia się koncentracja tego gazu w zależności od odległości od osi obrotu. Porównaj koncentracje w przypadku gdy mamy do czynienia z mieszaniną 235UF3 i 238UF3. Założenia:

1/ wlot gazu o temperaturze T=400K i ciśnieniu normalnym jest na osi wirówki,

2/ iloraz koncentracji wynosi: η0 = n235/n238=0.007 oraz µ235=292g/mol, µ238=295g/mol, 3/ wirówka jest obracającym się wokół pionowej osi cienkim walcem (wpływ siły ciężkości można zaniedbać).

10.Rozwiązania:

10.1.R.

Problem sprowadza się do znalezienia maksimum funkcji f(V) czyli przyrównaniu jej pochodnej do zera. Taka procedura prowadzi do wyniku:

µ µ RT kT N m kT V A p 2 2 2 _{= =} = .

Dla gazów z zadania:

. 4 1 1579 73 , 394 2 2 2 2 2 2 = = = = O H pH pO pH pO V V oraz s m V i s m V µ µ 10.2.R. . 730 422 ₂ 1 _s m V s m V_pT = _pT = 10.3.R.

Przy takich założeniach można zastosować tzw. wzór barometryczny (patrz 10.4.R):

,

)

(

e

p

e

p

h

p

=

=

molekuły gazu, µ-masa molowa gazu.

Związek między ciśnieniem i koncentracją η jest następujący:

RT gh A e czyli kT p V N i kT p V N Nk R N N nR T pV _{η η η η} −µ = = = = = ⇒ = = = 0 ₀ 0 .

Dla powietrza możemy przyjąć: µ=28,8g, p0=1000 hPa.

Wyniki obliczeń:

a/ p(0)=p0=1000 hPa, η0=2,6 ·1025 m-3, b/ p(2499m)=0,74p0, η(2499m)=0,74η0, c/ p(4807m)=0,55p0, η(4807m)=0,55 η0, d/ p(8850m)=0,33p0, η(8846m)=0,33 η0.

Jak widać z powyższych wyników taternicy na Rysach odczuwają lekki brak powietrza, alpiniści na Mount Blanc (4807m) muszą głębiej oddychać a himalaiści na Mount Evereście (8850m) mają bardzo duże problemy z oddychaniem.

10.4.R.

Ciśnienie na Mount Evereście w podanych warunkach wynosi px=0,33p0 (patrz zadanie 10.3) więc woda w tym miejscu będzie wrzała w temperaturze

C K T czyli A T p p A T T x x x 0 0 0 0 72 345 33 . 0 ln 1 ln 1 1 1 _{= − = − = =} .

Wniosek: porównując temperatury krzepnięcia białka i temperaturę wrzenia wody można sądzić, że na Mont Evereście prawdopodobnie można ugotować jajko na miękko. Ponieważ przyjęliśmy w naszych obliczeniach parę założeń a temperatury niewiele się różnią więc nie można wykluczyć, że w pewnych warunkach uda się przygotować jajko na twardo.

10.5.R. km g RT p p g RT h h 77 , 5 2 ln ln 0 _{= =} = µ µ . 10.6.R.

Można znaleźć związek między równaniem Boltzmanna, wzorem barometrycznym i rozkładem koncentracji gazu w wirówce.

W ogólnym przypadku równanie Boltzmanna jest następujące:

kT E E e n n 1 2 1 2 − −

= gdzie n1 i n2 koncentracje cząstek o energii E1 i E2 w temperaturze T.

Także w przypadku gdy cząstkami są cząsteczki powietrza ich koncentracja zależy od ich całkowitej energii. Na wysokości h cząstki mają energię wyższą o wielkość mgh co wynika ze stałości siły ciężkości mg. Biorąc to pod uwagę otrzymujemy wzór barometryczny:

kT mgh kT E mgh E kT E E e n e n e n n − − + − − − = = = _{1 1 1} 2 0 0 1 2 .

W wirówce obracającej się wokół pionowej osi na stałej wysokości koncentracja cząstek gazu znajdującego się w bębnie zależy od prędkości obrotowej ω i od odległości od osi obrotu r. Wynika to z działania siły odśrodkowej Fod=mω2r . Porównując energię potencjalną w polu

siły odśrodkowej cząstek blisko osi E0 z cząstkami znajdującymi się w odległości r Er od osi

stwierdzimy, że : . 2 ) 0 ( ) ( 2 2 0 2 0 od r r F F gdzie r m dr r m dr F E r E − =

∫

∫

Dlatego podstawiając do równania Boltzmanna E1=E0 - mω2r2/2 oraz E2= E0 ,

otrzymamy zależność koncentracji cząstek gazu w funkcji odległości od osi obrotu: . 2 0 2 ) 2 / ( 1 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 kT r m r kT r m r kT r m E E r kT E E e n n czyli e n e n e n n n ω ω ω = = = = = − − − − − −

Przy ścianie bocznej wirówki (r=Rw) koncentracja drobin 238UF3 jest = = = RT R kT R m Rw _e w _e w n n _{2 2} 0 2 2 2 2 _µω ω

1,11 razy większa od koncentracji przy osi. Porównując koncentracje różnych izotopów uranu w tej wirówce mamy:

RT R R R R RT R R RT R R w w w e n n czyli e n n oraz e n n 2 ) ( 0 238 235 2 238 0 238 2 235 0 235 2 2 238 235 2 2 238 2 2 235ω µ ω µ µ ω µ η η − − − = = = = . 997 , 0 0⋅ =η η_R

Powyższy wynik mówi, że stosunek koncentracji izotopów ulega zmianie w wirówce. Mimo, że zmiana jest stosunkowo niewielka to układ kaskadowo połączonych wirówek może służyć do rozdzielenia gazów, których masy niewiele się różnią.