Przyklady (1, 2, 3, 4 i 5) obliczenia siy krytycznej w prcie ciskanym (pdf)

P

L

T1

T0

M =-P

( )

x

y x

( )

y

x

1) y(0)=0 2) M(0)=0 3) y(L)=0 4) M(L)=0 Ponieważ M(x)=P y(x),

to warunek 2 jest tożsamy z warunkiem 1, a warunek 4 z warunkiem 3

T0=0, T1=0

Równanie ugięcia pręta:

EJ x M( ) 1 =

r zakładając małe kąty obrotu osi pręta dx<<1 dy , upraszczamy do postaci: EJ x M dx y d ( ) 2 2 = .

Podstawiając M(x)=-P y(x) otrzymujemy równanie różniczkowe: ₂ 2 0

2 = + yk dx y d , gdzie EJ P k2 = . Rozwiązaniem tego równania jest funkcja: y=Asinkx+Bcoskx, gdzie stałe A i B należy wyznaczyć z

warunków brzegowych.

Z warunku nr 1 mamy: y(0) = A sin k×0 + B cos k×0 = 0, co daje B = 0.

Warunek nr 3 daje równanie y(L) = A sin k×L = 0, które ma dwa rozwiązania:

· A = 0, które jest rozwiązaniem trywialnym gdyż w tym przypadku y(x) = 0, oraz · sin kL = 0, czyli kL = np.

Rozwiązanie drugie wobec różnego od zera ugięcia daje nam wartość siły krytycznej:

2 2

L EJ

P_kr =p , gdzie przyjęto najmniejszą możliwą wartość n=1, gdyż dla n=0 otrzymujemy znowu rozwiązanie trywialne, a dla n>1 otrzymujemy wyższą wartość siły powodującej wyboczenie.

Efektem uproszczonej postaci równania różniczkowego ugięcia jest brak możliwości wyznaczenia stałej A, występującej w funkcji ugięcia y=A sin kx. Wiemy jedynie, że w momencie wyboczenia A ¹ 0.

Zadanie wyznaczenia siły krytycznej w ściskanym pręcie przy założeniu małych ugięć rozwiązał w 1744r. Leonard Euler, stąd siła ta nazywana jest siłą eulerowską PE = ₂

2

L EJ P_kr =p .

Przy założeniu dużych ugięć zadanie rozwiązał w 1770r. Lagrange, który obliczył ugięcie spowodowane siłą P większą od siły PE :

( )

( )

... 4 2 3 1 2 1 1 4 2 2 2 + ÷ ø ö ç è æ × × + ÷ ø ö ç è æ + = dl dl l , gdzie E P P = l , L y_max p d =

2. Obliczenie siły krytycznej w statycznie niewyznaczalnym słupie ściskanym

P L Lw= Lm T1 _{M =Mo -x/L -P} ( )x (1 ) y x( ) P y x Mo T0 M0 Warunki brzegowe: 1) y(0)=0 2) j(0)=0 3) y(L)=0 4) M(L)=0 Ponieważ M(L)= -P y(x),

to warunek 4 jest tożsamy z warunkiem 3 T0=-T1, T1=M0 /L

Podstawiając M(x)=M0(1-x/L)-P y(x) otrzymujemy równanie różniczkowe ugięcia słupa:

(

x L

)

EJ M y k dx y d / 1 0 2 2 2 -= + , gdzie EJ P k2 = .

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja: y=Asinkx+Bcoskx+Cx+D, gdzie stałe A, B, C i D należy

wyznaczyć z warunków brzegowych. Obliczamy pochodne funkcji y(x):

(

)

(

A kx B kx

)

k dx y d C kx B kx A k dx dy cos sin sin cos 2 2 2 + -= + -=

Podstawiając te funkcje do równania różniczkowego ugięcia otrzymamy równanie:

(

)

(

)

(

x L

)

EJ M D Cx kx B kx A k kx B kx A

k2 sin + cos + 2 sin + cos + + = 0 1- /

- , które po uproszczeniu daje

(

Cx D

)

M

(

x L

)

k2 + = ₀ 1- / , co pozwala obliczyć stałe C i D.

P M D PL M C 0 0 , = -= .

Warunek brzegowy nr 1 daje: y(0)=B+D=0, a stąd

P M D

B=- =- 0

Warunek brzegowy nr 2 daje: (0) 0

0 = + = » = C kA dx dy x j , a stąd kPL M k C A=- _/ = 0

Warunek brzegowy nr 3 daje: ( )= 0

[

sin_kL-_kLcos_kL

]

=0

kPL M L

y , ponieważ wyrażenie przed nawiasem nie

może być równe zeru to zerowanie wyrażenia w nawiasie prowadzi do równania:

kL kL

kL cos

sin = , lub tgkL=kL.

Najmniejsze nie trywialne rozwiązanie tego równania daje: kL=4,493409. Siła wyboczeniowa jest w tym przypadku równa: ₂

2

4,493409 L

EJ P_E = .

Siłę eulerowską można przedstawić w tym przypadku w postaci podobnej do uprzednio pokazanej dla pręta swobodnie podpartego: ₂ 2 w E L EJ P =p gdzie Lw=Lp /4,493409 = m L, m=0,699156.

Zredukowana długość pręta Lw nosi nazwę długości wyboczeniowej 1 - 0 1 2 3 4 5 1 -1 2 3 4 tan z( ) z z

3. Obliczenie siły krytycznej w statycznie niewyznaczalnym słupie ściskanym

P

L

_L

w

= L

m

T1

_{M =Mo-P}

( )

x

y x

( )

P

y

x

Mo

T0

M0

M1

Warunki brzegowe: 1) y(0)=0 2) j(0)=0 3) y(L)=0 4) j (L)=0

Z warunku równowagi mamy: T0=-T1

Ze względu na symetrię układu M0= M1 ,

więc T1=0 oraz T0=0.

Podstawiając M(x)=M0- P y(x) otrzymujemy równanie różniczkowe ugięcia słupa:

EJ M y k dx y d 2 ₀ 2 2 = + , gdzie EJ P k2 = .

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja: y= Asinkx+Bcoskx+C, gdzie stałe A, B, C należy wyznaczyć z

warunków brzegowych. Obliczamy pochodne funkcji y(x):

(

)

(

A kx B kx

)

k dx y d kx B kx A k dx dy cos sin sin cos 2 2 2 + -= -=

Podstawiając te funkcje do równania różniczkowego ugięcia otrzymamy równanie:

(

)

(

)

EJ M C kx B kx A k kx B kx A k2 2 0 cos sin cos sin + + + + =

- , które po uproszczeniu daje

EJ M C k2 = 0 , co pozwala obliczyć 0. P M C=

Warunek brzegowy nr 1 daje: y(0)=B+C=0, a stąd

P M C

B=- =- 0

Warunek brzegowy nr 2 daje: (0) 0

0 = = » = kA dx dy x j , a stąd A=0.

Warunek brzegowy nr 3 daje: ( )= 0

(

1-cos

)

=0

kL P

M L

y , ponieważ wyrażenie przed nawiasem nie może być

równe zeru to zerowanie wyrażenia w nawiasie prowadzi do równania: coskL=1. Najmniejsze nie trywialne rozwiązanie tego równania daje: kL=2p, więc ₂

2

4 L

EJ P_kr = p .

Siłę eulerowską można przedstawić także w tym przypadku w postaci podobnej do uprzednio pokazanej dla pręta swobodnie podpartego: ₂

2 w E L EJ P =p gdzie Lw=L / 2 = m L, m=0,5.

P

L

M

( )

x

_=Mo-P

y x

( )

P

y

y

₁

x

Mo

M0

1) y(0)=0 2) j(0)=0 3) y(L)=y1 4) M(L)=0

Z warunku równowagi mamy: T0=0

oraz M0= Py1

Podstawiając M(x)=M0- P y(x) otrzymujemy równanie różniczkowe ugięcia słupa:

EJ M y k dx y d 2 0 2 2 = + , gdzie EJ P k2 = .

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja: y= Asinkx+Bcoskx+C, gdzie stałe A, B, C należy wyznaczyć z

warunków brzegowych. Obliczamy pochodne funkcji y(x):

(

)

k

(

A kx B kx

)

dx y d kx B kx A k dx dy cos sin , sin cos ₂ 2 2 + -= -=

Podstawiając te funkcje do równania różniczkowego ugięcia otrzymamy równanie:

(

)

(

)

EJ M C kx B kx A k kx B kx A k2 2 0 cos sin cos sin + + + + =

- , które po uproszczeniu daje

EJ M C k2 = 0 , co pozwala obliczyć 0. P M C=

Warunek brzegowy nr 1 daje: y(0)=B+C=0, a stąd

P M C

B=- =- 0

Warunek brzegowy nr 2 daje: (0) 0

0 = = » = kA dx dy x j , a stąd A=0.

Warunek brzegowy nr 4 daje: ( ) _{2 0}cos 0

2 = = = = kL M dx y d EJ L M L x

, ponieważ M0 nie może być równy zeru to

warunek sprowadza się do równania: coskL=0.

Najmniejsze rozwiązanie tego równania daje: kL=p/2, więc ₂

2

4L EJ P_kr =p .

Siłę eulerowską można przedstawić w postaci podobnej do uprzednio pokazanej dla pręta swobodnie podpartego: ₂ 2 w E L EJ P =p gdzie Lw=2L = m L, m=2.

5. Obliczenie siły krytycznej w statycznie niewyznaczalnym słupie ściskanym

P L M( )x _=Mo-P y x( ) P y y₁ x Mo M0 M1 M1 Warunki brzegowe: 1) y(0)=0 2) j(0)=0 3) y(L)=y1 4) j (L)=0

Z warunku równowagi mamy: T1=0; T0=0

Ze względu na antysymetrię układu M0= M1.

Podstawiając M(x)=M0- P y(x) otrzymujemy równanie różniczkowe ugięcia słupa:

EJ M y k dx y d 2 0 2 2 = + , gdzie EJ P k2 = .

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja: y= Asinkx+Bcoskx+C, gdzie stałe A, B, C należy wyznaczyć z

warunków brzegowych. Obliczamy pochodne funkcji y(x):

(

)

(

A kx B kx

)

k dx y d kx B kx A k dx dy cos sin sin cos 2 2 2 + -= -=

Podstawiając te funkcje do równania różniczkowego ugięcia otrzymamy równanie:

(

)

(

)

EJ M C kx B kx A k kx B kx A k2 2 0 cos sin cos sin + + + + =

- , które po uproszczeniu daje

EJ M C k2 = 0 , co pozwala obliczyć 0. P M C=

Warunek brzegowy nr 1 daje: y(0)=B+C=0, a stąd

P M C

B=- =- 0

Warunek brzegowy nr 2 daje: (0) 0

0 = = » = kA dx dy x j , a stąd A=0.

Warunek brzegowy nr 3 daje: _{( )} 0

(

_{1 coskL}

)

_y1 P

M L

y = - = .

Warunek brzegowy nr 4 daje: ( )» =- sin =0

= kL kB dx dy L L x j ,

ponieważ wyrażenie kL nie może być równe zeru to zerować się musi wartość funkcji: sinkL=0. Najmniejsze nie trywialne rozwiązanie tego równania daje: kL=p, więc ₂

2

L EJ P_kr =p . Z warunku brzegowego nr 3 mamy zatem y1=2M0 /P.

Siłę eulerowską można przedstawić także w tym przypadku w postaci podobnej do uprzednio pokazanej dla pręta swobodnie podpartego: ₂

2 w E L EJ P =p gdzie Lw=L = m L, m=1.