Wojciech Maćkowiak 20 maja 2004 roku
Analiza matematyczna III
1. Definicja metryki, kuli otwartej, zbioru ograniczonego, otwartego, domkniętego, punków skupienia, punktu wewnętrz-nego, wnętrza zbioru, zbieżności ciągu w przestrzeni metrycznej.
2. Twierdzienie o jednoznaczności granicy ciągu, ograniczoności ciągu zbieżnego, dla punktu skupienia istnieje ciąg zbieżny do niego, twierdzenie o zbieżności (xn) ⊂ Rk „po współrzędnych”.
3. Zbiór A ⊂ (X, d) jest domknięty ⇐⇒ ∀(an)⊂Aan→ a ⇒ a ∈ A. 4. Definicja ciągu Cauchy’ego i przestrzeni zupełnej.
5. Jeżeli (xn) ⊂ (X, d) jest zbieżny, to (xn) jest ciągiem Cauchy’ego.
6. Twierdzenie Cantora, w przestrzeni Rk każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny.
7. Definicja przestrzeni zwartej, zbioru zwartego.
8. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Zbiór ha, bi ⊂ R jest zwarty. 9. Zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest domknięty i ograniczony.
10. W przestrzeni Rn każdy zbiór domknięty i ograniczony jest zwarty. Każda przestrzeń (X, d) zwarta jest zupełna.
11. Definicja spójności przestrzeni.
12. Zbiór E ⊂ R jest spójny ⇐⇒ jeżeli x, y ∈ E oraz x < z < y, to z ∈ E.
13. Definicja granicy, ciągłości i jednostajnej ciągłości funkcji w przestrzeniach metrycznych. 14. Funkcja f : X → Y jest ciągła ⇐⇒ ∀V ⊂Yf−1(V ) jest otwarty w X.
15. Twierdzenie o ciągłości złożenia funkcji ciągłych w przestrzeniach metrycznych.
16. Jeżeli funkcja jest ciągła w przestrzeniach metrycznych, to obraz zbioru zwartego jest zwarty. 17. Jeżeli f : X → Y jest ciągła i X jest zwarty, to f jest jednostajnie ciągła.
18. Jeżeli f : X → Y jest „1-1” i ciągła, (X, d) jest zwarta, to f−1 jest ciągła.
19. Jeżeli f : X → R jest ciągła i (X, d) jest spójna, to ∀x1,x2∈X∀y∈(f (x1),f (x2))∃x∈(x1,x2)f (x) = y. 20. Jeżeli f : X → Y jest ciągła i (X, d) jest spójna, to f (X) jest spójny.
21. Definicja punktowej i jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego.
22. Funkcja δ: B(X, Y ) × B(X, Y ) → R, δ (f1, f2) = supx∈XdY (f1(x), f2(x)) jest metryką w B(X, Y ).
23. Jeżeli (fn) ⊂ B(X, Y ) i fn⇒ f0, to f0∈ B(X, Y ).
24. Jeżeli (Y, dY) jest zupełna, to (B(X, Y ), δ) jest zupełna.
25. Warunki równoważne ciągłości i liniowości odwzorowania w przestrzeniach metrycznych. 26. Jeżeli (Y, k k2) jest zupełna, to (L(X, Y ), k k1) jest zupełna.
27. Definicja pochodnej oraz różniczkowalności odwzorowania. 28. Twierdzenie o jednoznaczności istnienia pochodnej odwzorowania. 29. Jeżeli f : Rn→ Rm jest różniczkowalna w x
0∈ Rn, to f jest ciągła w x0.
30. Jeżeli f : Rn→ R i ∀x∈Rn|f (x)| 6 kxk2, to f jest różniczkowalna w θ. 31. Twierdzenie o addytywności i jednorodności pochodnej odwzorowania. 32. Twierdzenie o różniczkowalności złożenia odwzorowań różniczkowalnych. 33. Niech f : Rn→ Rm
różniczkowalna w a ∈ Rn, wtedy ∀
i=1,...,mfi jest różniczkowalna w a.
34. Definicja pochodnej kierunkowej. 35. Jeżeli f : Rn→ Rm jest różn. w a, to ∀
h∈Rn∃f0
h(a)oraz f
0
h(a) = Df (a)(h) = f0(a) · h.
36. Jeżeli f : Rn→ Rm
jest różn. w a, T : Rn→ Rm, T (h) = f0
h(a), to T ∈ L(Rn, Rm).
37. Definicja pochodnej cząstkowej (względem zmiennej xi).
38. Postać macierzy Jacobiego przy różniczkowalności odwzorowania.
39. Jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe i są ciągłe w otoczeniu a, to f jest różn. w a. 40. Twierdzenie o wartości średniej.
41. Definicja funkcji klasy C1, homeomorfizmu, dyfeomorfizmu klasy C1.
42. Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań różniczkowalnych.
43. Jeżeli f : G → R, IntG = G ⊂ R, oraz f ∈ C1 i ∀x∈Gf0(x) 6= 0, to f jest różnowartościowa.
44. Definicja i twierdzenie o funkcji uwikłanej. 45. Twierdzenie o rzędzie.
46. Definicja różniczki, pochodnej i pochodnej cząstkowej drugiego rzędu. 47. Twierdzenie o symetryczności f00(a).
48. Definicja pochodnej kierunkowej i pochodnych wyższych rzędów. 49. Jeżeli f : U → R jest dwukrotnie różn. w a ∈ U , to ∀h,k∈Rn∃f
00
h,k(a) = f00(a)(k, h).
50. Jeżeli f : U → R istnieją ∂x∂j2∂xfi: U → R ciągłe, to f jest dwukrotnie różn. w a oraz f
00(x)(e i, ej) = ∂ 2f ∂xj∂xi(x). 51. Twierdzenie Schwartza. 52. Odwzorowanie f : U → R ∈ Ck ⇐⇒ ∂kfj ∂xik···∂xi1: U → R są ciągłe. 53. Twierdzenie Taylora.
54. Definicja ekstremum lokalnego, warunek konieczny i dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego funkcji. 55. Definicja formy kwadratowej i jej określoność.
56. Forma kwadratowa T : Rn× Rn
→ R dodatnio określona ⇐⇒ ∃c>0∀h∈RnT (h, h) > ckhk2.
57. Kryterium Sylvestera dodatniej, ujemnej, niedodatniej, nieujemnej i nieokreślonej formy kwadratowej. 58. Jeżeli f ma w punkcie a minimum (maksimum) lokalne, to f00(a) jest określona nieujemnie (niedodatnio). 59. Definicja ekstremum warunkowego (związanego), funkcji pomocniczej i mnożnika Lagrange’a.
60. Warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum warunkowego.
61. Postać prostej, elipsy, okręgu, asteroidy, cykloidy, płaszczyzny; powierzchnie walcowe, obrotowe, elipsoida, hiperboloida (jedno i dwupowłokowa) i paraboloida obrotowa, stożek obrotowy.
62. Definicja i postać stycznej do powierzchni, wektora i prostej normalnej, hiperpłaszczyzny stycznej do powierzchni. 63. Definicja odwzorowania i dyfeomorfizmu gładkiego, rozmaitości k-wymiarowej, układu współrzędnych i parametryzacji,
przestrzeni i wiązki stycznej do rozmaitości, pochodnej określonej na rozmaitościach.
64. Definicja półprzestrzeni Rn+ i jej brzegu, k-wymiarowej rozmaitości z brzegiem i przestrzeni do niej stycznej.
65. Definicja zbioru mierzalnego w sensie Jordana, obszaru wielokątnego.
66. Zbiór A jest mierzalny w sensie Jordana ⇐⇒ ∀>0∃S,Twielokąty S ⊂ A ⊂ T oraz |S| − |T | < .
67. Zbiór A jest mierzalny w sensie Jordana ⇐⇒ jego kontur ma miarę zero. 68. Definicja całki podwójnej. Całka podwójna istenieje ⇐⇒ limλ→0(S − s) = 0.
69. Każda funkcja ciągła na zbiorze A mierzalnym w sensie Jordana jest całkowalna.
70. Jeżeli f jest nieciągła w punktach leżących na co najwyżej skończonej ilości krzywych o polu 0, to jest całkowalna. Suma pól mających punkty wspólne z krzywą o polu 0 jest mniejsza od .
71. Własności całki podwójnej: zmiana wartości funkcji wzdłóż krzywej o polu 0 nie zmieni całki; addytywność i jednorod-ność całki; RR Af (x, y)dxdy 6 RR
A|f (x, y)|dxdy; twierdzenie całkowe o wartości średniej.
72. Twierdzenie o istnieniu całki iterowanej na obszarze prostokątnym i normalnym. 73. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej.
74. Zastosowanie całki podwójnej: obliczanie objętości, pole płata gładkiego.
75. Całka podwójna i wielokrotna: całka iterowana, zamiana zmiennych, zastosowanie. 76. Definicja całki krzywoliniowej niezorientowanej na płaszczyźnie i w przestrzeni. 77. Twierdzenia o obliczaniu całek krzywoliniowych.
78. Definicja całki powierzchniowej i jej obliczanie.
79. Definicja k-tensora, różniczki, iloczynu tensorowego, antysymterycznego, alternacji tensora. 80. Definicja k-formy różniczkowej, ciągłej, przestrzeni tych form, iloczynu zewnętrznego. 81. Definicja pola wektorowego, gradientu, dywergencji, rotacji.
82. Definicja operacji przenoszenia k-formy różniczkowej f∗: Fk
(Rm
f (p)) → F k
(Rn
p) i jej własności.
83. Definicja różniczki formy d: Fk
(Rn) → Fk+1
(Rn) i jej własności.
84. Definicja n-kostki (singularnej), całki formy ω na n-kostce (singlularnej). 85. Definicja n-łańcucha, jego brzegu, In
(i,α) ścianki.
86. Twierdzenie Stokesa: jeżeli ω jest n − 1-formą na V ⊂ Rn i c jest n-łańcuchem, to Rcdω =R∂cω. 87. Definicja pola wektorowego i k-formy różniczkowej, jej przenoszenia i różniczki na rozmaitościach. 88. Definicja orientacji, rozmaitości orientowalnej, zorientowanej dodatnio, orientacja (indukowana) brzegu. 89. Twierdzenie Stokesa na rozmaitościach, wnioski Greena i Gaussa-Ostrogradskiego.
90. R
σP dx + Qdy nie zależy od wyboru jednostki σ = dAB w R
2 ⇐⇒ dω = 0 (analogicznie dla 1-formy na R3).
91. Definicja ciała i σ-ciała zbiorów, (przeliczalnie) addytywnej funkcji zbioru, miary i zbiorów mierzalnych. 92. Miara µ na M σ-ciele jest niemalejąca, ∀(An)⊂Mµ
S
n∈NAn 6 Pn∈Nµ(An).
93. Definicja miary zupełnej, miary zewnętrznej Caratheodory’ego µ∗.
94. Jeżeli M spełnia ∀Z∈P(X)µ∗(Z) = µ∗(Z ∩ A) + µ∗(Z \ A), to M σ-ciało oraz µ = µ∗|M miara zupełna na M .
95. Definicja miary zewnętrznej Lebesgue’a (m∗k) i miary Lebesgue’a (mk).
96. Miara zewnętrzna Lebesgue’a jest miarą zewnętrzną Carathelolory’ego i jest σ-skończona. 97. Dla każdego przedziału P ⊂ Rk ograniczonego m∗k(P ) = ν(P ).
98. Każdy niepusty przedział otwarty P ⊂ Rk jest mierzalny w sensie Lebesgue’a.
99. Definicja zbiorów Fσ, Gδ, zbiorów borelowskich.
100. Warunki równoważne mierzalności zbioru w sensie Lebesgue’a.
101. Definicja funkcji mierzalnej i warunki jej równoważne, definicja funkcji prostej, funkcji równoważnych. 102. Jeżeli f , (fn)n∈N są mierzalne, to funkcje |f |, g, d, s, i oraz F (f (x), g(x)), f ± g, f · g też są mierzalne.
103. Twierdzenie o istnieniu ciągu funkcji prostych zbieżnego punktowo lub jednostajnie do f : E → ¯R. 104. Jeżeli f : E → ¯R mierzalna to funkcja jej równoważna też jest mierzalna.
105. Definicja całki Lebesgue’a i jej własności.
106. Jeżeli f : E → ¯R mierzalna, M 3 A =Sn∈NAn, ∀n6=m∈NAn∩ Am= ∅, to R Af (x)dµ = P n∈N R Anf (x)dµ. 107. Jeżeli f (x)> 0 dla x ∈ A ∈ M , toR Af (x)dµ = ⇐⇒ f (x) = 0 µ prawie wszędzie.
108. Jeżeli f ∈ L(µ) na zbiorze A, to |f | ∈ L(µ) na zbiorze A oraz |RAf (x)dµ| 6RA|f (x)|dµ. 109. Jeżeli f ∈ L(µ) na zbiorze A ∈ M , to f jest µ prawie wszędzie skończona.
110. Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej.
111. Jeżeli h = f + g, f, g ∈ L(µ) na zbiorze E ∈ M , to h ∈ L(µ) na zbiorze E orazR
Eh(x)dµ = R Ef (x)dµ + R Eg(x)dµ. 3