ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ. ĆWICZENIA Pezrstrzeń liniowa i macierze
ALEKSANDER DENISIUK
Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Ćwiczenie 1. Oblicz 2a1+ 5a2− a3 dla a1= (4, 1, 3, −2), a2= (1, 2, −3, 2), a3= (16, 9, 1, −3).
Ćwiczenie 2. Rozwiąż równanie
(1) a1+ 2a2+ 3a3+ 4x = 0, gdzie a1= (5, −8, −1, 2), a2= (2, −1, 4, −3), a3= (−3, 2, −5, 4). (2) −3(a1− x) + 2(2a2− x) = 5(a3+ x), gdzie a1= (2, 5, 1, 3), a2= (0, 1, 5, 10), a3= (−3, 2, −5, 4). (3) a1− 2a2− 3a3− 4x = 0, gdzie a1= (15, 8, 1, −2), a2= (2, −1, 4, −3), a3= (−3, 2, −5, 4).
(4) 3(a1− x) + 2(a2+ x) = 5(a3+ x), gdzie a1= (2, 5, 1, 3), a2= (10, 1, 5, 10), a3= (−3, 2, −5, 4).
Ćwiczenie 3. Wyznacz, czy zbiór wektorów jest liniowo niezależnym: (1) { (1, 2, 3), (3, 6, 7) }, (2) { (5, 4, 3), (3, 3, 2), (8, 1, 3) }, (3) { (4, −2, 6), (6, −3, 9) }, (4) { (2, −3, 1), (3, −1, 5), (1, −4, 3) }, (5) { (4, −5, 2, 6), (2, −2, 1, 3), (6, −3, 3, 9), (4, −1, 5, 6) }, (6) { (1, 0, 0, 2, 5), (0, 1, 0, 3, 4), (0, 0, 1, 4, 7), (2, −3, 4, 11, 12) }.
Ćwiczenie 4. Dany jest układ liniowo niezależnych wektorów a1, . . . , ak. Czy wektory b1, . . . , bn będą niezależne liniowo: (1) b1= 3a1+ 2a2+ a3+ a4, b2= 2a1+ 5a2+ 3a3+ 2a4,
b3= 3a1+ 4a2+ 2a3+ 3a4;
(2) b1= a1+ a2, b2= a2+ a3, b3= a3+ a4, b4= a4+ a5, b5= a5+ a6, b6= a6+ a1; (3) b1= 3a1+ 4a2− 5a3− 2a4+ 4a5, b1= 8a1+ 7a2− 2a3+ 5a4− 10a5, b1= 2a1− a2+ 8a3− a4+ 2a5; (4) b1= a1, b2= a1+ a2, b3= a1+ a2+ a3, b4= a1+ a2+ a3+ a4, b5= a1+ a2+ a3+ a4+ a5, b6= a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6; (5) b1= a1, b2= a1+ 2a2, b3= a1+ 2a2+ 3a3, b4= a1+ 2a2+ 3a3+ 4a4, b5= a1+ 2a2+ 3a3+ 4a4+ 5a5, b6= a1+ 2a2+ 3a3+ 4a4+ 5a5+ 6a6; (6) b1= a1+ a2, b2= a1+ a2+ a3, b3= a2+ a3+ a4, b4= a3+ a4+ a5, b5= a4+ a5+ a6, b6= a5+ a6; (7) b1= a1− a2, b2= a2− a3, b3= a3− a4, b4= a4− a5, b5= a5− a6, b6= a6− a1.
Ćwiczenie 5. Znajdź bazę powłoki układu wektorów oraz współrzędne danych wektorów w tej bazie: (1) a1= (1, 2, 0, 0), a2= (1, 2, 3, 4), a3= (3, 6, 0, 0); (2) a1= (5, 2, −3, 1), a2= (4, 1, −2, 3), a3= (1, 1, −1, 2), a4= (3, 4, −1, 2), a5= (7, −6, −7, 0); (3) a1= (2, −1, 3, 5), a2= (4, −3, 1, 3), a3= (3, −2, 3, 4), a4= (4, −1, −15, 17); (4) a1= (1, 2, 3, −4), a2= (2, 3, −4, 1), a3= (2, −5, 8, −3), a4= (5, 26, −9, −12), a5= (3, −4, 1, 2); (5) a1= (2, 3, −4, −1), a2= (1, −2, 1, 3), a3= (5, −3, −1, 8), a4= (3, 8, −9, −5); (6) a1= (2, 2, 7, −1), a2= (3, −1, 2, 4), a3= (1, 1, 3, 1); (7) a1= (3, 2, −5, 4), a2= (3, −1, 3, −3), a3= (3, 5, −13, 11); (8) a1= (2, 1), a2= (3, 2), a3= (1, 1), a4= (2, 3); (9) a1= (2, 1, −3), a2= (3, 1, −5), a3= (4, 2, −1), a4= (1, 0, −7); (10) a1= (2, 3, 5, −4, 1), a2= (1, −1, 2, 3, 5), a3= (3, 7, 8, −11, −3), a4= (1, −1, 1, −2, 3); (11) a1= (2, −1, 3, 4, −1), a2= (1, 2, −3, 1, 2), a3= (5, −5, 12, −11, −5), a4= (1, −3, 6, 3, −3); (12) a1= (4, 3, −1, 1, −1), a2= (2, 1, −3, 2, −5), a3= (1, −3, 0, 1, −2), a4= (1, 5, 2, −2, 6). 1
2 ALEKSANDER DENISIUK
Ćwiczenie 6. Wyznacz macierz przekształcenia liniowego w bazie kanonicznej:
(1) x1 x2 x3 x4 7→ x1− 2x2 x2− 4x3+ x4 0 (2) x1 7→ x1 −2x1 x1 −4x1 x1 (3) x1 x2 x3 x4 x5 7→ x1− 2x2 −17x1+ x2 (4) x1 x2 x3 7→ x1− 2x2 x2− x3 x3− x1 (5) x1 x2 x3 x4 x5 7→ x1− 2x2− 4x3+ x4− x5 (6) x1 x2 x3 x4 7→ 0 x1− 2x2 x2− 4x3+ x4
Ćwiczenie 7. Niech W4 będzie przestrzenią wielomianów stopnia najwyżej 4. Sprawdź, że dane przekształcenie jest liniowym oraz wyznacz jego maceirz w bazie 1, x, x2
, x3
, x4 : (1) P (x) 7→ P (2x), P (x) 7→ P′(x);
(2) P (x) 7→ P (−x), P (x) 7→ P′′(x), P (x) 7→ P′(2x), P (x) 7→ P (x + 1), P (x) 7→ P (2x − 1), P (x) 7→ P (2x), P(x) 7→ (xP (x))′.
Ćwiczenie 8. Wypisz macierz przekształcenia liniowego wektorów płaszczyzny euklidesowej R2
w bazie kanonicznej: (1) Obrót o kąt α.
(2) Zrzut na oś Ox1. (3) Zrzut na oś Ox2.
(4) Symetria względem osi Ox1.
(5) Symetria względem osi Ox2.
(6) Symetria względem początku układu wspólrzęd-nych.
(7) Symetria względem prostej x1= x2.
(8) Przekształcenie tożsamościowe. (9) Jednokładność o współczynniku λ.
Ćwiczenie 9. Niech dana będzie macierz przekształcania liniowego f w pewnej bazie. Wyznacz macierz przekształce-nia f−1 w tej samej bazie:
(1) 1 1 0 1 , (2) cos α sin α − sin α cos α , (3) 1 2 −2 1 , (4) 1 2 0 1 5 1 1 4 1 ,
Ćwiczenie 10. Niech A będzie macierzą przekształcenia liniowego f w pewnwej bazie, B będzie macierzą przekształce-nia g w tej samej bazie. Wyznacz macierz przekształceprzekształce-nia g ◦ f , gdzie
(1) A =1 1 0 1 , B=−1 1 0 −1 (2) A = cos α sin α − cos α sin α , B= cos β sin β − cos β sin β (3) A =1 0 0 0 , B=0 0 0 1 (4) A = 1 1 0 0 1 0 0 0 −2 , B= 1 0 0 −1 1 0 0 0 −2
Ćwiczenie 11. Oblicz rząd macierzy: (1) 8 2 2 −1 1 1 7 4 −2 5 −2 4 2 −1 3 , (2) 1 1 1 1 4 3 2 1 1 4 1 1 5 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 , (3) 1 7 7 9 7 5 1 −1 4 2 −1 −3 −1 1 3 5 , (4) 1 0 1 1 4 3 0 1 0 4 1 1 5 1 0 1 1 0 3 1 1 1 1 2 ,
Pezrstrzeń liniowa i macierze 3 (5) 4 1 7 −5 1 0 −7 1 −3 −5 3 4 5 −3 2 2 5 3 −1 3 , (6) 8 −4 5 5 9 1 −3 −5 0 −7 7 −5 1 4 1 3 −1 3 2 5 , (7) −6 4 8 −1 6 −5 2 4 1 3 7 2 4 1 3 2 4 8 −7 6 3 2 4 −5 3 , (8) 77 32 6 5 3 32 14 3 2 1 6 3 1 0 0 5 2 0 1 0 4 1 0 0 1 , (9) 3 1 1 2 −1 0 2 −1 1 2 4 3 2 −1 1 12 9 8 −7 3 −12 −5 −8 5 1 , (10) 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 , (11) 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 .
Ćwiczenie 12. Oblicz macierz odwrotną, używając metodę operacji elementarnych:
(1) 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 , (2) 2 5 7 6 3 4 5 −2 −3 , (3) 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 , (4) 2 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 , (5) 0 0 0 −1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 3 0 0 , (6) 3 −4 5 2 −3 1 3 −5 −1 , (7) 2 7 3 3 9 4 1 5 3 , (8) 1 2 2 2 1 −2 2 −2 1 , (9) 1 2 3 4 2 3 1 2 1 1 1 −1 1 0 −2 −6 .
Ćwiczenie 13. Rozwiąż równanie macierzowe: (1) 1 3 1 2 X =1 1 1 1 , (2) X−13 −41 =−2 −13 4 , (3) 3 1 2 1 X1 3 1 2 =3 3 2 2 , (4) 2 −1 4 −2 X=1 3 2 6 , (5) X2 −14 −2 =1 36 2 , (6) 1 2 −3 3 2 −4 2 −1 0 X = 1 −3 0 10 2 7 10 7 8 , (7) X 5 3 1 1 −3 −2 −5 2 1 = −8 3 0 −5 9 0 −2 15 0 , (8) 1 2 1 2 1 2 1 2 0 X = 1 −3 0 10 2 7 10 7 8 , (9) X 5 3 1 1 −3 −2 2 −1 0 = −8 3 0 −5 9 0 −2 15 0 , (10) 2 1 0 1 2 0 0 0 1 X 0 0 1 0 1 0 1 0 0 = 0 1 0 1 0 0 0 0 0 .
E-mail address: denisjuk@pjwstk.edu.pl
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brzegi 55, 80-045 Gdańsk