Kontekstowy układ współrzędnych nierównoległych – droga do nieregularnych modeli rozmytych

ANDRZEJ PIEGAT MARCIN OLCHOWY

Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

Streszczenie

W artykule przedstawiono nową koncepcjĊ kontekstowego układu współrzĊdnych nierównoległych bĊdącego uogólnieniem powszechnie stosowanego układu kartezjaĔskiego. W proponowanym układzie wystĊpowaü moĪe dowolna liczba osi – w układzie kartezjaĔskim, w przestrzeni 2D wystĊpują 2 osie. Kontekstowy układ współrzĊdnych otwiera drogĊ do nieregularnego modelowania rozmytego mającego wiele zalet. NajwaĪniejsze z nich to moĪliwoĞü konstruowania dokładnych modeli rozmytych ze znacznie mniejszą liczbą reguł niĪ w przypadku regularnych modeli opartych na prostokątnej siatce podziałowej. Zaleta ta oznacza jednoczeĞnie moĪliwoĞü skutecznego, przezwyciĊĪenia zjawiska przekleĔstwa wymiarowoĞci w modelowaniu rozmytym. W modelach nieregularnych nie muszą byü stosowane wyłącznie sektory czworokątne – moĪna stosowaü sektory dowolne: trójkątne, czworokątne, piĊciokątne, etc. W artykule w sposób przyjazny czytelnikowi wyjaĞniono, krok po kroku sposób zastosowania kontekstowego układu współrzĊdnych w nieregularnym modelowaniu rozmytym. MetodĊ zilustrowano przykładem.

Słowa kluczowe: modelowanie, modelowanie rozmyte, logika rozmyta, modele nieregularne, układy współrzdnych, wnioskowanie rozmyte.

1. Wprowadzenie

Modelowanie rozmyte zalenoci funkcyjnych y=f(x1,…,xn) wystpujcych w rzeczywistych obiektach i systemach jest szeroko znane w społecznoci naukowej dziki swym licznym zaletom i jest opisane w wielu ksikach, w tym ksikach polskich naukowców [3–8,11,12]. Obecnie metody modelowania rozmytego oparte s na regularnym, prostoktnym podziale przestrzeni wej X1*X2*,…,*Xn modelowanego systemu (rys. 1).

Rys. 1. Regularny, prostokątny podział przestrzeni wejĞü systemu stosowany w obecnych modelach rozmytych zaleĪnoĞci y=f(x1,…,xn)

x2,3 x2,2 x2,1 x2,0 x1,0 x1,2 x1 x1,3        R2,1 R2,3

µ(x1) µ(x2) µ(y)

Funkcje przynalenoci modelu rozmytego z rys. 1 przedstawiono na rys. 2.

Rys. 2. Przykładowe pozycje funkcji przynaleĪnoĞci modelu rozmytego o podziale przestrzeni wejĞü z rys. 1

W modelu rozmytym regularnym, dla kadej kombinacji lingwistycznych wartoci wej „blisko x1,i” oraz „blisko x2,j” definiowana jest reguła (1) Ri,j okrelajca warto zmiennej y (y blisko yi,j).

Ri,j: IF (x1 blisko x1,i) AND (x2 blisko x2,j) THEN (y blisko yi,j) (1) Std regularny model z rys. 1. Zawierał bdzie baz składajc si z 16 reguł Ri,j. Kada dotyczy bdzie jednego wzła siatki podziałowej z tego rysunku. Przykładowa powierzchnia takiego modelu przedstawiona jest na rys. 3.

Rys. 3. Powierzchnia przykładowego modelu rozmytego pewnej zaleĪnoĞci funkcyjnej y=f(x1,x2)

Ri,j – oznaczenia reguł, „Blisko x1,j”, „Blisko x2,i”, oznaczenia kwantyfikatorów lingwistycznych, i{0, 1, 2, 3}, j{0, 1, 2, 3} x1,0 x1,1 x1,2 x1,3 x1 x2,0 _{x2,1 x2,2 x2,3} x2 _y y3,2 y2,1 Bl.x1,2  1 1 1 Bl.x2,2              y R 0,3 x0,1 x0,1 x1 x1 x1,3 x1,3 x1,2 x1,2 x1,1 x1,1  x2,0 x2,0 x2,1 x2,1 x2,2 x2,2 1 x2,3 x2 x2 µ x2,3 blisko x1,1blisko x1,2  blisko x1,3 blisko x2,1 blisko x2,2 blisko x2,3

Regularne modele rozmyte posiadaj nastpujce, główne zalety:

1. Odzwierciedlaj ludzki sposób mentalnego modelowania, zapamitywania i operowania zalenociami y=f(x1,…,xn) i z tego wzgldu s łatwe do zrozumienia dla ludzi, a take do programowania w komputerach.

2. Umoliwiaj łatwe wykorzystywanie wiedzy ekspertów.

3. Umoliwiaj wzgldnie łatwe strojenie sieci neurorozmytych (neuronowych reprezentacji modelu rozmytego) na bazie próbek pomiarowych z obiektu/systemu w którym wystpuje modelowanie zalenoci y=f(x1, …,xn).

Jednak powysze zalety okupione s pewnymi wadami wymienionymi poniej:

1. Przestrze wej X1,*…,*Xn w której funkcjonuje system rzeczywisty nie jest zwykle prostoktna, jak na rys. 1, lecz nieregularna, np. moe by pochylon elips lub mie inny skomplikowany kształt, zwłaszcza w przestrzeni 4D i wikszej, rys. 5.

2. Podczas strojenia regularnego modelu (sieci neurorozmyte) zmiana połoenia rdzenia x1,i lub x2,j jednej tylko funkcji przynalenoci nie ma wyłcznie wpływu lokalnego na tylko jedn reguł lecz wpływa od razy na wiele reguł w których przesłance wystpuje (wpływ globalny). W zwizku z tym niemoliwa jest indywidualna korekta przesłanki jednej tylko, pojedynczej reguły.

3. Ze wzrostem liczby kwantyfikatorów lingwistycznych definiujcych poszczególne zmienne x1,…,xn oraz ze wzrostem liczby n tych zmiennych lawinowo ronie liczba reguł konieczna do stworzenia dokładnego modelu. Zjawisko to zwie si „przeklestwem wymiarowoci” i bardzo utrudnia lub uniemoliwia modelowanie problemów wielowymiarowych. Zjawisko to powoduje te gwałtowny wzrost zapotrzebowania na próbki pomiarowe (dane) z modelowanego systemu w przypadku chci uycia samouczcej si sieci neurorozmytej [2, 6, 7, 8, 11, 12]. Jednak czsto dysponujemy jedynie mał liczb próbek (danych o problemie).

Naukowcy od dawna próbowali znale  antidotum na zjawisko „przeklestwa wymiarowoci”. Znan metod jest stosowanie tzw. nie siatkowych podziałów przestrzeni wej [2, 8].

Na rys. 4 pokazano przykłady takich podziałów oraz przykład nieregularnego podziału przestrzeni wej, proponowany w artykule.

Rys. 4. Podział a) – nie siatkowy prostokątny, b) – nie siatkowy kwadratowy, c) – podział siatkowy (sieü ma charakter stały w całej przestrzeni wejĞü), d) przykład nieregularnego, nie prostokątnego

podziału proponowanego w artykule x2 x2 x2 x2 x1 x1 x1 x1 a) b) c) d)

Podział nie siatkowy (sie o zmiennym podziale) nie rozwizuje jednak problemu „przeklestwa wymiarowoci” całkowicie i konserwuje dalej wady regularnych modeli rozmytych, wczeniej wymienione.

Wydaje si, e w/w wady mona bdzie usun stosujc nieregularne modele typu d), których koncepcja przedstawiona zostanie w rozdziale 2. Praktyczne realizacja koncepcji tych modeli była jednak bardzo trudna i pracochłonna. Wymagała ona bowiem opracowania nowych metod rozmywania i wnioskowania w modelu rozmytym. Metody stosowane w modelach regularnych nie nadaj si bowiem (w wikszoci) do modeli nieregularnych. Koncepcja nieregularnego modelowania rozmytego opracowana została przez Andrzeja Piegata. Programy oraz eksperymenty komputerowe w niniejszym artykule zrealizował Marcin Olchowy.

2. Koncepcja nieregularnych modeli rozmytych

Nieregularne modele rozmyte umoliwiaj rónorodne podziały przestrzeni wej modelu X1*X2*,…, Xn. Umoliwiaj te dokładne dopasowanie tej przestrzeni do realnej, w praktyce moliwej przestrzeni wej modelowanego systemu, która zwykle nie jest prostoktna jak na rys. 1 i 3, lecz ma rónorodne inne kształty ze wzgldu na sprzenia i korelacji midzy wejciami xi wystpujcymi w rzeczywistych systemach. Przykładowo, moliwy zakres przestrzeni wej moe by, np. trójktny, jak na rys. 5.

Rys. 5. Nieregularny podział realnej (trójkątnej) przestrzeni wejĞü modelowanego systemu i przykładowa powierzchnia nieregularnego modelu rozmytego, (a) – przestrzeĔ wejĞü 2D, (b)

pełna przestrzeĔ 3D modelu

Poniej przedstawiono niektóre nowe moliwoci jakie wnosi nieregularne modelowanie rozmyte wzgldem modelowania regularnego opartego o prostoktne siatki podziałowe.

1. Modelowanie nieregularne umoliwia du redukcj liczby reguł w modelu. Reguły definiowane s gciej w tych rejonach przestrzeni, gdzie zachodzi dua zmienno powierzchni modelu, a rzadko tam, gdzie zmienno jest mała. (rys. 5b). Umoliwia to pokonanie zjawiska „przeklestwa wymiarowoci”.

2. Pozycj kadej reguły (wzeł siatki podziałowej) mona zmieni niezalenie, nie wpływajc na pozycje innych reguł modelu. Umoliwia to lokalne, niezalene strojenie modelu (lub nieregularnej sieci neurorozmytej) tylko w tych strefach, gdzie istnieje błd modelu bez zakłócania innych, dobrze nastrojonych stref. W regularnym modelu rozmytym zmiana jakiejkolwiek funkcji przynalenoci wej ma skutek globalny. Zmieniaj si pozycje (przesłanki) wszystkich reguł modelu zwizanych z korygowana funkcj przynalenoci,

x2 x2

x1

b) a)

rys. 1.W ten sposób korygujc jedn reguł ingeruje si i zmienia (czsto niekorzystnie) inne reguły.

3. Nieregularny model mona opracowa dla bardzo nawet małej liczby punktów wiedzy eksperckiej, nawet dla liczby punktów m mniejszej ni rozmiar przestrzeni n (m<n) w której definiowany jest problem. Mona np. opracowa model rozmyty z 3 tylko regułami dla problemu zdefiniowanego w przestrzeni 10D. Umoliwia to modelowanie problemów przy bardzo ubogiej informacji pomiarowej i ubogiej wiedzy eksperckiej.

4. Aby obliczy warto rzdnej y dla zadanej kombinacji wartoci wej {x1, x2, …, xn} (czyli odpowiedzi na zapytanie do modelu) nie ma potrzeby, tak jak w tradycyjnym, regularnym modelu rozmytym sprawdzania wszystkich reguł w bazie reguł. Wystarczy identyfikacja sektora przestrzeni wej w którym ley zapytanie i zrealizowanie oblicze z wykorzystaniem wyłcznie tych kilku reguł, które ulokowane s w wzłach sektora. Zmniejsza to znacznie nakład obliczeniowy.

5. W nieregularnych modelach rozmytych mog by stosowane proste formy reguł z przesłank jednoskładnikow definiujca koncept bliskoci punktu zapytania (x1, …,xn) wzgldem centrum reguły Ri w pełnej przestrzeni wej. W przypadku zalenoci 3D reguła ta moe mie form (2).

IF [(x1, x2) blisko (3, 5)] THEN [y blisko 7.3] (2) Gdzie punkt (3, 5) definiuje współrzdne x1=3, x2=5 centrum reguły, a konkluzja podaje warto rzdnej y=7,3 odpowiadajcej temu centrum. Reguły tego typu bd nazywane dalej kontekstowo-punktowymi.

W przypadku regularnych modeli rozmytych stosowana jest przesłanka złoona, np. (3) IF (x1 blisko 3) AND (x2 blisko 5) THEN (y blisko 7.3) (3) Konieczne jest wówczas wykonanie operacji AND i dobranie operatora do tej operacji [2, 6, 7, 8, 11]. Ta wersja nieregularnego modelu nie jest przedmiotem niniejszego artykułu. 6. W nieregularnych modelach rozmytych mog by stosowane take reguły

kontekstowo-brzegowe (krawdziowe), które w przesłankach zawieraj pojcie bliskoci punktu zapytania P(x1, x2) wzgldem jednego z brzegów kontekstu. Brzegi opisane s zwykle z uyciem funkcji liniowej x2=a0+a1x1 (w przypadku problemu 3D). Natomiast w konkluzji reguły wystpuje take zwykle forma liniowa y= b0+b1x1 lub y= c0+c1x2. Reguła kontekstowo-brzegowa moe wic mie np. form wzoru (4).

IF [(x1, x2) blisko (x2=a0+a1x1) THEN (y blisko y=b0+b1x2) (4) Ta forma modelu nieregularnego wydaje si by łatwiejsza obliczeniowo, ni model z regułami kontekstowo-punktowymi i ona włanie zostanie dokładniej przedstawiona w niniejszym artykule.

2.1. Kontekstowy układ współrz dnych nierównoległych

Nieregularny model rozmyty moe składa si z rónej liczby sektorów. Jeeli do modelu kierowane jest zapytanie typu: „Ile wynosi warto y jeeli x1=9.1, x2=5.6” to algorytm ustala ten jeden sektor przestrzeni wej, w którym ley zapytanie i nastpnie przeprowadza obliczenia wartoci y tylko na bazie tego jednego sektora bez angaowania pozostałych sektorów i reguł modelu. Std, dla wyjanienia sposobu realizacji oblicze wystarczy nieregularny model jedno-sektorowy.

Załómy, e w przypadku pewnej zalenoci y= f(x1, x2) istniejcej w rozpatrywanym obiekcie dysponujemy 4-ma punktami A, B, C, D wiedzy eksperckiej jak poniej (4).

A) IF [(x1, x2) blisko (1, 9)] THEN (y=5) B) IF [(x1, x2) blisko (1, 4)] THEN (y=1) C) IF [(x1, x2) blisko (6, 3)] THEN (y=4) D) IF [(x1, x2) blisko (13, 7)] THEN (y=0) (4) Punkty wiedzy A, B, C, D okrelaj zaleno y= f(x1, x2) w pobliu centrów punktów wiedzy [9]. Rozkład punktów wiedzy i nieregularny charakter tego rozkładu przedstawiono na rys. 6.

Rys. 6. Nieregularny rozkład punktów A, B, C, D wiedzy eksperckiej o rozpatrywanej zaleĪnoĞci y= f(x1, x2)

Na rys. 7. Przedstawiony jest rzut punktów wiedzy A, B, C, D na przestrze wej X1*X2 modelu oraz przykładowy punkt zapytania P(x1, x2).

Rys. 7. Nieregularny sektor modelu rozmytego zdefiniowany przez 4 punkty wiedzy eksperckiej A, B, C, D (rys. 6.), Ax – rzut punktu wiedzy A z przestrzeni X1*X2*Y3 na przestrzeĔ wejĞü X1*X2, P(x1,

x2) – punkt zapytania

Zadaniem nieregularnego modelu rozmytego NMR jest obliczenie wartoci y odpowiadajcej punktowi zapytania P(x1, x2) na podstawie wiedzy o wartociach yi w punktach wiedzy. Jak przedstawiono w [9] NMR realizuje wnioskowanie bezpieczne, które tutaj, ze wzgldu na ograniczono artykułu nie bdzie powtórnie omawiane. Główn cech NMR jest to, e obliczenia w sektorach s autonomiczne i e kady model jedno-sektorowy oblicza warto rzdnej y tylko wewntrz swego zakresu. Ssiednie sektory NMR łczone s (tworz) nastpnie pełny model. Aby umoliwi bezproblemowe łcznie ssiednich modeli 1-sektorowych (rys. 5.) wprowadzono

1 2 3 4 3 4 1 6 B (1, 4, 1) A (1, 9, 5) D (13, 7, 0) Cx (6, 3) C (6, 3, 4) Dx (13, 7) Ax (1, 9)  Bx (1, 4) x1 x2 13 10 9 7 Bx (1, 4) Cx (6, 3) Ax (1, 9) Dx (13, 7) P (5.25,5.75) x2 x1 9 7 4 3 1 6 13

liniowe brzegi tych modeli. Jednak powierzchnia 1-sektorowego jest wewntrz sektora nieliniowa (w ogólnym przypadku nie mona przez 4 punkty wiedzy przeprowadzi płaszczyzny czyli modelu liniowego).

Warunkiem opracowania 1-sektorowego nieregularnego modelu rozmytego (1-SNMR) jest wprowadzenie pojcia kontekstowego układu współrzdnych. Na rys. 8 przedstawiono klasyczny kartezjaski układ współrzdnych.

Rys. 8. KartezjaĔski układ współrzĊdnych równoległych

Naley zwróci uwag, na wystpujce cechy układu kartezjaskiego:

a) współrzdna x1 oznacza odległo punktu P od osi pionowej X2, współrzdna x2 oznacza odległo punktu P od osi poziomej X1,

b) moliwe wartoci x1, x2 s nieograniczone

c) współrzdne połoenia punktu P s równoległe odpowiednio do osi X1 lub do osi X2. Na rys. 9. przedstawiono przykład kontekstowego układu współrzdnych nierównoległych , .

Rys. 9. Przykład kontekstowego układu współrzĊdnych

Kontekstowy układ współrzdnych KUW utworzony jest w tym przypadku przez 4 linie brzegowe (Ax, Bx), (Bx, Cx), (Cx, Dx), (Ax, Dx) odcinajce go od otoczenia. KUW stanowi pewien zamknity wiat, w którym rozgrywały si bd wszystkie interesujce nas wydarzenia.

Połoenie punktu P lecego wewntrz KUW zdefiniowane jest dwoma wartociami współrzdnych  i , przy czym zakłada si ich normalizacj do zakresu [0, 1] 0    1, 0    1.

Współrzdne w KUW, w przeciwiestwie do układu kartezjaskiego nie s równoległe i s wzgldem siebie pochylone. Jednak, uwaga! W ogólnym przypadku, ani współrzdne , ani współrzdne  nie przecinaj si w jednym punkcie (nie wychodz z jednego punktu).

x1 4 3 2 1 4 1 2 3 5 6 P (4,3) 0.75 0.5 0.25 0 0 0.25 0.5 0.75 0 1 1 1 1 0 0.25 0.5 0.75   Dx(13,7) P(0.75,0.5) Ax(1,9) Bx(1,4) Cx(6,3) P x2 x1 13 6 1 0 0.25 0.50.75 9 7 4 3

Współrzdna  ma sens kontekstowej odległoci punktu P(, ) od osi (Ax, Bx) ograniczajcej układ. Natomiast warto (1-) ma sens kontekstowej bliskoci punktu P wzgldem tej osi.

Aby zastosowa układ kontekstowy naley dokona transformacji współrzdnych kartezjaskich (x1, x2) punktu P na współrzdne kontekstowe (, ). Zrozumienie transformacji ułatwia rys. 10, bdcy rzutem 2D problemu sformułowanego w przestrzeni 3D.

Rys. 10. Ilustracja transformacji współrzĊdnych kartezjaĔskich (x1, x2) punktu P na współrzĊdne

kontekstowe (Į, ȕ)

Cech współrzdnych kontekstowych jest cecha proporcjonalnoci (5). Współrzdna  punktów F, P i E s jednakowe, podobnie współrzdna  punktów G, P, H.

(5) Dla punktów E, F, G, H posiadajcych identyczne wartoci ,  jak punkt P(x1, x2) lecy wewntrz kontekstu, rys. 10, mona napisa zaleno (6).

x1E = x1A +  (x1D – x1A) x1F = x1B +  (x1C – x1B) x2E = x2A +  (x2D – x2A) x2F = x2B +  (x2C – x2B)

(6) x1G = x1A +  (x1B – x1A) x1H = x1D +  (x1C – x1D)

x2G = x2A +  (x2B – x2A) x2H = x2D +  (x2C – x2D)

Dla dowolnego punktu P(x1, x2) lecego wewntrz kontekstu (Ax, Bx, Cx, Dx) mona napisa równania (7).

x1 = x1G +  (x1H – x1G) x2 = x2G +  (x2H – x2G) (7) Po odpowiednich przekształceniach równa (6) i (7) uzyskuje si równia (8)

(8)  =1  =0  =1  =0 =1 =0 =1 =0 Bx Ax Cx Dx P G H F E   x2 x1 Współrzdne punktów: A (x1A, x2A, yA) B (x1B, x2B, yB) . . . H (x1H, x2H, yH) P (x1, x2, y) E AxE AxDx P GP GH BxF BxCx F G AxG P H AxBx EP EF DxH CxDx  a1 a9 (a3 a1)  a5

(

)

a nastpnie równanie kwadratowe (9) umoliwiajce obliczenie wartoci współrzdnej  punktu P, K1 2 + K2+K3=0 (9) gdzie: K1= a2a3 – a1a4 K2= a2a5 – a1a6 + a10(a3 – a1) – a9(a4 – a2) K3= a5a10 – a6a9

Zalenie od wartoci współrzdnych punktów i rónych kontekstów (Ax, Bx, Cx, Dx) w niektórych przypadkach wartoci K1 lub K2 lub K3 mog by równe zeru. Wówczas równanie (9) upraszcza si, co ułatwia obliczenie wartoci , a nastpnie .

Przykład oblicze współrzdnych kontekstowych

Dany jest zbiór punktów wiedzy o znanych współrzdnych (x1, x2): Ax(1, 9), Bx(1, 4), Cx(6, 3), Dx(13, 7). Naley obliczy współrzdne ,  punktu P(5.25, 5.75). Zastosowanie wzorów transformacyjnych (6)–(11) daje wynik: =0.5, =0.5.

Przykład zilustrowany jest na rysunku (11).

Rys. 11. Ilustracja do przykładu obliczania współrzĊdnych kontekstowych (Į, ȕ) punktu P(x1, x2) Równanie prostych brzegowych w przestrzeni 3D

Rozkład przykładowych punktów wiedzy (A, B, C, D) w przestrzeni 3D przedstawiony jest na rys. 12. Współrzdne kartezjaskie punktów wiedzy s dane: A(x1A, x2A, yA), B(x1B, x2B, yB), C(x1C, x2C, yC), D(x1D, x2D, yD). Bx Cx Dx Ax P (5.25,5.75)  = 0.5 = 0.5 9 7 3 0 x2 x1 1 6 13

Rys. 12. Ilustracja metody okreĞlania równaĔ brzegów kontekstu

Przykład oblicze prostych brzegowych dla punktów wiedzy, z rys. 6. Współrzdne punktów w przestrzeni 3D s nastpujce:

A(1, 9, 5), B(1, 4, 1), C(6, 3, 4), D(13, 7, 0). Daje to nastpujce równania rzdnych dla prostych brzegowych.

brzeg (A, B): y= 5 – 4 brzeg (B, C): y= 1 + 3

brzeg (C, D): y= 4 – 4 brzeg (A, D): y= 5 – 5 (10)

2.2. Jednosektorowy brzegowy, nieregularny model rozmyty w przestrzeni 3D

W przypadku nieregularnego sektora okrelonego przez 4 punktu wiedzy A(x1A, x2A, yA), B(x1B, x2B, yB), C(x1C, x2C, yC), D(x1D, x2D, yD) baza reguł składa si z 4 reguł (11) operujcych pojciem bliskoci punktu zapytania P(x1, x2), lecym wewntrz sektora, wzgldem poszczególnych jego brzegów.

IF [(x1, x2) blisko (Ax, Bx)] THEN [y blisko yAB= yA + (yB – yA)] IF [(x1, x2) blisko (Bx, Cx)] THEN [y blisko yBC= yB + (yC – yB)]

IF [(x1, x2) blisko (Cx, Dx)] THEN [y blisko yCD= yD + (yC – yD)] (11) IF [(x1, x2) blisko (Ax, Dx)] THEN [y blisko yAD= yA + (yD – yA)]

Sens bazy reguł ilustruje rys. 12. Poszczególne funkcje przynalenoci wystpujce w konkluzjach reguł przedstawiono na rys. 13.

x1 x2

y

C

B

A

D

y = y

+  (y

–

y )

y = y

+  (y

–

y )

y = y

+  (y

–

y )

y = y

+  (y

–

y )

 = 0

 = 0

 = 1

 = 1

= 1

= 1

= 0

= 0

Rys. 13. Funkcje bliskoĞci punktu zapytania P(x1, x2) = P(Į, ȕ) wzglĊdem poszczególnych brzegów nieregularnego sektora opartego na 4 punktach wiedzy A, B, C, D

W regułach (11) zaleca si stosowanie implikacji Mamdaniego [6, 7, 8, 11, 12] oraz wyostrzanie metod rodka cikoci singletonów jako optymalnych [9].

Przykład oblicze

Dla punktów wiedzy podanych na rys. 11 naley opracowa baz reguł i na jej podstawie obliczy warto rzdnej y punktu zapytania P(5.25, 5.75).

Reguły maj form (12)

IF [(x1, x2) blisko (Ax, Bx)] THEN [y blisko yAB= 5 – 4] IF [(x1, x2) blisko (Bx, Cx)] THEN [y blisko yBC= 1 + 3]

IF [(x1, x2) blisko (Cx, Dx)] THEN [y blisko yCD= 4 – 4] (12) IF [(x1, x2) blisko (Ax, Dx)] THEN [y blisko yAD= 5 – 5]

Poniewa kontekstowe współrzdne  i  punktu zapytania P(5.25, 5.75) maj wartoci =0.5, =0.5 std bliskoci tego punktu wzgldem poszczególnych brzegów s takie same.

AB(5.25, 5.75) = 0.5 BC(5.25, 5.75) = 0.5 CD(5.25, 5.75) = 0.5 AD(5.25, 5.75) = 0.5 Po podstawieniu wartoci ,  uzyskujemy nastpujce wartoci konkluzji reguł:

yAB= 5 – 4 = 3 yBC= 1 + 3 = 2.5 yCD= 4 – 4 = 2 yAD= 5 – 5 = 2.5 (13) Wyostrzenie wyniku przeprowadzamy metod rodka cikoci singletonów (14)

(14) 1 0 0,5 1 0 0,5 1 1 µ µ µ AB = (1 – ) µ CD =  µ AD = (1 – ) µ BC =  blisko (BX, CX) blisko (AX, DX) blisko (CX, DX) blisko (AX, BX)

y µAByAB + µBCyBC + µCDyCD +µADyAD µAB + µBC+ µCD +µAD

0.5 (3 + 2.5 + 2 + 2.5) 2

Przykład zilustrowany jest na rys. 14.

Rys. 14. Ilustracja obliczeĔ odpowiedzi y nieregularnego modelu rozmytego dla punktu zapytania P(5.25,5.75)

Na rys. 15 przedstawiono pełn powierzchni sektorowego modelu rozmytego rozpatrywanego w niniejszym przykładzie, wygenerowanym z uyciem programu komputerowego.

Rys. 15. Pełna powierzchnia nieregularnego modelu sektorowego rozpatrywanego w przykładzie

Powierzchnia modelu, rys. 15, mimo e jest nieliniowa składa si z nieskoczonej liczby linii prostych biegncych w kierunkach  i . Jeeli linie te porówna do nici tworzcych płótno, to mona powiedzie, e to „płótno” powierzchni modelu jest maksymalnie nacignite (nici s proste). W zwizku z tym powierzchnia modelu skonstruowana metod przedstawion w artykule jest prawdopodobnie jedn z najmniejszych powierzchni funkcyjnych (niestety, problemu dowodu minimalnoci tej powierzchni nie udało si dotychczas teoretycznie udowodni ze wzgldu na komplikacj uzyskanych wzorów matematycznych), które spełniaj brzegowe warunki modelu. W zwizku z tym, zgodnie z [9] powierzchnia ta realizuje tzw. Bezpieczn interpolacj pomidzy punktami wiedzy A, B, C, D na których oparty jest model.

x2 Bx (1,4) B (1,4,1) A (1,9,5) Ax (1,9)  = 0  = 0.5  = 1  = 0  = 0.5  = 1  = 0.5  = 1  = 0.5 Px (5.25, 5.75) Dx (13, 7) D (13, 7, 0) P (5.25, 5.75, 2.5) Cx (6, 3) C (6, 3, 4) y P Bx B x1 2 1 0 1 6 13 9 7 4 3

3. Wnioski ko
cowe

W artykule przedstawiono nowy (wg wiedzy autorów) kontekstowy układ współrzdnych nierównoległych o charakterze zamknitym, znacznie rónicy si od klasycznego układu kartezjaskiego. Układ kontekstowy umoliwia opracowywanie modeli rozmytych o nieregularnej strukturze, składajcych si z dowolnych sektorów podziałowych: w przypadku przestrzeni wej 2D mog to by nieregularne trójkty, czworokty, piciokty, szeciokty, itd. W przypadku przestrzeni 3D mog to by róne nieregularne bryły. Moliwo nieregularnego modelowania rozmytego otwiera drog do tworzenia tzw. modeli oszczdnych, które przy minimalnej liczbie reguł daj dokładno modelu podobn jak w przypadku stosowanych obecnie modeli opartych o prostoktn, regularn siatk podziałow, które wymagaj opracowania bardzo duej liczby reguł i cechuj si zjawiskiem „przeklestwa” wymiarowoci. Modele nieregularnych sektorów picioktnych, szecioktnych i przestrzennych zostan zaprezentowane w nastpnych publikacjach autorów.

Bibliografia

[1] Bronsztejn i inni: Nowoczesne kompendium matematyki. Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 2004.

[2] Brown M. i inni: High dimensional neurofuzzy systems: overcoming the curse of dimensionality. Proc. Inter. Conf. FUZZ-IEEE/IFES’95, Yokohama, Japan, vol.2, pp. 663– 670, 1995.

[3] Kacprzyk J.: Zbiory rozmyte w analizie systemowej. Pastwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986.

[4] Kluska J. Analitical methods In fuzzy modeling and control, Springer, Heidelberg, 2009. [5] Łachwa A.: Rozmyty wiat zbiorów, liczb, relacji, faktów, reguł i decyzji. Akademicka

Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2001.

[6] Łski J.: Systemy neuronowo-rozmyte. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2008.

[7] Pedrycz W., Gomide F.: Fuzzy systems engineering. A John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, Canada 2007.

[8] Piegat A.: Modelowanie i sterowanie rozmyte. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 1999, 2003.

[9] Piegat A., Olchowy M.: Does an optimal form of an expert model exists?, Materiały 10th International Conference on Artificial Intelligence and Soft Computing, June 13–17, 2010, (artykuł zaakceptowany na konferencj).

[10] Rejer I., Mikołajczyk M., Piegat A.: Application of neural networks In chain curie model ling. W Lectures Notes in Artificial Intelligence, Springer-Verlag, Berlin 2006.

[11] Rutkowska D.: Inteligentne systemy obliczeniowe. Algorytmy genetyczne i sieci neuronowe w systemach rozmytych. Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ, Warszawa 1997.

[12] Rutkowski L.: Metody i techniki sztucznej inteligencji. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.

CONTEXTUAL SYSTEM OF NONPARALLEL COORDINATES – A ROAD TOWARDS NONREGULAR FUZZY MODELS

Summary

The paper presents a new concept of the contextual, non-parallel coordinate system (CNPC-system) being generalization of the commonly used Cartesian system. The CNPC-system opens a way to the nonregular fuzzy modeling that has many advantages. The most important of them is the possibility of construction of precise fuzzy models with considerably smaller number of rules than in the case of regular models based on rectangular partition of the input space. This advantage means also possibility of effective overcoming the phenomenon called “curse of dimensionality” in fuzzy modeling. In nonregular models not only rectangular sectors of partition can be used. Any type of sectors, as tri angular-, pentagonal-, tetragonal-, etc. sectors can be used. The paper in a reader-friendly way shows how a nonregular fuzzy model can be constructed. It contains an appropriate example.

Keywords: modeling, fuzzy modeling, fuzzy logic, coordinate systems, fuzzy reasoning.

Andrzej Piegat Marcin Olchowy Wydział Informatyki

Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie e-mail: apiegat@wi.ps.pl