v
iiiiiüiiiiiiHi
iiiiiiipiitliHIIiütl
ÜiÜi^iilÜ
illlllil'llllMllllilll O O- t -^C O •^ o hi i j j t l(\» o
BIBLIOTHEEK TU Delft P 1250 3262HOMOGENISEREN VAN STORTGOEDEREN
IN HET BIJZONDER STEENKOOL
HOMOGENISATION OF BULK MATERIALS ESPECIALLY COAL
wifh summary in English
VERGLEICHMASSIGUNG VON SCHUTTGUTERN BESONDERS STEINKOHLE
mit Zusammenfassung auf deufscb
1967 Druk: P.M. VAN HOOREN
HOMOGENISEREN VAN STORTGOEDEREN
IN HET BIJZONDER STEENKOOL
PROEFSCHRIFT
ter verkrijging van de graad van doctor in de
technische wetenschappen aan de Technische Hogeschool Delft, op gezag van de rector magnificus ir. hl. J. de Wijs, hoogleraar in de afdeling der mijnbouwkunde, voor een commissie uit de senaat te verdedigen op woensdag 21 juni 1 9 6 7 om 1 6 . 0 0 uur
door
Aart Lambert van der M O O R E N werktuigkundig ingenieur
i
DIT PROEFSCHRIFT IS GOEDGEKEURD DOOR DE PROMOTOREN
The lack of systematic knowledge of mixing
hampers, more than is always realised, the
efficient use of mixing apparatus and
dis-crimination between different types of
mixing equipment, and results, generally,
in a waste of material and power.
G. H. Herdan
Acm mijn ouders
in dankbare herinnering
I N H O U D
biz.
Definities 8
Symbolen 9
Notaties en verwijzingen 10
INLEIDING 11
Doel en principe van het homogeniseren 11
Doel, inhoud en begrenzing van de studie 12
THEORETISCH GEDEELTE
1.
ALGEMEEN MODEL
14
1.1. Oorzaken en beschrijving van de ongelijkmatigheid
van een heterogeen korrelmengsel 14
1.2. Model van de installatie 15
1.3. Model van de afvoerstroom 17
1.4. Model van de toevoerstroom 17
1.5. Probleemstelling 18
2.
ALGEMENE OPLOSSING
20
2.1. Covariantie van de kwaliteitsvariaties van grepen 20
2.2. Kansverdeling van de kwaliteitsvariaties van grepen 23
2.3. Kwaliteitsvariaties van partijen 23
3.
SYSTEMATISCH HOMOGENISEREN
26
3.1. Model van de hergroepering van grepen 26
3.2. Capaciteit van de installatie 27
3.3. Kwaliteltsvariaties van partijen 27
3.4. Discussie 29
4.
GELEED HOMOGENISEREN
32
4.1. Model van de hergroepering van grepen 32
4.2. Variaties in debiet van de toevoerdeelstromen 34
4.3. Variaties in debiet van de afvoerdeelstromen 35
4.4. Capaciteit van de installatie 38
4.5. Kwaliteitsvariaties van partijen 41
4.6. Toepassing op normaal verdeelde
kwaliteitsvaria-ties met negatief-exponentiële covariantlefunctie 45
5. MENGEFFECT
biz.
59
5 . 1 . Definitie 59
5.2. Invloed van het partijgewicht 60
5.3. Invloed van het ongelijkmatigheidspatroon 61
5.4. Invloed van de mengwerking 62
6. LITERATUURONDERZOEK 63
6.1. Omvang van het onderzoek 63
6.2. Homogeniseren 64
6.3. Bemonsteren 66
6.4. Klutsen 69
II. TECHNISCH GEDEELTE
7.
DOEL VAN HET HOMOGENISEREN VAN STEENKOOL
73
7.1. Winning en veredeling van steenkool 73
7.2. Baten en lasten van homogeniseren van steenkool 75
8.
ASPECTEN VAN HOMOGENISERINGSINSTALLATIES
78
8.1. Beschrijving van de installaties 78
8.2. Het mengschema 82
8.3. Vergelijking van de vulmethoden 85
8.4. De orgelpijpbunker 86
8.5. Investeringskosten 88
9.
ONTWERPEN VAN HOMOGENISERINGSINSTALLATIES
91
9.1. Uitgangspunten 91
9.2. Bepaling van het ongelijkmatigheidspatroon
van de toevoerstroom 92
9.3. Keuze tussen systematisch en geleed homogeniseren 95
9.4. Voorschrift voor de dimensionering van een
homogeniseringsinstallatie 96
9.5. Voorbeeld 1 98
9.6. Voorbeeld 2 101
10.
METINGEN
103
10.1. Systematisch homogeniseren 103
10.2. Geleed homogeniseren 108
Literatuur 111
Samenvatting 114
Summary 119
Zusammenfassung 124
DEFINITIES
Verwezen wordt naar de pagina' s waarop de begrippen nader worden omschreven.
Capaciteit Grootst mogelijke voorraad binnen de homogenise-ringsinstallatie of een onderdeel daarvan (p. 15). Debiet Gewicht per eenheid van lengte van een stroom (p.16). Element Stroomdeel kleiner dan of gelijk aan een greep
(p. 18).
Greep Stroomdeel ter lengte g; een greep uit de toevoer-stroom omvat alle opeenvolgende elementen die bij het homogeniseren als geheel in eenzelfde afgevoer-de partij belanafgevoer-den (p. 16 en 17).
Homogeniseren Hergroeperen van stroomdelen, afhankelijk van hun plaats en/of kwaliteit, volgens in hoofdzaak vaste banen met het doel de ongelijkmatigheid van de stroom te verminderen (p. 12).
Heterogeen Een korrelmengsel dat korrels bevat van verschil-lende kwaliteit, wordt heterogeen genoemd (p. 14). Klutsen Hergroeperen van stroomdelen volgens in hoofdzaak
door het toeval bepaalde banen met het doel de on-gelijkmatigheid van de stroom te verminderen (p.11). Mengvoorraad Deel van de voorraad, dat bepalend is voor de
ver-mindering van de kwaliteitsvariaties (p. 27 en 38). Ongelijkmatig Een heterogeen korrelmengsel is ongelijkmatig
in-dien de kans ora een hoeveelheid produkt van bepaal-de kwaliteit aan te treffen, niet op alle plaatsen dezelfde is (p. 14).
Partij Stroomdeel ter lengte u; een partij uit de afvoer-stroom komt overeen met de gewichtshoeveelheid waarop afnemer en producent hun oordeel aangaande de ongelijkmatigheid van leveringen baseren
(p. 16 en 17).
Stroom Voortbewegende gewichtshoeveelheid produkt (p. 14). Stroomdeel Aaneengesloten lengtedeel van een stroom, gelegen
tussen twee volledige dwarsdoorsneden (p. 15). Voorraad Opgeslagen gewichtshoeveelheid produkt (p. 15).
SYMBOLEN
B element
d toevoerdeelstroom
E verwachting
f kansverdeling
P verdelingsfunctie
g lengte van een greep
G greep
n aantal in een partij samenkomende grepen
q debiet van toe- en afvoerstroom
Q fractie van een klasse
s toevoerstroom
t afvoerstroom
u lengte van een partij
U partij
V gewicht van de voorraad
V voorraad
w capaciteit
x kwaliteit
y afstand
z gewicht
a
afstand tussen 2 opeenvolgende systematisch gekozen grepen
8 afvoerdeelstroom
d
regel factor van de doseurs bij geleed homogeniseren
^
klassegrens bij geleed homogeniseren
er, o^
standaardafwijking, variantie van de kwaliteltsvariaties
T, r^ standaardafwijking, variantie van de gewichtsvariaties
0 covariantie van de kwaliteitsvariaties
NOTATIES
Stroomdelen zijn aangegeven door een latijnse hoofdletter, die de
lengte karakteriseert, gevolgd door een latijnse kleine letter,
die aangeeft binnen welke stroom het beschouwde stroomdeel ligt.
Zonodig is tussen haakjes nog een rangnummer toegevoegd.
Gs een willekeurige greep G binnen de
toevoer-stroom s.
USj^(k) de kde partij binnen af voerdeel stroom i.
Symbolen voor kwaliteit (x) en gewicht (z) zijn voorzien van een
index, die aangeeft welk stroomdeel wordt beschouwd. Zonodig is
tussen haakjes een rangnummer toegevoegd.
Xjj^ de kwaliteit van een partij ü binnen de
afvoer-stroom t.
XQJJ
(k) het gewicht van de kde greep G binnen
toevoer-^ deelstroom djtoevoer-^.
Op overeenkomstige wijze zijn de covarianties van de variaties in
kwaliteit (0) en gewicht (i//) van indices voorzien; voor zover
no-dig is tussen haakjes de onderlinge afstand der beschouwde
stroom-delen aangegeven.
<^g(y) covariantie van kwaliteitsvariaties van
elemen-ten binnen de toevoerstroom op onderlinge
af-stand y.
>A(j(j.(Jg) covariantie van gewichtsvariaties van grepen
^ binnen toevoerdeelstroom d^^ op onderlinge
af-stand jg.
Hetzelfde geldt voor de variantles o^ en r^.
De indices I en II duiden resp. op de systematische en de gelede
werkwijze.
VERWIJZINGEN
Verwijzingen tussen ( ) haakjes duiden op de doorlopend genummerde
formules. Verwijzingen zonder haken duiden op (onderdelen van)
hoofdstukken.
Literatuurverwijzingen hebben betrekking op een alfabetisch naar
auteursnaam en naar jaartal gerangschikte opgave op pp. 111-113.
INLEIDING
DOEL EN PRINCIPE VAN HET HOMOGENISEREN
Vele producenten van korrelvormige stortgoederen, zoals delf-stoffen, meststoffen en kunstdelf-stoffen, verkrijgen hun eindproduk-ten in de vorm van een onderbroken of continue stroom, die eindproduk-ten aan-zien van een of meer kenmerken in kwaliteit varieert. De varia-ties in kwaliteit tussen en binnen leveringen die uit deze stro-men worden afgezonderd, kunnen zowel voor de producent als voor de afnemer een nadeel betekenen. De producent moet de gemiddelde kwa-liteit van zijn totale produktie zover boven de met zijn afnemers overeengekomen grenskwaliteit leggen, dat slechts een aanvaardbaar gering percentage van de leveringen deze waarde niet bereikt. De afnemer wordt bij de verdere verwerking of het uiteindelijke ver-bruik van het produkt gedwongen tot voortdurende aanpassing van de procesomstandigheden.
Indien de producent tracht de ongewenste kwaliteitsvariaties binnen een stroom eindprodukt te verminderen stuit hij op de oor-zaak, n.1. de onvoldoende beheersing van het produktieproces, die veelal mede het gevolg is van variaties in samenstelling van de dikwijls korrelvormige grondstoffen. Het kan zijn dat ener-zijds de aankoop van grondstoffen van gelijkmatiger kwaliteit niet mogelijk of uit commerciële motieven onaantrekkelijk is,en dat an-derzijds een betere beheersing van het fabricageproces, waartoe ook is te rekenen een nauwkeuriger dosering van grondstoffen, uit technische overwegingen onuitvoerbaar of om financiële redenen on-gewenst is. In dit geval kan hij nog overwegen om de kwaliteits-variaties van één of meer dezer stromen - grondstoffen, eindpro-dukten, of beide - te verminderen door een aanvullende bewerking waarbij stroomdelen van voldoende omvang grondig worden gemengd.
De gewenste vermindering van de spreiding in kwaliteit kan, voor zover het stromen van gering debiet betreft waarbinnen de va-riaties zich snel voltrekken, worden bereikt door de stroomdelen in een mengvat, dat roteert of van roerarmen is voorzien, volgens in hoofdzaak door het toeval bepaalde banen dooreen te Jciutsen. Bij korrelvormige massagoederen gaat het echter gewoonlijk om stro-men van groot debiet. Bovendien voltrekken de kwaliteitsvariaties
binnen deze stromen zich meestal op langere termijn. De capa-citeit van een dergelijk mengvat zou dan voor een voldoende ver-mindering van de spreiding zo groot moeten zijn, dat hieraan op
economische en/of technische gronden niet kan worden voldaan. In dat geval kan men het gewenste resultaat toch verkrijgen door de stroom volgens doelmatig gekozen criteria te splitsen in deelstro-men, die tijdelijk als gescheiden voorraden in buffers - b.v. bun-kers - worden opgeslagen; vervolgens worden uit al deze voorraden gelijktijdig stroomdelen genomen en wederom tot een stroom samen-gevoegd. Deze wijze van hergroeperen van stroomdelen langs voorge-schreven banen is in het volgende met homogeniseren ' aangeduid en vormt het onderwerp van deze studie.
Bij het afscheiden van de deelstromen kan men de plaats, die de stroomdelen ten opzichte van elkaar innemen, als criterium kie-zen. Deze werkwijze, de meest gebruikelijke, vertoont enige over-eenkomst met systematische bemonstering en wordt in het volgende met systematisch homogeniseren betiteld. De bewerking kan worden uitgevoerd in installaties van verschillend type, zoals de meng-tas, de trogbunker of de cellenbunker, die elk weer volgens ver-schillende methoden kunnen worden gebruikt. In sommige gevallen is het technisch mogelijk en financieel voordelig om een andere werk-wijze toe te passen, die met geleed homogeniseren is aangeduid aangezien deze enige analogie vertoont met gelede bemonstering. Hierbij wordt de kwaliteit van de stroomdelen als criterium gehan-teerd bij het afscheiden van de deelstromen, zodat de voorraden met kwaliteitsklassen overeenkomen.
DOEL, INHOUD EN BEGRENZING VAN DE STUDIE
Doel van de studie is het vaststellen van richtlijnen voor het bepalen van werkwijze, type, bedrijfsvoering en opslagcapaci-teit van homogeniseringsinstallaties. Deze richtlijnen moeten aan-geven hoe een zo gunstig mogelijke verhouding wordt verkregen tus-sen het behaalde resultaat, i.e. de gereduceerde kwaliteitsvaria-ties, en de daarvoor benodigde middelen, waarvoor de investerings-kosten als maatstaf zijn gekozen. Bij de uitwerking wordt aangeno-men, dat de kwaliteitsvariaties van de toevoerstroom mogen worden opgevat als de realisatie van een stochastisch proces.
Deel I geeft een theoretische beschouwing waarin een model voor de hergroepering van de stroomdelen wordt ontworpen. Met
be-Met homogeniseren worden ook andere specifieke mengende bewerkingen aangeduid, zoals het op zeer kleine schaal verdelen van vloeistoffen in elkaar,en van vaste stoffen in vloeistoffen bij colloïdale mengsys-temen die zich niet op moleculaire schaal mengen (Ullmann, 1951, p. 717). Aangezien verwarring uitgesloten lijkt en de term, in het bij-zonder in de kolenmijnbouw, reeds burgerrecht verkreeg, wordt over dit bezwaar heengestapt.
hulp van dit model worden, zowel voor de systematische als voor de gelede werkwijze, betrekkingen afgeleid die de kwaliteitsvariaties vóór en na de installatie in verband brengen met elkaar, met het aantal deelstromen en met de benodigde opslagcapaciteit. De gevon-den invloedsfactoren worgevon-den geanalyseerd. Aan het slot worgevon-den de resultaten vermeld van een literatuuronderzoek waarin ook twee verwante technieken, bemonsteren en klutsen van produktstromen, zijn betrokken.
Deel II behandelt toepassing van de theorie, in het bijzonder op installaties ter verkrijging van gehomogeniseerde steenkoolpro-dukten. Het belang van homogeniseren voor deze delfstof wordt na-der toegelicht. Verschillende typen installaties worden beschreven en op hun technische en financiële merites beoordeeld. Er wordt een voorschrift opgesteld voor het ontwerp van een installatie, dat is toegelicht met twee voorbeelden. Het hoofdstuk eindigt met de beschrijving van twee metingen. Hierbij wordt nagegaan of de afwijkingen tussen de berekende en de gemeten variaties als gevolg van verschillen tussen het model en de werkelijkheid binnen aan-vaardbare grenzen liggen.
Bij de kwantificering van het probleem is gestreefd naar een voor praktijkdoeleinden voldoend nauwkeurige, goed toegankelijke en bruikbare berekeningswijze. Enerzijds zijn zeer globale vuist-regels ontoereikend wegens de aanzienlijke financiële verliezen, die doorgaans met belangrijke afwijkingen van het verwachte resul-taat gepaard gaan; anderzijds is het niet zinvol een te hoge mate van precisie te eisen, gezien de beperkte nauwkeurigheid van de uitgangsgegevens en de onvermijdelijke stilering van het model ten opzichte van de werkelijkheid. In overeenstemming daarmee is ge-streefd naar een verantwoorde, zij het ook niet geheel exacte ma-thematische benadering.
Het bleek gewenst de studie tot onderstaande punten te be-grenzen:
- De afvoerstroom omvat uitsluitend alle stroomdelen uit de toe-voerstroom; bij de gelede werkwijze blijft buiten beschouwing het geval, dat door toevoegen of afscheiden van materiaal in be-paalde klassen de gemiddelde samenstelling van de verwerkte stroom wordt gewijzigd.
- De installatie vervult naast homogeniseren niet tevens een taak als opslagruimte voor het opvangen van verschillen in debiet tus-sen toe- en afvoerstroom.
- De beschouwingen betreffen enkelvoudige installaties en zijn niet doorgetrokken tot serieschakelingen van meerdere installa-ties of tot combinainstalla-ties van de systematische en de gelede werk-wijze binnen eenzelfde installatie.
L T H E O R E T I S C H G E D E E L T E
HOOFDSTUK 1
ALGEMEEN MODEL
1.1. OORZAKEN EN BESCHRIJVING VAN DE ONGELIJKMATIGHEID VAN EEN HETEROGEEN KORRELMENGSEL
De volgende beschouwingen hebben betrekking op een pro-duktstroom, d.w,z. een voortbewegende gewichtshoeveelheid produkt. De stroom, die oneindig lang is gedacht, wordt ge-acht te bestaan uit een korrelmengsel waarbinnen door twee oorzaken kwaliteitsverschillen ten aanzien van één of meer kwaliteitskenmerken optreden:
- het mengsel is niet homogeen, maar heterogeen, d.w.z. de afzonderlijke korrels verschillen in kwaliteit.
- het mengsel is niet uniform, maar ongelijkmatig, d.w.z. de kans ora een hoeveelheid produkt van bepaalde kwaliteit aan te treffen, is niet op alle plaatsen dezelfde. '
De kwaliteitsverschillen binnen een stroom kan men vol-gens vele maatstaven in een ongelijkmatigheidspatroon beschrij-ven, W e i d e n b a u m (1958) noemt er 25. Elk van deze maatstabeschrij-ven, en daarmede het patroon, wordt in laatste instantie gebaseerd op de verschillen in gemiddelde kwaliteit tussen aaneengeslo-ten hoeveelheden produkt met een bepaalde, voor dat doel zvol gekozen omvang. In het algemeen geven de maatstaven in-zicht in twee belangrijke aspecten van het patroon, n. 1. in de intensiteit van de ongelijkmatigheid, d.w.z. de grootte van de verschillen, en in de schaal van de ongelijkmatigheid, waar-onder het verloop van de verschillen als functie van de afstand wordt verstaan. Welke maatstaven men kiest hangt mede af van het doel waarvoor men het patroon wil gebruiken.
Het ongelijkmatigheidspatroon van een stroom is in feite driedimensionaal. Het kan b.v. worden beschreven als een
func-Deze terminologie sluit aan bij de aanbevelingen uit de "Vocabulary of Goal Sampling Terras" van de International Standards Organisation (TC 27 - 788), In tegenstelling tot hetgeen het woord "homogeniseren" sug-gereert, wordt door deze bewerking dus niet de heterogeniteit van het mengsel, doch de ongelijkmatigheid beïnvloed. Het woord "uniformeren" zou het doel van de bewerking beter uitdrukken, maar is niet gangbaar.
tie van drie variabelen, die de plaats van een doorsnede, als-mede een punt binnen deze doorsnede aangeven. Volgens de bij het homogeniseren gebruikelijke technieken worden slechts hoe-veelheden produkt verplaatst, die de volledige stroom tussen twee dwarsdoorsneden omvatten. Het is dus voldoende de onge-lijkmatigheid van het korrelmengsel te baseren op dergelijke stroomdelen, waarvan de omvang wordt aangegeven door de leng-te. De schaal van de ongelijkmatigheid kan worden gekarakte-riseerd door een functie van één variabele, i.e. de afstand gemeten in de stroomrichting. '
In dit proefschrift wordt ervan uitgegaan dat de kwali-teitsvariaties van de toevoerstroom een stochastisch karakter dragen, zodat voor de beschrijving van het ongelijkmatig-heidspatroon slechts een statistische maatstaf in aanmerking komt. Een goed bruikbare beschrijving blijkt de covarictntie-functie te zijn, die het verloop van de covariantie van de kwaliteitsvariaties van stroomdelen van bepaalde grootte als functie van hun onderlinge afstand aangeeft. Deze functie le-vert op de afstand O de variantie van de kwaliteitsvariaties van stroomdelen, een maat voor de intensiteit van de ongelijk-matigheid. De verhouding waarin de covariantie wijzigt met toenemende afstand, d.w.z. de correlatiefunctie, geeft in-zicht in de schaal van de ongelijkmatigheid.
1.2, MODEL VAN DE INSTALLATIE (figuur 1)
Bij het homogeniseren wordt de toevoerstroom s geschei-den in n onderbroken toevoerdeeistrouen dj^.. .d^^.. .d , die als voorraden V^... Vj^... Vj^ worden opgeslagen in afzonderlijke buffers. Vanuit deze voorraden worden n ononderbroken afvoer-deeistromen S j^.. .S j^.. .Sj^ gedoseerd en samengevoegd tot de af-voerstroom t.
Essentieel voor de werking van de installatie zijn de variaties in gewicht van de voorraden, die optreden als ge-volg van de momentane verschillen in debiet tussen de over-eenkomstige toe- en afvoerdeelstromen. De gewichtsvariaties van de voorraden worden begrensd door de capaciteit van de buffers, d.w.z. door de maximale voorraad die zij kunnen be-vatten. Verondersteld wordt, dat bij dit voorraadspel geen
Desgewenst kan men i.p.v. de lengte als dimensie ook de loopduur kie-zen.
ontmenging optreedt en dat de volgorde van de stroomdelen bin-nen overeenkomstige toe- en afvoerdeelstromen gehandhaafd blijft.
Aangenomen wordt, dat alle stromen zich met constante en onderling gelijke snelheid voortbewegen. Het debiet van de toevoerstroom - waaronder het gewicht per eenheid van lengte wordt verstaan*^ - is constant q. Het debiet van elke toevoer-deelstroom varieert sprongsgewijs en is O of q met q/n als ge-middelde. Het debiet van alle afvoerdeelstromen wordt in eerste aanleg verondersteld gelijk en constant te zijn, q/n, zodat het debiet van de afvoerstroom eveneens constant q is. Binnen de stromen worden onderscheiden stroomdelen ter lengte u, par-tijen genaamd, en stroomdelen ter lengte g = u/n, die met gre-pen zijn aangeduid.
Bs Gs Us
Samenvoegen
Fig. 1 Algemeen model homogeniseren
s toevoerstroom, debiet q B element, lengte < g d- toevoerdeelstroom, debiet O of q G greep, lengte g
U partij, lengte u V voorraad
Voor notatie zie p. 10 8. afvoerdeelstroom, debiet q/n
1
t afvoerstroom, debiet q
^Indien i.p.v. de lengte als dimensie de loopduur wordt gekozen, krijgt het debiet de dimensie van een gewicht per tijdseenheid.
1.3. MODEL VAN DE AFVOERSTROOM (fig. 1)
Het is zinvol om het ongelijkmatigheidspatroon van de gehomogeniseerde afvoerstroom t te baseren op een gewichts-hoeveelheid, die samenhangt met het proces van verdere bewer-king of verbruik dat de stroom ondergaat, en die b.v. kan over-eenkomen met de inhoud van een oven, een wagon of een kachel. De lengte u van partijen wordt zo gekozen, dat het produkt qu met deze gewichtshoeveelheid overeenstemt. Binnen de af-voerstroom zijn partijen Ut ' de kleinste aaneengesloten stroomdelen waartussen variaties in kwaliteit ""K -"»], maar waarbinnen zij niet meer interessant zijn. De afvoerstroom wordt opgevat als een oneindig lange reeks partijen Ut met gewicht qu. Elke partij Ut is opgebouwd uit n partijen US-met gewicht qu/n, die zijn genomen uit de afvoerdeelstromen.
In de praktijk is meestal uitsluitend de intensiteit van de ongelijkmatigheid binnen de afvoerstroom interessant. Het oor-deel over de kwaliteitsvariaties binnen de afvoerstroom wordt daarom beperkt tot de variantie van de kwaliteitsvariaties tussen partijen. De ongelijkmatigheid binnen de partijen is, gezien de definitie van het begrip partij, niet interessant.
Het kan in bijzondere gevallen gewenst zijn ook de '~' schaal van de ongelijkmatigheid, dus de volledige
covariantle-functie van de kwaliteitsvariaties binnen de afvoerstroom te ken-nen, b.v. als een tweede homogeniseringsinstallatie wordt nage-schakeld of indien op grond van de kwaliteitsvariaties binnen de afvoerstroom een regelmechanisme wordt gestuurd. Bepaling van de
schaal van de ongelijkmatigheid van de afvoerstroom valt bui-ten het bestek van deze studie, maar kan in beginsel geschie-den door de covariantie van de kwaliteitsvariaties van par-tijen als functie van hun onderlinge afstand te berekenen. Een complicatie daarbij is, dat er zowel bij systematisch als bij geleed homogeniseren geen constant verband bestaat tussen de onderlinge afstand van de partijen en de relatieve posi-ties, die de daarin samengebrachte stroomdelen binnen de toe-voerstroom ten opzichte van elkaar innamen (zie 6.4.).
1.4. MODEL VAN DE TOEVOERSTROOM (fig. 1)
De toevoerstroom s wordt opgevat als een reeks grepen Gs met gewicht qg. De toevoerdeelstroom d^ bestaat uit een
• )
reeks grepen Gd^^ met gewicht O of qg en qg/n als gemiddelde, Elke partij US^^ correspondeert met een bepaalde greep Gd^ van gewicht qg, die op zijn beurt overeenkomt met een zekere greep Gs. Binnen de toevoerstroom zijn grepen de grootste stroom-delen die als geheel in de afgevoerde partijen beJandgp- Het homogeniseren is erop gericht versn^eid gelegen, greoen-uit de toevoerstroom in een afgevoerde partij samen te hrengpn.
Bij de hergroepering wordt het resultaat mede bepaald door de intensiteit en de schaal van de ongelijkmatigheid van grepen. In het algemeen zijn de gegevens aangaande de onge-lijkmatigheid van de toevoerstroom gphaseerd nn .stroomdelen die aanzienlijk kleiner zijn dan de bij het homogenisery^i VPT--jlaatste grepen. Deze stroomdelen zijn aangeduid als elementen
Bs. ' In het volgende is aangenomen, dat de
kwaliteitsvaria-ties van de opeenvolgende elementen kunnen worden opgevat als de realisatie van een stochastisch proces dat tenminste zwak stationair is. Dit houdt o.a. in dat de - bekend ver-onderstelde - covariantie <pQg(y) van elementen slechts een functie is van hun onderlinge afstand y^ en niet van b.v. hun plaats of hun kwaliteit. Voorts is aangenomen dat het proces ersjodisch is ten aanzien van de eerste twee momenten. Uit (?!)gg(y) volgt indien de elementen kleiner zijn dan grepen
-de covariantie 'pQg(y) van grepen, die voor systematisch homo-geniseren een voldoende omschrijving van het patroon van de ongelijkmatigheid biedt.
Bij geleed homogeniseren is uitgegaan van de veronder-stelling, dat de kwaliteitsvariaties van de elementen kunnen worden opgevat als de realisatie van een sterk stationair pro-ces dat ergodisch is ten aanzien van alle momenten. Dit im-pliceert dat het ongelijkmatigheidspatroon nog nader door een derde aspect kan worden beschreven, n.1. door de kansver-deling f(XQg) van de kwaliteitsvariaties van grepen.
PROBLEEMSTELLING
Teneinde het ontwerp van een homogeniseringsinstallatie op kwantitatieve gegevens te kunnen baseren is het noodzake-lijk betrekkingen te formuleren, die aangeven hoe de kwali-teitsvariaties binnen de afvoerstroom en de benodigde capaci-teit afhangen van:
- het gewicht van de partijen (qu);
- het ongelijkmatigheidspatroon van de toevoerstroom (0Bs(y). f^Xgg);
- het aantal grepen, dat in elke afgevoerde partij wordt sa-mengebracht (n);
- de wijze waarop de hergroepering van de grepen plaatsvindt. _riLJir!£ll£J^*^^"k 2 wnrrJF-n dp r;ovariantiefunCtie P I IJP kans-verdeling van grepen uitgedrukt in de overeenkomstige gege-vens van elementen. Uitgaande van dit ongelijkmatigheidspa-troon van grepen wordt, onafhankelijk van de wijze waarop de hergroepering plaatsvindt, een algemene formule opgesteld voor de kwaliteitsvariaties van de samengestelde partijen. In deze formule is rekening gehouden met geringe variaties in de debieten van de afvoerdeelstromen, die bij de gelede werkwijze onvermijdelijk zijn en ertoe leiden, dat grepen van enigszins verschillend gewicht in een partij samenkomen.
In de hoofdstukken 3 en 4 wordt deze algemene formule uitgewerkt voor hergroeperen volgens resp. de systematische en de gelede werkwijze, aangevuld met betrekkingen voor de benodigde capaciteit. Ter illustratie worden de resultaten in het bijzonder toegepast op een ongelijkmatigheidspatroon met een negatief-exponentiële covariantlefunctie en een nor-male verdeling. Hoofdstuk 5 bestaat uit een bespreking van de resultaten.
HOOFDSTUK 2
ALGEMENE OPLOSSING
2. 1. COVARIANTIE VAN DE KWALITEITSVARIATIES VAN GREPEN (figuur 2)
Neem aan dat de kwaliteit van een stroomdeel overeen-komt met het gewogen gemiddelde van de kwaliteiten van zijn onderdelen; bij verreweg de meeste kwaliteitskenmerken wordt aan deze voorwaarde voldaan. Indien greep Gs(l) uit de toe-voerstroom bestaat uit h opeenvolgende elementen Bs(l),.. ' Bs(i)... Bs(h) met kwaliteiten van resp. Xgg(l)...Xggd)... Xgg(h), bedraagt de kwaliteit xA (1) van deze greep:
Evenzo heeft greep Gs (1+k), die op een afstand van k ele-menten van greep 1 ligt en wordt gevormd door de opeenvolgen-de elementen Bs(l-rii),..Bs(l+k+j). ..Bs(l-fk+h), een kwaliteit XQg(l+k) die volgt uit:
h
_X^g(l+k) = i . ^ 2 ^ X^3(k+j)
Ter vereenvoudiging van de afleidingen wordt in het vol-gende in plaats van met de abslolute kwaliteit xóg gewerkt met Xgg, het verschil tussen de absolute kwaliteit en de ge-middelde kwaliteit van alle elementen op zeer lange termijn. Aangezien is verondersteld dat het proces ergodisch is, houdt dit in:
Fig. 2 Nummering van elementen en grepen binnen toevoerstroom
^ B s ~ ^Bs " ^(^Bs^
zodat
E ( X B S ) = 0.
Deze transformatie heeft op de te berekenen spreidingen geen invloed.
De covariantie <P(}g(k) van de kwaliteitsvariaties van twee grepen op een afstand van k elementen wordt gevonden uit:
0gg(k) = E { X g g ( l ) X Q g ( l + k ) }
= \ E | 5 : xgg(i) £ XBg(k+j)l h2 Li=i j=i J h2
Het rechterlid geeft bij uitwerken een reeks termen van de al-gemene gedaante E{xgg(i) Xgg(k+j)}, overeenkomend met de bekend veronderstelde covariantie 0gg(k+j-i) van twee elementen uit de toevoerstroom op onderlinge afstand k+j-i. Stel nu j-i = v. Er blijken h-v termen voor te komen met de waarde 0gg(i^), waar-bij voor de discrete variabele v alle gehele getallen tussen -(h-1) en h-1 zijn in te zetten, zodat de covarantiefunctie kan worden geschreven als:
"^Gs^l^) = — ^ (h-|i^|V)Bs(k+i>) (2)
^^ }j2 v=.(h-i) ^*^^
De waarde van deze uitdrukking blijft gelijk als wordt gesom-meerd van -h tot h.
o
Voor k = O wordt de variantie crs van de kwaliteitsvaria-ties van grepen gevonden:
' ^ G s = ^ , , ^ (h-li^l)^Bg(i^) (3)
lj2 v=.h
In de praktijk is h gewoonlijk groot en wordt een goede benadering van de sommen in (2) en (3) verkregen door overgaan op integralen. De discrete variabelen k en v worden vervangen door continue variabelen, respectievelijk y en -q. De integra-tie vindt plaats tussen de grenzen -g en g, waarbij g overeen-komt met de lengte van de beschouwde grepen.
n
?^Gs(y> ^ ^ J (g-hl) (/)gg(y+)7) d)7 (4)
g ^ 77=.g
«^Gs
'^—^ JI (S-V) '^S^V)
*7 (5)
9
Door g = u te stellen wordt uit (5) de variantie crgg
betrok-ken op de aangevoerde partijen verkregen,en uit (4) de
bijbe-horende covariantlefunctie <?^g(y).
Indien 0gg(y) negatief-exponentieel verloopt volgens
ti)n_Cv) =crS-e X
•^s^y) =^Bs« ^ (6)
wordt de covariantie van de kwaliteitsvariaties van grepen
gevonden door invullen van (6) in (4), hetgeen na uitwerken
oplevert:
9 g g•^Gs^y)
=-^
(e ^ + e^ - 2)
g^
2 4
12 \2 360 ^4
In dit traject bedraagt het verschil tussen cpg3(y) en
<PriAy)
minder dan 2 % voor g/\ < 0,5.
Substitueren van (6) in (5) levert:
"GS = 2 - ^ < r " ' ^ - '^
"^^ 3 >. 12 X.2 60 \3
o o
Het verschil tussen o-g en erg bedraagt minder dan 2
%
voor
g/>^ < 0,05.
Het traject O < y < g blijkt in het volgende niet
in-teressant te zijn aangezien geen elkaar overlappende grepen
worden beschouwd. Blijkbaar daalt ook 0Qs(y) voor y > g
vrij-wel exponentieel en is <;6Qg(y) > <;^s(y). Daarentegen is
=^Gs <
=^Bs-2. 2. KANSVERDELING VAN DE KWALITEITSVARIATIES VAN GREPEN
De kansverdeling f(xQg) van de kwaliteitsvariaties van grepen binnen de toevoerstroom - waarvan de variantie volgt uit (5) - wordt bepaald door de eigenschappen van het sterk stationaire proces, dat de kwaliteitsvariaties van elementen veroorzaakt. Deze eigenschappen komen o.a. tot uiting in 4>^^{}l) en de eveneens bekend_yeronderstelde kansverdel ing
f(Xf^^) van de kwaliteitsvariaties van elementen. Het is even-wel in het algemeen zeer moeilijk om f(Xg ) langs analytische weg uit deze gegevens af te leiden. Dit is echter wel moge-lijk indien de kwaliteitsvariaties kunnen worden opgevat als de realisatie van een Gaussisch proces.
In het volgende wordt bij geleed homogeniseren aangeno-men, dat de kwaliteitsvariaties van elementen binnen de toe-voerstroom de realisatie vormen van een Gaussisch proces. Voor zover de beschouwde processen lineair zijn is het geen bezwaar indien slechts bij benadering aan deze voorwaarde wordt voldaan, omdat er slechts gebruik van wordt gemaakt om de kansverdeling van grepen af te leiden uit die van elementen. D i a n a n d a (1953) heeft aangetoond dat bij lineaire pro-cessen de centrale limietstelling ook geldt bij lineaire com-binaties van de variabelen, ook al zijn deze onderling afhan-kelijk.
2.3. KWALITEITSVARIATIES VAN PARTIJEN
Een willekeurige partij Ut uit de afvoerstroom t wordt samengesteld uit partijen US^ (i = l...n, zie figuur 1) met gewicht Zyg. en kwaliteit xug.. De kwaliteit Xy^ van de par-tij Ut wordt gegeven door de functie:
n
xut=-t^f i (9)
1=1 ^ iDe functie x^^. kan worden benaderd door een lineaire functie via een reeksontwikkeling volgens Taylor om de punten
xuSi = E(xuS^) en Zyg. = E(zu§^). Afkappen van de reeks na de termen van de eerste graad wordt voor statistische doeleinden (i.e. berekening van verwachtingen en varian-ties) in het algemeen toelaatbaar geacht als de variatie-coëfficiënten van Zyg en Xyg kleiner zijn dan 0,2 (zie
D a V i e s, 195jF, p. 49). Hier zal verder worden aangenomen, dat voor praktische doeleinden ook bij variatiecoëfficiënten tussen 0,2 en 0,4 het verwaarlozen van termen van de twee-de en hogere graad nog is toegestaan. Vergelijking (9) gaat dan over in:
2 E(zus )E(Xus ) n
Y = i-1 1 1 j. y-Ut ;; + ,f-,
+ I
i= 13x,
Ut
Bx
U8
Bv
Ut
Bz,
•US
{-^uSi - E(XuS.)|
L (10)waarbij in de partiële afgeleiden de verwachtingen van iyg en Zyg. worden gesubstitueerd.
Volgens het model is E(z•^J^^) = qu/n. In het volgende worden uitsluitend systemen behandeld waarvoor
n
Z E(Xu§ ) = 0. Nu i s :
Bx,
ut
Bx, US,
2uS,
iti
^^i
en
2 z, - S z„
Bzi
3 -u^i 1=1 - " ^ i " 1=1 -"^i -"^i
•U8,( J. ^}
Stellen wij voorts E ( x . . . ) = /x..,, dan i s E(Xyg ) = / ^ g .
en kan (10) worden vereenvoudigd t o t : •"•
n II
? U t = f J , C_xüg.)+i^^2^^8._zu8.
(11)
Bij overgaan op verwachtingen blijkt uit (11), dat yUy^ = 0. Dat dit niet slechts bij benadering, doch exact juist is, volgt uit de fysische overweging, dat in het sys-teem geen kwaliteit aan de stroom wordt toegevoegd of
ont-trokken. Voor zover de afwijkingen in gewicht enerzijds en
in kwaliteit anderzijds binnen en tussen de klassen
onafhan-kelijk zijn, d.w.z. E(xuSj^zuöj) = O, bedraagt de
varian-tie o-y^. van kwaliteitsvariavarian-ties van partijen:
^Ut = ^(xgt)
=—
E( I Jug.)2 + _ L E( 2 ^s.zu5.)2 (12)
j^.i 1-1 1 (qy)2 1=1 1 1
stel nu
~
E( ^,
^VS/ = (40'
^ " - ^ 9 E( 2 Mus zjjg )2 =
(^Ut)"-n-^ i-i 1 (qu)'i i-i 1 1In het laatste lid van (12) beschrijft de eerste term de
va-riantie
i'^^^) .
die optreedt indien het gewicht van de
samen-gebrachte grepen gelijk is en slechts variaties in kwaliteit
binnen de afvoerdeelstromen een rol spelen. De tweede term
waardeert de variantie (c^u^)" voor het geval, dat grepen van
variërend gewicht worden genomen uit afvoerdeelstromen
waar-binnen geen kwaliteitsverschillen bestaan. De grootte van de
in beide termen vervatte varianties en covarianties hangt
mede af van de wijze, waarop de hergroepering van de grepen
plaatsvindt.
HOOFDSTUK 3
SYSTEMATISCH HOMOGENISEREN*)
3,1. MODEL VAN DE HERGROEPERING VAN GREPEN (figuur 3)
Bij systematisch homogeniseren, ter onderscheiding aange duid met index I, worden de n onderbroken toevoerdeelstromen d,...dj^...djj verkregen door in de ononderbroken toevoerstroom s op gelijke onderlinge afstanden a sneden aan te brengen (a/g = 1,2...). De afgezonderde stroomdelen worden bij toerbeurt in een der n buffers gevoerd. Uit de aldus ontstane voorraden Vj^. ..V^... Vjj worden via doseurs n ononderbroken
afvoerdeel-Us Qs
Fig. 3 Model van systematisch homogeniseren a lengte van afgescheiden stroomdelen Voor overige symbolen: zie figuur 1.
Gedeelten van dit hoofdstuk zijn in uitgebreider vorm reeds elders ge-publiceerd (v.d. M o o r e n, 1965).
stromen S.. ..SJ...SJJ van onderling gelijk en constant debiet q/n samengebracht in de afvoerstroom t. In elke afgevoerde partij met gewicht qu belanden zodoende grepen van gelijk ge-wicht qg, die op constante onderlinge afstanden a binnen de toevoerstroom waren gelegen.
3.2, CAPACITEIT VAN DE INSTALLATIE
Het gwicht v^^ van de in een buffer aanwezige voorraad varieert lineair tussen O en qa - het gewicht van een stroom-deel ter lengte a - en bedraagt gemiddeld qa/2. In de instal-latie is een constante mengvoorraad Vj aanwezig met gewicht:
Vj = nqa/2 (13)
De minimaal benodigde capaciteit Wj van de installatie kan worden geschreven als:
Wj = yjVj (14)
Hierin is y-r een constante, die in het model volgens figuur 3 de waarde 2 heeft.
In hoofdstuk 8 worden andere installaties en methoden voor systematisch homogeniseren beschreven waarbij eveneens n grepen op afstand a in elke afgevoerde partij samenkomen, maar waarbij niet geheel wordt voldaan aan het model volgens figuur 3. In sommige gevallen is de werkelijke voorraad gro-ter dan de mengvoorraad volgens (13), die echgro-ter maatgevend blijft voor de vermindering van de kwaliteitsvariaties. Bo-vendien kan y-r andere waarden aannemen.
3.3, KWALITEITSVARIATIES VAN PARTIJEN
De in de partij Ut samenkomende partijen US. (i = l...n) corresponderen met bepaalde grepen Gs uit de toevoerstroom. Aan-gezien ^l^ = /^^ = UQ^ = O, is in (12) (o-^^^)" = O, zodat:
n „ n- 1 n
"'ut = (^Ut)' = — ^ E(Xug )2 + _ I I E(Xus..XuS ) (15)
^^ ^^ „ 2 1=1 ^ i jj2 1=1 j = i+i ^ i ^^jHierin is:
ECXuS.)2=^gs.
= ^ i d i -4s
de uit (5) bekende variantie van de kwaliteitsvariaties van
grepen en
^^M^
i^USj) = EJxGg(ia) Xgs(ja)| =0Qg(j-i)a
de uit (4) bekende covariantie op afstand (j-i)a.
Stel j-i
=v.
Bij uitschrijven van de dubbele som blijkt
dat er
n-v
combinaties optreden van grepen op afstand
v,
zo-dat de invloed van de verwantschap in kwaliteit tussen de
sa-mengebrachte grepen wordt uitgedrukt door:
2 n-i
— 5 -2 (n-v)
<^nAva)
n'^
v=i ^^
en
Q-^^
bedraagt:
(^Ut>I " —
^ (n-\v\) 4>Q^(va)
(16)
„2 V=.n
Substitutie van (4) in (16) geeft desgewenst een directe
relatie tussen (o"ut)l ^" "^s^^^*
Indien de covariantlefunctie van de kwaliteitsvariaties
van grepen met goede benadering negatief-exponentieel is
vol-gens de betrekking
JA
luidt (16)
^lEll_l I (n-M)e-^'"' (18)
- i s "' "=•"
Hieruit blijkt dat (^nt^I'^^Gs' behalve van n, slechts
afhan-kelijk is van het quotiënt
a/k.
Bij uitwerken van (18) ontstaan twee reeksen, die ge-sommeerd als resultaat geven:
(=^ut)i 'Gs 1 + 2 e a 1-e
a
na 1-e >^ . -3:n(l-e
k)l
(19) DISCUSSIEUit (13) en (19) kan door eliminatie van de parameter a figuur 4 worden samengesteld. Deze figuur toont voor een ne-gatief-exponentiele covariantlefunctie en genormeerd t.o.v. qX het verband tussen het bereikte resultaat, (^ut^I^^Gs' ^" de middelen, n en Vj. De mengvoorraad Vy bepaalt de benodig-de capaciteit Wj volgens (14).
De partijen worden samengesteld uit n verspreide grepen op afstand a uit de toevoerstroom, die afkomstig zijn uit een voortschrijdend stroomdeel met constant gewicht n q a = 2 Vj. Indien bij een bepaalde waarde van Vj het aantal gre-pen n zeer groot wordt gekozen, gedraagt de installatie zich vrijwel als een "ideale middelaar'. De kwaliteitsvariaties binnen de afvoerstroom naderen tot de variaties in de reken-kundig gewogen gemiddelde kwaliteit van een voortschrijdend
o
stroomdeel met gewicht 2 Vj. De variantie (o'^^)i wordt in dit geval gevonden door in (8) g = 2 Vj/q te stellen:
(^Ut)l q \ 2 A V, - i-^ ^Gs
2
vi
C
+ e 2_vi qk . Qk•)
(20)Dit verband is als kromme a weergegeven in figuur 4. Zoals te verwachten vleien de n-curven zich aan tegen kromme a.
Bij de dimensionering van een installatie - waarbij kostenfactoren de doorslag geven, zie 9.1. - moet worden ge-zocht naar de gunstigste combinatie van n en Vj waarmee een bepaalde waarde van (^ut)i/o'Gg wordt bereikt. De correlatie tussen de grepen, waarvoor het quotiënt a/k een maatstaf vormt, speelt hierbij een belangrijke rol. Indien dit quo-tiënt zeer klein wordt, is de som in (18) vrijwel evenredig
Q 0 0
met n'^, zodat ('^ut^I^'^Gs ^^" naaste bij onafhankelijk is van n en nabij 1 ligt. Indien a/k groot wordt, bedraagt de som
CO
o
(C)
Ut^I 8. Gs 6.— .^
'^f^x
^
~~—.
§ s^!s
^ ^
a''i
^—.
—
.^
"V s,—
—'
_
—'
—
—
.
E"~ =
'"««,
s"^,
N" 3 4-; - >-;
V">!'
5k
^ - ^
^ <
-<
= =-S
=:^
L - . ^ ^ ^ 5 ^ ^S.^
h$*^f^
- ^ ^
- ' ^
S 7 8 9,'Ki
- v ^ ^ > s^ ^
_
3
• ^ t t t
N1 ^'^^cN^J^^l•
-tt^
2^
"SXS,
.;^
tt^
1
r-nuk
3 4i^
•>!
V\
-
^m-1K^TN..-r^K
5 V> ^ ^ ^
5 N v r 8\
..
^
ss
»,n? 1 s;
L-i 4 • ~ '" " '
--- --- .
__
• • . 9 •I qxvrijwel n cr^g en is (''"ut^I'^'^Gs oiisekeerd evenredig met n.
De verhouding
a/k
heeft men in de hand door de keuze van
het quotiënt Vj/nqX.. Vervolgen van de n-curven in figuur 4
naar grotere waarden van Vj toont, dat deze in het traject
Vy/nqX >2.5 vrijwel horizontaal gaan lopen. Een verdere
ver-9 ver-9
laging van (o'ut^i/'^Gs
^^^
slechts worden bereikt door Vj
sterk te vergroten. Omgekeerd blijkt, dat vergroten van n bij
• 9 (9
een bepaalde waarde van Vj op (o'ut^I^'^Gs vrijwel geen effect
meer heeft indien vj/nqV< 0,5 is. In het algemeen zal het
gewenst zijn dat een installatie werkt binnen deze beide
grenzen, die in figuur 4 als de curven b, en b , zijn
aange-geven.
In bovenstaande globale beschouwing is geen rekening
ge-houden met het feit, dat bij variëren van n - en daarmee van
g - de vorm van de covariantlefunctie <^Qg(y) wijzigt. Bij
kleine waarden van
g/k
(stel
g/k <
0,05) is dit verschijnsel
overigens te verwaarlozen, zoals reeds bij (7) en (8) werd
opgemerkt.
Neem aan dat de covariantlefunctie 0(}g(y) samengesteld
exponentieel is volgens:
.[y\
. M
= Ae ^ 1 + Be ^ 2
0Gs(y) = Ae 1 + Be 2 (2i)
en daarbij een minimum vertoont. In dit geval zal - bij een
bepaalde waarde van n - ook (c^ut^I^'^Gs "'ini'^^'^'l zijn indien
2 Vj/q ongeveer overeenkomt met de afstand waarop het
mini-mum van de covariantlefunctie optreedt; verder vergroten van
Vj is dan nadelig. Hetzelfde kan gelden voor andere niet
mo-notoon dalende covariantiefuncties, b.v. die met een
perio-diek karakter (v.d. M o o r e n 1965, pag. 121).
HOOFDSTUK 4
GELEED HOMOGENISEREN
4.1. MODEL VAN DE HERGROEPERING VAN GREPEN (figuur 5)
Bij geleed homogeniseren, ter onderscheiding aangeduid
met index II, worden de n onderbroken toevoerdeelstromen
d.... d^... d^ verkregen door in de ononderbroken
toevoer-stroom s op grond van continue kwaliteitsbepaling sneden aan
te brengen bij n-1 klassegrenzen
g-^...
f^... fn-1'
^^
afge-zonderde stroomdelen worden, gescheiden naar
kwaliteitsklas-se, in n buffers opgeslagen. De klassegrenzen zijn zo
geko-zen, dat de klassen gelijke fracties l/n uit de toevoerstroom
vormen. Uit de aldus ontstane voorraden V^... V^...
via doseurs n ononderbroken afvoerdeelstromen S...,
samengebracht in de afvoerstroom t. In de buffers worden
over-Vjj worden
Fig. 5 Model van geleed homogeniseren
ïGs k w a l i t e i t van grepen binnen toevoerstroom ^•.1> ^i klassegrenzen
schotten binnen een klasse in voorraad gehouden ter aanvul-ling van tekorten op latere tijdstippen.
Teneinde met buffers van beperkte capaciteit te kunnen volstaan moet men vermijden, dat binnen een klasse zeer grote overschotten of tekorten - a.h.w. negatieve overschotten - op-treden. Aan deze voorwaarde kan men niet voldoen door het de-biet van S- constant te houden, overeenkomend met het gemid-delde debiet van dj^, dus q/n. Onder deze condities zullen - ge-zien het stochastisch karakter van de kwaliteitsvariaties - de overschotten weliswaar O als verwachting hebben, maar tevens variëren met een spreiding die ongelimiteerd toeneemt (zie 4,4.).
Indien wij ervan uitgaan, dat overschotten niet naar el-ders worden afgevoerd en tekorten niet van buitenaf worden aangevuld, moet op dit niet-zelfregelende proces een regelen-de invloed worregelen-den uitgeoefend. Deze regeling kan plaatsvinregelen-den in de vorm van periodieke of continue aanpassing van de klas-segrenzen en/of van de debieten van de afvoerdeelstromen. Naar-mate deze ingrepen, die erop gericht zijn afwijkingen van de gemiddelde voorraad in de buffers te verminderen, vaker en krachtiger worden uitgevoerd, kan men met buffers van kleinere capaciteit volstaan, maar zal de installatie ook de kwaliteits-variaties minder goed reduceren.
Bij de volgende berekening wordt in eerste aanleg veron-» dersteld:
- de scheider baseert zijn oordeel over de kwaliteitsvariaties binnen de toevoerstroom op grepen; aangenomen is, dat de aan-eengesloten stroomdelen die per keer in een buffer belanden, een geheel aantal grepen omvatten.
- de regeling van de voorraden geschiedt door periodiek - na passage van een greep - de debieten van de afvoerdeelstro-men te wijzigen, en wel door deze rechtevenredig aan het ogenblikkelijke gewicht van de voorraden in de buffers in te stellen.
Regeling van de doseurs sluit in zoverre bij de praktijk aan, dat deze ter wille van de mogelijkheid tot variatie van de totale doorzet van de installatie in het algemeen regelbaar zijn, zij het niet steeds onafhankelijk van elkaar, zoals in dit geval vereist is. De beschreven werkwijze leidt ertoe, dat in elke afgevoerde partij n grepen uit de toevoerstroom belanden van ongelijk gewicht, die naast toevallige ook syste-matische verschillen in kwaliteit vertonen.
4.2. VARIATIES IN DEBIET VAN DE TOEVOERDEELSTROMEN
Toevoerdeelstroom d^ wordt opgevat als een ononderbroken reeks grepen ter lengte g. De variaties in gewicht van de op-eenvolgende grepen, die een maat vormen voor de variaties in debiet van deelstroom dj, kunnen worden beschreven door de van de plaats y binnen d^ afhankelijke stochastische variabe-le ZQdi(y)- Deze variabele neemt slechts de waarden O of qg aan - zie figuur 6 - met een kans van (n-l)/n, resp. l/n en heeft als verwachting:
E(2r,H.) = — n 5Gdj^ (22) en als variantie:
-2 _
,„^.2 Uzi
Tgd. - (qg) ^ (23)t
Fig, 6 Variaties in debiet vein toevoerdeelstromen
Nader inzicht in het patroon van de variaties in debiet geeft de covariantlefunctie ^/'Gd-(y) betrokken op grepen als functie van hun onderlinge afstand y:
V'Gd/y) = E ^Gd^ (y') ZQ^M
+y)
(qg)' (24) De term E{zQ(j.(y') ZQ^.(y'+y)} is af te leiden uit het pa-troon van de variaties in kwaliteit binnen s. Uitsluitend in-dien zowel ZQ^.(y') als ZQ^.(y'+y) beide de waarde qg hebben bedraagt hun produkt (qg)2; in alle andere gevallen is het 0.De variabelen ZG(j.(y') en ZQj.(y'+y) hebben slechts beide de waarde qg, indien de kwaliteiten X(3(j4(y') en XGdi(y'+y) beide binnen de klassegrenzen f j^.^ en ^j^ liggen. De kans, dat dit het geval is, kan bepaald worden uit de gezamenlijke verde-ling van de variabelen X(jg(y') en X(jg(y'+y), die elk de mar-ginale verdeling f(XQg) hebben en waarvan de afhankelijkheid op een afstand y wordt uitgedrukt door de covariantie 0Qs(y)« Hieruit volgt:
^Gd^(y>
(qg)^
^1 ^1
= J J f'{x(js(y'), xgg(y'+y)}dx(;g(y') dxQg(y'+y)
^ i . 1 ^ 1 - 1
waarin f'(.,.) de genoemde gezamenlijke verdeling is.
4.3. VARIATIES IN DEBIET VAN DE APVOERDEELSTROMEN
Neem aan dat de lineaire regeling der voorraden plaats-vindt doordat per lengte-eenheid van de verwerkte stroom het gewicht van de voorraden met een deel 6 worden verminderd tot een deel \-d. De factor 6 is een maat voor de regel steilheid. Er wordt periodiek ingegrepen na passage van een greep. In-dien na aankomst van greep Gdj^(k) in buffer i het gewicht van de voorraad in deze buffer zyjj.(k) bedraagt, wordt de afvoer-deel stroom zodanig ingesteld, dat gedurende aankomst van greep Gdj^(k+1) een greep GSj^(k) wordt afgevoerd met gewicht:
ZQg.(k) =6igzvj.(k) (Ög^ 1) (26)
Greep Gd^(k) draagt ögZGd.(k) bij tot greep CiSj^(k). Het res-tant van greep Gdj^(k-l) levert tot de afgevoerde greep G5^(k) een bijdrage 6'g(l-6'g)ZQ(j. (k-1). De aankomst van p voorgaande grepen in buffer i leidt dus in afvoerdeel stroom S^^ tot een afgevoerde greep GSj^(k) met gewicht:
p
Z(j§,(k)=ög I (l-Ög)JzQjj (k-j) (27)
1 j = o i
(25) 1
Invoeren van verwachtingen, substitueren van (22) en
overgaan op de limiet voor p — ^ < » levert:
E(zgg ) = Ög 5i 2 (i.ög)J = ai (28)
i n J=n n
hetgeen ook uit fysische overwegingen volgt.
De covariantie (//Qg. (kg) van de variaties in gewicht van
de afgevoerde grepen G S ^ op afstand kg bedraagt:
V'GS.C^S) =
''"
E{zgg.(l) ZQg.d-*)} - - ^
"°1 p - o o uoi -uoi ^2
Bij substitutie van (27) in deze betrekking treden in het
rechterlid - afgezien van coëfficiënten - termen op van de
gedaante E{z(j(ji(l-h) ZQCJ. (1-Hk-j)} - (qg/n)^, de uit (25)
be-kende covariantie
^Q(i^{(k+h-j)g}
van de gewichtsvariaties
binnen toevoerdeelstroom d^^. Stel h-j =
p ,
sommeren en
over-gaan op de limiet voor p-^a. levert:
' ^ G S . ^ ^ S ) ^ — I ^ (l-Ög)l^i</'(j..{(k+v)g} (29)
i 2-C7g V=-eo i
Indien (9g = 1 (periodiek volledig afvoeren van de
voor-raad) geldt (//Qg . (kg) = lAod-C^g)' ^e variaties in gewicht z^g.
binnen de afvoerdeelstroom vertonen hetzelfde
ongelijkmatig-heidspatroon en dezelfde kansverdeling als de variaties in
ge-wicht ZQ(J. binnen de toevoerdeelstroom (zie figuur 7a voor
n = 2). Indien
6=0
(geen regeling) is het debiet van de
af-9
voerdeelstroom constant en
TQ^.
= 0; de kansverdeling van z^v
is geconcentreerd op de waarde Zjjg = qg/n (figuur 7d). •"•
i
In werkelijkheid zal de installatie tussen deze beide
uitersten werken, zodat de kansverdeling van zgg. een
over-gangsvorm aanneemt tussen figuur 7a en figuur 7d, zie b.v.
figuur 7b en 7c. Bij waarden van ög nabij O zijn in de
voor-raad op elk ogenblik nog vele aangevoerde grepen in
belang-rijke mate vertegenwoordigd en zal de kansverdeling van ZQg.
een vorm aannemen als in figuur 7c. In 4,5. en 4,7, zal
blij-ken, dat dergelijke kleine waarden van ög noodzakelijk zijn
om profijt te kunnen trekken van de gelede werkwijze.
t
O g•^sa
2@
O < 0 g <1 qg 2 19 O < 0 g < 1 0 =0 qg 2 ^Gé,Fig. 7 Kansverdeling van gewichtsvariaties van grepen binnen afvoerdeelstromen
Het gewicht van een afgevoerde greep Gt binnen de afvoer-stroom t volgt uit (27):
Zr.4. = ^ Z(jg = dg 1 T (l-ög)JZ(j(j (k-j) = i'Gt 1=1 1 = 1 J = 0 = Ög 2 (l-ög)J 2 zgfj (k-j) = (30) j=o 1=1 i = ög 2 (l-ög)Jqg = qg j=o
Blijkbaar leidt de lineaire regeling van de voorraden na on-eindig lange tijd tot een afvoerstroom met constant debiet q.
o
De variantie "r^g . van de gewichtsvariaties van partijen US. uit n opeenvolgende grepen binnen afvoerdeelstroom 8^ kan op analoge wijze worden afgeleid als (3) en bedraagt:
rgg = 2 (n-M)>/.Qg.(yg)
1 v=
n
Meestal is i//Qg (y) «fe
r^
voor O < y .j; u, zodat met goede
be-nadering geldt:
•^üS^ = " ^ G S . (32)
o
Het is mogelijk
"T^^^
te berekenen voor het geval, dat de
scheiding en/of regeling worden gebaseerd op stroomdelen die
niet overeenkomen met een greep. Indien de scheiding wordt
gebaseerd op grepen ter lengte g en de lineaire regeling van
de voorraden plaatsvindt na passage van een klein stroomdeel
Ag, wordt uit elke buffer voortdurend een debiet afgevoerd
dat vrijwel evenredig is met het gewicht van de voorraad.
Bij continue regeling (Ag — 0) geldt conform (28) E(ZQg ) =
qg/n en volgt uit (29) en (32):
'^
^ U 8 . = " ^ ^ / e-^y0Q(j.(y)dy (33)
1 y=0 1
4.4. CAPACITEIT VAN DE INSTALLATIE
wicht van de voorraad V^^:
Uit (26) en (28) volgt de verwachting E(Zyj ) van het
ge-E(2GSi) q
E(Zv^.) = (34)
^
dg x£
De variantie r^^j. van de gewichtsvariaties van de
voor-raad binnen buffer i bedraagt volgens (26) en (29):
9 1 *** I • I
•^Vd = ^ (l-Ög)lJl</'Qd (jg) (35)
1 Ög(2-ög)J=-" 1
Zoals te verwachten geldt bij ög = 1 (periodiek volledig
afvoeren van de voorraad) r^^. =
TQ^J..Bij afnemende waarden
van
dg
stijgt ry^j. en bereikt de waarde*» indien geen regeling
plaatsvindt (ö = 0 ) .
De constante
mengvoorraad
Vjj die binnen de installatie
aanwezig is, volgt uit (26) door beide leden te sommeren over
i van 1 t/m n en vervolgens (30) te substitueren:
v „ = - (36)
Deze mengvoorraad wordt, voor zover niet in deuitgangstoe-stand aanwezig, asymptotisch benaderd.
Bij continue regeling van de voorraden geldt conform (34) E(Zyj_) = q/nö en volgt uit (35) en (36).
qy /
2 _ „„ 7 /^Ti
"^^i"''
^Vd
, = qvii J e "
1
dy (37)
i ^ y=o „9„2
Gebruikelijk zijn installaties waarbij de capaciteit van elke buffer constant is. Teneinde daarbij onder alle om-standigheden overlopen te voorkomen, is per buffer een capa-citeit
Wj^ = VJJ (38)
noodzakelijk en voldoende. Immers, volgens (26) en (36) wordt in het ongunstigste geval dat een aangevoerde greep met ge-wicht qg in een volle buffer belandt, te zei fder tijd uit die buffer ögVjj = qg afgevoerd, zodat geen overlopen optreedt. Indien aan een buffer langdurig geen toevoer plaatsvindt, daalt weliswaar het gewicht Zy^j. van de voorraad, maar er wordt ook steeds minder afgevoerd. De waarde Zy^j. = O wordt - indien ög < 1 - pas na oneindig lange tijd bereikt, zodat leegraken geen probleem vormt. De capaciteit Wjj van de in-stallatie bedraagt:
Wjl = nvjj (39)
Voor waarden van i9g nabij O zal de kansverdeling van Zyjj. een vorm aannemen, die overeenkomt met de verdeling van Zgg in figuur 7c. De "staarten" aan de verdeling van Zy^j. geven aan, dat in het bovenste deel van de buffer bijna nooit produkt komt en dat in het onderste deel vrijwel steeds ma-teriaal aanwezig blijft. Indien men sporadisch overlopen en leegraken accepteert, kunnen het bovenste en het onderste deel van de buffer a. h.w. worden weggelaten, zodat - bij een-zelfde waarde van d - met een capaciteit w. kan worden staan, die kleiner is dan Vjj. Wijzig daartoe de regeling vol-gens (26) in:
ZGSJ = ^e(Zyd^ + K) (26')
en kies de capaciteit w^ van een buffer b.v. volgens de be-trekking
Wj = ^Tyjj, (38')
De kans op overlopen of leegraken wordt bepaald door de keuze van de constanten /3 en K. Aangezien de verdeling van zy^j. niet bekend is - voor n > 2 is deze scheef - kan moei-lijk worden aangegeven hoe groot de kans is, die met bepaalde waarden van fi en K correspondeert. Het is echter aan te ne-men, dat bij een verdeling volgens figuur 7c en bij een doel-matige instelling van K een waarde van b.v. /ö = 5 in de prak-tijk voldoende is. In het geval dat de werkelijke kansverde-ling van Zyjj. minder geprononceerde staarten vertoont, b.v. volgens figuur 7b, is - bij eenzelfde waarde van /S - de kans op overlopen of leegraken kleiner.
Bij regeling van de voorraden volgens (26) is de werke-lijke voorraad in de installatie Vjj = Vjj - UK. De mengvoor-raad VJJ volgens (36) heeft het karakter van een - door de regel factor d bepaalde - schijnbare voorraad, die het resul-taat van de bewerking bepaalt. De capaciteit Wjj van de in-stallatie bedraagt:
n
WJJ =/3 S Ty. (39')
i= 1 1
Indien i/'Gdx(y) voor de diverse klassen afwijkend ver-loopt, zoals gewoonlijk het geval zal zijn, leidt (38') in het algemeen tot buffers van verschillende capaciteit, omdat de klassen meer capaciteit vergen naarmate K J . J - ^ ^ I groter is.
De benodigde capaciteit Wjj kan worden geschreven als:
«II = -XlI^II (40)
waarin yjj een constante is. Bij volledige zekerheid tegen overlopen en leegraken geldt, blijkens het voorgaande, 7jj = n. Indien men aanvaardt dat dit verschijnsel
worden volstaan. In 4.6,1, zal blijken dat in bepaalde
ge-vallen bij
fi = 5
zelfs waarden yjj < 1 mogelijk zijn.
4.5, KWALITEITSVARIATIES VAN PARTIJEN
4.5.1,
Kwaliteitsvariaties als gevolg van spreiding binnen de
klassen
De kansverdeling van de kwaliteitsvariaties van grepen
zij f(XQg). Naar buffer i loopt toevoerdeelstroom d^^, die
uit-sluitend alle grepen uit de toevoerstroom s met kwaliteiten
XQ(J. tussen de ingestelde klassegrenzen ^j^.j en g^^^ omvat
(figuur 8). De fractie Q^ van klasse i bedraagt:
% = / f(X(jg)dX,
Gs
i - 1
Zoals eerder werd aangenomen geldt Q^ = l/n.
(41)
>^ 5i-i Si 5 n - i
Fig. 8 Frequentieverdeling van kwaliteitsklassen
De relatieve frequentieverdeling fj^(XGd^) van de
kwali-teitsvariaties van grepen binnen klasse i luidt:
fi(^Gdj> = nf(XGs) voor ^ i - i ^ ^Gd^ < ^ i
(42)
^i^^Gd.) == O voor
XQJJ.< ^ ^ . j en voor Xg^j. ^ ^^
Verwachting
fiQ^
en variantie crgj van de
kwaliteitsva-riaties van grepen binnen klasse i volgen uit:
^1
^ d j = ^ £ ^Gd^fi(XGd.)dxo^.
(43)
^Gd. = ^ i" xid.fl(XGd.)dxGd.-Midi
(44)
De grepen, die aan buffer i zijn toegevoerd, worden na
uiteenlopende verblijfstijden afgevoerd als partijen US^
bin-nen de afvoerdeelstroom 8^ zodat:
en
.2 _ ^ 2
'US,
= o-Gd,
Op grond van de uiteenlopende verblijfstijden in de
buffers, die aan het proces een random fase geven, mag
wor-den aangenomen dat de samenkomende partijen US,
ongecorre-leerd zijn voor wat betreft de afwijking van de gemiddelde
9 '
kwaliteit van hun klasse. De waarde van
(c^^)ii
als gevolg
van de kwaliteitsvariaties binnen de klassen bedraagt dan
volgens (12):
(^ut)ii=-. A^Gd,.
,2 1=1(45)
4.5.2.
Kwaliteitsvariaties als gevolg van de regeling der
voorraden
9 «
Volgens (12) bedraagt de variantie
(o^m)
als gevolg van
de gewichtsvariaties van de samengebrachte partijen:
(-ét)" =
(qu)'
.= 1 ^ i ^ u s .
Voor n = 2 geldt uit overwegingen van symmetrie ^i^Jg. = -MU82 ®" E(?U8i)^ = ^(zugg)^ = Tugj + (qu)2/4, zodat (46) kan worden geschreven als:
(-li)" =
'Ut
(qu)'
9 (qu)'
2^j«}^U8j + 1^- 2/^^E(Zus^ZuS2)
Het gewicht van elke afgevoerde partij Ut bedraagt qu - dit volgt uit (30) - zodat geldt:5u8j + ?U82 = '^^
Kwadrateren van beide leden en overgaan op verwachtingen l e
-vert:
2 E(ZuSj 2083) (qu)'
2 Ti US,
Gesubstitueerd geeft dit als resultaat:
(°^üt)n =
(qu)
•gA^S^-^USj (n = 2) (47)
waarin ^t^g bekend is uit (43) en r^g uit (31) t/m (33).
Door eveneens gebruik te maken van symmetrie-overwegin-gen en de bekende som van de gewichten van de samengebrachte partijen, kan voor n = 3 worden afgeleid:
(°-ut)n = — ; /4,(4 -^us. - ^U8 ) e^ = 3) (48)
(qu)2 1 1 ^Op analoge wijze kan (o'u*.)jj worden berekend voor gro-tere waarden van n. Teneinde over voldoende vergelijkingen te beschikken voor het toenemende aantal onbekende covarian-tietermen E(zu8i ?USi) ^^'^ bovendien worden uitgegaan van be-trekkingen van de vorm:
Hierin stelt zjjg^ ^ het gezamenlijke gewicht van de gelijk-tijdig afgevoerde partijen binnen de opeenvolgende deelstro-men j t/m k voor. De variantie TQg. van de variabele zyg^ ^ kan uit (25) worden bepaald*cioor te integreren tussen de grenzen ^<.i en ^j^. Voor n = 4 wordt op deze wijze gevon-den:
(-ut)ïi
(qu)'^U8j(4'^USj -^USg^.g) +
+ M ^ 2 ^^ "^"^2 " '^"S2..3) + 2 Mug^MuSg
(49)
(2-^U8j__2 - 2-rgg^ -
^ ^^h^ + ^h^^ ^^'> [
(" = 4)
Voor n = 5 geldt: o .. 1(°-ut)ii
(qu)'/^Sj(2'^U8j + 2r2g^^^^- 2r2g^^^^ - 2r2g^^^^) +
(50)
+ ^083(2-^USg -^USg
^^''^2..3 ""^2..^
^ ^ ^ i ^ U S 2
( - ê S j - e S 2 - - & j . . 2 - ^ & 3 . , 4 " " " S l „ 3 " " ' 5 2 , , 4 ^ !» ^" = ^^
4.5.3.
Totale kwaliteitsvariaties
oDe variantie (i^ut)ll ^^^ '^^ totale kwaliteitsvariaties van afgevoerde partijen Ut bedraagt:
('^ut)ii=^2,'^L + C^ut)"
jjZ i = i 1
(51)
.2 ,''
Zoals gesteld in 2,3. is er van uitgegaan, dat de kwali-teit xuöi(k) van een partij US,(k) een afwijking vertoont die niet is gecorreleerd met het gewicht zug.(k) van deze partij, noch met het gewicht zjj5.(k) van partijen uit andere klassen. Hoewel de kansverdeling van de kwaliteitsvariaties binnen de toevoerstroom zowel de gewichtsvariaties van de voorraad als de kwaliteitsvariaties binnen een klasse beïnvloedt, mag worden aangenomen, dat o.a. de variërende verblijfstijden het effect van dergelijke correlaties verwaarloosbaar klein maken. De nauw-keurigheid van (o"ut)ji wordt mede bepaald door de grootte van de variatiecoëfficiënt van Zyg , d.w.z, nrjj^./qu.
9 I 9 //
Voor zover de componenten (<^ut)ll ®" ('^Ut)ll '^eide be-trekking hebben op stochastische variabelen die met goede
9
benadering normaal zijn verdeeld, kan ook (f''ut)ll worden be-schouwd als de variantie van een normaal verdeelde stochas-tische variabele. Gunstig in dit opzicht is een grote waarde van n en een kleine waarde van 6g.
4. 6. TOEPASSING OP NORMAAL VERDEELDE KWALITEITSVARIATIES MET NE-GATIEF-EXPONENTIËLE COVARIANTIEPUNCTIE
4.6.1.
Capaciteit van de installatie
Indien de kwaliteitsvariaties van elementen binnen de toevoerstroom de realisatie vormen van een Gaussisch proces, geldt ditzelfde voor de kwaliteitsvariaties van grepen. Neem aan dat de variantie van dit laatste proces 1 is, zodat de kwaliteitsvariaties van grepen standaard-normaal zijn ver-deeld:
1 -% xL
f(XGo) = - ? = ^ e ^^ (52)
^^ / 2 TT
Deze functie is getabelleerd, zie o.a. M o o d (1950) tabel I. De covariantie i/^Gd-(y) van de gewichtsvariaties van twee grepen op afstand y binnen toevoerdeelstroom d^^ kan uit
(25) worden berekend indien de covariantie ^GS('^) ^^^ ^^ kvia.-liteitsvariaties binnen de toevoerstroom bekend is. De geza-menlijke verdeling van de variabelen X Q (y') en XGS(-^'"^^) oP afstand y wordt in dit geval beschreven door de tweedimensio-nale standaard-normale verdeling met correlatiecoëfficiënt 0Gs(y):
1 ^ 05 Vod, ( q a ) ' 0 . 2 a 0.2.4 0 . 2 0 0 . 1 6 0,12 DOS 0.0 4 O n = 2 ^ i = i ; 2 0 1 0 2 0.3 0 4 0.5 0 6 0.7 0 8 0.9
!["Epigrafia giuridica greca e romana", G. I. Luzzatto, Milano 1942 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)