W13. Równania Lagrange'a Plik

1. Równania Lagrange’a

Niech będzie dany zbiór punktów materialnych nazywany układem punktów materialnych.

Jeżeli na układ punktów nie narzucono żadnych ograniczeń, to taki układ nazywamy swobodnym. W praktyce inżynierskiej spotykamy się z zagadnieniami, w których ruch układu punktów materialnych podlega pewnym ograniczeniom, z których wynika, że np. określone punktu układu muszą stale pozostawać na jakiejś powierzchni, krzywej itd. Wówczas układ punktów nazywamy nieswobodnym, a ograniczenia narzucone na układ punktów nazywamy więzami. Ograniczenia te opisują równania więzów, przykładowo , , … , 0 , , … , 0 … … … … , , … , 0 (1)

Rys. 1. Układ punktów materialnych

Zależność (1) to równania więzów narzuconych na układ punktów materialnych. Są to najczęściej występujące w układach technicznych więzy, nazywane więzami geometrycznymi (holonomicznymi), dwustronnymi. Takie więzy narzucają ograniczenia na współrzędne.

Rozważmy układ dwóch punktów materialnych połączonych liną (rys. 2).

Rys. 2. Układ dwóch punktów materialnych połączonych liną

Jeżeli lina łącząca punkty jest napięta, ich współrzędne spełniają następujące równanie

. (2)

Jest to równanie więzów narzuconych na układ dwóch punktów materialnych (lina jest tutaj więzem). Równanie więzów przedstawimy w postaci

czyli

0. (4) Na układ punktów materialnych m1, m2 narzucone są więzy geometryczne

obustronnie niezależne od czasu. Można również na punkty połączone liną narzucić więzy jednostronne (rys. 3), np.

. (5)

Jeżeli np. napięta lina zmienia swoją długość, wówczas l=l(t), gdzie t- czas. Jeżeli w równaniach więzów czas występuje w postaci jawnej, to więzy są niestacjonarne (reonomiczne). Równanie więzów można zapisać w postaci

Rys. 3. Więzy narzucone na układ dwóch punktów materialnych gdy lina nie jest napięta.

, … , , 0 (6) Jeżeli więzy nakładają ograniczenia nie tylko na współrzędne, ale również na prędkości, równanie więzów można zapisać w postaci

, … , , , … , 0 (7)

Takie więzy nazywamy więzami kinematycznymi, albo inaczej nieholonomincznymi (anholonomicznymi).

Równania więzów opisują ruch układu punktów nieswobodnych. Do opisu ruchu układu punktów nieswobodnych można przyjąć tylko pewną ilość współrzędnych niezależnych. Ta ilość współrzędnych to tzw. liczba stopni swobody układu punktów materialnych, którą można określić z zależności

3 (8)

gdzie s – liczba stopni swobody, n – ilość punktów materialnych, 3n – ilość współrzędnych opisujących położenie układu punktów materialnych,

Stopnie swobody to liczba niezależnych współrzędnych, które w sposób jednoznaczny opisują położenie układu. Każda z tych współrzędnych określa niezależnych ruch.

Przykład 1. Dwa punkty materialne m1 i m2 połączone są nierozciągliwą,

napiętą liną, której długość jest stała (l=const.), rys. 4.

Liczbę stopni swobodny określimy korzystając z zależności (8) w następujący sposób

3 ∙ 2 1 5 (9)

Rys. 4. Dwa punkty materialne połączone napiętą liną

gdzie liczba punktów n=2, ilość równań więzów opisujących położenie punktów względem siebie p=1.

1.2. Współrzędne uogólnione

Położenie układu punktów materialnych lub ciał sztywnych będzie jednoznacznie określone, jeżeli podamy współrzędne kartezjańskie wszystkich punktów tworzących układ. Na układ narzucamy więzy ograniczające ruch, czyli narzucamy ograniczenia na odpowiednie współrzędne. Wygodnie jest opisywać położenie układu za pomocą parametrów, które są już między sobą niezależne. Mogą to być wielkości zupełnie dowolne. Takie wielkości niezależne, wybrane w celu opisania położenia układu punktów lub ciał sztywnych, nazywamy współrzędnymi uogólnionymi.

Przykład 3. Opiszemy ruch wahadła matematycznego pokazanego na rys. 5.

Parametryczne równania ruchu wahadła są następujące ∙ cos ,

∙ sin . (10)

Obydwie współrzędne punktu A zależą od kąta obrotu , który jest wielkością niezależną. Przyjmiemy więc, że =q1 – tzw. wsółrzędna

uogólniona. Otrzymamy zatem ,

. (11)

Jeżeli ruch układu opisują współrzędne uogólnione q1, q2, …, qs, to wówczas

̅ ̅ , , … , . (12)

Uwaga

Współrzędne uogólnione mogą być współrzędnymi kątowymi lub współrzędnymi liniowymi:

q1, q2, …, qs – współrzędne uogólnione.

Różniczkując współrzędne uogólnione po czasie otrzymamy prędkości uogólnione:

, , … , – prędkości uogólnione.

Różniczkując prędkości uogólnione otrzymamy przyspieszenia uogólnione: , , … , – prędkości uogólnione.

1.3. Uogólnione przesunięcia wirtualne

Wektor promień opisujący położenie punktu wyrażamy w funkcji współrzędnych uogólnionych

̅ ̅ , , … , . (13)

Równanie (13) różniczkujemy względem czasu

̅ ̅ _∙ ̅ _{∙ ⋯} ̅ _{∙ .}

(14) Prędkość liniowa i-tego punktu wyniesie zatem

̅ ̅ ∙ ̅ ∙ ⋯ ̅ ∙ . (15)

Przesunięcie wirtualne i-tego punktu wyniesie

̅ ̅ ∙ ̅ ∙ ⋯ ̅ ∙ . (16)

∙ ∙ … … … …

∙

(17)

Układ równań (17) to tzw. uogólnione przesunięcia wirtualne układu. Jest ich tyle, ile układ posiada stopni swobody. Porównując zależności (16) i (17), możemy zapisać

1.4. Siły uogólnione

Niech na układ punktów materialnych o s stopniach swobody działa układ sił, jak pokazano na rys. 6.

Siły uogólnione opisuje układ równań

∑ ̅

∑ ̅

… … … …

∑ ̅

(19)

Sił uogólnionych jest tyle, ile układ posiada stopni swobody.

Uwaga. Siły uogólnione zastępują działanie tych wszystkich sił występujących w układzie, które wykonują pracę wirtualną.

1.5. Równania Lagrange’a drugiego rodzaju

Równanie Lagrange’a drugiego rodzaju przyjmuje formę

. (20)

Równanie (20) stosujemy do opisu ruchu układu. Energia kinetyczna układu

E jest funkcją współrzędnych uogólnionych i prędkości uogólnionych

, … , , , … , , (21)

a Qj to siła uogólniona odpowiadająca j-tej współrzędnej uogólnionej. Jeżeli pracę w układzie wykonują tylko siły pola potencjalnego, to wówczas

a równanie Lagrange’a (20) zapiszemy w formie

0. (23)

Wprowadzając pojęcie tzw. funkcji Lagrange’a

, (24)

możemy równanie Lagrange’a (20) przedstawić w innej postaci. Równanie (24) to tzw. potencjał kinetyczny. Korzystając z potencjału kinetycznego (24) równanie Lagrange’a można zapisać w postaci

0, (25)