Widok U źródeł logiki trójwartościowej

(1)

Filozofia Nauki

Rok li, 1994, N r3-4(7-8)

ARCHIWUM

Jan Lukasiewicz, Franciszek Smolka, Stanisław Leśniewski

et al.

U źródeł logiki trójwartościowej

Głównego tekstu, który poniżej przypominamy, nie ma na liście prac Jana Łukasie- wicza, zamieszczonej w jego pismach wybranych Z zagadnień logiki i filo zo fii (PWN, Warszawa 1961). Nie wspomina o nim także Jan Woleński — ani w swej podstawowej monografii o Filozoficznej Szkole Lwowsko-Warszawskiej (PWN, Warszawa 1985), ani we wstępach do wznowienia rozprawy Łukasiewicza O zasadzie sprzeczności u Arystotelesa (PWN, Warszawa 1987) i do przekładu polskiego Sylogistyki Arystotelesa z pu n ktu widzenia współczesnej logiki form a lnej (PWN, Warszawa 1988). Stało się tak być może dlatego, że tekst ten ukazał się w 1939 roku (Nauka Polska, XXIV, 1939, s. 215-223) — i umknął uwadze także ówczesnych czytełników: nadciągała wtedy z Za-chodu i WsZa-chodu burza, która nie tylko odebrała niepodległość Państwu, lecz i obróciła vw trudną do odbudowania ruinę jego intelektualne fundamenty.

Streszczenie referatu Łukasiewicza „Geneza logiki trójwartościowej" (i dyskusji wokół tego referatu) poprzedzamy przedrukiem streszczenia odczytów Łukasiewicza „ O wartościach logicznych” (Ruch Filozoficzny, I, 1910/1911, 3, s. 52), „Zagadnienie praw dy" (tamże, 8, s. 161-162) i „Nowa teoria prawdopodobieństwa" (Ruch Filozo-ficzny, III, 1913, 2, s. 22b), dwóch cytowanych w „Genezie logiki trójwartościowej”,

(2)

228 Jan Lukasiewicz et al.

także trudno dostępnych, autoreferatów „O pojęciu możliwości” i „O logice trójwar-tościowej” (Ruch Filozoficzny, V, 1919/1920, 9, s. 169a-171a), a także streszczenie wiążącego się z nimi referatu Franciszka Smolki „Paradoksy logiczne a logika trójwar-tościowa" (tamże, s. 171a-171b).

Wspólny tytuł tych tekstów — oraz wszystkie przypisy i wstawki w nawiasach kwa-dratowych — pochodzą od nas.

Dziękujemy Redakcjom N auki Polskiej i Ruchu Filozoficznego za uprzejmą zgodę na przedruk

Redakcja 1. Jan Lukasiewicz

O w artościach logicznych (1910)

Wartościami logicznymi prelegent nazywa prawdziwość, fałszywość i prawdopodo-bieństwo. Wartości logiczne są wielkościami i można je obliczać. Prelegent przedstawił swój pogląd na istotę sądów prawdopodobnych i podał odkryte przez siebie prawo wartości logicznych: „Wartość logiczna racji nie może być większa od wartości logicz-nej następstwa” .

2. Jan Lukasiewicz Zagadnienie praw dy (1911)

[Referent] poruszył trzy punkty zagadnienia: pojęcie prawdy, kryterium prawdy, stosunek prawdy do nauki. Przez prawdę rozumie referent sąd, który odtwarza fakty istnienia lub nieistnienia. Żadnego kryterium prawdy nie można udowodnić. Nie wszystkie prawdy należą do nauki, lecz tylko te, które powiązane stosunkami logiczny-mi tworzą syntezy naukowe.

3. Jan Lukasiewicz

Nowa teoria praw dopodobieństw a (1912)

Prelegent poddał krytyce obiektywne i subiektywne teorie, odpowiadające na pyta-nie, czym jest prawdopodobieństwo i czym się mierzy, po czym wyłożył podstawy własnych w tych kwestiach poglądów, zaznajomiwszy słuchaczów uprzednio z pojęciem sądu nieokreślonego (zawierającego termin zmienny, np. ,jc jest czło-wiekiem” , i zmiennej logicznej (owo właśnie *). Sąd taki reprezentuje grupę sądów, jakie otrzymujemy wstawiając zamiast x pewną jego wartość (np. w powyższym sądzie „x jest człowiekiem” — pewne indywiduum ludzkie). Każdy z tych otrzymanych sądów jest albo prawdziwy, albo fałszywy (a więc nie jest prawdopodobny), sam sąd nieokreślony jednak może być albo prawdziwy — gdy wszystkie podstawienia za x dadzą sądy prawdziwe, albo fałszywy — gdy wszystkie podstawienia dają sądy fałszywe, albo też ani prawdziwy, ani fałszywy — gdy niektóre tylko podstawienia dają prawdę, inne fałsz. Prawdopodobnym może być tylko sąd nieokreślony; stopień jego

(3)

U iródeł logiki trójwartościowej 229 prawdopodobieństwa mierzy się stosunkiem podstawień za zmienną, sprawdzających sąd, dających prawdę, do wszystkich podstawień. Stopień prawdopodobieństwa sądu nieokreślonego jest jego wartością logiczną. Wahać się ona może od 0 (sąd fałfszywy]) do 1 (sąd prawdz[iwy]) poprzez ułamki (sąd prawdopodobny). Prelegent demonstruje szereg praw, tyczących się rachowania wartościami logicznymi. Wiele z tych praw okazuje się znanymi prawami teorii prawdopodobieństwa (zas[ada] praw dopodo-bieństwa] prostego, złożonego).

4. Jan Lukasiewicz O pojęciu możliwości (1920)

Analizę logiczną pojęcia możliwości prelegent oparł na zbadaniu związków logicz-nych, zachodzących wśród grupy następujących 6-ciu zdań: S jest P, S nie jest P, S może być P, S nie może być P, S może nie być P, S nie może nie być (czyli musi być) P. W sprawie związków logicznych, zachodzących wśród tych zdań, możliwe są trzy poglądy.

(1) Jeżeli prawdą jest, że S musi być P, to prawdą jest, że S jest P, i jeżeli prawdą jest, że 5 nie może być P, to prawdą jest że S nie jest P. Przyjmując, że wśród danych zdań obok tych związków nie zachodzą żadne inne, od nich niezależne, stoimy na stanowisku logiki tradycyjnej.

(2) Obok związków, wymienionych pod (1), zachodzą jeszcze następujące: Jeżeli prawdą jest, że S jest P, to prawdą jest, że S musi być P, i jeżeli prawdą jest, że S nie jest P, to prawdą jest, że S nie może być P. Pogląd ten muszą przyjąć ci, którzy za niemożliwe uważają to, co zawiera sprzeczność, a za konieczne to, czego zaprzeczenie zawiera sprzeczność (Leibniz). Pogląd ten odpowiada ontologicznemu determ ini- zmowi.

(3) Obok związków, wymienionych pod (1), zachodzą jeszcze następujące: Jeżeli prawdą jest, że S może być P, to prawdą jest, że S może nie być S, i na odwrót, jeżeli prawdą jest, że S może nie być P, to prawdą jest, że S może być P. Pogląd ten odpowiada ontologicznemu determinizmowi i wyznają go ci, którzy przyjmują pojęcie «czystej» czyli «obustronnej» możliwości, według której tylko to być m o ż e , co n ie m u si być (Arystoteles).

Wszystkie te trzy rodzaje związków posiadają, zdaniem prelegenta, znaczną oczy-wistość, jakkolwiek wzięte razem, prowadzą do licznych sprzeczności. Sprzeczności te uwidocznia tabelka (0 znaczy fałsz, 1 [— ] prawda):

(4)

230 Jan Lukasiewicz et aL

•Sjest/1 0 1 ___

S nie iest P 1 0 —

S może być P 0 — ₁

S nie może być P 1 — 0

S może nie być P — 0 1

S nie może nie być P — 1 0

Tabelka ta jest tak ułożona, że wszystkie związki, wyliczone pod (1), (2) i (3), są spełnione; w miejscach pustych, zaznaczonych kreskami, nie można jednak położyć ani 0, ani 1, bo w obu razach powstaje sprzeczność. (Np. w pierwszej kolumnie jeżeli >yS może nie być F ' jest 0, to ,JS nie może nie być P ' jest 1, a wtedy na mocy związku 1-go i ,JS jest P, które tu jest 0, musiałoby być 1; jeżeli zaś ,JS może nie być F ’jest 1, to na mocy związku 3-go i może być F \ które tu jest 0, musiałoby być 1.) Sprzeczności te można usunąć, przyjmując, że obok prawdy i fałszu istnieje trzecia jeszcze wartość logiczna zdań. Tę trzecią wartość prelegent nazywa „możliwością” i oznacza cyfrą 2. Rozróżnia więc obok zdań prawdziwych i fałszywych i takie zdania, które nie są ani prawdziwe, ani fałszywe, lecz tylko «możliwe». Zapełniając w tabelce miejsca puste «dwójkami», otrzymujemy całość prawidłową i niesprzeczną. Atoli stoimy już wów-czas nie na gruncie logiki arystotelesowej, lecz mamy przed sobą jakąś nową logikę, nie arystotelesową, którą by można nazwać „logiką trójwartościową”.

5. Jan Lukasiewicz O logice trójw artościow ej (1920)

Logika Arystotelesa, przyjmując, że każde zdanie jest albo prawdziwe, albo fałszywe, odróżnia tylko dwa rodzaje wartości logicznych, prawdę i fałsz. Oznaczając prawdę przez 1, fałsz przez 0, tożsamość przez =, a wynikanie pizez <, można wszys-tkie prawa logiki arystotelesowej wyprowadzić z następujących zasad i definicji:

(I) Zasady tożsamości fałszu, tożsamości prawdy oraz różności prawdy i fałszu:

(0 = 0)= 1, (1 = 1)= 1, (0 = 1) = (1 = 0) = 0.

(Π) Zasady wynikania: (0 < 0) = (0 < 1) = (1 < 1) = 1, (1 < 0) = 0.

(Ш) Definicje zaprzeczania, dodawania i mnożenia: a' = (a < 0), a + b = [(a < b) < b], ab = (a + b')’.

W definicjach tych a i b są to zmienne, mogące przybierać tylko dwie wartości, 0 lub 1. Wszystkie prawa logiczne, wyrażone w zmiennych, można sprawdzać, podsta-wiając w miejsce liter znaki 0 lub 1; np.: (a = 1) = a jest prawdą, bo (0 = 1) = 0 i

(1 = 1) = 1·

Logika trójwartościowa jest systemem logiki niearystotelesowej, przyjmuje bo-wiem, że oprócz zdań prawdziwych i fałszywych istnieją jeszcze zdania, które nie są ani prawdziwe, ani fałszywe, a więc, że istnieje jeszcze trzecia wartość logiczna. Tę trzecią wartość interpretować 'możemy jako «możliwość», a oznaczyć możemy ją przez

(5)

U iródel logiki trójwartościowej 231 2. Chcąc stworzyć system logiki trójwartościowej, trzeba uzupełnić zasady, dotyczące 0 i 1, przez zasady, dotyczące 2. Można to uczynić w rozmaity sposób; system, który prelegent przyjmuje w obecnej fazie swych badań, a który najmniej odbiega od logiki «dwuwartościowej», jest następujący.

(I) Zasady tożsamości: (0 = 2) = (2 = 0) = (1 = 2) = (2 = 1) = 2, (2 = 2) = 1. (П) Zasady wynikania: (0 < 2) = (2 < 1) = (2 < 2) = 1), (2 < 0) = (1 < 2) = 2. Wymienione powyżej zasady, dotyczące O i l , oraz definicje zaprzeczania, dodawa-nia i mnożedodawa-nia pozostają w logice trójwartościowej bez zmiany, z tą różnicą, że zmien-ne a i b mogą przybierać trzy wartości, 0 ,1 i 2.

Prawa logiki trójwartościowej są w części różne od praw logiki dwuwartościowej. Niektóre prawa logiki arystotelesowej są w logice trójwartościowej tylko «możliwe», jak np. zasada sylogizmu w sformułowaniu zwyczajnym: (a < b) (b < c) < (a < c) {prawdziwa jest natomiast zasada sylogizmu w sformułowaniu (a < b) < [(b < c) < (a < c)]}, zasada sprzeczności aa = 0, wyłączonego środka a + a' = 1, itd. Niektóre prawa logiki dwuwartościowej są w logice trójwartościowej fałszywe, między innymi prawo: (a = a') = 0, albowiem dla a = 2, zdanie a = a 'je s t prawdą. Fakt ten sprawia, że w logice trójwartościowej nie istnieją antynomie.

Prelegent sądzi, że logika trójwartościowa ma przede wszystkim znaczenie teore-tyczne jako pierwsza próba stworzenia systemu logiki niearystotelesowej. Czy i jakie znaczenie praktyczne posiadać będzie ten nowy system logiki, to okaże się dopiero wtedy, gdy w świetle nowych praw logicznych przeprowadzone zostanie dokładne zbadanie zjawisk logicznych, występujących zwłaszcza w naukach dedukcyjnych, i gdy będzie można porównać z doświadczeniem konsekwencje indeterministycznego po-glądu na świat, będącego metafizycznym podłożem nowej logiki.

6. Franciszek Smolka

Paradoksy logiczne a logika trójwartościowa (1920)

Prelegent sądzi, że nie ma jeszcze warunków, aby można było obok logiki dwuwar-tościowej postawić nowy trójwartościowy system logiki. Koniecznym do tego byłoby okazać, że istnieją zdania, które wbrew zasadzie wyłączonego środka nie są ani praw-dziwe, ani fałszywe, a mimo to posiadają pewną wartość logiczną. Tzw. «zdania możli-we», którym prof. Lukasiewicz taką trzecią wartość logiczną przypisuje, warunku tego nie spełniają, gdyż są zawsze albo prawdziwe, albo fałszywe. Z tego powodu można idei logiki trójwartościowej przyznać jedynie znaczenie problemu, domagającego się dopiero rozwiązania. Jako problem zaś logika trójwartościowa wchodzi w szczególnie bliski stosunek do problemu paradoksów logicznych. Paradoksy logiczne bowiem pole-gają na rzekomo wolnej od zarzutu konstrukcji pewnych przedmiotów takich, iż można o nich orzec dwa sądy sprzeczne a równoważne. Kto więc ufa prawidłowości konstruk-cji paradoksów i dowodowi równoważności sprzecznych sądów paradoksalnych, ten może przypuścić, że oba takie zdania nie są ani prawdziwe, ani fałszywe, lecz posiadają

(6)

ową postulowaną przez logikę trójwartościową trzecią wartość logiczną. W ten sposób można by uważać oba problemy za rozwiązane: zdaniom paradoksalnym przyznałoby się trzecią wartość logiczną, a z drugiej strony okazałoby się, że istnieją zdania, które tę wartość logiczną posiadają.

Prelegent przestrzega przed takim zbyt łatwym załatwieniem się z tymi tak doniosłymi problemami logicznymi i stawia tezę wprost przeciwną [— ] zupełnej nieza-leżności obu problemów. W celu udowodnienia tej tezy podaje próbę rozwiązania paradoksów logicznych na przykładzie paradoksu zbiorów, wykazującą, że konstrukcja przedmiotu paradoksalnego nie jest prawidłowa, bo opiera się na mylnym uważaniu pewnej zmiennej za stałą. W ten sposób nie tylko tzw. przedmioty paradoksalne tracą byt logiczny, lecz i sprzeczne zdania paradoksalne nie są już równoważne. Przechodząc z kolei do problemu logiki trójwartościowej, podaje prelegent nową koncepcję trzeciej wartości logicznej, przyznając ją zdaniom nieokreślonym takim, jak ,A stoi” , gdzie czas nie jest określony. Takich nieokreślonych wartości funkcji zdaniowej „A stoi w czasie tx \ które staję się zdaniami prawdziwymi lub fałszywymi, gdy się zmienną tx zastąpi jakąś jej określoną wartością i*, nie uważano dotychczas za zdania w znaczeniu logicznym. Rozszerzając system logiki przez przyjęcie doń trzeciej wartości logicznej, możemy tak uogólnić pojęcie zdnia, aby zakres jego obejmował także podobne nie-określone wartości funkcji zdaniowej.

W dyskusji zabierali głos p. [Kazimierz] Ajdukiewicz, [Tadeusz] Czeżowski, [Jan] Lukasiewicz, [Kazimierz] Twardowski i prelegent.

7. Jan Lukasiewicz Geneza logiki trójwartościowej (1938)

Trójwartościowy rachunek zdań prelegent stworzył jeszcze przed rokiem 1920, ale dopiero w tym roku przedstawił publicznie po raz pierwszy poglądy swe na ten temat w dwóch odczytach, wygłoszonych w Polskim Towarzystwie Filozoficznym we Lwowie. Autoreferaty z tych odczytów pojawiły się w Ruchu Filozoficznym, t. V, s. 169a-171a, Lwów 1920. Jest to najwcześniejsza publikacja z zakresu logiki wielowartościowej.

Powstanie logiki wielowartościowej posiada, zdaniem prelegenta, dla nauki i filozo-fii nierównie większe znaczenie, niż analogiczne zjawisko powstania geometrii nieeu-klidesowej. O tym, że mogą istnieć różne i niezgodne z sobą systemy logiki, nikt przed powstaniem logiki wielowartościowej nie myślał, a nawet myśl taka mogła się wyda-wać paradoksalną. Zdawało się wszystkim, że zasadnicze prawa myślenia zostały raz na zawsze ustalone przez Arystotelesa, i na nich opierać się musi cała logika, którą można tylko w różnych kierunkach rozbudowywać. Tymczasem okazało się, że można tworzyć wiele systemów logicznych, konsekwentnych w sobie i niesprzecznych, które nie tylko są od siebie różne, ale nie dają się do siebie sprowadzić. Każda taka logika może być podstawą innej nieco matematyki, a każda taka matematyka podstawą innej

(7)

U źródeł logiki trójwartościowej 233 nieco fizyki. Możliwe są zatem różne i nierównoważne sobie sposoby ujmowania rzeczywistości. Wobec tak wielkiej wagi logiki wielowartościowej dla nauki, zdawało się prelegentowi, że i naukoznawstwo powinno zainteresować się tym tematem, zwłaszcza zaś genezą najprostszego z wielowartościowych systemów logiki, to znaczy trójwartościowego rachunku zdań.

Do utworzenia tego systemu prelegent doszedł przez szczęśliwe skojarzenie dwóch myśli, z których pierwszą zawdzięcza studiowaniu współczesnej logiki matematycznej, drugą zaś swym badaniom nad historią logiki starożytnej.

Twórcą współczesnej logiki zdań był genialny logik niemiecki Gottlob Frege. Frege nie znał jednakowoż tak zwanej matrycowej metody sprawdzania tez logicznych, której odkrycie przypisać należy znakomitemu logikowi amerykańskiemu Karolowi Peirce’o- wi. Metoda ta polega na tej podstawowej myśli, że w logice nie chodzi nam o treść zdań, połączonych związkami logicznymi, lecz o ich wartość logiczną. Przyjmujemy zaś od czasów Arystotelesa i stoików, że istnieją dwie i tylko dwie wartości logiczne, prawda i fałsz. Każde bowiem zdanie jest albo prawdziwe, albo fałszywe. Dlatego też logika klasyczna zowie się logiką dwuwartościową. W rachunku zdań przyjmujemy tylko tak zwane «prawdziwościowe» funkcje logiczne, to znaczy takie funkcje, których wartość logiczna zależy wyłącznie od wartości logicznej argumentów. Ponieważ w logice klasycznej istnieją tylko dwie wartości logiczne, przeto każdą funkcję logiczną możemy w tej logice bardzo łatwo zdefiniować. Tak np., oznaczając prawdę przez „1” a fałsz przez „0” , możemy negację czyli wyrażenie „nieprawda, że p” (piszę „Np”) zdefiniować przy pomocy następujących dwóch równości:

N1 = 0 , M )= 1.

To znaczy: Zaprzeczenie prawdy jest fałszem, a zaprzeczenie fałszu jest prawdą. Implikację, czyli wyrażenie ,jeśli p, to q” (piszę „Cpq”), możemy zdefiniować za pomocą następujących czterech równości:

C li = 1, C10 = 0, 0 )1 = 1, C 00= 1.

To znaczy: Implikacja jest wtedy i tylko wtedy prawdziwa, gdy albo poprzednik jej jest fałszywy albo następnik prawdziwy, fałszywa zaś jest tylko w tym przypadku, gdy poprzednik jej jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Takie pojęcie implikacji znane już było w starożytności Filonowi Megarejczykowi i stoikom. Otóż zbiór tych sześciu równości stanowi matrycę rachunku zdań, opartego na implikacji i negacji jako wyra-zach pierwotnych. Każdą tezę logiczną, w której występuje tylko implikacja i negacja, można z łatwością sprawdzić na podstawie tych równości. Trzeba tylko za zmienne podstawić jedynki i zera we wszystkich możliwych kombinacjach i zredukować otrzy-mane wyrażenia na podstawie matrycy; jeśli dane wyrażenie jest tezą, to musimy zawsze po redukcji otrzymać jedynkę, jeśli zaś choć raz jeden otrzymamy zero, to wyrażenie nie jest tezą. Tak np. wyrażenie „Cpp” jest tezą, bo zarówno COO = 1 jak i C li = 1. Tak samo wyrażenie „CCNppp” jest tezą, bo zarówno ССМЮО = CC100 = COO = 1, jak [i] CCNl 11 = CC011 = C li = 1. Natomiast wyrażenie „CCpqCqp” nie jest tezą, bo d lap = O i q = 1 otrzymujemy CC01 CIO = CIO = 0.

(8)

Gdy prelegent zapoznał się przed wojną1 z tą matrycową metodą sprawdzania tez, zdawało mu się, że odsłoniły mu się jakieś zakulisowe przyczyny, od których zależy prawdziwość tez logiki zdań. I wtedy to po raz pierwszy powstała w nim myśl nowa, a wysoce niepokojąca: co by było, gdybyśmy przyjęli, że mamy nie dwie wartości logicz-ne, ale więcej, np. trzy wartości? Co by się stało, gdybyśmy do wartości 1 i 0 dołączyli jakąś trzecią wartość logiczną, np. 2, i uzupełnili matrycę przez dodanie równości, zawierających dwójkę? Czy i wtedy utrzymałyby się wszystkie prawa logiczne? Już pobieżne zbadanie tej myśli doprowadziło do wyniku, że nie wszystkie prawa logiki dwuwartościowej musiałyby pozostać w mocy. Gdybyśmy bowiem przyjęli dodatkowo choćby te trzy równości:

N2 = 2, C22 = 1 i C12 = 2,

to teza CCNppp przestałaby być prawdziwa. Dla p = 2 otrzymalibyśmy bowiem z tej tezy: CC7V222 = CC222 = C12 = 2. To ważne prawo logiczne, o którym [Giovanni] Vailati napisał osobną monografię , nie byłoby ważne i wszelkie dowody, oparte na tym prawie, byłyby nieprzekonywające.

Myśl ta była istotnie niepokojąca. Ale czyż jest sens przyjmować obok prawdy i fałszu jakąś trzecią wartość logiczną? Czy można znaleźć dla tej trzeciej wartości jakąś interpretację intuicyjną? Czy istnieją zdania w znaczeniu logicznym, które nie są ani prawdziwe, ani fałszywe?

I tutaj nasunęła się myśl druga. Gdyby tej drugiej myśli nie było, gdyby nie istniał choćby cień możliwości, że ta trzecia wartość da się jakoś zinterpretować intuicyjnie, to logika trójwartościowa byłaby prawdopodobnie nie powstała. Autor byłby zarzucił pomysł, który by nie miał sensu. Tymczasem znalazła się na szczęście możliwość interpretacji. Znalazła się u samego Arystotelesa.

W dziewiątym rozdziale Hermeneutyki Arystoteles zastanawia się nad zagadnie-niem przypadkowych zdarzeń przyszłych i rozwija tam pewne rozważania, których echa odbiły się poprzez wieki. Arystoteles jest indeterministą i przyjmuje, że mogą istnieć zdarzenia przyszłe, które dziś jeszcze nie są zdeterminowane. Przypuśćmy, że takim zdarzeniem jest jutrzejsza bitwa morska. Zakładamy więc, że nie jest dziś jeszcze rzeczą ustaloną, czy jutro odbędzie się bitwa morska, czy też nie odbędzie się. Mówimy w takich razach w życiu potocznym: może być, iż jutro odbędzie się bitwa morska, ale może też być, że jutro nie odbędzie się bitwa morska. Otóż, powiada dalej Arystoteles, gdybyśmy przyjęli, że każde zdanie jest już dziś prawdziwe lub fałszywe, to musieli-byśmy zgodzić się na to, że bitwa morska jutro albo odbyć się musi, albo odbyć się nie może. Bo jeśli już dzisiaj jest prawdą, że jutro odbędzie się bitwa morska, to fakt ten jutro stać się musi, a jeśli już dzisiaj jest fałszem, że jutro odbędzie się bitwa morska, to fakt ten jutro stać sie nie może. Tak więc trzeba by przyjąć, że o ile jutrzejsza bitwa

1 Chodzi oczywiści o I wojnę światową.

2 Por.: Giovanni Vailati, „A proposition d ’un passo del Teereto e di una dimonstrazione di Euclide”, [w:] Scritti, Seeber-Barth, Firenze-Lipsia 1911, s. 516-527.

(9)

U źródeł logiki trójwartościowej 235 morska jest zdarzeniem przypadkowym i odbycie się jej czy nieodbycie nie jest dziś jeszcze ustalone, to zdanie o tej jutrzejszej bitwie morskiej nie może być dzisiaj ani prawdziwe ani fałszywe.

To rozważanie Arystotelesa przypomniał sobie autor i natchnęło go ono wiarą, iż przyjmowanie zdań, mających jakąś trzecią wartość logiczną, nie jest pozbawione sensu, a może się przydać do zbadania pojęć konieczności i możliwości, i do stworzenia jakiejś racjonalnej logiki tak zwanych zdań modalnych. Kierując się pewnymi

intuicja-mi z dziedziny zdań modalnych, prelegent uzupełnił matrycę dwuwartościową przez dodanie równości, dotyczących dwójki, i zrobił to w następujący sposób:

N2 = 2, C12 = 2, C02 = 1, C21 = 1, C20 = 2, C22 = 1.

W ten sposób powstał pierwszy system logiki trójwartościowej, ogłoszony w roku 1920.

Od tego czasu minęło lat kilkanaście. Uczniowie prelegenta dr [Adam] Wajsberg, dr [Bolesław] Sobociński i mgr [Jerzy] Słupecki posunęli dalej badania nad logiką trój- i wielowartościową. Jeśli chodzi w szczególności o systemy trójwartościowego rachunku zdań, to umiemy już dzisiaj systemy te przedstawiać nie tylko w formie matrycowej, ale i aksjomatycznej. Umiemy tworzyć pełne systemy tych logik, w których każda możliwa w tych systemach funkcja logiczna może być zdefiniowana. Wiemy, że istnieje kilka typów logiki trójwartościowej. Rozwinęła się nowa dziedzina badań, których końca nie można przewidzieć. Powstały też nowe możliwości intuicyjnego interpretowania tych logik. Przyszłe lata okażą, w jakim stopniu spełnią się nadzieje, które autor przywiązuje do logiki wielowartościowej.

j·* *

Lista obecnych [— ] 36 osób. W dyskusji brało udział 8 osób. Przewodniczyć] prof. Cz[esław] Białobrzeski.

8. Stanisław Leśniewski, Jan Blaton, Piotr Chojnacki, Aleksander Jabłoński, Stanisław Mrozowski, Czesław Białobrzeski, Adam Krokiewicz, Artur Górski,

Jan Lukasiewicz

Dyskusja wokół „Genezy logiki trójwartościowej” (1938)

Prof. S[tanisław] Leśniewski zajmuje w swoim przemówieniu w stosunku do «logi-ki trójwartościowej» prof. Łukasiewicza, jak i w stosunku do wszel«logi-kich innych «logik wielowartościowych», stanowisko negatywne. Występującemu w matrycy «logiki trój-wartościowej» symbolowi „2” nikt nie nadał dotąd, zdaniem mówcy, żadnego zrozumiałego sensu, który by mógł stanowić podstawę do tej czy innej «rzeczywis- tościowej» interpretacji tej «logiki». Mówca ocenia w tych warunkach ujemnie wszel-kie w ogóle próby rozwiązywania jakichś zagadnień naukowych w oparciu o «logikę trójwartościową» zamiast o nie nastręczający w przeciwstawieniu do niej żadnych interpretacyjnych wątpliwości zwykły «dwuwartościowy» rachunek zdań. M ówca nie spotkał się nigdy w nauce z żadną taką sytuacją, która by się domagała uzupełnienia

(10)

tego zwykłego rachunku zdań przez wprowadzenie do rozważań jakiejś trzeciej jeszcze «wartości logicznej». Nie stanowi pod tym względem specyficznego wyjątku i wzmian-kowane przez profesora Łukasiewicza w jego odczycie nieprzekony wąjące rozumowa-nie Arystotelesa na temat przypadkowych zjawisk przyszłych, rozumowarozumowa-nie, które daje się zresztą, jak to zauważył mówca, zrekonstruować w formie zupełnie analogicznej, choć równie mało przekonywającej, i w zastosowaniu do zjawisk przeszłych i teraźniej-szych. Nawiązująca do Arystotelesa, stanowiąca zaś zgodnie z oświadczeniem prele-genta jeden z zasadniczych czynników w genezie «logiki trójwartościowej» koncepcja zdań, które, nie będąc w jakiejś chwili zdaniami prawdziwymi ani fałszywymi, stają się zdaniami prawdziwymi lub fałszywymi w pewnej chwili późniejszej, choć nie zawie-rają w sobie bynajmniej wyrazów «okolicznościowych» pod względem czasowym, nastręcza, zdaniem mówcy, poza zasadniczym szkopułem braku należytej jasności co do logicznego charakteru tych zdań dodatkową jeszcze trudność, wypływającą na grun-cie omawianej koncepcji z narzucającej się potrzeby wyraźnego wprowadzenia do rozważań nad «wartościami logicznymi» zdań jakiegoś dopasowanego do tej koncepcji «parametru» czasowego wraz z jakimś kodeksem rządzących tym «parametrem» czaso-wym praw — czego nikt dotąd jeszcze nie uczynił. Zgodnie z ogólnym swoim stano-wiskiem w stosunku do «logiki trójwartościowej» mówca skłonny jest do mniemania, że nie prowadzi ona w szczególności do wyklarowania i zanalizowania tych czy innych w utartych formach języka potocznego przez tradycję nam przekazanych zagadnień, dotyczących «możliwości» czy «konieczności», zagadnień, w których wyrażenia typu „możliwe, że p” i wyrażenia pokrewne stanowią, jak się to zresztą między innymi dzieje i na gruncie zawierających takie wyrażenia przykładów z publikacji prof. Łuka-siewicza, typowe okazy tzw. funkcji intensjonalnych. M ówca nie zna — wobec nieist-nienia na świecie jakiegoś zadowalającego pod względem intuicyjnym i formalnym systemu «logiki intensjonalnej» — żadnej skutecznej metody rozsądnego interpretowa-nia i logicznego «opanowywainterpretowa-nia» wzmiankowanych «funkcji intensjonalnych» poza metodą ich «dezintensjonalizacji», polegającej na przyporządkowywaniu im posiadają-cych ten sam sens wyrażeń, które są już zbudowane na zasadach konsekwentnie «ekstensjonalistycznych» i dają się bez żadnych dalszych komplikacji rozważać na gruncie normalnej «ekstensjonalistycznej» i «dwuwartościowej» logiki. M ówca nad-mienia, że jego koncepcja «dezintensjonalizacji» tzw. funkcji intensjonalnych bywa przez niego od wielu już lat szczegółowo rozwijana w różnych jego wykładach, i zwraca jednocześnie uwagę na zbliżoną do tej koncepcji pod względem zasadniczej idei koncepcję R[udolfa] Carnapa, ogłoszoną przez niego ostatnio w Logische Syntax der Sprache, koncepcję, która jest zresztą, zdaniem mówcy, w pewnych swych istot-nych szczegółach zupełnie nietrafna i prowadzi do nie dających się utrzymać teoretycz-nych konsekwencji. W zakończeniu swego przemówienia mówca analizuje szkicowo z punktu widzenia «dezintensjonalizacji» «funkcji intensjonalnych» wyrażenia typu „możliwe, że p” i stwierdza w wyniku tej analizy brak jakichkolwiek niepokojących

(11)

U źródeł logiki trójwartościowej 237

aporii, które by tu mogły przemawiać za potrzebą poszukiwania jakiejś nowej logiki dla ich usunięcia.

Dyr. J[an] Blaton zapytuje, jakie argumenty przemawiały za wypełnieniem pustych miejsc w matrycy 1, 0 albo 2?

Ks. prof. Pfiotr] Chojnacki4 wyraża przypuszczenie, że prelegent przy budowaniu logiki trójwartościowej interesował się przede wszystkim różnymi możliwościami kon-strukcyjnymi, mniej zaś ich interpretacją «rzeczywistościową», chociaż i ta sprawa nie była wcale obojętna.

Doc. Aleksander] Jabłoński5 [przypomina, że] zjawiskami w świecie mikroskopo-wym rządzą, zgodnie z obecnie panującymi w fizyce poglądami, jedynie prawa statys-tyczne. W związku z tym możemy opisywać świat mikroskopowy używając do opisu tych samych wielkości fizycznych, które używane są do opisu «klasycznego obrazu wszechświata», jedynie pod warunkiem, że każdej wielkości przypiszemy pewną «nie-ostrość» (= niedokładność nie związaną z niedoskonałością przyrządów pomiarowych). Zdań orzekających, że pewna wielkość posiada pewną określoną wartość (zdania takie są powszechnie używane w naukach przyrodniczych), nie możemy więc uznać za zdania prawdziwe absolutnie, tzn. przypisać im wartość 1. Nie chcąc się znaleźć w tak przykrej sytuacji, aby uznać, że ścisłe nauki przyrodnicze posługują się prawie wyłącznie zdaniami fałszywymi, należałoby zdania takie zaliczyć do kategorii zdań, które nie są prawdziwymi (absolutnie!) ani fałszywymi. Tutaj właśnie mogłaby może mieć zastosowanie logika wielowartościowa. M ożna by może wprowadzić continuum wartości od 0 do 1, odpowiadających różnym prawdopodobieństwom realizacji treści tych zdań w odpowiednio dobranych doświadczeniach, chociażby tylko myślowych. Wartość 1, odpowiadająca pewności, nie miałaby właściwie zastosowania w tego typu zdaniach.

Doc. St[anisław] Mrozowski6 wyraża przypuszczenie, że zarówno prelegent, jak i prof. Leśniewski, kierują się pewną koncepcją prawdziwości i fałszywości, zgodnie z którą zdanie jest prawdziwe lub fałszywe niezależnie od naszej wiedzy o tym, o czym to zdanie mówi.

Dyr. J. Blaton uważa, że posługiwać się tu pojęciem prawdopodobieństwa byłoby niebezpiecznie. Prawdopodobieństwo odnoszące się do indywidualnego wypadku, z którym mamy do czynienia w życiu potocznym, nie jest pojęciem naukowym. W nauce posługiwać się można tym pojęciem tylko w odniesieniu do pewnego kolektywu.

3 Jan Blaton (1907-1948), fizyk, dyrektor Państwowego Instytutu M eteorologicznego.

4 Ks. Piotr Chojnacki (1897-1969), filozof, profesor filozofii chrześcijańskiej w Uniw ersytecie W arsza-wskim.

^ Aleksander Jabłoński (1898-1980), fizyk, późniejszy profesor Uniwersytetu M ikołaja Kopernika w T oru-niu.

(12)

Prof. C[zesław] Białobrzeski zaznacza, w związku z uwagą przedmówcy, że w fizyce współczesnej pojęcie prawdopodobieństwa nie jest koniecznie związane z ja -kimś kolektywem.

Prof. A[dam] Krokiewicz7 zwraca uwagę, że pewną analogię do «matrycy» Peirce’a stanowi sposób, w jaki Filon (dialektyk) określał «wynikanie». Filon uwydatniał mia-nowicie okoliczność, że podczas gdy prawda może wynikać bądź z prawdy, bądź z fałszu, to fałsz nie może nigdy wynikać z prawdy, lecz zawsze tylko z fałszu; Filon określał zatem «wynikanie» ze stanowiska, uwzględniającego jednocześnie prawdę i fałsz. Mówca przytacza następnie różne pojęcia możliwości u filozofów starożytnych (Diodora Kronosa, Arystotelesa, Epikura i Chryzypa), po czym przypomina, że stoicy dzielili pytania, które uważali za wypowiedzi, nie będące ani prawdziwymi, ani fałszywymi, na pytania - ερω τχμ α τα i pytania - π υ σ μ α τα . Na pierwsze można było odpowiedzieć „tak” resp. „nie” (np. na pytanie „czy jest dzień?”), na drugie trzeba było odpowiedzieć inaczej (np. na pytanie „gdzie mieszka Dion?”). Pierwsze i drugie pyta-nia stanowią dwie różne grupy, nie leżące na jednej płaszczyźnie. Mówca pyta, czy logika trójwartościowa nie ma «dwupiętrowego», żeby tak powiedzieć, charakteru, tzn. że «sądy ani prawdziwe, ani fałszywe» nie leżą na tej samej płaszczyźnie, co «sądy albo prawdziwe, albo fałszywe», lecz stanowią zasadniczo inną grupę. W zakończeniu mów-ca wyraża opinię, że logika trójwartościowa zasługuje na uwagę językoznawców, któ-rym może oddać wielkie usługi w dziedzinie teorii mowy jako takiej.

o

Dr A[rtur] Górski zaznacza, że zabiera głos wyłącznie jako człowiek zainteresowa-ny sprawami języka. Słowa „możliwy”, „prawdopodobzainteresowa-ny”, „pewzainteresowa-ny” są wieloznaczne i ich analizę należy powierzyć filozofii. Zadaniem logiki jest sprawdzanie budowy zdań; czy to zadanie jest do wykonania, gdy słowo „możliwy” inne ma znaczenie w deter-ministycznym, a inne w indeterministycznym ujęciu? Może logice trójwartościowej uda się pogodzić te sprzeczności.

Prof. Cz. Białobrzeski widzi możliwość zastosowania w fizyce rozróżnienia słab-szych i mocniejsłab-szych prawd. Fizyka współczesna nie operuje pojęciem bezwzględnej prawdy, do którego nas przyzwyczaiła logika klasyczna. Mechanika Newtona nie jest na gruncie fizyki współczesnej fałszywa. W pewnym, ograniczonym zakresie jest na-wet prawdziwa. Mielibyśmy tu zatem do czynienia z wypadkiem jakiejś słabszej praw-dziwości. Moglibyśmy ułożyć całą tablicę praw fizykalnych od słabszych do mocniejszych. W logice wszystko jest bezwzględne, co dopuszczalne jest w naukach formalnych. Inaczej jest w fizyce. Tutaj drogi, po których idzie w swoich rozumowa-niach badacz, są mniej dokładnie wyznaczone i fizyk niejednokrotnie kierować się może tylko instynktem.

7Adam Krokiewicz (1890-1977), filolog klasyczny, profesor Uniwersytetu W arszawskiego; w latach 1936-1944 — w W arszawie — prowadził z Łukasiewiczem wspólne seminarium z historii logiki.

(13)

U źródeł logiki trójwartościowej 239 Na zakończenie glos zabiera prelegent, prof. Lukasiewicz. Odpowiada przede wszy-stkim na interpelację dyr. Blatona, według jakich metod zostały wypełnione puste miejsca w matrycy trójwartościowej. Prelegent kierował się pewnymi intuicjami i chęcią zachowania pewnych praw logiki dwuwartościowej (prawo tożsamości, prawa dotyczące warunków prawdziwości okresu warunkowego, prawa transpozycji itd.).

W pojmowaniu prawdy prelegent deklaruje się jako absolutysta w tym znaczeniu, że nie idzie mu o to, co kto za prawdę uważa, lecz o to, co jest prawdą (to samo dotyczy pojęcia możliwości). Co do pojęcia prawdopodobieństwa prelegent godzi się z tym, że nie można mówić o prawdopodobieństwie pewnego indywidualnego wypadku. W teorii prawdopodobieństwa, której prelegent jest autorem9, prawdopodobną może być tylko funkcja zdaniowa.

Dotychczasowe próby związania systemów logiki wielowartościowej z rachunkiem prawdopodobieństwa natrafiały na wielkie trudności. Logika wielowartościowa, która by się dała z tym rachunkiem powiązać, musiałaby mieć nieskończoną liczbę wartości.

Mówiąc o słabszej i mocniejszej prawdzie prelegent rozumiał coś innego, niż prof. Białobrzeski. Miał na myśli intuicjonistów matematyków z [Leitzenem Egbertem Ja-nem] Brouwerem na czele. Brouwer uważa za prawdy słabsze zdania matematyczne, które można udowodnić tylko apagogicznie. Mocniejsze są zdania, które można udo-wodnić konstrukcyjnie. Co zaś do mechaniki newtonowskiej, to nie są to słabsze prawdy. Sformułowane dla zjawisk mikroskopowych, zarówno jak i makroskopowych, są fałszywe; są natomiast prawdziwe w pewnych warunkach.

W odpowiedzi prof. Leśniewskiemu prelegent zaznacza, że budując logikę trójwar-tościową interesował się jej konstrukcją jako czysty logik bez względu na zastosowa-nia. Gdyby jednak nie miał cienia możliwości zinterpretowania wprowadzonej przez siebie trzeciej wartości, byłby niewątpliwie tej logiki nie zbudował. Ta trzecia wartość ma swoją tradycję w dziejach logiki. W starożytności dyskutowano o niej w związku z Arystotelesem. W średniowieczu nawiązywał do niej Petrus Aureolus.

Co do rozumowania Arystotelesa dotyczącego bitwy morskiej, prelegent zdaje sobie sprawę z jego słabych stron. Nie są to jednak te słabe strony, o których mówił prof. Leśniewski. M ożna by tego rozumowania bronić, choć już nie na gruncie Arystotelesa. Wchodzi tu w grę sprawa indeterminizmu, poglądu, który prelegent łączy z zasadą przyczynowości. Gdyby istniał na świecie człowiek wszechwiedzący, nie mógłby, zdaniem prelegenta, na podstawie praw przyrodniczych wywnioskować, że jutro będzie lub nie będzie bitwa morska, jeżeli nie jest ona już uwarunkowana w chwili dzisiejszej; nie mógłby także orzec, czy taka bitwa odbyła się, czy nie, w przeszłości, jeżeli jej

9 Zob. przede wszystkim: Die logischen Grundlagen der W ahrscheinlichkeitsrechnung, PAU, Krakow 1913; wersja polska w: Z zaganień logiki i filozofii, s. 76-113.

(14)

skutki nie trwają do dzisiaj. Wtedy to bitwa morska przechodzi «w krainę możliwości» i to nie dlatego, że o niej nic nie wiemy, tylko że taka jest właśnie budowa świata.

W związku z poruszoną przez prof. Leśniewskiego sprawą funkcji prawdziwościo-wych i nieprawdziwościoprawdziwościo-wych, prelegent zaznacza, że z faktem, iż dla języka potocz-nego funkcja «możliwe, że p» nie zdaje się być funkcją prawdziwościową, nie należy się liczyć, gdyż i logika dwuwartościowa razi w niejednym punkcie potoczne intuicje.

Na zakończenie prelegent dodaje, że w kwestii, czy logika trójwartościowa może się przydać w lingwistyce, trudno mu się wypowiedzieć, bo nie zna bliżej terenu, o który chodzi.