Repository - Scientific Journals of the Maritime University of Szczecin - Two Probabilistic Models of Ship...

(1)

ISSN 1733-8670

ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83)

AKADEMII MORSKIEJ

W SZCZECINIE

IV MIĘDZYNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA E X P L O - S H I P 2 0 0 6

Lucjan Gucma

Modele probabilistyczne do oceny bezpieczeństwa statków

na akwenach ograniczonych oparte na splotach rozkładów

jednostajnego i normalnego

Słowa kluczowe: bezpieczeństwo nawigacji, prawdopodobieństwo awarii, modele probabilistyczne

Przedstawiono wybrane modele probabilistyczne stosowane do opisu położenia statków na akwenach ograniczonych. Omówiono szczegółowo dwa modele oparte na splocie rozkładów jednostajnego i normalnego. Modele te mogą znaleźć zastosowanie do oceny prawdopodobieństwa awarii oraz ryzyka manewrowania statków poruszających się na akwenach ograniczonych.

Two Probabilistic Models of Ship Safety Assessment

in Restricted Areas Based on Uniform and Normal Distribution

Key words: safety of navigation, accident probability, probabilistic models This article presents selected probabilistic models used for the description of ship’s position in restricted areas. Two models based on a joint of normal and uniform distri-butions have been discussed in detail. These models can be applied for the estimation of accident probability and manoeuvring risk taken by ships sailing in restricted areas.

(2)

1. Ogólny charakter zmiennych losowych stosowanych

do określania prawdopodobieństwa wyjścia statku poza

bezpieczne granice toru wodnego

Przedmiotem ilościowej analizy bezpieczeństwa są zmienne opisujące pro-ces ruchu statku po akwenie ograniczonym. Zmienne te można traktować jako losowe, a do ich opisu wykorzystać rozkłady prawdopodobieństw. W niniejszym artykule przedstawiono budowę dwóch wybranych rozkładów zmiennych loso-wych wykorzystywanych do określania prawdopodobieństwa zderzenia statku z przeszkodami stałymi.

W większości zastosowań inżynierii ruchu morskiego, gdzie statek porusza się po zadanej trasie o współrzędnych y = 0, rozkład odległości pozycji statku od osi toru można zamienić w rozkład warunkowy o warunku x1 < X < x2, gdzie

x1,x2 to rozpatrywany przedział toru. Rozkład ten ma dystrybuantę w postaci:

)

|

(

)

,

(

₁ ₂ |

y

x

P

Y

y

x

X

x

F

_Y_X







(1)

Rozkład taki może być wykorzystany w prosty sposób do określania praw-dopodobieństwa zderzenia statku z brzegiem lub budowlami hydrotechnicznymi w punkcie xi jako (rys. 1):

) ( 1 _Y_|_X _x _i Ax F D P i i    (2) gdzie:

Di – dostępna szerokość akwenu manewrowego w punkcie i.

Próby usystematyzowania i budowy modeli probabilistycznych związanych z bezpieczeństwem ruchu statku na akwenie ograniczonym wykonał w swojej rozprawie doktorskiej Guziewicz [1996]. Poszukiwał on probabilistycznych modeli maksymalnych odległości skrajnych punktów statku do środka toru wodnego oraz modeli energii zderzenia statku z nabrzeżem. Wykazał między innymi, że rozkład normalny dobrze nadaje się do opisu pierwszej grupy zmien-nych, a rozkład gamma do drugiej. W swojej pracy przedstawił również metodo-logię budowy ogólnych modeli probabilistycznych w inżynierii ruchu morskie-go.

(3)

Rys. 1. Metoda budowy bezpiecznego obszaru manewrowego statku oraz określania prawdopodobieństwa zderzenia z brzegiem

Fig. 1. The method of constructing a ship’s safe manoeuvring area and of defining the probability of impact against the shore

2. Rozkład pozycji środka ciężkości statku oparty na rozkładzie

normalnym

Statek poruszając się wzdłuż wyznaczonej trasy (np. środka toru), oddala się od niej w sposób losowy. Jako pozycje statku przyjmuje się zwykle pozycje jego środka ciężkości. Rozkład odległości środka ciężkości statku od środka toru wodnego nadaje się do badania bezpieczeństwa w systemach, gdy wymiary stat-ku mogą być pominięte w stosunstat-ku do wymiarów akwenu. W przeciwnym wy-padku, czyli w większości akwenów ograniczonych, nie można uniknąć uprosz-czeń i niedokładności wynikających z nieznajomości dokładnego położenia statku w stosunku do akwenu (kursu statku i punktów charakterystycznych jego wodnicy). Upraszczając rozważania, należy dokonać przesunięcia rozkładu po-zycji w lewo i w prawo o pewną wartość równą połowie szerokości statku (przy założeniu braku kąta dryfu), lub połowie szerokości powiększonej o wartość wynikającą z kąta dryfu statku (rys. 2). Przy założeniu, że rozkład odległości środków ciężkości statku od środka toru wodnego jest normalny, rozkład prze-sunięty (shifted) dla lewych maksymalnych odległości punktów statku od środka toru wodnego przyjmuje postać:

(4)

2 2 2 ) ( 2 1 ) ( ) ( sc B sc y m y sc B sc l y d y y e d          (3) gdzie:

msc,sc – średnia i odchylenie standardowe odległości środka ciężkości statku od środka toru wodnego z próby;

yB – wartość przesunięcia rozkładu równa yB = B w przypadku nie-uwzględnienia kąta dryfu lub yB = Bcos + 0,5 Lsin w przypad-ku jego uwzględnienia i przyjęcia wodnicy statprzypad-ku w kształcie pro-stokąta.

Rys. 2. Rozkład pozycji środka ciężkości statku oraz problem określania przesunięcia rozkładów punktów skrajnych

Fig. 2. Distribution of ship’s gravity centre positions and the determination of the shift of extreme points distributions

W badaniach na akwenach przybrzeżnych, gdy statek traktowany jest jako punkt materialny rozkładami stosowanymi jako model położenia środka ciężko-ści statku w stosunku do zadanej trasy mogą być rozkłady:

– normalny [Gucma L., 1999a; Guziewicz, 1994 i 1999; Iribarren, 1999], – jednostajny [Purcz, 1998],

– splot rozkładu normalnego z jednostajnym, – wartości ekstremalnych,

– inny asymetryczny (Weibulla, wykładniczy, itp.) [Iribarren, 1999]. Pomimo szerokich badań w zakresie poszukiwania ogólnych modeli

(5)

staty-środków ciężkości statku jest ściśle uzależniony od kształtu akwenu, rodzaju manewru, typu statku oraz warunków hydrometeorologicznych. Powszechnie przyjętą procedurą jest więc stosowanie rozkładów empirycznych, otrzymanych w wyniku eksperymentu [Gucma L., 1999b].

3. Splot rozkładu normalnego i jednostajnego

Bardziej adekwatny do rzeczywistości niż sam rozkład jednostajny i nor-malny jest rozkład, który proponuje się zastosować do modelowania probabili-stycznego położenia statku na wąskich torach wodnych. Jest on zbudowany jako splot rozkładu jednostajnego i normalnego. Przyjmując, że funkcje gęstości tych rozkładów mają postać:

2 2 ) ( 2 1 ) (    m x e x f    (5) oraz b x a a b y f     1 dla ) ( (6)

można obliczyć splot tych rozkładów za pomocą zależności:

dx x z f x f dz z dF z f( ) ( )



_x( ) _y(  )    (7)

Wprowadzając nową zmienną u(xzm)/ otrzymuje się:

du e a b dx e a b z f m z b m z a u b a m x z



                  / ) ( / ) ( 2 2 ) ( 2 2 2 2 1 1 2 1 1 ) ( (8) czyli:                            m z a F m z b F a b z f nz nz 1 ) ( (9)

gdzie Fnz to dystrybuanta rozkładu normalnego standaryzowanego w postaci:  2

(6)

Należy zauważyć, że jeżeli ba  , to wartość jednej z dystrybuant w zależności (9) jest równa 1 lub 0. Rozkład wypadkowy został przedstawiony na rysunku 3. Może być on zastosowany do modelowania położenia statków na ograniczonych torach wodnych. Analizując jego postać można zauważyć, że pozycje statku wokół środka toru są zbliżone do rozkładu jednostajnego – nawi-gator nie podejmuje akcji powrotu statku w okolice środka toru w pewnym za-kresie odległości od środka (może to być również spowodowane niepełną zna-jomością aktualnej pozycji statku). W przypadku natomiast, gdy statek zbliża się do granic bezpiecznego toru wodnego, nawigator przeciwdziała awarii poprzez zmianę kursu statku.

Rys. 3. Splot (Joint normal and uniform distribution) rozkładu jednostajnego i normalnego dla parametrów: a = 10, b = 10, m = 0, = +2

Fig. 3. A joint of normal and uniform distribution for these parameters: a = 10, b = 10, m = 0,

= +2

4. Rozkład złożony z rozkładu jednostajnego i normalnego

Na akwenach przybrzeżnych jako model teoretyczny zjawiska pozycji stat-ków stosuje się często rozkład złożony z rozkładu normalnego i jednostajnego [Fuji, 1977]. Rozkład taki jest bardzo wygodny zarówno z punktu widzenia ob-liczeniowego, jak i modelu zjawiska. W modelu tym przyjmuje się, że pewien procent statków reprezentujący ruch nieuporządkowany podlega rozkładowi jednostajnemu w założonych granicach, a pozostała część reprezentująca ruch

(7)

prace Fuji [Gluver i Olsen, 1998], to żaden łącznie z samym Fuji nie podaje posta-ci takiego rozkładu. Poniżej przedstawiona zostanie metoda jego zdefiniowania. Jest to rozkład złożony z rozkładu normalnego i jednostajnego. Można go zbudo-wać przyjmując, że n procent ruchu podlega rozkładowi normalnemu, a (n 1) rozkładowi jednostajnemu. Warunek normalizacji rozkładu spełniony jest po-przez ustalenie granic uciętego rozkładu normalnego od –b do b tak, aby:

1 ) 1 ( 2 1 2 1 2 2 ) (      

_



    n n dx a n dx e a a b b m x    (11)

Granice od –b do b ustala się z następującej zależności:

n be dx e dx e m b b m x b x m                 _      



2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ₍ ₎ ₍ ₎ ) (      (12)

wykorzystując obustronne ucięcie rozkładu normalnego spełniające warunek



  b b n dx x

f( ) . Wartość b można określić za pomocą metod numerycznych. Gra-nice rozkładu jednostajnego –a do a ustalane są w zależności od obszaru, w którym występuje ruch nieuporządkowany. Zakładając, że m = 0 oraz a >> b, otrzymuje się najczęściej spotykany w praktyce przypadek zakładający, że nieu-porządkowany ruch statków (rozkład jednostajny) odbywa się na znacznie więk-szym obszarze niż ruch po zadanej trasie (rozkład normalny). Budowa rozkładu polega na ucięciu końców rozkładu normalnego (rys. 4). Rozkład złożony ma funkcję gęstości w postaci:

                            _ a y b a n b y b a n e b y a a n a y a y y f _y dla 2 1 dla 2 1 2 1 dla 2 1 i dla 0 ) ( ₍ _/_₎2   (13)

(8)

Rys. 4. Budowa rozkładu złożonego (mixture of uniform and normal) z rozkładu normalnego i jednostajnego dla określonego n

Fig. 4. The mixture of uniform and normal distrubutions for the specific n

Rozkład ten, co można zauważyć analizując jego przykładową funkcję gę-stości (rys. 4), przyjmuje na swych końcach postać zbliżoną do rozkładu jedno-stajnego, a w okolicy średniej do normalnego. Nadaje się on w związku z tym do modelowania położenia dwóch grup statków, z których jedna podąża, a druga nie podąża wyznaczoną trasą.

Autor proponuje również zastosować ten rozkład na akwenach ograniczo-nych portowych i torach wodograniczo-nych. Jest to uzasadnione wtedy, gdy na torze wodnym symetrycznym, ograniczonym pomiędzy a i a występują dwie grupy statków: ograniczona (duże statki) i nieograniczona swoim zanurzeniem (małe statki, barki itp.). Druga z grup porusza się zgodnie z rozkładem jednostajnym utrzymując statek w granicach toru, a pierwsza zgodnie z rozkładem normalnym stara się utrzymać maksymalnie blisko środka toru wodnego.

Wnioski

W artykule przedstawiono budowę dwóch ważnych rozkładów stosowanych do modelowania położenia statku w stosunku do akwenu. Rozkłady te zbudo-wano jako splot i złożenie rozkładu jednostajnego i normalnego. Mogą one zna-leźć zastosowanie w różnych problemach inżynierii ruchu morskiego, a w szcze-gólności dotyczących szacowania ryzyka i modelowania awarii.

(9)

Literatura

1. Burges A., Loman G.J.A. (1984), Statistical treatment of ships manoeuver-ing results for fairway design, Bulletin PIANC no. 45, Brussels.

2. Caires S., Sterl A. (2003), On the estimation of return values of significant wave height data from the reanalysis of the European centre for medium-range weather forecasts, Safety and Reliability, Balkema, Rotterdam. 3. Fuji Y. (1977), The behaviour of ships in limited waters, Proc. of the 24th

International PIANC Congress, Leningrad.

4. Gluver H., Olsen D. (edts.) (1998), Ship Collision Analysis (Bridges), Balkema, Rotterdam.

5. Gucma L. (1999a), Kryterium bezpieczeństwa manewru na torze wodnym, Materiały na Konferencję Explo-Ship, WSM, Szczecin.

6. Gucma L. (1999b), Predykcja w systemie map elektronicznych jako czynnik bezpieczeństwa manewru, Rozprawa doktorska, Wydział Nawigacyjny Wyższej Szkoły Morskiej w Szczecinie.

7. Guziewicz J. (1994), Weryfikacja metody określania rozmiarów obszaru manewrowania statku opartej na rozkładzie normalnym, IX Konferencja Naukowo-Techniczna, Rola Nawigacji w Zabezpieczeniu Działalności Ludzkiej na Morzu, AMW, Gdynia.

8. Guziewicz J. (1996), Model manewrowania statkiem na wybranych base-nach portowych Świnoujścia i Szczecina, Rozprawa doktorska, Wydział Budownictwa Wodnego, PG, Gdańsk.

9. Guziewicz J., Ślączka W. (1997), Metody wyznaczania obszaru manewro-wania statku stosowane w badaniach symulacyjnych, VII Międzynarodowa Konferencja Inżynieria Ruchu Morskiego, Szczecin.

10. Iribarren J.R. (1999), Determining the Horizontal Dimensions of Ship Manoeuvring Areas, PIANC Bulletin no. 100, Bruxelles.

11. Purcz Z. (1998), Ship collision aspect unique to inland waterways, Ship Collision Analysis, Gluver H. and Olsen D., (edts.) Balkema, Rotterdam.

Wpłynęło do redakcji w lutym 2006 r.

Recenzent

(10)

Adres Autora

dr inż. Lucjan Gucma

Akademia Morska w Szczecinie Instytut Inżynierii Ruchu Morskiego ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin