9. Całka Riemanna a całka Lebesgue’a – rozwiązania
Ćw. 9.1 Niech P będzie dowolnym podziałem odcinka [0, 1], niech s będzie dowolnym odcinkiem tego podziału. Wtedy:
– ms(f ) = inf{f (x); x ∈ s} = 0, bo odcinek s zawiera przynajmniej jedną liczbę
wymierną,
– Ms(f ) = sup{f (x); x ∈ s} = 1, bo odcinek s zawiera przynajmniej jedną liczbę
niewymierną. Suma górna U (f, P ) = X s∈P Ms· ∆s = X s∈P 1 · ∆s = 1 jest różna od sumy dolnej
L(f, P ) = X s∈P ms· ∆s = X s∈P 0 · ∆s = 0, więc funkcja nie jest całkowalna w sensie Riemanna.
f jest mierzalna w sensie Lebesgue’a, bo Q, nQ ∈ B.
Z
[0,1]
f (x) dl(x) =
Z
1I[0,1]\Q(x) dl(x) = l([0, 1] \ Q) = 1.
Ćw. 9.2 Niech P będzie podziałem zawierającym odcinki o końcach w punktach całkowi-tych. Wówczas dla każdego n
inf{f (x); x ∈ [n, n + 1)} = sup{f (x); x ∈ [n, n + 1)} = (−1)
n
n .
Dlatego f jest całkowalna w sensie Riemanna i
Z f (x) dx = X n∈N (−1)n n (szereg zbieżny).
f nie jest całkowalna w sensie Lebesgue’a, bowiem nie istniejąR
f+dl iR f−dl, gdyż są równe odpowiednio P n∈N 2n1 i P n∈N2n−11 .
Ćw. 9.3 Na mocy twierdzenia o równości całki Riemanna i Lebesgue’a f nie jest całko-walna w sensie Riemanna, jeśli zbiór jej punktów nieciągłości jest miary (Lebesgue’a) niezerowej. Pokażemy, że F jest zbiorem punktów nieciągłości funkcji 1IF.
Niech xn→ x0 ∈ F , xn∈ F dla każdego n (taki ciąg istnieje, bo zbiór [0, 1] \ F jest/
gęsty w [0, 1]). Wówczas 1IF(xn) = 0 dla każdego n, zaś 1IF(x0) = 1. Na mocy definicji
