Roczniki Kolegium Analiz Ekonomicznych

13 Anna Decewicz

Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa w Warszawie

MODELOWANIE CLV PRZY

UŻYCIU ŁAŃCUCHA MARKOWA

– WYKORZYSTANIE DANYCH

PANELOWYCH

1. Wprowadzenie

Dokonująca się w ostatnich dziesięcioleciach rewolucja cyfrowa daje efekt w po‑ staci tworzenia potężnych baz danych, które pozwalają firmom na kolekcjonowa‑ nie i analizę bardzo szczegółowych informacji o klientach. Bazy danych, zawiera‑ jące nie tylko informacje teleadresowe i demograficzne, ale także dane o wszystkich dotychczasowych zakupach dokonanych przez klienta, jego zainteresowaniach czy preferencjach, umożliwiają analityczne przetwarzanie informacji za pomocą technik statystycznych, a równocześnie mogą stanowić podstawę szacowania parametrów modeli matematycznych (deterministycznych i probabilistycznych) używanych do wspomagania podejmowania decyzji marketingowych ukierunkowanych na utrzy‑ manie relacji z klientem. Wśród modeli probabilistycznych na uwagę zasługują mo‑ dele Markowa, które znalazły zastosowania m.in. w takich obszarach, jak: kalkulacja długookresowej wartości klienta i zarządzanie relacjami z klientem, modelowanie zachowań klientów, identyfikacja wzorców zakupów, modelowanie lojalności klien‑ tów wobec marki.

Ważnym pojęciem w analizie relacji z klientem jest długookresowa wartość klienta (customer lifetime value – CLV). Niniejszy artykuł nawiązuje do zaproponowanego

Anna Decewicz

14

przez Pfeifera i Carrawaya1 _{podejścia do modelowania CLV bazującego na łańcu‑}

chu Markowa, w którym to podejściu prawdopodobieństwo dokonania przez klienta kolejnego zakupu uzależnia się od jego charakterystyki RFM. Omówione zostanie rozszerzenie tego podejścia polegające na uwzględnieniu w modelu dodatkowych zmiennych (np. wydatków na utrzymanie relacji z klientem) i informacji (pamięć o ostatnim zakupie) oraz metoda wyznaczania optymalnej strategii maksymalizują‑ cej CLV. Konstrukcja rozszerzonego modelu umożliwia szacowanie jego parametrów na podstawie danych o charakterze panelowym.

2. Pojęcie CLV

Jednym z kluczowych pojęć w analizie relacji z klientem jest długookresowa war‑ tość klienta, tzn. zdyskontowana wartość generowanego przez niego strumienia zy‑ sków. Umiejętność kalkulacji CLV pozwala firmie skwantyfikować długookresową opłacalność swojej działalności i na tej podstawie diagnozować swoją kondycję, jak również wspomagać podejmowanie taktycznych decyzji dotyczących relacji z klien‑ tem, np. ocenę poziomu nakładów ponoszonych na jego pozyskanie lub utrzyma‑ nie. Kalkulacja CLV indywidualnego klienta jest szczególnie istotna w marketingu bezpośrednim, stanowi bowiem podstawę planowania budżetu związanego z wy‑ datkami na pozyskanie klienta, wyboru kanałów i sposobu alokacji wydatków, pla‑ nowania promocji. Koncepcję CLV w odniesieniu do marketingu bezpośredniego spopularyzował Dwyer2_{, podając przykłady ilustrujące sytuację zarówno typu reten‑}

tion, jak i typu migration. Matematyczne modele umożliwiające kalkulację CLV od‑ powiadające tym dwóm podejściom rozważali Berger i Nasr3_{. Blattberg i Deighton}4

skonstruowali matematyczny model CLV ukierunkowany na znalezienie równowagi między wydatkami na pozyskanie i utrzymanie klienta. Podejście typu retention cha‑ rakteryzuje się tym, że:

z klient, który przerwał relację z firmą (np. nie ponowił zakupu w kolejnym okre‑ sie), jest traktowany jako utracony na zawsze; jeżeli powraca, to historia jego wcześniejszych relacji z firmą nie jest brana pod uwagę,

1 Ph.E. Pfeifer, R.L. Carraway, Modeling customer relationships as Markov Chains, „Journal of Interactive Marketing” 2000, vol. 14, s. 43–55.

2 F.R. Dwyer, Customer lifetime valuation to support marketing decision making, „Journal of Direct Mar‑ keting” 1989, vol. 3, s. 8–15.

3 P.D. Berger, N.J. Nasr, Customer lifetime value: marketing models and applications, „Journal of Interac‑ tive Marketing” 1998, vol. 12, s. 17–30.

4 R.C. Blattberg, J. Deighton, Manage marketing by customer equity, „Harvard Business Review” 1996, no. 74, July–August, s. 136–144.

15 Modelowanie CLV przy użyciu łańcucha Markowa – wykorzystanie danych panelowych

z jest adekwatne w  modelowaniu relacji kontraktowych, sformalizowanych,

w których jest obserwowalne odejście klienta (np. nieprzedłużenie lub zerwa‑ nie umowy).

Modele migracji dotyczą sytuacji, gdy:

z dopuszcza się możliwość powrotu klienta, który na pewien czas przerwał rela‑ cję z firmą,

z migracja polega na możliwości przemieszczania się klienta między wyróżnionymi stanami, stąd w modelach tego typu wykorzystuje się często łańcuchy Markowa, z podstawą definicji stanów jest analiza RFM (recency, frequency, monetary), uży‑ wana już od lat 50. w marketingu bezpośrednim do segmentowania klientów i zarządzania relacjami.

Podstawowa formuła5 _{określająca długookresową wartość klienta przyjmuje po‑}

stać: 8



∞ = + = 1(1 ) ) ( E t t t d V CLV , (1)

gdzie V jest zmienną losową reprezentującą wartość netto zysku realizowanego t

w okresie t w relacji z danym klientem, a d – jednookresową stopą procentową. Rozszerzona definicja CLV6 _{obejmuje dekompozycję zmiennej}

t

V na

poszczególne kategorie kosztów:

( ) ( )

(

)

( )



= + − + + −     _{− −} + − = T t d TC i t i d RC SC R t i i i AC r ti ti t ti r r it CLV 1 1 1 1 1 , (2)

przy następujących oznaczeniach: AC – jednorazowy koszt pozyskania danego i

klienta, R – przychód związany z zakupem dokonanym przez klienta i w okresie ti t, r – stopa retencji dla klienta i, i RC – koszt utrzymania relacji z klientem i w ti

okresie t, SC – koszt obsługi klienta i w okresie t, ti TC – jednorazowy koszt i

zakończenia relacji z klientem i, d – stopa procentowa, T – horyzont czasowy, czyli przewidywany czas relacji.

Istotnym elementem powyższego wzoru jest stopa retencji (nazywana też wskaźnikiem utrzymania klientów7_{), określająca procent klientów uznanych za}

aktywnych w poprzednim okresie, którzy pozostali aktywni w bieżącym okresie. Stopa retencji jest modelowana na podstawie danych indywidualnych o aktywności klientów w kolejnych okresach.

Drugim ważnym zagadnieniem jest ustalenie czasu trwania relacji z klientem, a więc zakresu sumowania we wzorze określającym CLV. Kumar8

zauważa, że w relacjach niesformalizowanych na ogół trudno jest określić czas zarówno rozpoczęcia, jak i zakończenia relacji z firmą. W praktyce wskaźnik CLV oblicza się zazwyczaj dla okresu 3 lat (co tłumaczy się m.in. wspomnianą niepewnością co do czasu trwania relacji, mniejszą trafnością prognoz przy odległym horyzoncie czasowym oraz zmianą wartości pieniądza w czasie), z wyjątkiem branży samochodowej, w której sugeruje się horyzont dwudziestoletni, oraz ubezpieczeniowej (okres od 7 do 10 lat).

3. Modelowanie stopy retencji

Najprostszy model retencji zakłada, że stopa retencji jest stała, wtedy uproszczona formuła CLV (przy skończonym horyzoncie czasowym) przyjmuje postać9

(

)

( )



= − + − ₋ = T t t d t t t T _{r R C} CLV 1 1 11 1 _,

6 _{H.H. Bauer, M. Hammerschmidt, Customer-based corporate valuation, „Management Decision”}

2005, vol. 43, s. 331–348.

7 _{Wskaźniki marketingowe, red. R. Kozielski, Wolters Kluwer Polska, Kraków 2008.}

8 _{V. Kumar, Zarządzanie wartością klienta, Wydawnictwa Profesjonalne PWN, Warszawa 2010,}

s. 44–45.

9 _{R.C. Blattberg, B.D. Kim, S.A. Neslin, op.cit., s. 111.}

(1) gdzie Vt jest zmienną losową reprezentującą wartość netto zysku realizowanego

w okresie t w relacji z danym klientem, a d – jednookresową stopą procentową. Roz‑ szerzona definicja CLV6 _{obejmuje dekompozycję zmiennej Vt na poszczególne ka‑}

tegorie kosztów: 8



∞ = + = 1(1 ) ) ( E t t t d V CLV , (1)

gdzie V jest zmienną losową reprezentującą wartość netto zysku realizowanego t

w okresie t w relacji z danym klientem, a d – jednookresową stopą procentową. Rozszerzona definicja CLV6 _{obejmuje dekompozycję zmiennej}

t

V na

poszczególne kategorie kosztów:

( ) ( )

(

)

( )



= + − + + −     _{− −} + − = T t d TC i t i d RC SC R t i i i AC r ti ti t ti r r it CLV 1 1 1 1 1 , (2)

przy następujących oznaczeniach: AC – jednorazowy koszt pozyskania danego i

klienta, R – przychód związany z zakupem dokonanym przez klienta i w okresie ti t, r – stopa retencji dla klienta i, i RC – koszt utrzymania relacji z klientem i w ti

okresie t, SC – koszt obsługi klienta i w okresie t, ti TC – jednorazowy koszt i

zakończenia relacji z klientem i, d – stopa procentowa, T – horyzont czasowy, czyli przewidywany czas relacji.

Istotnym elementem powyższego wzoru jest stopa retencji (nazywana też wskaźnikiem utrzymania klientów7_{), określająca procent klientów uznanych za}

aktywnych w poprzednim okresie, którzy pozostali aktywni w bieżącym okresie. Stopa retencji jest modelowana na podstawie danych indywidualnych o aktywności klientów w kolejnych okresach.

Drugim ważnym zagadnieniem jest ustalenie czasu trwania relacji z klientem, a więc zakresu sumowania we wzorze określającym CLV. Kumar8 zauważa, że w relacjach niesformalizowanych na ogół trudno jest określić czas zarówno rozpoczęcia, jak i zakończenia relacji z firmą. W praktyce wskaźnik CLV oblicza się zazwyczaj dla okresu 3 lat (co tłumaczy się m.in. wspomnianą niepewnością co do czasu trwania relacji, mniejszą trafnością prognoz przy odległym horyzoncie czasowym oraz zmianą wartości pieniądza w czasie), z wyjątkiem branży samochodowej, w której sugeruje się horyzont dwudziestoletni, oraz ubezpieczeniowej (okres od 7 do 10 lat).

3. Modelowanie stopy retencji

Najprostszy model retencji zakłada, że stopa retencji jest stała, wtedy uproszczona formuła CLV (przy skończonym horyzoncie czasowym) przyjmuje postać9

(

)

( )



= − + − ₋ = T t t d t t t T _{r R C} CLV 1 1 11 1 _,

6 _{H.H. Bauer, M. Hammerschmidt, Customer-based corporate valuation, „Management Decision”}

2005, vol. 43, s. 331–348.

7 _{Wskaźniki marketingowe, red. R. Kozielski, Wolters Kluwer Polska, Kraków 2008.}

8 _{V. Kumar, Zarządzanie wartością klienta, Wydawnictwa Profesjonalne PWN, Warszawa 2010,}

s. 44–45.

9 _{R.C. Blattberg, B.D. Kim, S.A. Neslin, op.cit., s. 111.}

(2) przy następujących oznaczeniach: ACi – jednorazowy koszt pozyskania danego

klienta, Rti – przychód związany z zakupem dokonanym przez klienta i w okresie

t, ri – stopa retencji dla klienta i, RCti – koszt utrzymania relacji z klientem i w okre‑

sie t, SCti – koszt obsługi klienta i w okresie t, TCi – jednorazowy koszt zakończenia

relacji z klientem i, d – stopa procentowa, T – horyzont czasowy, czyli przewidy‑ wany czas relacji.

Istotnym elementem powyższego wzoru jest stopa retencji (nazywana też wskaź‑ nikiem utrzymania klientów7_{), określająca procent klientów uznanych za aktywnych}

w poprzednim okresie, którzy pozostali aktywni w bieżącym okresie. Stopa retencji

5 R.C. Blattberg, B.D. Kim, S.A. Neslin, Database marketing: Analyzing and Managing Customers, Sprin‑ ger, New York 2008, s. 108. W zależności od wyboru momentu dyskontowania stosuje się również zapis

7 długookresowa wartość klienta, tzn. zdyskontowana wartość generowanego przez niego strumienia zysków. Umiejętność kalkulacji CLV pozwala firmie skwantyfikować długookresową opłacalność swojej działalności i na tej podstawie diagnozować swoją kondycję, jak również wspomagać podejmowanie taktycznych decyzji dotyczących relacji z klientem, np. ocenę poziomu nakładów ponoszonych na jego pozyskanie lub utrzymanie. Kalkulacja CLV indywidualnego klienta jest szczególnie istotna w marketingu bezpośrednim, stanowi bowiem podstawę planowania budżetu związanego z wydatkami na pozyskanie klienta, wyboru kanałów i sposobu alokacji wydatków, planowania promocji. Koncepcję CLV w odniesieniu do marketingu bezpośredniego spopularyzował Dwyer2_{, podając przykłady ilustrujące sytuację zarówno typu} retention, jak i typu migration. Matematyczne modele umożliwiające kalkulację

CLV odpowiadające tym dwóm podejściom rozważali Berger i Nasr3_{. Blattberg i}

Deighton4 _{skonstruowali matematyczny model CLV ukierunkowany na}

znalezienie równowagi między wydatkami na pozyskanie i utrzymanie klienta. Podejście typu retention charakteryzuje się tym, że:

• klient, który przerwał relację z firmą (np. nie ponowił zakupu w kolejnym okresie), jest traktowany jako utracony na zawsze; jeżeli powraca, to historia jego wcześniejszych relacji z firmą nie jest brana pod uwagę, • jest adekwatne w modelowaniu relacji kontraktowych, sformalizowanych,

w których odejście klienta jest obserwowalne (np. nieprzedłużenie lub zerwanie umowy).

Modele migracji dotyczą sytuacji, gdy:

• dopuszcza się możliwość powrotu klienta, który na pewien czas przerwał relację z firmą,

• migracja polega na możliwości przemieszczania się klienta między wyróżnionymi stanami, stąd w modelach tego typu wykorzystuje się często łańcuchy Markowa,

• podstawę definicji stanów stanowi analiza RFM (recency, frequency,

monetary), używana już od lat 50. w marketingu bezpośrednim do

segmentowania klientów i zarządzania relacjami.

Podstawowa formuła5 _{określająca długookresową wartość klienta przyjmuje}

postać

2 _{F.R. Dwyer, Customer lifetime valuation to support marketing decision making, „Journal of} Direct Marketing” 1989, vol. 3, s. 8–15.

3 _{P.D. Berger, N.J. Nasr, Customer lifetime value: marketing models and applications, „Journal of} Interactive Marketing” 1998, vol. 12, s. 17–30.

4 _{R.C. Blattberg, J. Deighton, Manage marketing by customer equity, „Harvard Business Review”} 1996, no. 74, July–August, s. 136–144.

5 _{R.C. Blattberg, B.D. Kim, S.A. Neslin, Database marketing: Analyzing and Managing}

Customers, Springer, New York 2008, s. 108. W zależności od wyboru momentu dyskontowania stosuje się również zapis

( ) ∞ = + − = 11 1 ) ( t t t d V E CLV . .

6 H.H. Bauer, M. Hammerschmidt, Customer ‑based corporate valuation, „Management Decision” 2005, vol. 43, s. 331–348.

7 Wskaźniki marketingowe, red. R. Kozielski, Wolters Kluwer Polska, Kraków 2008.

Anna Decewicz

16

jest modelowana na podstawie danych indywidualnych o aktywności klientów w ko‑ lejnych okresach.

Drugim ważnym zagadnieniem jest ustalenie czasu trwania relacji z klientem, a więc zakresu sumowania we wzorze określającym CLV. Kumar8 _{zauważa, że w re‑}

lacjach niesformalizowanych na ogół trudno jest określić czas zarówno rozpoczęcia, jak i zakończenia relacji z firmą. W praktyce wskaźnik CLV oblicza się zazwyczaj dla okresu 3 lat (co tłumaczy się m.in. wspomnianą niepewnością co do czasu trwa‑ nia relacji, mniejszą trafnością prognoz przy odległym horyzoncie czasowym oraz zmianą wartości pieniądza w czasie), z wyjątkiem branży samochodowej, w której sugeruje się horyzont dwudziestoletni, oraz ubezpieczeniowej (okres od 7 do 10 lat).

3. Modelowanie stopy retencji

Najprostszy model retencji zakłada, że stopa retencji jest stała, wtedy uproszczona formuła CLV (przy skończonym horyzoncie czasowym) przyjmuje postać9_:

8



∞ = + = 1(1 ) ) ( E t t t d V CLV , (1)

gdzie V jest zmienną losową reprezentującą wartość netto zysku realizowanego t

w okresie t w relacji z danym klientem, a d – jednookresową stopą procentową. Rozszerzona definicja CLV6 _{obejmuje dekompozycję zmiennej}

t

V na

poszczególne kategorie kosztów:

( ) ( )

(

)

( )



= + − + + −     _{− −} + − = T t d TC i t i d RC SC R t i i i AC r ti ti t ti r r it CLV 1 1 1 1 1 , (2)

przy następujących oznaczeniach: AC – jednorazowy koszt pozyskania danego i

klienta, R – przychód związany z zakupem dokonanym przez klienta i w okresie ti t, r – stopa retencji dla klienta i, i RC – koszt utrzymania relacji z klientem i w ti

okresie t, SC – koszt obsługi klienta i w okresie t, ti TC – jednorazowy koszt i

zakończenia relacji z klientem i, d – stopa procentowa, T – horyzont czasowy, czyli przewidywany czas relacji.

Istotnym elementem powyższego wzoru jest stopa retencji (nazywana też wskaźnikiem utrzymania klientów7_{), określająca procent klientów uznanych za}

aktywnych w poprzednim okresie, którzy pozostali aktywni w bieżącym okresie. Stopa retencji jest modelowana na podstawie danych indywidualnych o aktywności klientów w kolejnych okresach.

Drugim ważnym zagadnieniem jest ustalenie czasu trwania relacji z klientem, a więc zakresu sumowania we wzorze określającym CLV. Kumar8

zauważa, że w relacjach niesformalizowanych na ogół trudno jest określić czas zarówno rozpoczęcia, jak i zakończenia relacji z firmą. W praktyce wskaźnik CLV oblicza się zazwyczaj dla okresu 3 lat (co tłumaczy się m.in. wspomnianą niepewnością co do czasu trwania relacji, mniejszą trafnością prognoz przy odległym horyzoncie czasowym oraz zmianą wartości pieniądza w czasie), z wyjątkiem branży samochodowej, w której sugeruje się horyzont dwudziestoletni, oraz ubezpieczeniowej (okres od 7 do 10 lat).

3. Modelowanie stopy retencji

Najprostszy model retencji zakłada, że stopa retencji jest stała, wtedy uproszczona formuła CLV (przy skończonym horyzoncie czasowym) przyjmuje postać9

(

)

( )



= − + − ₋ = T t t d t t t T _{r R C} CLV 1 1 11 1 _,

6 _{H.H. Bauer, M. Hammerschmidt, Customer-based corporate valuation, „Management Decision”}

2005, vol. 43, s. 331–348.

7 _{Wskaźniki marketingowe, red. R. Kozielski, Wolters Kluwer Polska, Kraków 2008.}

8 _{V. Kumar, Zarządzanie wartością klienta, Wydawnictwa Profesjonalne PWN, Warszawa 2010,}

s. 44–45.

9 _{R.C. Blattberg, B.D. Kim, S.A. Neslin, op.cit., s. 111.}

gdzie: Rt – przychód w okresie t, Ct – koszty w okresie t, r – stopa retencji, d – stopa

procentowa, co, przy dodatkowym założeniu stałych w czasie kosztów i przychodów, prowadzi do granicznej wartości:

9 gdzie: R – przychód w okresie t, t C – koszty w okresie t, r – stopa retencji, d – t

stopa procentowa, co, przy dodatkowym założeniu stałych w czasie kosztów i przychodów, prowadzi do granicznej wartości

(

)

( )

_dd_r T t t d t _{R C R C} r CLV ₊+₋ = − + − ∞ ₌

_

_{− = −} 11 1 1 11 1 _{( ) .}

Blattberg i Deighton10 _{zaproponowali model, w którym zależność stopy}

retencji od wydatków M ponoszonych w każdym okresie przez firmę na utrzymanie relacji z klientem wyraża się wzorem

0 , )), exp( 1 ( − − > =a bM a b r . (3)

Inne obecne w literaturze11 _{podejście do modelowania stopy retencji polega na}

zastosowaniu funkcji postaci

0 , , ) exp( 1+ − > = a b bM a r . (4)

Zgodnie z wzorem (3), stopa retencji jest rosnącą funkcją wydatków ponoszonych na utrzymanie relacji, przy czym zerowe wydatki oznaczają zerową stopę retencji. Z kolei w przypadku funkcji (4) nawet zerowe wydatki na utrzymanie klienta skutkują dodatnią stopą retencji, jednak ograniczenia tego typu łatwo skorygować, dodając stałą w wykładniku. W obu przypadkach parametr a<1 określa górną granicę stopy retencji osiągalną przy nieograniczonym budżecie. Alternatywą wobec zastosowania funkcji (3) i (4) lub ich modyfikacji może być szacowanie stopy retencji przy użyciu modelu logitowego. Każdorazowo, w celu oszacowania parametrów stopy retencji należy zgromadzić informacje o aktywności klientów w kolejnych okresach oraz ponoszonych w tym celu wydatkach.

4. Model CLV ze stopą retencji uwzględniającą historię klienta

Ma, Li i Chen12 _{zaproponowali podejście, w którym stopa retencji jest}

modelowana z uwzględnieniem pamięci o ostatnim zakupie (tzw. krótkookresowy efekt promocyjny). W tym celu wprowadzili ciąg zmiennych losowych

{ }

Y , _t

   = przypadku, przeciwnym w , 0 , okresie aktywny w jest klient gdy , 1 t Yt

spełniających własność Markowa

) ( ) | ( P ) ..., , , | ( P Yt = j Y0 Y1 Yt−1=i = Yt = j Yt−1 =i = pij M . (5)

Tym samym otrzymali dwustanowy łańcuch Markowa o prawdopodobieństwach przejścia, tzn. prawdopodobieństwach aktywności w następnym okresie, uzależnionych od aktywności w okresie bieżącym oraz wysiłków marketingowych firmy mierzonych wydatkami ponoszonymi na utrzymanie relacji z klientem (zmienna M). Wprowadzając następnie zmienną określającą

10 _{R.C. Blattberg, J. Deighton, op.cit.}

11 _{M. Ma, Z. Li, J. Chen, Phase-type distribution of customer relationship with Markovian}

response and marketing expenditure decision on the customer lifetime value, „European Journal of

Operational Research” 2008, vol. 187, s. 313–326.

12 _Ibidem.

Blattberg i Deighton10 _{zaproponowali model, w którym zależność stopy retencji}

od wydatków M ponoszonych w każdym okresie przez firmę na utrzymanie relacji z klientem wyraża się wzorem:

9 gdzie: R – przychód w okresie t, t C – koszty w okresie t, r – stopa retencji, d – t

stopa procentowa, co, przy dodatkowym założeniu stałych w czasie kosztów i przychodów, prowadzi do granicznej wartości

(

)

( )

_dd_r T t t d t _{R C R C} r CLV ₊+₋ = − + − ∞₌

_

_{− = −} 11 1 1 11 1 _{( ) .}

Blattberg i Deighton10 _{zaproponowali model, w którym zależność stopy}

retencji od wydatków M ponoszonych w każdym okresie przez firmę na utrzymanie relacji z klientem wyraża się wzorem

0 , )), exp( 1 ( − − > =a bM a b r . (3)

Inne obecne w literaturze11 _{podejście do modelowania stopy retencji polega na}

zastosowaniu funkcji postaci

0 , , ) exp( 1+ − > = a b bM a r . (4)

Zgodnie z wzorem (3), stopa retencji jest rosnącą funkcją wydatków ponoszonych na utrzymanie relacji, przy czym zerowe wydatki oznaczają zerową stopę retencji. Z kolei w przypadku funkcji (4) nawet zerowe wydatki na utrzymanie klienta skutkują dodatnią stopą retencji, jednak ograniczenia tego typu łatwo skorygować, dodając stałą w wykładniku. W obu przypadkach parametr a<1 określa górną granicę stopy retencji osiągalną przy nieograniczonym budżecie. Alternatywą wobec zastosowania funkcji (3) i (4) lub ich modyfikacji może być szacowanie stopy retencji przy użyciu modelu logitowego. Każdorazowo, w celu oszacowania parametrów stopy retencji należy zgromadzić informacje o aktywności klientów w kolejnych okresach oraz ponoszonych w tym celu wydatkach.

4. Model CLV ze stopą retencji uwzględniającą historię klienta

Ma, Li i Chen12 _{zaproponowali podejście, w którym stopa retencji jest}

modelowana z uwzględnieniem pamięci o ostatnim zakupie (tzw. krótkookresowy efekt promocyjny). W tym celu wprowadzili ciąg zmiennych losowych

{ }

Y , _t

   = przypadku, przeciwnym w , 0 , okresie aktywny w jest klient gdy , 1 t Yt

spełniających własność Markowa

) ( ) | ( P ) ..., , , | ( P Yt = j Y0 Y1 Yt−1=i = Yt = j Yt−1=i = pij M . (5)

Tym samym otrzymali dwustanowy łańcuch Markowa o prawdopodobieństwach przejścia, tzn. prawdopodobieństwach aktywności w następnym okresie, uzależnionych od aktywności w okresie bieżącym oraz wysiłków marketingowych firmy mierzonych wydatkami ponoszonymi na utrzymanie relacji z klientem (zmienna M). Wprowadzając następnie zmienną określającą

10 _{R.C. Blattberg, J. Deighton, op.cit.}

11 _{M. Ma, Z. Li, J. Chen, Phase-type distribution of customer relationship with Markovian}

response and marketing expenditure decision on the customer lifetime value, „European Journal of

Operational Research” 2008, vol. 187, s. 313–326.

12 _Ibidem.

(3) Inne obecne w literaturze11 _{podejście do modelowania stopy retencji polega na}

zastosowaniu funkcji postaci:

8 V. Kumar, Zarządzanie wartością klienta, Wydawnictwa Profesjonalne PWN, Warszawa 2010, s. 44–45.

9 R.C. Blattberg, B.D. Kim, S.A. Neslin, op.cit., s. 111.

10 R.C. Blattberg, J. Deighton, op.cit.

11 M. Ma, Z. Li, J. Chen, Phase ‑type distribution of customer relationship with Markovian response and marketing expenditure decision on the customer lifetime value, „European Journal of Operational Research” 2008, vol. 187, s. 313–326.

17 Modelowanie CLV przy użyciu łańcucha Markowa – wykorzystanie danych panelowych

9

gdzie:

R – przychód w okresie t,

_t

C – koszty w okresie t, r – stopa retencji, d –

_t

stopa procentowa, co, przy dodatkowym założeniu stałych w czasie kosztów i

przychodów, prowadzi do granicznej wartości

(

)

( )

_dd_r T t t d t

_R

_C

_R

_C

r

CLV

₊+₋ = − + − ∞

₌

_

₋

₌

₋

11 1 1 11 1

₍

₎

_.

Blattberg i Deighton

10

_{zaproponowali model, w którym zależność stopy}

retencji od wydatków M ponoszonych w każdym okresie przez firmę na

utrzymanie relacji z klientem wyraża się wzorem

0 , )), exp( 1 ( − − > =a bM a b r

. (3)

Inne obecne w literaturze

11

_{podejście do modelowania stopy retencji polega na}

zastosowaniu funkcji postaci

0

,

,

)

exp(

1

+

−

>

=

a

b

bM

a

r

. (4)

Zgodnie z wzorem (3), stopa retencji jest rosnącą funkcją wydatków ponoszonych

na utrzymanie relacji, przy czym zerowe wydatki oznaczają zerową stopę retencji.

Z kolei w przypadku funkcji (4) nawet zerowe wydatki na utrzymanie klienta

skutkują dodatnią stopą retencji, jednak ograniczenia tego typu łatwo skorygować,

dodając stałą w wykładniku. W obu przypadkach parametr

a<1

określa górną

granicę stopy retencji osiągalną przy nieograniczonym budżecie. Alternatywą

wobec zastosowania funkcji (3) i (4) lub ich modyfikacji może być szacowanie

stopy retencji przy użyciu modelu logitowego. Każdorazowo, w celu oszacowania

parametrów stopy retencji należy zgromadzić informacje o aktywności klientów

w kolejnych okresach oraz ponoszonych w tym celu wydatkach.

4. Model CLV ze stopą retencji uwzględniającą historię klienta

Ma, Li i Chen

12

_{zaproponowali podejście, w którym stopa retencji jest}

modelowana z uwzględnieniem pamięci o ostatnim zakupie (tzw. krótkookresowy

efekt promocyjny). W tym celu wprowadzili ciąg zmiennych losowych

{ }

Y ,

_t







=

przypadku,

przeciwnym

w

,

0

,

okresie

aktywny w

jest

klient

gdy

,

1

t

Y

t

spełniających własność Markowa

)

(

)

|

(

P

)

...,

,

,

|

(

P

Y

t

=

j

Y

0

Y

1

Y

t−1

=

i

=

Y

t

=

j

Y

t−1

=

i

=

p

ij

M

. (5)

Tym samym otrzymali dwustanowy łańcuch Markowa o prawdopodobieństwach

przejścia, tzn. prawdopodobieństwach aktywności w następnym okresie,

uzależnionych od aktywności w okresie bieżącym oraz wysiłków

marketingowych firmy mierzonych wydatkami ponoszonymi na utrzymanie

relacji z klientem (zmienna M). Wprowadzając następnie zmienną określającą

10 _{R.C. Blattberg, J. Deighton, op.cit.}

11 _{M. Ma, Z. Li, J. Chen, Phase-type distribution of customer relationship with Markovian} response and marketing expenditure decision on the customer lifetime value, „European Journal of

Operational Research” 2008, vol. 187, s. 313–326.

12 _Ibidem.

(4) Zgodnie z wzorem (3), stopa retencji jest rosnącą funkcją wydatków ponoszonych na utrzymanie relacji, przy czym zerowe wydatki oznaczają zerową stopę retencji. Z kolei w przypadku funkcji (4) nawet zerowe wydatki na utrzymanie klienta skut‑ kują dodatnią stopą retencji, jednak ograniczenia tego typu łatwo skorygować, do‑ dając stałą w wykładniku. W obu przypadkach parametr a < 1 określa górną granicę stopy retencji osiągalną przy nieograniczonym budżecie. Alternatywą wobec zasto‑ sowania funkcji (3) i (4) lub ich modyfikacji może być szacowanie stopy retencji przy użyciu modelu logitowego. Każdorazowo, w celu oszacowania parametrów stopy re‑ tencji należy zgromadzić informacje o aktywności klientów w kolejnych okresach oraz ponoszonych w tym celu wydatkach.

4. Model CLV ze stopą retencji uwzględniającą historię

klienta

Ma, Li i Chen12 _{zaproponowali podejście, w którym stopa retencji jest modelowana}

z uwzględnieniem pamięci o ostatnim zakupie (tzw. krótkookresowy efekt promo‑ cyjny). W tym celu wprowadzili ciąg zmiennych losowych {Yt},

9 gdzie: R – przychód w okresie t, t C – koszty w okresie t, r – stopa retencji, d – t

stopa procentowa, co, przy dodatkowym założeniu stałych w czasie kosztów i przychodów, prowadzi do granicznej wartości

(

)

( )

_dd_r T t t d t _{R C R C} r CLV ₊+₋ = − + − ∞ ₌

_

_{− = −} 11 1 1 11 1 _{( ) .}

Blattberg i Deighton10 _{zaproponowali model, w którym zależność stopy}

retencji od wydatków M ponoszonych w każdym okresie przez firmę na utrzymanie relacji z klientem wyraża się wzorem

0 , )), exp( 1 ( − − > =a bM a b r . (3)

Inne obecne w literaturze11 _{podejście do modelowania stopy retencji polega na}

zastosowaniu funkcji postaci

0 , , ) exp( 1+ − > = a b bM a r . (4)

Zgodnie z wzorem (3), stopa retencji jest rosnącą funkcją wydatków ponoszonych na utrzymanie relacji, przy czym zerowe wydatki oznaczają zerową stopę retencji. Z kolei w przypadku funkcji (4) nawet zerowe wydatki na utrzymanie klienta skutkują dodatnią stopą retencji, jednak ograniczenia tego typu łatwo skorygować, dodając stałą w wykładniku. W obu przypadkach parametr a<1 określa górną granicę stopy retencji osiągalną przy nieograniczonym budżecie. Alternatywą wobec zastosowania funkcji (3) i (4) lub ich modyfikacji może być szacowanie stopy retencji przy użyciu modelu logitowego. Każdorazowo, w celu oszacowania parametrów stopy retencji należy zgromadzić informacje o aktywności klientów w kolejnych okresach oraz ponoszonych w tym celu wydatkach.

4. Model CLV ze stopą retencji uwzględniającą historię klienta

Ma, Li i Chen12 _{zaproponowali podejście, w którym stopa retencji jest}

modelowana z uwzględnieniem pamięci o ostatnim zakupie (tzw. krótkookresowy efekt promocyjny). W tym celu wprowadzili ciąg zmiennych losowych

{ }

Y , _t

   = przypadku, przeciwnym w ,

0 ,gdy klient jest aktywny wokresie ,

1 t

Yt

spełniających własność Markowa

) ( ) | ( P ) ..., , , | ( P Yt = j Y0 Y1 Yt−1=i = Yt = j Yt−1=i = pij M . (5)

Tym samym otrzymali dwustanowy łańcuch Markowa o prawdopodobieństwach przejścia, tzn. prawdopodobieństwach aktywności w następnym okresie, uzależnionych od aktywności w okresie bieżącym oraz wysiłków marketingowych firmy mierzonych wydatkami ponoszonymi na utrzymanie relacji z klientem (zmienna M). Wprowadzając następnie zmienną określającą

10 _{R.C. Blattberg, J. Deighton, op.cit.}

11 _{M. Ma, Z. Li, J. Chen, Phase-type distribution of customer relationship with Markovian}

response and marketing expenditure decision on the customer lifetime value, „European Journal of

Operational Research” 2008, vol. 187, s. 313–326.

12 _Ibidem.

spełniających własność Markowa:

9 gdzie: R – przychód w okresie t, t C – koszty w okresie t, r – stopa retencji, d – t

stopa procentowa, co, przy dodatkowym założeniu stałych w czasie kosztów i przychodów, prowadzi do granicznej wartości

(

)

( )

_dd_r T t t d t _{R C R C} r CLV ₊+₋ = − + − ∞ ₌

_

_{− = −} 11 1 1 11 1 _{( ) .}

Blattberg i Deighton10 _{zaproponowali model, w którym zależność stopy}

retencji od wydatków M ponoszonych w każdym okresie przez firmę na utrzymanie relacji z klientem wyraża się wzorem

0 , )), exp( 1 ( − − > =a bM a b r . (3)

Inne obecne w literaturze11 _{podejście do modelowania stopy retencji polega na}

zastosowaniu funkcji postaci

0 , , ) exp( 1+ − > = a b bM a r . (4)

Zgodnie z wzorem (3), stopa retencji jest rosnącą funkcją wydatków ponoszonych na utrzymanie relacji, przy czym zerowe wydatki oznaczają zerową stopę retencji. Z kolei w przypadku funkcji (4) nawet zerowe wydatki na utrzymanie klienta skutkują dodatnią stopą retencji, jednak ograniczenia tego typu łatwo skorygować, dodając stałą w wykładniku. W obu przypadkach parametr a<1 określa górną granicę stopy retencji osiągalną przy nieograniczonym budżecie. Alternatywą wobec zastosowania funkcji (3) i (4) lub ich modyfikacji może być szacowanie stopy retencji przy użyciu modelu logitowego. Każdorazowo, w celu oszacowania parametrów stopy retencji należy zgromadzić informacje o aktywności klientów w kolejnych okresach oraz ponoszonych w tym celu wydatkach.

4. Model CLV ze stopą retencji uwzględniającą historię klienta

Ma, Li i Chen12 _{zaproponowali podejście, w którym stopa retencji jest}

modelowana z uwzględnieniem pamięci o ostatnim zakupie (tzw. krótkookresowy efekt promocyjny). W tym celu wprowadzili ciąg zmiennych losowych

{ }

Y , _t

   = przypadku, przeciwnym w ,

0 ,gdy klient jest aktywny wokresie ,

1 t

Yt

spełniających własność Markowa

) ( ) | ( P ) ..., , , | ( P Yt = j Y0 Y1 Yt−1=i = Yt = j Yt−1=i = pij M . (5)

Tym samym otrzymali dwustanowy łańcuch Markowa o prawdopodobieństwach przejścia, tzn. prawdopodobieństwach aktywności w następnym okresie, uzależnionych od aktywności w okresie bieżącym oraz wysiłków marketingowych firmy mierzonych wydatkami ponoszonymi na utrzymanie relacji z klientem (zmienna M). Wprowadzając następnie zmienną określającą

10 _{R.C. Blattberg, J. Deighton, op.cit.}

11 _{M. Ma, Z. Li, J. Chen, Phase-type distribution of customer relationship with Markovian}

response and marketing expenditure decision on the customer lifetime value, „European Journal of

Operational Research” 2008, vol. 187, s. 313–326.

12 _Ibidem.

(5) Tym samym otrzymali dwustanowy łańcuch Markowa o prawdopodobieństwach przejścia, tzn. prawdopodobieństwach aktywności w następnym okresie, uzależnio‑ nych od aktywności w okresie bieżącym oraz wysiłków marketingowych firmy mie‑ rzonych wydatkami ponoszonymi na utrzymanie relacji z klientem (zmienna M). Wprowadzając następnie zmienną określającą przychody,_przychody,

   = = = , 0 dla , 0 ,dla t ,1 t t R _YY R

oraz oznaczając czas do zakończenia relacji symbolem T , wartość klienta δ

zdefiniowali jako



δ = δ + − + = T t t t d M R R CLV 1(1 ) . (6)

Występujący we wzorze (6) parametr δ oznacza czas braku aktywności klienta, po którym firma uważa relację za skończoną i zaprzestaje wydatków na jej utrzymanie. W celu wyznaczenia wartości oczekiwanych zmiennych R , t T δ

oraz CLV autorzy posłużyli się pomocniczym łańcuchem Markowa o jednym δ

stanie pochłaniającym i stanach chwilowych odpowiadających wartości w systemie dziesiętnym sekwencji zer i jedynek reprezentujących ostatnich δ realizacji łańcucha oryginalnego

{ }

Y wyrażonej w zapisie dwójkowym, t

zastosowana przez nich metoda wydaje się jednak bardzo złożona. W dalszej części artykułu omówiono alternatywną (i w mniemaniu autorki znacznie bardziej intuicyjną i łatwiejszą w aplikacji) metodę, wykorzystującą analogiczne założenia, jak również koncepcję podaną wcześniej przez Pfeifera i Carrawaya13_.

Przyjmuje się zatem, że:

• firma usiłuje pozyskać i utrzymać klienta; w przypadku sukcesu otrzymuje z każdego zakupu dokonanego przez klienta przychód netto wielkości R, • dopuszcza się przerwy w relacjach klient–firma,

• w każdym okresie, gdy klient jest uważany za aktywnego (czyli szanse na jego powrót nie zostały jeszcze przekreślone), firma wydaje kwotę M na podtrzymanie relacji,

• prawdopodobieństwo dokonania zakupu w kolejnym okresie zależy od czasu, jaki upłynął od ostatniego zakupu.

Modelem opisanej sytuacji jest łańcuch Markowa z wypłatami o δ+1 stanach, wśród których δ jest zdefiniowanych jako liczba okresów, jakie upłynęły od ostatniego zakupu, zaś ostatni stan pochłaniający oznacza utratę klienta. Odpowiada to założeniu, że firma nie wierzy w powrót klienta, który był nieaktywny w ciągu ostatnich δ okresów, i kończy z nim relację. Macierz przejścia tego łańcucha ma postać

                − − − = δ δ 1 ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 ... 1 0 0 ... 0 1 2 2 1 1 p p p p p p M O M M M P , (7) 13 _{Ph. E. Pfeifer, R.L. Carraway, op.cit.}

oraz oznaczając czas do zakończenia relacji symbolem Tδ, wartość klienta zdefinio‑

wali jako:

12 Ibidem.

Anna Decewicz 18 10 przychody,    = = = , 0 dla , 0 ,dla t ,1 t t R _YY R

oraz oznaczając czas do zakończenia relacji symbolem T , wartość klienta δ

zdefiniowali jako



δ = δ + − + = T t t t d M R R CLV 1(1 ) . (6)

Występujący we wzorze (6) parametr δ oznacza czas braku aktywności klienta, po którym firma uważa relację za skończoną i zaprzestaje wydatków na jej utrzymanie. W celu wyznaczenia wartości oczekiwanych zmiennych R , t T δ

oraz CLV autorzy posłużyli się pomocniczym łańcuchem Markowa o jednym δ

stanie pochłaniającym i stanach chwilowych odpowiadających wartości w systemie dziesiętnym sekwencji zer i jedynek reprezentujących ostatnich δ realizacji łańcucha oryginalnego

{ }

Y wyrażonej w zapisie dwójkowym, t

zastosowana przez nich metoda wydaje się jednak bardzo złożona. W dalszej części artykułu omówiono alternatywną (i w mniemaniu autorki znacznie bardziej intuicyjną i łatwiejszą w aplikacji) metodę, wykorzystującą analogiczne założenia, jak również koncepcję podaną wcześniej przez Pfeifera i Carrawaya13_.

Przyjmuje się zatem, że:

• firma usiłuje pozyskać i utrzymać klienta; w przypadku sukcesu otrzymuje z każdego zakupu dokonanego przez klienta przychód netto wielkości R, • dopuszcza się przerwy w relacjach klient–firma,

• w każdym okresie, gdy klient jest uważany za aktywnego (czyli szanse na jego powrót nie zostały jeszcze przekreślone), firma wydaje kwotę M na podtrzymanie relacji,

• prawdopodobieństwo dokonania zakupu w kolejnym okresie zależy od czasu, jaki upłynął od ostatniego zakupu.

Modelem opisanej sytuacji jest łańcuch Markowa z wypłatami o δ+1 stanach, wśród których δ jest zdefiniowanych jako liczba okresów, jakie upłynęły od ostatniego zakupu, zaś ostatni stan pochłaniający oznacza utratę klienta. Odpowiada to założeniu, że firma nie wierzy w powrót klienta, który był nieaktywny w ciągu ostatnich δ okresów, i kończy z nim relację. Macierz przejścia tego łańcucha ma postać

                − − − = δ δ 1 ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 ... 1 0 0 ... 0 1 2 2 1 1 p p p pp p M O M M M P , (7) 13 _{Ph. E. Pfeifer, R.L. Carraway, op.cit.}

(6) Występujący we wzorze (6) parametr δ oznacza czas braku aktywności klienta, po którym firma uważa relację za skończoną i zaprzestaje wydatków na jej utrzymanie. W celu wyznaczenia wartości oczekiwanych zmiennych Rt, Tδ oraz CLVδ autorzy

posłużyli się pomocniczym łańcuchem Markowa o jednym stanie pochłaniającym i stanach chwilowych odpowiadających wartości w systemie dziesiętnym sekwencji zer i jedynek reprezentujących ostatnich δ realizacji łańcucha oryginalnego {Yt} wy‑

rażonej w zapisie dwójkowym, zastosowana przez nich metoda wydaje się jednak bardzo złożona. W dalszej części artykułu omówiono alternatywną (i w mniemaniu autorki znacznie bardziej intuicyjną i łatwiejszą w aplikacji) metodę, wykorzystującą analogiczne założenia, jak również koncepcję podaną wcześniej przez Pfeifera i Car‑ rawaya13_.

Przyjmuje się zatem, że:

z firma usiłuje pozyskać i utrzymać klienta; w przypadku sukcesu otrzymuje z każ‑ dego zakupu dokonanego przez klienta przychód netto wielkości R,

z dopuszcza się przerwy w relacjach klient–firma,

z w każdym okresie, gdy klient jest uważany za aktywnego (czyli szanse na jego powrót nie zostały jeszcze przekreślone), firma wydaje kwotę M na podtrzyma‑ nie relacji,

z prawdopodobieństwo dokonania zakupu w kolejnym okresie zależy od czasu, jaki upłynął od ostatniego zakupu.

Modelem opisanej sytuacji jest łańcuch Markowa z wypłatami o δ + 1 stanach, wśród których δ jest zdefiniowanych jako liczba okresów, jakie upłynęły od ostat‑ niego zakupu, zaś ostatni stan pochłaniający oznacza utratę klienta. Odpowiada to założeniu, że firma nie wierzy w powrót klienta, który był nieaktywny w ciągu ostat‑ nich δ okresów, i kończy z nim relację. Macierz przejścia tego łańcucha ma postać:

10 przychody,    = = = , 0 dla , 0 ,1 dla , t t t R _YY R

oraz oznaczając czas do zakończenia relacji symbolem T , wartość klienta δ

zdefiniowali jako



δ = δ + − + = T t t t dM R R CLV 1(1 ) . (6)

Występujący we wzorze (6) parametr δ oznacza czas braku aktywności klienta, po którym firma uważa relację za skończoną i zaprzestaje wydatków na jej utrzymanie. W celu wyznaczenia wartości oczekiwanych zmiennych R , t T δ

oraz CLV autorzy posłużyli się pomocniczym łańcuchem Markowa o jednym δ

stanie pochłaniającym i stanach chwilowych odpowiadających wartości w systemie dziesiętnym sekwencji zer i jedynek reprezentujących ostatnich δ realizacji łańcucha oryginalnego

{ }

Y wyrażonej w zapisie dwójkowym, _t

zastosowana przez nich metoda wydaje się jednak bardzo złożona. W dalszej części artykułu omówiono alternatywną (i w mniemaniu autorki znacznie bardziej intuicyjną i łatwiejszą w aplikacji) metodę, wykorzystującą analogiczne założenia, jak również koncepcję podaną wcześniej przez Pfeifera i Carrawaya13_.

Przyjmuje się zatem, że:

• firma usiłuje pozyskać i utrzymać klienta; w przypadku sukcesu otrzymuje z każdego zakupu dokonanego przez klienta przychód netto wielkości R, • dopuszcza się przerwy w relacjach klient–firma,

• w każdym okresie, gdy klient jest uważany za aktywnego (czyli szanse na jego powrót nie zostały jeszcze przekreślone), firma wydaje kwotę M na podtrzymanie relacji,

• prawdopodobieństwo dokonania zakupu w kolejnym okresie zależy od czasu, jaki upłynął od ostatniego zakupu.

Modelem opisanej sytuacji jest łańcuch Markowa z wypłatami o δ+1 stanach, wśród których δ jest zdefiniowanych jako liczba okresów, jakie upłynęły od ostatniego zakupu, zaś ostatni stan pochłaniający oznacza utratę klienta. Odpowiada to założeniu, że firma nie wierzy w powrót klienta, który był nieaktywny w ciągu ostatnich δ okresów, i kończy z nim relację. Macierz przejścia tego łańcucha ma postać

                − − − = δ δ 1 ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 ... 1 0 0 ... 0 1 2 2 1 1 p p p p p p M O M M M P , (7)

13 _{Ph. E. Pfeifer, R.L. Carraway, op.cit.}

, (7)

przy czym pi dla i = 1, 2, … , δ oznacza prawdopodobieństwo ponownego zakupu,

jeśli poprzedni został dokonany i okresów wstecz, a wektor wypłat jest równy:

13 Ph.E. Pfeifer, R.L. Carraway, op.cit.