Pierwsze fundamentalne twierdzenie wyceny arbitrażowej : konstrukcja miary martyngałowej

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 780. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2008. Katarzyna Budny Katedra Matematyki. Pierwsze fundamentalne twierdzenie wyceny arbitrażowej. Konstrukcja miary martyngałowej 1. Wprowadzenie Rynek wolny od arbitrażu to rynek fair, racjonalny, na którym nie ma możliwości uzyskania korzyści bez poniesienia ryzyka. Punktem wyjścia przy modelowaniu rynku jest (Ω, ℑ, P) przestrzeń probabilistyczna, gdzie Ω jest zbiorem, ℑ jest σ-algebrą, a P to miara probabilistyczna. Istnieje twierdzenie, zwane pierwszym fundamentalnym twierdzeniem wyceny arbitrażowej, które podaje warunek konieczny i wystarczający na to, aby na rynku nie występował arbitraż. Warunkiem tym jest istnienie (przynajmniej jednej) miary równoważnej mierze wyjściowej, przy której proces zdyskontowanych cen akcji jest martyngałem. W pracy zostanie przedstawiony dowód tego wyniku, nienarzucający ograniczeń na Ω. Podstawowe narzędzia wykorzystywane w dowodzie (definicje i elementarne fakty z analizy matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa) można znaleźć m.in. w [Fichtenholz 1999], [Jakubowski, Sztencel 2001], [Ombach 1997]. Istnieje kilka dowodów pierwszego fundamentalnego twierdzenia wyceny arbitrażowej. W większości odwołują się one do rezultatów analizy funkcjonalnej. Dowody te są „dowodami istnienia” i nie podają postaci miary martyngałowej. Z tego powodu interesujące może być przedstawienie dowodu warunku koniecznego, w którym znajduje się konstrukcja tej miary. Pomysł dowodu pochodzi od L.C.G. Rogersa [1994]. Przedstawiona w pracy konstrukcja jest szczegółowa – w odróżnieniu od ogólnych, abstrakcyjnych idei Rogersa. Konstrukcyjna idea dowodu tego twierdzenia znajduje się także w pracy [Shiryaev 1999]..

(2) Katarzyna Budny. 62. 2. Pierwsze fundamentalne twierdzenie wyceny arbitrażowej – dowód warunku koniecznego (konstrukcja miary martyngałowej) 2.1. Pierwsze fundamentalne twierdzenie wyceny arbitrażowej oraz twierdzenia pomocnicze wykorzystywane w konstrukcji miary martyngałowej. Twierdzenie (pierwsze fundamentalne twierdzenie wyceny martyngałowej). Załóżmy, że (B,S)-rynek na przestrzeni probabilistycznej (Ω, ℑ, P) z filtracją (ℑn )nN=1 składa się z pozycji (lokat) bankowych B = ( B(n ))nN= 0, gdzie B(n) > 0 oraz. (. skończenie wielu akcji S = (S1, …,Sd), S i = S i (n ). ). N. n=0. . Załóżmy też, że rynek działa. w chwilach n = 0, 1, …, N oraz że ℑ0 = {∅, Ω}, ℑN = ℑ. Rynek ten jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje (przynajmniej jedna) miara Ρ (tzw. miara martyngałowa) równoważna wyjściowej mierze P,. ( (. S (n ) taka że d-wymiarowy ciąg zdyskontowanych cen akcji S% = B( n ). ( ( ( (. tyngałem, tzn. 1) EP% oraz 2) EP%. N. n=0. jest Ρ-mar-. Si ( n ) < +∞ dla każdego i = 1, …, d, a także dla każdego n = 0, 1, …, N B( n ). Si ( n ) S i (n – 1) | ℑn –1 = Ρ – prawie wszędzie dla każdego i = 1, …, d oraz B( n ) B(n – 1). dla każdego n = 1, …, N.. Dowód warunku koniecznego dla braku arbitrażu. Rozważmy ciąg wektorów losowych (X1, …, XN), gdzie Xn: Ω → ℜd, takich że Xn = ∆S(n) = S(n) – S(n – 1) dla n = 1, …, N. Dowód zostanie przeprowadzony przy założeniu, że nośnik P(Xn ∈ ⋅|ℑn–1) (ω) (tzn. najmniejszy zbiór domknięty B ∈ B(ℜd), taki że P(Xn ∈ B|ℑn–1) (ω) = 1) nie leży w żadnej właściwej podprzestrzeni ℜd. Przedstawimy konstrukcyjny dowód istnienia miary martyngałowej Ρ. Dowód ten poprzedzimy następującymi trzema twierdzeniami. Twierdzenie 1 [Rogers 1994]. Niech: ϕ: Ω × ℜd → ℜ+ ma następujące własności: 1) ϕ (ω, · ) jest ściśle wypukła dla każdego ω, 2) ϕ ( · , a) jest �-mierzalna dla każdego a, gdzie � jest pod σ-algebrą ℑ..

(3) Pierwsze fundamentalne twierdzenie…. 63. Wtedy zdarzenia: A0 = {ω: istnieje a(ω), takie że ϕ(ω, a(ω)) ≤ ϕ (ω, a) dla wszystkich a} oraz A1 = {ω: dla każdego a ∈ ℜd \ {0} lim ϕ (ω, ta ) = + ∞} są takie same i są �-miet →∞ rzalne. Co więcej, a jest �-mierzalna. Twierdzenie 2 [Rogers 1994]. Przyjmując założenia twierdzenia 1 oraz że zbiory postaci F(ω) = {a ∈ Sd–1: lim ϕ (ω, ta ) < = +∞ ∞} są domknięte dla ustalonego t →∞. ω, uzyskujemy �-mierzalny wybór α(ω) ∈ F(ω), pod warunkiem że zbiory F(ω) nie są puste. Twierdzenie 3 [Rogers 1994]. Następujące warunki są równoważne: 1) istnieje możliwość arbitrażu, 2) dla pewnego n = 1, …, N istnieje ℑn–1-mierzalna zmienna losowa αn o wartościach w ℜd, taka że 〈αn, Sn – Sn–1〉 ≥ 0 P – prawie wszędzie oraz P[〈αn, Sn – Sn–1〉 > 0] > > 0. 2.2. Idea konstrukcji miary martyngałowej. Na początku konstrukcji przejdziemy od miary P do nowej miary Q zdefiniowanej następująco: N. Q(dω ) = c ⋅ exp − ∑ X n. 2. dΡ,. n =1. tzn. Q( A ) = c ⋅ exp − ∑ n =1 X n N. ∫. 2. dP , dla dowolnego A ∈ ℑ, gdzie c jest stałą. A. tak dobraną, aby Q(Ω) = 1, czyli c–1 = EP exp − ∑ n =1 X n N. 2. .. Miara Q spełnia następujący warunek: N. (1) EQ exp − ∑ an , X n. < + ∞, gdzie an = ( a1n ,..., and ) ∈ ℜd dla n = 1, 2, …, N.. n =1. Wynika to z następujących oszacowań, w których wykorzystujemy fakt, że. funkcja Φ(x1, …, x N) = –∑ n =1 ∑ i =1 ani + xni ⋅ xni osiąga maksimum w punkcie N. −. a11 2. ,..., −. a1d 2. ,..., −. a1N 2. ,..., −. aNd 2. d. :. (. ).

(4) Katarzyna Budny. 64 N. EQ exp − ∑ an , X n. =. n =1. N. ∫. N. ∫. d. n =1 i =1. Ω. ≤ c⋅ ℜ. ∫. d ⋅N. (. exp. ). N. d. ∑∑ n =1 i =1. i 2 n. (a ) 4. dΡ. an , X n dQ =. N. ⋅.⋅ exp − ∑ X n , X n dΡ =. n =1. = c ⋅ exp − ∑ ∑ ani + X ni ⋅ X ni dΡ = c ⋅. n =1. Ω. = c . exp − ∑ an , X n Ω. N. ∫ exp −∑ n =1. ∫. ℜ d ⋅N. N. d. exp − ∑ ∑ ani + xni ⋅ xni dΡ n =1 i =1. (. ). N. 1 1. 1 d 1 ,..., X N. ( X ,.., X. ,..., X Nd. d. ∑ ) = c ⋅ exp ∑ n =1 i =1. 1 1. d 1 1 ,..., X N. ( X ,.., X. i 2 n. (a ) 4. ,..., X Nd. )≤. < + ∞.. Teraz skonstruujemy indukcyjnie miary PN ≡ Q, PN–1, …, P0 ≡ Ρ (równoważne mierze wyjściowej P) w następujący sposób: (2) dΡ n = cn ⋅. N. ∏. k = n +1. e- < ξ k , Xk > dQ , tzn. Ρ n ( A ) = ∫ cn ⋅ A. A ∈ ℑ,. N. ∏. k = n +1. e- < ξ k , Xk > dQ dla każdego. gdzie ξk jest zmienną losową ℑk–1 mierzalną, a cn odpowiednio dobraną stałą normalizującą (tzn. taką, że Pn (Ω) = 1). Miary Pn będą tak skonstruowane (tzn. ξk tak dobrane), aby spełnione były warunki: (2i) dla wszystkich k ≤ n i wszystkich a ∈ ℜd e-< a, Xk > ∈ L1(Pn), (2ii) EΡ n X ki ℑk −1 = 0 dla k = n + 1, …, N oraz i = 1, …, d.. (. ). 2.3. Konstrukcja miary martyngałowej. Niech PN ≡ Q. Miara PN spełnia warunek (2i) na podstawie (1). Warunek (2ii) dla PN w sposób oczywisty zachodzi. Załóżmy wobec tego, że mamy już zbudowane miary PN, …, Pn dane wzorem (2) i spełniające warunki (2i) oraz (2ii). Naszym celem będzie skonstruowanie miary Pn–1. Miara Pn spełnia warunek (2i). Wynika stąd w szczególności, że e-< a, Xn > ∈ L1(Pn) dla wszystkich a ∈ ℜd. Rozważmy zatem funkcję:. (. ). ϕn(ω, a) = EΡ n e − < a, Xn > ℑn −1 ( ω ), gdzie a ∈ ℜd, ω ∈ Ω.. Zauważmy, że funkcja ϕn(ω, · ) jest ściśle wypukła dla każdego ω ∈ Ω, ponieważ funkcja f(w) = e-w jest ściśle wypukła. Funkcja ϕn( · , a) jest natomiast ℑn–1-mierzalna dla każdego a ∈ ℜd, co wynika z definicji warunkowej wartości oczekiwanej..

(5) Pierwsze fundamentalne twierdzenie…. 65. Istotne dla dalszej konstrukcji będzie następujące twierdzenie. Twierdzenie 4. Dla ustalonego ω ∈ Ω istnieje a n(ω) ∈ ℜd, taki że a n(ω) minimalizuje ϕn(ω, · ).. Dowód. Niech F(ω) = {a ∈ Sd–1: lim ϕn(ω, ta) < +∞}. Na początek rozważmy, t →∞. co się dzieje, gdy a ∈ F(ω). Z określenia zbioru F(ω) wynika, że lim ϕn(ω, ta) < +∞. t →∞ Otrzymujemy stąd, że ϕn(ω, ta) jest funkcją ograniczoną przy t → +∞. Zauważmy, że:. (. ). (3) ϕn(ω, ta) EΡ n e − < ta, Xn > ℑn −1 ( ω ) =. ∫e. − t < a, x >. ℜd. Ρ nXn ℑn−1 ( dx, ω ),. gdzie Ρ nXn ℑn−1 to regularny rozkład warunkowy zmiennej Xn pod warunkiem ℑn–1. Z tego. faktu wynika następujący warunek: Ρ nX. n. ℑn −1. ({x ∈ℜ : a, x d. } ). < 0 ,ω = 0, który jest. równoważny warunkowi Ρ n ( a, X n < 0 ℑn −1 ) ( ω ) = 0. Wynika stąd, że zbiory F(ω). są następującej postaci F(ω) = {a ∈ Sd–1: Ρ nXn ℑn−1. ({x ∈ℜ : a, x d. } ). < 0 ,ω = 0}.. Dla dalszej części dowodu rozważmy następujące lematy.. Lemat 1. Dla ustalonego ω ∈ Ω zbiór F(ω) jest zbiorem domkniętym. ∞. Dowód. Istotnie rozważmy ciąg {am }m =1 ⊂ F ( ω ), taki że am. m→∞. aˆ . Dla. każdego m ∈ N zachodzi równość: Ρ n ( am , X n < 0 ℑn −1 ) ( ω ) = 0. Jest to rów-. noważne warunkowi Ρ n ( am , X n ≥ 0 ℑn −1 ) ( ω ) = 1 . Pytamy, czy a ∈ F(ω). Chce-. my wobec tego sprawdzić, czy Ρ n ( aˆ, X n ≥ 0 ℑn −1 ) ( ω ) = 1. Zauważmy, że ∞ ∞ 1 I U I m ≥ k am , Xn ≥ − l = { aˆ, Xn ≥ 0}. Dzięki ciągłości iloczynu skalarnego l =1 k =1 i ciągłości miary dla zbiorów zstępujących otrzymujemy tezę. Lemat 2. Dla prawie wszystkich ω zbiory F(ω) są puste. Dowód. Załóżmy nie wprost, że Pn(ω: F(ω) ≠ ∅) > 0. Dzięki 1ematowi 1 możemy zastosować twierdzenie 2, z którego otrzymujemy ℑn–1-mierzalny wybór αn(ω) ∈ F(ω) (jeśli F(ω) ≠ ∅). Dla ω, takich że F(ω) = ∅, przyjmujemy αn(ω) := 0(1×d). Wówczas spełniony jest następujący warunek: Ρ nXn ℑn−1. ({ x ∈ ℜ : α d. n. (ω ) , x. } ). > 0 , ω > 0..

(6) Katarzyna Budny. 66. Istotnie, przypuśćmy, że tak nie jest. Wobec tego zachodzi równość: Ρ nXn ℑn−1. ({ x ∈ ℜ : α d. n. (ω ) , x. } ). > 0 , ω = 0.. Z faktu, że αn(ω) ∈ F(ω), otrzymujemy równość: Ρ nXn ℑn−1. ({ x ∈ ℜ : α. n. (ω ) , x. < 0 , ω = 0.. Ρ nXn ℑn−1. ({ x ∈ ℜ : α. n. (ω ) , x. = 0 , ω = 1.. d. } ). Zatem d. } ). Z uwagi na to, że zbiór domknięty {x ∈ ℜd: α n ( ω ) , x = 0}, to właściwa podprzestrzeń w ℜd i dowód przeprowadzamy w przypadku, gdy nośnik regularnego rozkładu warunkowego P(Xn ∈ · |ℑn–1)(ω) nie leży w żadnej właściwej podprzestrzeni ℜd oraz z równoważności miar P oraz Pn, uzyskujemy: Ρ nXn ℑn−1. ({ x ∈ ℜ : α d. n. (ω ) , x. } ). = 0 , ω ≠ 1.. Prowadzi to do sprzeczności, dzięki której: Ρ n α n ( ω ) , X n > 0 ℑn −1 ( ω ) > 0. (. ). dla. ω ∈ A = {ω: F(ω) ≠ ∅}.. Korzystając z definicji prawdopodobieństwa zbioru pod warunkiem σ-algebry otrzymujemy:. (. EΡ n 1{ α (ω ), X n n. >0. ). (. } ℑn −1 ( ω ) = EΡ n 1{ α n , Xn. > 0}. ). ℑn −1 ( ω ) =. = Ρ n ( α n , X n > 0 ℑn −1 ) ( ω ) > 0 dla (ω) ∈ A. Dla ω, takich że F(ω) = ∅, przyjmujemy αn(ω) := 0(1×d), więc Ρ n ( α n , X n > 0 ℑn −1 ) ( ω ) = 0. Wobec tego Ρ n ( α n , X n > 0 ℑn −1 ) ≥ 0 na zbiorze Ω oraz Ρ n ( α n , X n > 0 ℑn −1 ) ( ω ) > 0 dla ω ∈ A. Z założenia Pn (A) > 0 wynika, że EΡ n 1. {α. Ρ n ( α n , X n > 0 ) > 0.. n , Xn. >0. } >0. > 0, wówczas.

(7) Pierwsze fundamentalne twierdzenie…. 67. Z konstrukcji α n otrzymujemy warunek 〈α n, Xn〉 ≥ 0 Pn – prawie wszędzie. Przyjmując więc Xn = Sn – Sn–1 na podstawie twierdzenia 3, αn jest strategią arbitrażową. Sprzeczność kończy dowód lematu 2. Przejdźmy teraz do właściwego dowodu twierdzenia 4. Przypuśćmy, że nie istnieje an(ω) ∈ ℜd minimalizujący funkcję ϕn(ω, · ). Zgodnie z twierdzeniem 1 oraz dzięki postaci (3) ϕn(ω, ta) istnieje a ∈ ℜd \ {0}, takie że t a < +∞ a. lim ϕ n (ω, ta) < + ∞. W szczególności: lim ϕn ω, t →∞. t →∞. Przyjmując oznaczenie a :=. t a. t→+ ∞. +∞ .. a ∈ Sd–1 otrzymujemy, że a ∈ F(ω), co dzięki lemaa. towi 2 prowadzi do oczywistej sprzeczności (F(ω) = ∅). Otrzymaliśmy zatem ℑn–1-mierzalną zmienną losową a n, taką że a n(ω) minimalizuje ϕn(ω, · ). Miarę Pn–1 zdefiniujemy za pomocą formuły (2), przyjmując za ξ n zmienną losową a n. Zauważmy, że: e − < an (ω ), Xn > ∈ L1(Pn). Fakt, że tak zdefiniowana miara Pn–1 spełnia warunki (2i) oraz (2ii), uzasadniają następujące lematy. Lemat 3. Pn–1 spełnia warunek (2i). Dowód. Załóżmy, że k ≤ n – 1 oraz a ∈ ℜd. Prawdziwość warunku (2i) dla miary Pn–1 wynika z następujących oszacowań:. ∫ e− < a, X > dΡ n −1 = ∫ e− < a, X > ⋅ e− < a% , X > ⋅ cn −1dΡ n = k. Ω. k. n. n. Ω. % = cn −1 ⋅ ∫ EΡ n e– < a, Xk > ⋅ e − < a n , Xn > ℑn −1 dΡ n =. (. Ω. ) ) dΡ ≤ ) dΡ =. % = cn −1 ⋅ ∫ e − < a, X k > ⋅ EΡ n e − < an , Xn > ℑn −1 Ω. ≤ cn −1 ⋅ ∫ e. − < a, Xk >. Ω. EΡ n. ( (e. − < 0 , Xn >. ℑn −1. = cn −1 ⋅ ∫ e − < a, Xk > ⋅ 1dΡ n < +∞. Ω. n. n. W oszacowaniach tych wykorzystujemy, kolejno, definicję warunkowej wartości oczekiwanej oraz fakt, że e –< a, Xk > ∈ L1(Pn), który wynika z założenia indukcyjnego. Następnie ze względu na to, że e –< a, Xk > jest ℑn–1-mierzalna dla k ≤ n – 1 N (gdyż ( ℑn )n =1 jest filtracją), korzystamy z własności wartości oczekiwanej pozwa-.

(8) Katarzyna Budny. 68. lającej wyłączyć tę zmienną losową przed warunkową wartość oczekiwaną. Oszacowania kończy zastosowanie faktu minimalizacji funkcji ϕn(ω, · ) przez a n(ω) i po raz drugi założenia indukcyjnego.. (. ). Lemat 4. EΡ n X ni ⋅ e- < an , Xn > ℑn −1 = 0 dla każdego n = 1, 2, …, N oraz i = 1, …, d.. Dowód. Niech v ∈ ℜd będzie dowolnym wektorem oraz h > 0 dowolną liczbą rzeczywistą. a n(ω) minimalizuje ϕn(ω, · ), wobec tego zachodzi nierówność: 0≤ Mamy zatem: 0≤. 1 h. 1 (ϕ (ω, a n(ω) + h · v) – ϕn(ω, a n(ω))). h n. ∫ e− < a% (ω)+ h⋅v, x > d Ρ nX n. ℜd. = = +. n. ℑn −1. ( dx, w ) − ∫. ℜd. e − < an (ω ), x > d Ρ nXn ℑn−1 (dx, ω) = %. 1 % − < a% ω + h ⋅ v , x > − e − < an (ω ), x > )d ΡnXn ℑn−1 ( dx, w ) = ⋅ ∫ (e n ( ) h ℜd. 1 % % ⋅ ∫ (e − < an (ω ) + h ⋅v, x > − e − < an (ω ), x > ) dΡnXn ℑn−1 ( dx, w ) + h { v , x > 0} 1 ⋅ ∫ (e− < a%n (ω )+ h⋅v, x > − e− < a%n (ω ), x > ) dΡnXn ℑn−1 ( dx, w ) . h { v , x < 0}. Niech h ↓ 0. Korzystając z twierdzenia Lebesque’a o zbieżności monotonicznej, otrzymujemy warunek: 0≤−. ∫. ℜ. v, x ⋅ e − < an (ω ), x >d Ρ nXn ℑn−1 ( dx, ω ) . %. d. Wobec dowolności v ∈ ℜ spełniona jest równość: d. ∫ xi ⋅ e− < a% (ω ), x > dΡ nX. n. czyli. ℜ. d. n. ℑn −1. (. ( dx, ω ) = 0. dla każdego i = 1, …, d,. ). dla każdego i = 1, …, d.. EΡ n X ni ⋅ e- < an (ω ), Xn > ℑn −1 ( ω ). (. ). Lemat 5. EΡ n−1 X ki ℑk −1 = 0 dla k = n, n + 1, …, N oraz i = 1, …, d. Dowód. Załóżmy, że k ≥ n. Korzystając z własności warunkowej wartości oczekiwanej oraz z lematu 3, otrzymujemy tezę, co uzasadniają poniższe obliczenia..

(9) Pierwsze fundamentalne twierdzenie…. 69 N. EΡ n−1 X ki ℑk −1 = EQ X ki ⋅ cn −1 ⋅ ∏ e- < a%l , Xl > ℑk −1 =. (. ). l=n. k −1. N. l=n k −1. l=k. = cn −1 ⋅ ∏ e- < a%l , Xl > ⋅ EQ X ki ⋅ ∏ e- < a%l , Xl > ℑk −1 = = cn −1 ⋅ ∏ e- < al , Xl > ⋅ EΡ k X ki ⋅ e − < a% k , Xk > ℑk −1 = 0. l=n. (. ). ( ). Z lematu 5 wynika w szczególności, że EΡ n−1 X ki = 0 dla k = n, n + 1, …, N oraz i = 1, …, d. Kończąc dowód warunku koniecznego na to, aby na rynku nie występował arbitraż, przyjmijmy Xk = ΔS(k) = S(k) – S(k – 1) oraz Ρ ≡ P0. Zatem Ρ jest miarą martyngałową. Ten fakt kończy dowód. Literatura Fichtenholz G.M. [1999], Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa, t. I, II. Jakubowski J., Sztencel R. [2001], Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, Warszawa. Ombach J. [1997], Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Wydawnictwo Instytutu Matematyki AGH, Kraków. Rogers L.C.R. [1994], Equivalent Martingale Measures and No-arbitrage, „Stochastics and Stochastics Reports”, vol. 51. Shiryaev A.N. [1999], Essentials of Stochastic Finance, Part II –Theory, World Scientific Publishing, Singapore–New Jersey–London–Hong Kong. The First Fundamental Asset Pricing Theorem. The Construction of Martingale Measure An arbitrage-free market is one that is fair and rational, one in there is no opportunity to profit without first talking a risk. The first fundamental asset pricing theorem provides the necessary and sufficient condition for the existence of an arbitrage-free market. This condition is based on the existence of at least one martingale measure, in which the process of discounted share prices is a martingale. The proofs fot that theorem in most cases refer to the results of functional analysis but are “proofs of existence” which do not present a form of martingale measure. This paper presents a proof for the necessary condition and contains a construction of the martingale measure. The idea for this proof comes from L.C.G. Rogers [1994]. The construction is a more detailed presentation of Rogers’ more general, abstract ideas..

(10)