2 Twierdzenie 15.2

Wyk lad 15

Formy kwadratowe II

1 Klasyfikacja form kwadratowych

Twierdzenie 15.1. Je´sli formy kwadratowe n - zmiennych sa r´_, ownowa˙zne, to ich wyr´o˙zniki maja ten sam znak._,

Dow´od. Za l´o˙zmy, ˙ze formy kwadratowe F i G, n-zmiennych sa r´_, ownowa˙zne i maja macierze_, A i B odpowiednio. Wtedy, z twierdzenia x.3, istnieje odwracalna macierz kwadratowa C taka,

˙ze B = C^T · A · C. Zatem z twierdzenia Cauchy’ego oraz z tego, ˙ze det C^T = det C uzyskamy,

˙ze det B = (det C)² · det A. Ale det C 6= 0, wiec (det C)_, ² > 0 i liczby det B i det A maja ten_, sam znak. 2

Twierdzenie 15.2. Ka˙zda forma kwadratowa n-zmiennych jest r´ownowa˙zna formie kano- nicznej postaci

F ([x1, . . . , xn]) = x²₁+ . . . + x²_k− x²_k+1− . . . − x²_k+s, (1) dla pewnych k, s ∈ N0 takich, ˙ze k + s ≤ n.

Dow´od. Na mocy twierdze´n x.6 i x.8 wystarczy ograniczy´c sie do kanonicznych form kwa-_, dratowych F ([x₁, . . . , x_n]) = c₁x²₁+ . . . + c_nx²_n. Je´sli c_i= 0 dla i = 1, . . . , n, to wystarczy wzia´_,c k = s = 0. Niech dalej cj 6= 0 dla pewnego j = 1, . . . , n. Dla ka˙zdej permutacji σ ∈ S_n prze- kszta lcenie f_σ: Rⁿ→ Rⁿ dane wzorem f_σ([x₁, . . . , x_n]) = [x_σ(1), . . . , x_σ(n)] jest automorfizmem liniowym. Mo˙zemy zatem bez zmniejszania og´olno´sci rozwa˙za´n zak lada´c, ˙ze istnieje liczba natu- ralna m ≤ n taka, ˙ze ci 6= 0 dla i = 1, . . . , m i c_i = 0 dla wszystkich i ≥ m oraz istnieja nieujemne_, liczby ca lkowite k i s takie, ˙ze k + s = m i c_i> 0 dla i = 1, . . . , k oraz c_i < 0 dla i = k + 1, . . . , m.

Niech f bedzie endomorfizmem przestrzeni R_, ⁿ przekszta lcajacym wektor [x_, 1, . . . , xn] na wektor [^√1_c

1x1, . . . ,^√1_c

kx_k,^√_−c¹

k+1x_k+1, . . . ,^√_−c¹

mxm, xm+1, . . . , xn]. W´owczas f jest automorfizmem li- niowym i (F ◦ f )([x1, . . . , xn]) = x²₁+ . . . + x²_k− x²_k+1− . . . − x²_n. 2

Twierdzenie 15.3 (o bezw ladno´sci). R´ownowa˙zne formy kwadratowe kanoniczne n- zmiennych maja te same liczby wsp´_, o lczynnik´ow dodatnich jak i ujemnych.

Dow´od. Za l´o˙zmy, ˙ze tak nie jest. Wtedy na mocy wniosku x.10, twierdzenia x.2 i jego dowodu istnieja nieujemne liczby ca lkowite k, k_, ⁰, s, s⁰ takie, ˙ze k + s = k⁰ + s⁰ = m ≤ n oraz k > k⁰ i formy kwadratowe F ([x1, . . . , xn]) = x²₁ + . . . + x²_k − x²_k+1 − . . . − x²_k+s oraz G([x₁, . . . , x_n]) = x²₁+ . . . + x²_k0 − x²_k0+1− . . . − x²_k0+s⁰ sa r´_, ownowa˙zne. Istnieje zatem automor- fizm liniowy f przestrzeni Rⁿo macierzy A = [aij] w bazie kanonicznej taki, ˙ze F = G◦f . Wtedy x²₁ + . . . + x²_k − x²_k+1 − . . . − x²_k+s = (a₁₁x₁ + . . . + a_1nx_n)² + . . . + (a_k⁰₁x₁ + . . . + +a_k⁰_nx_n)²− (a_(k0+1) 1x₁+ . . . + a_(k⁰_{+1) n}x_n)²− . . . − (a_m1x₁+ . . . + a_mnx_n)².

Rozwa˙zmy przekszta lcenie liniowe g : Rⁿ → R^n−k+k0 przekszta lcajace wektor [x_, 1, . . . , xn] na wektor [a₁₁x₁ + . . . + a_1nx_n, . . . , a_k⁰₁x₁ + . . . + a_k⁰_nx_n, x_k+1, . . . , x_n]. Poniewa˙z k⁰ < k, wiec_, n − k + k⁰ < n i wobec tego Ker(g) 6= {θ}. Zatem istnieje niezerowy wektor [t₁, . . . , t_n] ∈ Rⁿ taki, ˙ze ai1t1 + . . . + aintn = 0 dla i = 1, . . . , k⁰ oraz tj = 0 dla j = k + 1, . . . , n. Zatem

1

t²₁+ . . . + t²_k= −(a_(k⁰_{+1) 1}t1+ . . . + a_(k⁰_{+1) n}tn)²− . . . − (a_m1t1+ . . . + amntn)². Stad t_, j = 0 dla j = 1, . . . , k, czyli [t₁, . . . , t_n] = θ i mamy sprzeczno´s´c. 2

Z twierdze´n 15.2 i 15.3 mamy od razu nastepuj_, acy_,

Wniosek 15.4. Ka˙zda forma kwadratowa n-zmiennych jest r´ownowa˙zna dok ladnie jednej z form postaci (1). 2

2 Formy okre´slone

Z twierdzenia Sylwestera-Jacobiego o bezw ladno´sci wynika od razu poprawno´s´c nastepuj_, acych_, definicji.

Definicja 15.5. Forme kwadratow_, a rzeczywist_, a nazywamy okre´_, slona, je˙zeli w jej postaci_, kanonicznej wszystkie wsp´o lczynniki r´o˙zne od 0 maja ten sam znak. Je´_, sli sa one nieujemne, to_, forma nazywa sie dodatnio okre´_, slona, natomiast je´sli sa one niedodatnie, to forma nazywa_, sie ujemnie okre´_, slona.

Definicja 15.6. M´owimy, ˙ze forma kwadratowa jest istotnie okre´slona, gdy wszystkie wsp´o lczynniki jej postaci kanonicznej sa r´_, o˙zne od 0 i maja ten sam znak. Je´_, sli sa one dodatnie,_, to m´owimy, ˙ze forma jest istotnie dodatnia, a je´sli ujemne, to m´owimy, ˙ze forma jest istotnie ujemna.

Wprost z definicji r´ownowa˙zno´sci form kwadratowych i z definicji 15.5 i 15.6 wynikaja nast_, e-_, pujace twierdzenia._,

Twierdzenie 15.7. Na to aby forma kwadratowa F n-zmiennych by la dodatnio okre´slona potrzeba i wystarcza, ˙zeby dla dowolnego wektora [x₁, . . . , x_n] ∈ Rⁿ zachodzi la nier´owno´s´c F ([x1, . . . , xn]) ≥ 0. 2

Twierdzenie 15.8. Na to aby forma kwadratowa F n-zmiennych by la istotnie dodatnia potrzeba i wystarcza, ˙zeby dla dowolnego niezerowego wektora [x1, . . . , xn] ∈ Rⁿ zachodzi la nier´owno´s´c F ([x₁, . . . , x_n]) > 0. 2

Uwaga 15.9. Niech F bedzie form_, a kwadratow_, a rzeczywist_, a n-zmiennych. W´_, owczas forma F jest ujemnie okre´slona wtedy i tylko wtedy, gdy forma −F jest dodatnio okre´slona. Ponadto forma F jest istotnie ujemna wtedy i tylko wtedy, gdy forma −F jest istotnie dodatnia.

Z uwagi 15.9 i z twierdze 15.7 i 15.8 wynikaja od razu nast_, epuj_, ace twierdzenia._,

Twierdzenie 15.10. Na to aby forma kwadratowa F n-zmiennych by la ujemnie okre´slona potrzeba i wystarcza, ˙zeby dla dowolnego wektora [x₁, . . . , x_n] ∈ Rⁿ zachodzi la nier´owno´s´c F ([x1, . . . , xn]) ≤ 0. 2

Twierdzenie 15.11. Na to aby forma kwadratowa F n-zmiennych by la istotnie ujemna potrzeba i wystarcza, ˙zeby dla dowolnego niezerowego wektora [x1, . . . , xn] ∈ Rⁿ zachodzi la nier´owno´s´c F ([x₁, . . . , x_n]) < 0. 2

2

Lemat 15.12. Forma kwadratowa F n-zmiennych n ≥ 2 o macierzy A = [aij] ∈ Mn(R) jest istotnie dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy a₁₁> 0 oraz forma G (n − 1)-zmiennych x₂, . . . , x_n o macierzy B = [a11aij − a_1ia1j]_i=2,...,n

j=2,...,n

jest istotnie dodatnia.

Dow´od. Forme F mo˙zemy zapisa´_, c w postaci F ([x₁, . . . , x_n]) = a₁₁x²₁+ 2x₁

n

X

j=2

a_1jx_j+

n

X

j,k=2

a_jkx_jx_k. (2)

Za l´o˙zmy, ˙ze forma F jest istotnie dodatnia. Wtedy podstawiajac x_, 1 = 1, xj = 0 dla j = 2, . . . , n we wzorze (2) uzyskamy, ˙ze a₁₁> 0. Stad_,

F = a11



x1+ 1 a11

n

X

j=2

a1jxj





2

− 1 a11





n

X

j=2

a1jxj





2

+

n

X

j,k=2

ajkxjxk. (3)

Ponadto

−_a¹

11





n

X

j=2

a_1jx_j





2

+

n

X

j,k=2

a_jkx_jx_k =

n

X

j=2

a_jj−a²_1j a11

!

x²_j + 2 X

1<j<k



a_jk−a_1ja_1k a11



x_jx_k =

= 1

a₁₁G([x2, . . . , xn]). Zatem na mocy (3)

F ([x1, . . . , xn]) = a11



x1+ 1 a₁₁

n

X

j=2

a1jxj





2

+ 1

a₁₁G([x2, . . . , xn]). (4)

We´zmy dowolny niezerowy wektor [x₂, . . . , x_n] ∈ Rⁿ⁻¹ i niech x₁= −_a¹

11

n

X

j=2

a_1jx_j. Wtedy z (4) wynika, ˙ze _a¹

11G([x2, . . . , xn]) > 0, a poniewa˙z a11 > 0, wiec G([x_, 2, . . . , xn]) > 0. Zatem forma G jest istotnie dodatnia.

Na odwr´ot, za l´o˙zmy teraz, ˙ze a₁₁ > 0 i forma G jest istotnie dodatnia. Wtedy na mocy (4) dla dowolnego niezerowego wektora [x1, . . . , xn] ∈ Rⁿ jest F ([x1, . . . , xn]) ≥ 0. Za l´o˙zmy, ˙ze F ([x1, . . . , xn]) = 0. Wtedy ze wzoru (4) i z tego, ˙ze a11 > 0 uzyskamy x1+ _a¹

11

n

X

j=2

a1jxj = 0 oraz G([x2, . . . , xn]) = 0. Ale forma G jest istotnie dodatnia, wiec x_, j = 0 dla j = 2, . . . , n, wiec_, te˙z x₁ = 0 i w konsekwencji [x₁, . . . , x_n] = θ. Sprzeczno´s´c. Zatem F ([x₁, . . . , x_n]) > 0 i forma F jest istotnie dodatnia. 2

Lemat 15.13. Niech A = [aij] ∈ Mn(R) bedzie macierz_, a symetryczn_, a tak_, a, ˙ze n ≥ 2 oraz_, a₁₁> 0. W´owczas dla ka˙zdego s = 2, . . . , n zachodzi r´owno´s´c:

det[a11aij− a_1ia1j]_i=2,...,s

j=2,...,s

= (a11)^s−2det[aij]_i=1,...,s

j=1,...,s

. Dow´od. Z twierdzenia Laplace’a mamy, ˙ze det[a11aij−a_1ia1j]_i=2,...,s

j=2,...,s

=

3

=            

1 a₁₂ a₁₃ . . . a_1s

0 a₁₁a₂₂− a₁₂a₁₂ a₁₁a₂₃− a₁₂a₁₃ . . . a₁₁a_2s− a₁₂a_1s 0 a11a32− a₁₃a12 a11a33− a₁₃a13 . . . a11a3s− a₁₃a1s

... ... ... . .. ...

0 a11as2− a_1sa12 a11as3− a_1sa13 . . . a11ass− a_1sa1s

            .

Po zastosowaniu operacji elementarnych w_j+ a_1jw₁ dla j = 2, . . . , s uzyskamy, ˙ze

det[a11aij − a1ia1j]_i=2,...,s

j=2,...,s

=

1 a₁₂ a₁₃ . . . a_1s a₁₂ a₁₁a₂₂ a₁₁a₂₃ . . . a₁₁a_2s a13 a11a32 a11a33 . . . a11a3s

... ... ... . .. ... a_1s a₁₁a_s2 a₁₁a_s3 . . . a₁₁a_ss            

=

= _a¹

11

a₁₁ a₁₁a₁₂ a₁₁a₁₃ . . . a₁₁a_1s a12 a11a22 a11a23 . . . a11a2s

a₁₃ a₁₁a₃₂ a₁₁a₃₃ . . . a₁₁a_3s ... ... ... . .. ... a1s a11as2 a11as3 . . . a11ass

= _a¹

11(a₁₁)^s−1            

a₁₁ a₁₂ a₁₃ . . . a_1s a12 a22 a23 . . . a2s

a₁₃ a₃₂ a₃₃ . . . a_3s ... ... ... . .. ... a1s as2 as3 . . . ass

=

= (a11)^s−2det[aij]_i=1,...,s

j=1,...,s

, bo macierz A jest symetryczna. 2

Twierdzenie 15.14 (Kryterium Sylvestera). Na to, by forma kwadratowa F , n-zmien- nych o macierzy A = [aij] ∈ Mn(R) by la istotnie dodatnia potrzeba i wystarcza aby 

a11 . . . a1s

... ... ... as1 . . . ass

> 0 dla ka˙zdego s = 1, . . . , n.

Dow´od. Stosujemy indukcje wzgl_, edem n. Dla n = 1 teza jest oczywista, bo forma a_{, 11}x²₁ jest istotnie dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy a11> 0.

Za l´o˙zmy, ˙ze teza zachodzi dla form kwadratowych stopnia n − 1 i niech F bedzie form_, a_, kwadratowa n-zmiennych o macierzy A = [a_, ij] ∈ Mn(R).

Je˙zeli forma F jest istotnie dodatnia, to na mocy lematu 15.12, a11> 0 oraz forma G (n − 1)- zmiennych x₂, . . . , x_n o macierzy B = [a₁₁a_ij − a_1ia_1j]_i=2,...,n

j=2,...,n

jest istotnie dodatnia. Zatem z za lo˙zenia indukcyjnego det[a11aij − a_1ia1j]_i=2,...,s

j=2,...,s

> 0 dla ka˙zdego s = 2, . . . , n. Stad, na_, mocy lematu 15.13, det[a_ij]_i=1,...,s

j=1,...,s

> 0 dla s = 2, . . . , n. Zatem det[a_ij]_i=1,...,s

j=1,...,s

> 0 dla ka˙zdego s = 1, . . . , n.

Na odwr´ot, za l´o˙zmy, ˙ze det[a_ij]_i=1,...,s

j=1,...,s

> 0 dla ka˙zdego s = 1, . . . , n. Wtedy a₁₁ > 0 oraz na mocy lematu 15.13, det[a₁₁a_ij − a_1ia_1j]_i=2,...,s

j=2,...,s

> 0 dla ka˙zdego s = 2, . . . , n. Zatem z za lo˙zenia indukcyjnego forma G jest istotnie dodatnia. Stad i z lematu 15.12, forma F te˙z jest istotnie_, dodatnia. 2

4