ćwiczenia

7. Istnienie i jednoznaczność przedłużenia miar

R = {(a, b]; a, b ∈ R, a < b} ∪ {∅}.

Ćw. 7.2 Niech Ω = N. Sprawdź, czy µ∗ : 2Ω _{→ R}

+ określone wzorem:

1. µ∗(A) = sup A + inf A

2 ,

2. µ∗(A) = sup A − inf A

2 ,

jest miarą zewnętrzną (przyjmujemy, że sup ∅ = inf ∅ = 0). Ćw. 7.3 Na 2N∪{0} _{określamy funkcję µ}∗ _wzorem:

µ∗(A) = sup A

(przyjmujemy, że sup ∅ = 0). Czy µ∗ jest miarą zewnętrzną i czy zbiory {0} oraz {1} są mierzalne względem µ∗?

Ćw. 7.4 Niech

Ω = {1, 2, 3}, C = {{1}, {2, 3}, {1, 3}, ∅}.

Definiujemy η : C → R+:

η({1}) = 2, η({2, 3}) = 4, η({1, 3}) = 3, η(∅) = 0.

Tworzymy miarę zewnętrzną wzorem:

η∗(A) = inf{ ∞ X n=1 η(Ci); A ⊂ ∞ [ n=1 Ci, Ci ∈ C}.

Które zbiory należą do Fη∗?

Ćw. 7.5 Niech Ω = R,

C1 = {(a, b); a, b ∈ R}, C2 = {(a, b]; a, b ∈ R}.

Definiujemy

η1 : C1 → R+, η1((a, b)) = b − a,

η2 : C2 → R+, η2((a, b]) = b − a,

i tworzymy odpowiadające im miary zewnętrzne η₁∗ i η₂∗. Udowodnij, że

∀_A⊂R η∗₁(A) = η₂∗(A).

Ćw. 7.6 Udowodnij, że jeżeli Λ1, Λ2 są λ-układami, to Λ1∩ Λ2 też jest λ-układem.

Ćw. 7.7 Uzasadnij, że każda σ-algebra jest λ-układem. Czy każda algebra jest λ-układem? Ćw. 7.8 Czy jeśli λ-układ zawiera Ω, to jest σ-algebrą?