Algebra liniowa, WNE, 2018/2019
ćwiczenia 7. – rozwiązania zadań domowych
23 października 2018
Grupa 8:00
1. Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni opisanej następującym układem równań.
2x + 12y + 9z = 0 8x + 12y + 10z = 0 x − 3y − 2z = 0
Rozwiązanie:
Wypisujemy macierz układu w kolejności x, y, z (kolumna zer w pamięci) i sprowadzamy do postaci schod- kowej zredukowanej:
2 12 9 8 12 10 1 −3 −2
w1↔ w3
−−−−−−→
1 −3 −2 8 12 10
2 12 9
w2− 8w1, w3− 2w1
−−−−−−−−−−−−−−→
1 −3 −2 0 36 26 0 18 13
w3−1 2w4
−−−−−−→
1 −3 −2 0 36 26
0 0 0
w2· 1
−−−−→36
1 −3 −2 0 1 1318
0 0 0
w1+ 3w2
−−−−−−→
1 0 16 0 1 1318
0 0 0
Wobec tego rozwiązanie ogólne to: (−16z, −1318z, z), czyli przestrzeń jest jednowymiarowa i przykładowa baza to {(−3, −13, 18)}.
2. Układ (0, 1, 1, 2, 0), (1, 0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 1, 0) uzupełnić do bazy przestrzeni R5wektorami leżącymi w prze- strzeni W z zad. 5 z ćwiczeń.
Rozwiązanie:
Łatwo dowieść (sprowadzając macierz do postaci schodkowej), że dodając pierwsze dwa wektory z bazy W , a więć (−4, 3, 0, 0, 1) (na pewno musimy wziąć ten wektor ze względu na zera na ostatniej pozycji w pozostałych wektorach) oraz (5, −4, 0, 1, 0) dostaniemy układ liniowo niezależny, a wiec bazę R5.
3. Opisać układem równań liniowych przestrzeń lin((−9, 3, 6, −3), (−4, 2, 1, 5), (−5, 5, 4, 3)).
Rozwiązanie:
Wypisujemy macierz układu równań na możliwe współczynniki, kolejność kolumn a4, a3, a2, a1 (kolumna zer w pamięci):
−3 6 3 −9
5 1 2 −4
3 4 5 −5
w1·−1
−−−−−→3
1 −2 −1 3
5 1 2 −4
3 4 5 −5
w2− 5w1, w3− 3w1
−−−−−−−−−−−−−−→
1 −2 −1 3
0 11 7 −19
0 10 8 −14
w3· 11
−−−−→
1 −2 −1 3
0 11 7 −19
0 110 88 −154
w3− 10w2
−−−−−−−→
1 −2 −1 3
0 11 7 −19
0 0 18 36
w3· 1
−−−−→18
1 −2 −1 3
0 11 7 −19
0 0 1 2
w1+ w3, w2− 7w3
−−−−−−−−−−−−−→
1
1 −2 0 5
0 11 0 −33
0 0 1 2
w2· 1
−−−−→11
1 −2 0 5
0 1 0 −3
0 0 1 2
w1+ 2w2
−−−−−−→
1 0 0 −1 0 1 0 −3
0 0 1 2
A więc rozwiązanie bazowe to (a1, −2a1, 3a1, a1), czyli przestrzeń współczynników jest jednowymiarowa, a jej baza to np.: {(1, −2, 3, 1)}, czyli szukany układ równań składa się z jednego równania i jest to równanie:
x1− 2x2+ 3x3+ x4= 0
Grupa 9:45
1. Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni opisanej następującym układem równań.
9x + 12y + 2z = 0 5x + 6y + 4z = 0 2x + 3y − z = 0
Rozwiązanie:
Wypisujemy macierz układu w kolejności z, y, x (kolumna zer w pamięci) i sprowadzamy do postaci schod- kowej zredukowanej:
2 12 9
4 6 5
−1 3 2
w1↔ w3
−−−−−−→
−1 3 2
4 6 5
2 12 9
w2+ 4w1, w3− 2w1
−−−−−−−−−−−−−−→
−1 3 2 0 18 13 0 18 13
w3− w4, w1· (−1)
−−−−−−−−−−−−−→
1 −3 −2 0 18 13
0 0 0
w2· 1
−−−−→18
1 −3 −2 0 1 1318
0 0 0
w1+ 3w2
−−−−−−→
1 0 16 0 1 1318
0 0 0
Wobec tego rozwiązanie ogólne to: (x, −1318x, −16x), czyli przestrzeń jest jednowymiarowa i przykładowa baza to {(18, −13, −3)}.
2. Układ (1, 0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2, 1), (1, 0, 0, 1, 1) uzupełnić do bazy przestrzeni R5wektorami leżącymi w prze- strzeni W z zad. 5 z ćwiczeń.
Rozwiązanie:
Łatwo dowieść (sprowadzając macierz do postaci schodkowej), że dodając pierwsze dwa wektory z bazy W , a więć (−7, 5, 1, 0, 0) oraz (5, −4, 0, 1, 0) dostaniemy układ liniowo niezależny, a wiec bazę R5.
3. Opisać układem równań liniowych przestrzeń lin((3, 1, 2, −1), (4, 2, 1, 5), (5, 5, 4, 3)).
Rozwiązanie:
Wypisujemy macierz układu równań na możliwe współczynniki, kolejność kolumn a4, a3, a2, a1 (kolumna zer w pamięci):
−1 2 1 3
5 1 2 4
3 4 5 5
w2+ 5w1, w3+ 3w1
−−−−−−−−−−−−−−→
−1 2 1 3 0 11 7 19 0 10 8 14
w3· 11
−−−−→
−1 2 1 3
0 11 7 19
0 110 88 154
w3− 10w2
−−−−−−−→
−1 2 1 3
0 11 7 19
0 0 18 −36
w1· (−1), w3· 1
−−−−−−−−−−−−→18
1 −2 −1 −3
0 11 7 19
0 0 1 −2
w1+ w3, w2− 7w3
−−−−−−−−−−−−−→
1 −2 0 −5
0 11 0 33
0 0 1 −2
w2· 1
−−−−→11
1 −2 0 −5
0 1 0 3
0 0 1 −2
w1+ 2w2
−−−−−−→
1 0 0 1
0 1 0 3
0 0 1 −2
A więc rozwiązanie bazowe to (a1, 2a1, −3a1, −a1), czyli przestrzeń współczynników jest jednowymiarowa, a jej baza to np.: {(1, 2, −3, −1)}, czyli szukany układ równań składa się z jednego równania i jest to równanie:
x1+ 2x2− 3x3− x4= 0
2
