Rozkład normalny Zadanie 1

Ćwiczenia nr 8, RP, 7.5.2020 Splot. Rozkład normalny

Zadanie 1. Niezależne zmienne losowe X, Y mają rozkład wykładniczy z parametrem λ. Znajdź 2/3-kwantyl zmiennej X − Y .

Zadanie 2. X ∼ N (0, 1). Znaleźć rozkład zmiennej aX + b, gdzie a > 0.

Zadanie 3. Niech X1, X2, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym Xi ∼ N (mi, σi), dla i = 1, 2. Znaleźć rozkład zmiennej Pn

i=1aiXi. Wskazówka: to daje się zrobić bez rachunków i wystarczy znaleźć rozkład X1+ X2.

Zadanie 4. Zmienne X, Y są niezależne o rozkładzie N (0, 1). Pokazać, że X + Y

√2 ,X − Y

√2

są niezależne o tym samym rozkładzie N (0, 1).

Zadanie 5. Zmienne X, Y są niezależne, przy czym X ∼ Exp(1), a Y ma rozkład zero-jedynkowy z p = 1/2.

Wyznaczyć rozkład zmiennej X + Y ? Czy ma ona gęstość?

Zadanie 6. Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Exp(λ). Niech T > 0 będzie ustaloną liczbą. Definiujemy

NT(ω) :=

(0 jeśli X1> T,

max{l : X₁+ . . . + X_l¬ T } jeśli X₁¬ T.

Znaleźć rozkład zmiennej losowej NT.

Zadanie 7. Zmienne losowe X, Y spełniają warunki Var X = 3, Cov(X, Y ) = −1, Var(Y ) = 2. Oblicz Var(4X − 3Y ) oraz Cov(5X − Y, 2X + Y ).

Zadanie 8. Niech X = (X1, X2, . . . , Xd) będzie d-wymiarową zmienną losową. Udowodnij,że jeśli macierz kowariancji (Cov(Xi, Xj))i,j nie jest dodatnio określona, to istnieją t1, t2, . . . , td, c ∈ R, że P(t¹X1+ . . . + t_dX_d= c) = 1.

Zadanie 9. [wielowymiarowy rozkład normalny o macierzy kowariancji Λ = Q⁻¹i średniej 0]. Niech T : Rⁿ→ Rⁿ będzie przekształceniem liniowym, a X = (X1, . . . , Xn), gdzie Xi ∼ N (0, 1) i (Xi) są niezależne.

Udowodnij, że zmienna losowa T X ma gęstość

f_{T X}(x) =

√det Q (√

2π)ⁿexp



−1 2hQx, xi

 ,

gdzie Q = (T⁻¹)^tT⁻¹. Uzasadnij, że macierzą kowariancji zmiennej T X jest Q⁻¹.

Zadanie 10. Zmienna losowa (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny o średniej (0, 0) i macierzy kowa- riancji

2 1 1 1



(a) Napisz gęstość zmiennej (X, Y ).

(b) Wyznacz rozkład zmiennej X + 3Y .

(c) Wyznacz a ∈ R, by zmienne X + Y, X + aY były niezależne.

Zadanie 11. Niezależne zmienne losowe X1, X2, X3 mają rozkład jednostajny na zbiorze {−1, 0, 1}. Definiu- jemy X₍₁₎ = min{X1, X2, X3}, X₍₃₎ = max{X1, X2, X3} oraz X₍₂₎ tak, by {X₍₁₎(ω), X₍₂₎(ω), X₍₃₎(ω)} = {X1(ω), X2(ω), X3(ω)} oraz X₍₁₎(ω) ¬ X₍₂₎(ω) ¬ X₍₃₎(ω) dla wszystkich ω ∈ Ω. Wyznacz rozkład X₍₂₎. Definicja (k-ta statystyka pozycyjna). Ogólniej, jeśli (X₁, . . . , X_n) są niezależnymi zmiennymi losowymi, to przez X_(k), gdzie 1 ¬ k ¬ n, rozumiemy k-ty z kolei wyraz uporządkowanego w sposób rosnący ciągu (X1, . . . , Xn). W szczególności, X₍₁₎= min{X1, . . . Xn}, X_(n)= max{X1, . . . , Xn}.

1

Zadanie 12. Niech zmienne losowe Xi, 1 ¬ i ¬ n, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wy- kładniczym z parametrami λi. Wykazać, że

(a) min(X₁, . . . , X_n) ∼ Exp(λ₁+ . . . + λ_n),

(b) P(Xi= min(X₁, . . . , X_n)) = λ_i/(λ₁+ . . . + λ_n).

Zadanie 13. Niech X ∼ N (0, 1). Definiujemy zmienną losową Y_a, a > 0 wzorem Y = X ·1X∈[−a,a]− X ·1X6∈[−a,a].

Udowodnij, że Ya ∼ N (0, 1), zmienne X, Ya nie są niezależne, a dla pewnego a, zmienne losowe X, Ya są nieskorelowane.

Zadanie 14. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład łączny podany w tabelce (ε ∈ [0, 1/4]):

Y \ X X = 0 X = 1 X = 2 Y = 0 1/8 + ε 0 3/8 − ε

Y = 1 1/4 − ε 1/4 ε

(a) Znajdź ε takie, że zmienne X, Y są nieskorelowane.

(b) Uzasadnij, że nie istnieje ε, przy którym zmienne X, Y są niezależne.

Zadanie 15. Niech S_n= X₁+ . . . + X_n, X_i∼ Exp(λ), będzie ciągiem sygnałów w procesie Poissona. Wykazać, że (S₁/S_n+1, S₂/S_n+1, . . . , S_n/S_n+1) ma rozkład jednostajny na ∆_n = {(x₁, . . . , x_n) : 0 ¬ x₁ ¬ x₂ ¬ . . . ¬ x_n¬ 1}.

Zadanie 16. [Zagadnienie regresji liniowej.] Niech X, Y będą zmiennymi całkowalnymi w kwadracie. Szukamy przybliżenia postaci aX + b, a, b-stałe, zmiennej losowej Y , błąd mierzymy w sensie średniokwadratowym.

Niech f (a, b) = E(Y − aX − b)².

(a) Udowodni, że jeśli Var X 6= 0, to minimum funkcji f (a, b) jest osiągane przy

a = Cov(X, Y )

Var X , b = E(Y − aX) = EY − Cov(X, Y ) Var X EX.

(b) Wartość minimum funkcji f (a, b) wynosi (1 − ρ²(X, Y )) Var X, gdzie ρ(X, Y ) = ^{√Cov(X,Y )}

Var X Var Y jest współczynnikiem korelacji zmiennych X, Y .

Zadanie 17. Udowodnij, że współczynnik korelacji ρ(X, Y ) jest liczbą z przedziału [−1, 1], a ponadto, jeśli

|ρ(X, Y )| = 1, to istnieją stałe a, b, że Y = aX + b.

Zadanie 18. Znamy wartości oczekiwane i wariancje zmiennych losowych X0, X1: EX⁰ = 0.05, σX₀ = 0.02, EX1 = 0.07, σX₁ = 0.03 (Var X − σ_X²), ρ(X0, X1) = −0.5. Niech Xt = tX0+ (1 − t)X1. Dla jakiego t wariancja Xtjest minimalna?

Zadanie 19. Wyznacz współczynnik asymetrii dla rozkładu wykładniczego.

Zadanie 20. Wyznacz kurtozę dla rozkładu (a) jednostajnego, (b) normalnego (c) wykładniczego

2