Restrykcja (zawężenie) funkcji

Restrykcja (zawężenie)

funkcji

Autorzy:

Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Restrykcja (zawężenie) funkcji

Restrykcja (zawężenie) funkcji

Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

DEFINICJA

Definicja 1: Równość funkcji

Definicja 1: Równość funkcji

Mówimy, że funkcje funkcje i i są równe są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same dziedziny oraz dla każdego punktu wspólnej dziedziny mają te same wartości. Możemy to zapisać i dla każdego mamy

DEFINICJA

Definicja 2: Restrykcja funkcji

Definicja 2: Restrykcja funkcji

Niech będzie dana funkcja oraz zbiór . Funkcje

Funkcje taką, że dla każdego zachodzi równość nazywamy restrykcjąrestrykcją lub zawężeniemzawężeniem funkcji

funkcji do zbioru do zbioru i oznaczamy

Rysunek 1: Restrykcja funkcji, funkcja jest zawężeniem funkcji do zbioru

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Dane są trzy funkcje:

.

Wśród funkcji , , znajdź parę funkcji równych sobie oraz przedstaw funkcję jako restrykcję funkcji do pewnego zbioru .

Rozwiązanie Rozwiązanie

Funkcje , , będziemy rozpatrywać w ich dziedzinach naturalnych. Aby zbadać równość funkcji musimy wyznaczyć (i porównać) te dziedziny oraz porównać wartości.

jest zbiorem tych wszystkich , dla których . Mamy , więc .

Wyrażenie ma sens wówczas, gdy oraz .

f g

f = g ⇔

D

f

=

D

g

x ∈

D

f

=

D

g

f(x) = g(x).

f : X → Y

A ⊂ X

g : A → Y

x ∈ A

g(x) = f(x)

f

A

f

|A f1 f R+

f(x) =

x2+1

, g(x) =

, h(x) =

+x x3

3

log3 +1 x2 +x x3

3

log3 1 ( x√ )2

f g h

g

f

A

f g h

D

f

x

x

3

+ x ≠ 0

x

3

+ x = x( + 1)

x

2

D

f

= R ∖ {0}

3

log3x2_x3+1_+x

_x

₃

_{+ x ≠ 0}

x2+1

_{> 0}

+x x3

Rozwiązując , , , . Zatem .

Dziedzina funkcji jest różna od dziedziny funkcji , czyli funkcje i nie spełniają pierwszego warunku z definicji równości funkcji, a więc nie mogą być równe.

Wyznaczając dziedzinę funkcji zakładamy:

Zatem .

Dziedziny funkcji i są równe, a więc należy jeszcze sprawdzić drugi warunek definicji o równości funkcji, czyli porównać ich wartości

Weźmy dowolne , korzystając z własności logarytmów mamy: ,

.

Widzimy więc, że dla każdego , czyli uwzględniając równość dziedzin wnioskujemy, że funkcje i są równe.

Zauważmy, że funkcje oraz można zapisać następująco: ,

.

Funkcja jest określona dla . Po przekształceniu otrzymujemy . Co możemy zanotować: .

Funkcja jest więc restrykcją (zawężeniem) funkcji do zbioru , co zapisujemy symbolicznie . Odpowiedź

Odpowiedź

Dwie funkcje równe to funkcje oraz . Funkcję można przedstawić jako restrykcję funkcji do zbioru liczb rzeczywistych dodatnich, czyli .

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 02:47:27

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?

> 0

+1 x2 +x x3

> 0

+1 x2 x( +x)x2

> 0

1 x

x > 0

= R ∖ {0} ∩

=

D

g

R

+

R

+

f

g

f g

h

x > 0

(

√ )

x

2

≠ 0 ⇔ x > 0

> 0 ⇔ x > 0

1 ( x√ )2

=

D

h

R

+

g h

x ∈ R

+

g(x) =

3

log3x2_x3+1_+x

=

₃

log31x

=

1 x

h(x) =

3

log3_{( x}1

=

=

√ )2

3

log3 1x 1 x

x ∈

D

g

: g(x) = h(x)

g h

g

h

g :

R

+

→ R, x ↦

x1

h :

R

+

→ R, x ↦

x1

f

x ≠ 0

f(x) =

x2+1

=

+x x3 1_x

f : R ∖ {0} → R, x ↦

1 x

g

f

R

+

g = f

|R+

g

h

g

f

g = f

|R+

link=002e994bad9c2d91f57eed52c6545c9c