POCHODNA FUNKCJI

(1)

POCHODNA FUNKCJI

IMiF UTP

03

JJ (IMiF UTP) POCHODNA FUNKCJI 03 1 / 41

(2)

Pochodna

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x₀. Jeżeli istnieje skończona granica

h→0lim

f (x₀+ h) − f (x₀)

h ,

to nazywamy ja¸ pochodna¸ funkcji f w punkcie x₀ i oznaczamy f⁰(x₀).

(3)

DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x₀. Jeżeli istnieje skończona granica

h→0lim

f (x₀+ h) − f (x₀)

h ,

to nazywamy ja¸ pochodna¸ funkcji f w punkcie x₀ i oznaczamy f⁰(x₀).

DEFINICJA. Jeżeli funkcja f ma pochodna¸ w każdym punkcie pewnego zbioru D, to przyporza¸dkowanie każdemu punktowi x ∈ D liczby f⁰(x ) nazywamy funkcja¸ pochodna¸. Funkcje¸ te¸ oznaczamy przez f⁰(x ). Mówimy też, że f jest różniczkowalna w D.

(4)

UWAGA. Zamiast pisać f⁰(x ) = lim_h→0f (x +h)−f (x )

h , można pisać (podstawiaja¸c z = x + h)

f⁰(x ) = lim

z→x

f (z) − f (x ) z − x .

(5)

f

⁰

(x ) = lim

h→0 f (x +h)−f (x ) h

PRZYKŁAD. Funkcja f (x ) = |x | nie ma pochodnej w punkcie x0 = 0.

Wystarczy zauważyć, że

lim

h→0⁻

f (0 + h) − f (0)

h = lim

h→0⁻

|h|

h = lim

h→0⁻

−h h =−1. Granica lewostronna nie jest równa prawostronnej, wie¸c granica przy h → 0 nie istnieje.

(6)

f

⁰

(x ) = lim

h→0 f (x +h)−f (x ) h

Wystarczy zauważyć, że lim

h→0⁺

f (0 + h) − f (0)

h = lim

h→0⁺

|0 + h| − |0|

h = lim

h→0⁺

|h|

h = lim

h→0⁺

h h =1,

h → 0 nie istnieje.

(7)

f

⁰

(x ) = lim

h→0 f (x +h)−f (x ) h

h→0⁺

f (0 + h) − f (0)

h = lim

h→0⁺

|0 + h| − |0|

h = lim

h→0⁺

|h|

h = lim

h→0⁺

h h =1,

lim

h→0⁻

f (0 + h) − f (0)

h = lim

h→0⁻

|h|

h = lim

h→0⁻

−h h =−1.

(8)

h→0⁺

f (0 + h) − f (0)

h = lim

h→0⁺

|0 + h| − |0|

h = lim

h→0⁺

|h|

h = lim

h→0⁺

h h =1,

lim

h→0⁻

f (0 + h) − f (0)

h = lim

h→0⁻

|h|

h = lim

h→0⁻

−h h =−1.

Granica lewostronna nie jest równa prawostronnej, wie¸c granica przy h → 0 nie istnieje.

(9)

Funkcja f (x ) = |x | nie ma pochodnej w punkcie x0 = 0.

x y

(10)

x y

(11)

x y

(12)

x y

y =−1· x

(13)

x y

y =1· x

(14)

f

⁰

(x ) = lim

h→0 f (x +h)−f (x ) h

PRZYKŁAD. Funkcja f (x ) =√³

x nie ma pochodnej w punkcie x₀= 0.

(15)

PRZYKŁAD. Funkcja f (x ) =√³

x nie ma pochodnej w punkcie x₀= 0.

h→0lim

√3

0 + h −√³ 0

h = lim

h→0

√3

h h = lim

h→0

1

√3

h² = +∞.

(16)

Funkcja f (x ) =√³

x nie ma pochodnej w punkcie x₀ = 0.

x y

(17)

Funkcja f (x ) =√³

x nie ma pochodnej w punkcie x₀ = 0.

x y

(18)

gdyż

h→0lim⁺

−^q³(0 + h)²+ ³

√ 0²

h = lim

h→0⁺

−√³ h²

h = lim

h→0⁺

−1

√3

h = −∞.

h→0lim⁻

−^q³(0 + h)²+ ³

√ 0²

h = lim

h→0⁻

−1

√3

h = +∞.

x y

(19)

Podobnie, funkcja f (x ) = − x nie ma pochodnej w punkcie x0= 0, gdyż

h→0lim⁺

−^q³(0 + h)²+√³ 0²

h = lim

h→0⁺

−√³ h²

h = lim

h→0⁺

−1

√3

h = −∞.

lim

h→0⁻

−^q³(0 + h)²+ ³

√ 0²

h = lim

h→0⁻

−1

√3

h = +∞.

x y

(20)

PRZYKŁAD.

Pochodna funkcji stałej jest równa 0.

Niech f (x ) = c. Wtedy f⁰(x ) = lim

h→0

f (x + h) − f (x )

h = lim

h→0

c − c h = lim

h→0

0 h = 0.

(21)

PRZYKŁAD.

Pochodna funkcji f (x ) = x jest równa 1.

Niech f (x ) = x . Wtedy f⁰(x ) = lim

h→0

f (x + h) − f (x )

h = lim

h→0

x + h − x

h = lim

h→0

h h = 1.

(22)

x y

x0

f (x0)

x0+ h f (x0+ h)

(23)

x y

x0

f (x0)

x0+ h f (x0+ h)

tgβ = ^{f (x}⁰^{+h)−f (x}_h ⁰⁾

β β

Równanie siecznej: y − f (x₀) =^{f (x}⁰^{+h)−f (x}_h ⁰⁾(x − x₀)

(24)

x y

x0

f (x0)

h → 0

x0+ h f (x0+ h)

(25)

x y

x0

f (x0)

h → 0

x0+ h f (x0+ h)

(26)

x y

x0

f (x0)

h → 0 h → 0

x0+ h f (x0+ h)

(27)

x y

x0

f (x0)

h → 0

(28)

x y

x0

f (x0)

h → 0

(29)

x y

x0

f (x0)

h → 0

(30)

x y

x0

f (x0)

styczna

(31)

x y

x0

f (x0)

x0+ h

f (x0+ h) tgβ = ^{f (x}⁰^{+h)−f (x}_h ⁰⁾

α β

y = f⁰(x₀)(x − x₀) + f (x₀) tgα = f⁰(x₀)

y =^{f (x}⁰^{+h)−f (x}_h ⁰⁾(x − x0) + f (x0)

β → α

f⁰(x₀) =lim_h→0^{f (x}⁰^{+h)−f (x}_h ⁰⁾

(32)

x0 x f (x0)

α

tgα = f⁰(x₀) y = f⁰(x0)(x − x0) + f (x0)

Pochodna f⁰(x₀) jest równa tangensowi ka¸ta, jaki tworzy z osia¸ 0x styczna do wykresu funkcji y = f (x ) w punkcie (x₀, f (x₀)).

(33)

x y

x0

f (x0)

α

y = f⁰(x₀)(x − x₀) + f (x₀) tgα = f⁰(x₀)

Inaczej mówia¸c: istnienie pochodnej f⁰(x₀) gwarantuje istnienie stycznej (nierównoległej do osi 0y ) do wykresu funkcji y = f (x ) w punkcie (x₀, f (x₀)). Styczna ta ma równanie y − f (x₀) = f⁰(x₀)(x − x₀).

(34)

INTERPRETACJA FIZYCZNA

Jeżeli t oznacza czas, a s(t) jest długościa¸ drogi od pocza¸tku ruchu do chwili t, to s(t₀+ ∆t) − s(t₀) jest długościa¸ drogi przebytej w czasie od t0 do t0+ ∆t,

jest pre¸dkościa¸ średnia¸ tego ruchu w czasie od t0 do t0+ ∆t, a pochodna

s⁰(t0) = lim

∆t→0

s(t0+ ∆t) − s(t0)

∆t jest pre¸dkościa¸ tego ruchu w chwili t0.

(35)

Jeżeli t oznacza czas, a s(t) jest długościa¸ drogi od pocza¸tku ruchu do chwili t, to s(t₀+ ∆t) − s(t₀) jest długościa¸ drogi przebytej w czasie od t0 do t0+ ∆t, iloraz różnicowy

s(t0+ ∆t) − s(t0)

∆t

jest pre¸dkościa¸ średnia¸ tego ruchu w czasie od t0 do t0+ ∆t, a pochodna

s⁰(t0) = lim

∆t→0

s(t0+ ∆t) − s(t0)

∆t jest pre¸dkościa¸ tego ruchu w chwili t0.

(36)

Różniczkowalność implikuje ciągłość

TWIERDZENIE. Funkcja różniczkowalna jest cia¸gła.

Dowód. Niech x0 be¸dzie dowolnym punktem, w którym istnieje f⁰(x0).

Pokażemy, że f jest cia¸gła w tym punkcie, to znaczy, że

x →xlim0

f (x ) = f (x0).

= f⁰(x₀) · 0 + f (x₀) = f (x₀).

(37)

Różniczkowalność implikuje ciągłość

x →xlim0

f (x ) = f (x0).

x →xlim0

f (x ) = lim

x →x0

hf (x ) − f (x₀) x − x0

(x − x₀) + f (x₀)ⁱ

=

(38)

Różniczkowalność implikuje ciągłość

x →xlim0

f (x ) = f (x0).

x →xlim0

f (x ) = lim

x →x0

hf (x ) − f (x₀) x − x0

(x − x₀) + f (x₀)ⁱ

= f⁰(x₀)· lim

x →x0

(x − x₀) + f (x₀)

=

(39)

x →xlim0

f (x ) = f (x0).

x →xlim0

f (x ) = lim

x →x0

hf (x ) − f (x₀) x − x0

(x − x₀) + f (x₀)ⁱ

= f⁰(x₀)· lim

x →x0

(x − x₀) + f (x₀)

= f⁰(x₀) · 0 + f (x₀) = f (x₀).

(40)

TWIERDZENIE.

Załóżmy, że funkcje f (x ) oraz g (x ) sa¸ różniczkowalne w pewnym przedziale. Wtedy:

1

f (x ) + g (x )⁰= f⁰(x ) + g⁰(x )

2

f (x ) − g (x )⁰= f⁰(x ) − g⁰(x )

3

f (x )g (x )⁰= f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x )

4

cf (x )⁰ = cf⁰(x )

5

h_{f (x )}

g (x )

i⁰

= ^f⁰(x )g (x )−f (x )g⁰(x )

g²(x ) o ile g (x ) 6= 0

6

f [g (x )]⁰ = f⁰[g (x )]g⁰(x ).

(41)

POCHODNA SUMY TO SUMA POCHODNYCH Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

_h→0 f (x +h)−f (x )

h

Dowód wzoru 1.

f (x ) + g (x )⁰

= lim

h→0 h +

h

= f⁰(x ) + g⁰(x ).

(42)

POCHODNA SUMY TO SUMA POCHODNYCH Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

_h→0 f (x +h)−f (x )

h

Dowód wzoru 1.

f (x ) + g (x )⁰ = lim

h→0

[f (x + h) + g (x + h)] − [f (x ) + g (x )]

h

(43)

Dowód wzoru 1.

f (x ) + g (x )⁰ = lim

h→0

[f (x + h) + g (x + h)] − [f (x ) + g (x )]

h

= lim

h→0

hf (x + h) − f (x )

h +g (x + h) − g (x ) h

i

= f⁰(x ) + g⁰(x ).

(44)

Dowód wzoru 2.

f (x ) − g (x )⁰ = lim

h→0

[f (x + h) − g (x + h)] − [f (x ) − g (x )]

h

= lim

h→0

hf (x + h) − f (x )

h −g (x + h) − g (x ) h

i

= f⁰(x ) − g⁰(x ).

(45)

POCHODNA ILOCZYNU TO NIE JEST ILOCZYN POCHODNYCH

Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

_h→0 f (x +h)−f (x ) h

Dowód wzoru 3.

f (x )g (x )⁰ = lim

h→0

f (x + h)g (x + h) − f (x )g (x ) h

= lim

h→0 h g (x + h) + f (x )

h

=f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

(46)

POCHODNA ILOCZYNU TO NIE JEST ILOCZYN POCHODNYCH

Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

_h→0 f (x +h)−f (x ) h

Dowód wzoru 3.

f (x )g (x )⁰ = lim

h→0

f (x + h)g (x + h) − f (x )g (x ) h

= lim

h→0

f (x + h)g (x + h)−f (x )g (x + h) + f (x )g (x + h) − f (x )g (x ) h

(47)

POCHODNA ILOCZYNU TO NIE JEST ILOCZYN POCHODNYCH

Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

_h→0 f (x +h)−f (x ) h

Dowód wzoru 3.

f (x )g (x )⁰ = lim

h→0

f (x + h)g (x + h) − f (x )g (x ) h

= lim

h→0

= lim

h→0

hf (x + h) − f (x )

h g (x + h) + f (x )g (x + h) − g (x ) h

i

(48)

h

Dowód wzoru 3.

f (x )g (x )⁰ = lim

h→0

f (x + h)g (x + h) − f (x )g (x ) h

= lim

h→0

= lim

h→0

hf (x + h) − f (x )

h g (x + h) + f (x )g (x + h) − g (x ) h

i

=f⁰(x )g (x ) + f (x )g⁰(x ).

(49)

Dowód wzoru 4.

cf (x )⁰= c⁰f (x ) + cf⁰(x ) = 0 + cf⁰(x ) = cf⁰(x )

(50)

POCHODNA ILORAZU TO NIE JEST ILORAZ POCHODNYCH

Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

_h→0 f (x +h)−f (x ) h Dowód wzoru 5.

hf (x ) g (x )

i⁰

= lim

h→0 f (x +h) g (x +h) −^{f (x )}_{g (x )}

h

h→0 h g (x + h)g (x )

= lim

h→0

1 g (x + h)g (x )

hf (x + h) − f (x )

h g (x ) − f (x )g (x + h) − g (x ) h

i

= f⁰(x )g (x ) − f (x )g⁰(x ) g²(x ) .

(51)

POCHODNA ILORAZU TO NIE JEST ILORAZ POCHODNYCH

Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

hf (x ) g (x )

i⁰

= lim

h→0 f (x +h) g (x +h) −^{f (x )}_{g (x )}

h

= lim

h→0

1 h

hf (x + h)g (x ) − f (x )g (x + h) g (x + h)g (x )

i

= lim

h→0

1 g (x + h)g (x )

f (x + h) − f (x )

h g (x ) − f (x )g (x + h) − g (x ) h

= f⁰(x )g (x ) − f (x )g⁰(x ) g²(x ) .

(52)

POCHODNA ILORAZU TO NIE JEST ILORAZ POCHODNYCH

Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

hf (x ) g (x )

i⁰

= lim

h→0 f (x +h) g (x +h) −^{f (x )}_{g (x )}

h

= lim

h→0

1 h

i

= lim

h→0

1 h

hf (x + h)g (x ) − f (x )g (x ) + f (x )g (x ) − f (x )g (x + h) g (x + h)g (x )

i

g (x )

(53)

Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

hf (x ) g (x )

i⁰

= lim

h→0 f (x +h) g (x +h) −^{f (x )}_{g (x )}

h

= lim

h→0

1 h

i

= lim

h→0

1 h

hf (x + h)g (x ) − f (x )g (x ) + f (x )g (x ) − f (x )g (x + h) g (x + h)g (x )

i

= lim

h→0

1 g (x + h)g (x )

hf (x + h) − f (x )

h g (x ) − f (x )g (x + h) − g (x ) h

i

= f⁰(x )g (x ) − f (x )g⁰(x ) g²(x ) .

(54)

POCHODNA ZŁOŻENIA

Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

_z→x f (z)−f (x ) z−x

Dowód wzoru 6 tylko dla przypadku gdy g (z) 6= g (x ) dla z należa¸cych do pewnego sa¸siedztwa punktu x .

f [g (x )]⁰ = lim

z→x

f [g (z)] − f [g (x )]

z − x

(55)

Dowód wzoru 6 tylko dla przypadku gdy g (z) 6= g (x ) dla z należa¸cych do pewnego sa¸siedztwa punktu x .

f [g (x )]⁰ = lim

z→x

f [g (z)] − f [g (x )]

z − x

= lim

z→x

f [g (z)] − f [g (x )]

g (z) − g (x ) ·g (z) − g (x )

z − x = f⁰[g (x )]g⁰(x ).

(56)

POCHODNA FUNKCJI ODWROTNEJ

Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

_z→x f (z)−f (x ) z−x TWIERDZENIE.

Załóżmy, że funkcja f⁻¹ jest funkcja¸ odwrotna¸ do funkcji cia¸głej i

monotonicznej f oraz że f ma w punkcie y0 pochodna¸ f⁰(y0) 6= 0. Wtedy funkcja f⁻¹ ma w punkcie x₀= f (y₀) pochodna¸ (f⁻¹)⁰(x₀) = _f0(y¹0).

Zatem

(f⁻¹)⁰(x₀) = lim

x →x0

f⁻¹(x ) − f⁻¹(x₀) x − x₀

= lim

y →y0

y − y₀

f (y ) − f (y0) = lim

y →y0

1

f (y )−f (y0) y −y0

= 1

f⁰(y0).

(57)

POCHODNA FUNKCJI ODWROTNEJ

Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

_z→x f (z)−f (x ) z−x TWIERDZENIE.

monotonicznej f oraz że f ma w punkcie y0 pochodna¸ f⁰(y0) 6= 0. Wtedy funkcja f⁻¹ ma w punkcie x₀= f (y₀) pochodna¸ (f⁻¹)⁰(x₀) = _f0(y¹0). Dowód. Przypomnijmy, że

f⁻¹(x ) = y ⇔ x = f (y ), f⁻¹(x₀) = y₀ ⇔ x₀= f (y₀).

Zatem

= lim

y →y0

y − y₀

f (y ) − f (y0) = lim

y →y0

1

f (y )−f (y0) y −y0

= 1

f⁰(y0).

(58)

TWIERDZENIE.

monotonicznej f oraz że f ma w punkcie y0 pochodna¸ f⁰(y0) 6= 0. Wtedy funkcja f⁻¹ ma w punkcie x₀= f (y₀) pochodna¸ (f⁻¹)⁰(x₀) = _f0(y¹0). Dowód. Przypomnijmy, że

f⁻¹(x ) = y ⇔ x = f (y ), f⁻¹(x₀) = y₀ ⇔ x₀= f (y₀).

Zatem

(f⁻¹)⁰(x₀) = lim

x →x0

f⁻¹(x ) − f⁻¹(x₀) x − x₀

= lim

y →y0

y − y₀

f (y ) − f (y0) = lim

y →y0

1

f (y )−f (y0) y −y0

= 1

f⁰(y0).

(59)

Wzory te sa¸ słuszne dla x należa¸cych do cze¸ści wspólnej dziedzin funkcji wyste¸puja¸cych po lewej i prawej stronie wzoru.

(x^r)⁰ = rx^{r −1}

(e^x)⁰ = e^x, dla x ∈ R

(a^x)⁰= a^xln a, dla x ∈ R, a > 0 (ln x )⁰ = ¹_x, dla x > 0

(log_ax )⁰ = _{x ln a}¹ , dla x > 0, a > 0, a 6= 1

(60)

(sin x )⁰ = cos x , dla x ∈ R (cos x )⁰ = − sin x , dla x ∈ R

(tgx )⁰= _cos¹2x, dla x ∈ −^π₂ + kπ,^π₂ + kπ, gdzie k = 0, ±1, ±2, . . .

(ctgx )⁰ = _sin⁻¹2x, dla x ∈ 0 + kπ, π + kπ, gdzie k = 0, ±1, ±2, . . . (arc sin x )⁰ = ^√¹

1−x², dla x ∈ (−1, 1) (arc cos x )⁰ = ^√⁻¹

1−x², dla x ∈ (−1, 1) (arctgx )⁰= _1+x¹ 2, dla x ∈ R

(arcctgx )⁰ = _1+x⁻¹2, dla x ∈ R.

(61)

Wnioski ze wzoru (x^r)⁰ = rx^{r −1}:

(x )⁰ = 1 dla x ∈ R,

|x|⁰= sgn(x ) dla x ∈ R \ {0},

√x⁰= 1 2√

x dla x ∈ (0, +∞),

√3

x⁰= 1 3√³

x² dla x ∈ R \ {0},

1 x

0

= − 1

x² dla x ∈ R \ {0}.

(62)

Dowód wzoru

e

^x⁰

= e

^x

e^x⁰ = lim

h→0

e^{x +h}− e^x h

e^h= 1 +¹_z otrzymamy h = ln(1 +¹_z). Ponadto, gdy h → 0⁺, to z → +∞ oraz gdy h → 0⁻, to z → −∞. Zatem

e^h− 1

h = 1

zln(1 + ¹_z) = 1

ln(1 + ¹_z)^z → 1

ln e =1, gdy h → 0. Ostatecznie,

e^x⁰ = e^x lim

h→0

e^h− 1

h = e^x·1= e^x.

(63)

Dowód wzoru

e

^x⁰

= e

^x

e^x⁰ = lim

h→0

e^{x +h}− e^x

h = lim

h→0

e^xe^h− e^x

h = e^x lim

h→0

e^h− 1 h

z → +∞ oraz gdy h → 0 , to z → −∞. Zatem e^h− 1

h = 1

zln(1 + ¹_z) = 1

ln(1 + ¹_z)^z → 1

e^x⁰ = e^x lim

h→0

e^h− 1

h = e^x·1= e^x.

(64)

Dowód wzoru

e

^x⁰

= e

^x

e^x⁰ = lim

h→0

e^{x +h}− e^x

h = lim

h→0

e^xe^h− e^x

h = e^x lim

h→0

e^h− 1 h

Podstawiamy e^h− 1 = ¹_z (oczywiście tu h 6= 0). Logarytmuja¸c równanie e^h= 1 +¹_z otrzymamy h = ln(1 +¹_z).

h =

zln(1 + ¹_z) =

ln(1 + ¹_z)^z →

e^x⁰ = e^x lim

h→0

e^h− 1

h = e^x·1= e^x.

(65)

Dowód wzoru

e

^x⁰

= e

^x

e^x⁰ = lim

h→0

e^{x +h}− e^x

h = lim

h→0

e^xe^h− e^x

h = e^x lim

h→0

e^h− 1 h

Podstawiamy e^h− 1 = ¹_z (oczywiście tu h 6= 0). Logarytmuja¸c równanie e^h= 1 +¹_z otrzymamy h = ln(1 +¹_z). Ponadto, gdy h → 0⁺, to

z → +∞ oraz gdy h → 0⁻, to z → −∞. Zatem

Ostatecznie,

e^x⁰ = e^x lim

h→0

e^h− 1

h = e^x·1= e^x.

(66)

e^x⁰ = lim

h→0

e^{x +h}− e^x

h = lim

h→0

e^xe^h− e^x

h = e^x lim

h→0

e^h− 1 h

Podstawiamy e^h− 1 = ¹_z (oczywiście tu h 6= 0). Logarytmuja¸c równanie e^h= 1 +¹_z otrzymamy h = ln(1 +¹_z). Ponadto, gdy h → 0⁺, to

z → +∞ oraz gdy h → 0⁻, to z → −∞. Zatem e^h− 1

h = 1

zln(1 + ¹_z) = 1

ln(1 + ¹_z)^z → 1

ln e =1, gdy h → 0.

Ostatecznie,

e^x⁰ = e^x lim

h→0

e^h− 1

h = e^x·1= e^x.

(67)

Pochodna „logarytmu naturalnego”

Przypomnijmy, że y = ln x ⇔ x = e^y.

(ln x ) =

(e^y)⁰ = e^y =

x

(68)

Przypomnijmy, że y = ln x ⇔ x = e^y.

Zastosujemy twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej.

(ln x )⁰ = 1

(e^y)⁰ = 1 e^y = 1

x

(69)

(x

^r

)

⁰

= rx

^{r −1}

Dowód wzoru tylko dla przypadku, gdy x > 0. Różniczkuja¸c równanie ln x^r = r ln x

otrzymamy

1

x^r(x^r)⁰ = r1 x.

(70)

Dowód wzoru tylko dla przypadku, gdy x > 0. Różniczkuja¸c równanie ln x^r = r ln x

otrzymamy

1

x^r(x^r)⁰ = r1 x. Sta¸d

(x^r)⁰ = rx⁻¹x^r = rx^{r −1}.

(71)

Pochodna funkcji wykładniczej

Różniczkuja¸c równanie

ln a^x = x ln a otrzymamy

1

a^x(a^x)⁰ = ln a.

(72)

Różniczkuja¸c równanie

ln a^x = x ln a otrzymamy

1

a^x(a^x)⁰ = ln a.

Sta¸d

(a^x)⁰ = a^xln a.

(73)

Pochodna funkcji logarytmicznej

Z własności logarytmów:

log_ax = ln x ln a,

(log_ax ) =

ln a = x ln a.

(74)

Z własności logarytmów:

log_ax = ln x ln a, a wie¸c

(log_ax )⁰ = (ln x )⁰ ln a = 1

x ln a.

(75)

Pochodna „sinusa”

Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

_h→0 f (x +h)−f (x ) h

Skorzystamy ze wzorów:

sin α − sin β = 2 cos^α+β₂ sin^α−β₂ oraz limt→0sin t t = 1.

= lim

h→0

cos(x +₂) sin₂

h 2

= lim

h→0cos(x +h

2) ·sin₂

h 2

= lim

h→0cos(x +h

2) · 1 = cos x .

(76)

Pochodna „sinusa”

Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

_h→0 f (x +h)−f (x ) h

(sin x )⁰ = lim

h→0

sin(x + h) − sin x

h =

h→0 h

2 h→0 2 ^h₂

= lim

h→0cos(x +h

2) · 1 = cos x .

(77)

(sin x )⁰ = lim

h→0

sin(x + h) − sin x

h = lim

h→0

2 cos^{x +h+x}₂ sin^{x +h−x}₂ h

= lim

h→0

cos(x +^h₂) sin^h₂

h 2

= lim

h→0cos(x +h

2) ·sin^h₂

h 2

= lim

h→0cos(x +h

2) · 1 = cos x .

(78)

Pochodna „cosinusa”

Przypomnienie definicji: f

⁰

(x ) = lim

_h→0 f (x +h)−f (x ) h

Skorzystamy ze wzoru: cos α − cos β = −2 sin^α+β₂ sin^α−β₂ .

h→0 h

2

(79)

Skorzystamy ze wzoru: cos α − cos β = −2 sin^α+β₂ sin^α−β₂ .

(cos x )⁰ = lim

h→0

cos(x + h) − cos x

h = lim

h→0

−2 sin^{x +h+x}₂ sin^{x +h−x}₂ h

= = lim

h→0

− sin(x +^h₂) sin^h₂

h 2

= − sin x .

(80)

Skorzystamy ze wzoru na pochodna¸ ilorazu.

(tg x )⁰ = sin x cos x

0

= (sin x )⁰cos x − sin x (cos x )⁰ (cos x )²

= cos x cos x − sin x (− sin x )

(cos x )² = cos²x + sin²x

cos²x = 1 cos²x.

(81)

Podobnie:

(ctg x )⁰ =cos x sin x

⁰

= − sin x sin x − cos x cos x

(sin x )² = − 1 sin²x.

(82)

Pochodna „arcusa sinusa”

Przypomnijmy, że y = arc sin x ⇔ x = sin y dla y ∈ [−^π₂,^π₂] (a wie¸c cos y 0 co oznacza, że cos y = +

q

1 − sin²y ).

(83)

Pochodna „arcusa sinusa”

q

1 − sin²y ).

(arc sin x )⁰ = 1 (sin y )⁰ =

(84)

q

1 − sin²y ).

(arc sin x )⁰ = 1

(sin y )⁰ = 1

cos y = 1

q

1 − sin²y

= 1

√ 1 − x²

(85)

Przypomnijmy, że y = arc cos x ⇔ x = cos y dla y ∈ [0, π]

(a wie¸c sin y 0 co oznacza, że sin y = +^p1 − cos²y ).

(arc cos x )⁰= 1

(cos y )⁰ = 1

− sin y = − 1

p1 − cos²y = − 1

√ 1 − x²

(86)

Pochodna „arcusa tangensa”

Przypomnijmy, że y = arctg x ⇔ x = tg y .

cos y

=

cos²y cos²y sin²y

cos²y +^cos_cos²2^yy

= 1

tg² y + 1 = 1 x²+ 1.

(87)

Przypomnijmy, że y = arctg x ⇔ x = tg y . Z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej:

(arctg x )⁰ = 1

(tg y )⁰ = 1

1 cos²y

= cos²y sin²y + cos²y

=

cos²y cos²y sin²y

cos²y +^cos_cos²2^yy

= 1

tg² y + 1 = 1 x²+ 1.

(88)

Przypomnijmy, że y = arcctg x ⇔ x = ctg y . Z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej:

(arcctg x )⁰ = 1

(ctg y )⁰ = 1

− ¹

sin²y

= − sin²y sin²y + cos²y

= −

sin²y sin²y sin²y

sin²y +^cos²^y

sin²y

= − 1

1 + ctg² y = − 1 1 + x².

(89)

{sin[cos(2x²+ 1)]}⁰= cos[cos(2x²+ 1)] · [− sin(2x²+ 1)] · (2 · 2x )

h(arctg 3x ) · e^−x+1 + x − sin x x⁴+ 2

i⁰

= 1

1 + (3x )² · 3 · e^−x+ (arctg 3x ) · e^−x· (−1) +(0 + 1 − cos x )(x⁴+ 2) − (1 + x − sin x ) · 4x³

(x⁴+ 2)²