Das straken von schiffslinien mit digitalrechnern. Teil I und II

Df

Das Straken von Sdiiffslinien mit Digitairedinern

R. S 6 d I n g

Veröftentlithung des Instituts fir £ntwerfen von Sthhften und SthIft;tbeorle der Tethnlsthen Hothsdzule Hannover

L Zusammenfassung

Die Besdreibung von Sdïiffslormen durcii Formeln statt durdi Zeidinungen Ist die Voraussetzung zur Automation vieler Arbeiten die heute in den tedinisdien Bu ros von Werften nodi manuell durdLgeführt werden. Es wurden daher eine Reihe von Verfahren entwxtelt, um aus einer Zeichnung der Sduffsform im Maßstab 1 :50 oder 1 100 mIt elektronischen Rechenanlagen eine formelrnäßige I)arstel-lung des Sthiffskörpers abzuleiten. Schwierigkeiten bereiten dabei die Interpolation von Sthlffslinien, die Beschreibung der Schiffsforrn. die Beseitigung von Unregelmäßigkeiten, die durch die Ungenauigkeit der Eingangswerte entstehen, und die Interpolation der Sdiiffsoberflàdie zwischen den zunächst berechneten Sdiiffslinien. Im folgenden wird die Behandlung dieser Probleme bei den bisher bekannten Ver-fahren kurz erläutert. Die Lösungen, die mir am bestei ge-eignet erscheinen, werden teilweise verbessert und zusarn-men mit neuen Ansätzen zu einem rechnerischen Strakver-fahren zusammengestellt.

Eine Fortsetzung dieser Arbeit befaßt sich mit der Inte-grauori gegebener (u. a. hydrostatisdier) Drudcverteilungen ber die tormelmäßig festgelegte Sdziffsoberfiäthe. Sie führt zu Bereduungsmethoden für die aus dem Flüssigkeitsdru& herrü.irenden Kräfte und Momente und für die Ableitungen dieser Größen nach Änderungen der Schwimmiage bei be-liebig gekràngtetn und vertrirnmtesn Schiff. Dtese Ergän-zung kann vom Institut für Entwerfen von Schiffen und Sduiffstheorle der TH Hannovèr, Callinstraße 15, bezogen

werden

-H. Einleitung

Mindestens seit dem 15. Jahrhundert konkurrieren beim Entwurf von Sdiiffsformen mathematische mit ..treieri" Ver-fahren. bei denen die Form nach ähnlichen Schiffen gestaltet und empirisch verbessert wird, soweit sie sich nicht von selbst aus dem Verlauf der Planken ergibt Schon in den altesten technischen Zeichnungen von Schiffen, die heute bekannt sind (sie wurden um 1445 von dem Kaufmann Gior-gio Timbotta angefertigt), wird eine geometrische Konstruk-tion für die Länge der Dedc.sbalken angegeben, die eine sinustörmige Deckalinie ergibt. Während die Form dea Hauptspants bei Timbotta frei" gestaltet und durch Stich-maße festgelegt wurde, setzte sich seit dem 16. Jahrhundert der mathematisch konstruierte, aus Geraden und Kreisbö-gen (Furtten bath 1629), Ellipsen oder Parabeln (Bouguer 1746) zusammengesetzte Hauptspant allmählich immer mehr durch und hat heute außer bei schnellen Schiffen und Boo-ten freie" Formen fast ganz verdrängt.

Anders verlief die Entwicklung bei der Form des Vor-und Hmtersdiiffs: Während man früher zuerst die Außen-haut - meist über einem Hauptspant und je einem

Richt-pant im Vor- und Hinterschiff - zusammenbaute und

dann die Bauspanten einbog, wurden seit der Mitte des 15. Jahrhunderts in zunehmendem Maße zuerst die Spanten errichtet und dann erst die Planken aufgebracht. Bei dieser Bauweise mußten die Spanten im Vor- und Hlntersdüft so konstruiert werden, dall sich später ein glatter Plan.kenver-) Von der Fakultit fUr Maadiiinweuen der Tethnathen Modi-idiute Hannover genehmigte Dissertation. neriditer Prof. Dr. -Ing. rim. Prot Dr-Ing. IC. Wendel: mündUthe PrOning am 2. 2. 1117, Vr*1tz,nder: Pro!. Dr-Ing. L Pestet.

lauf ergab. Ais Hilfsmittel dazu verwendete man häufig ein hölzernes Haibmodell dea Sthiffsköpers, das zn in den Spantebenen zersägte.-Man erhielt dadurch Scheiben, deren Umriß abgezeichnet und dann auf natürliche Größe gebracht wurde Vor allem ini 17. Jahrhundert wurden jedoch eine Reihe geometrischer Verfahren zur Konstruktion der Span-ten entwktelt, die wesentlich einfacher und wohl auch ge-nauer waren und die sinuzförmlge (Furttenbath 1629), ellip-tische (Witzen 1671) oder parabolische (Coulorn de fils 16 Senten ergaben. Eine andere, vielfach angewendete Meth e

bestand darin, alle Spanten nach dem gleichen Modell u biegen und nur die Brette dea SdiI.ffsbodena und die D -balkenlänge geometrisch zu bestimmen. I

Etwa um 1700 wurden diese Verfahren entbehrlich du4th die Erfindung des Unienrisses, in dem die Sc±iiffsfomi -bis heute praktisch unverändert - durch Spanten, Sentn, Waa.serlinjen und spiter Schnitte dargestellt wird. Die da-durch ermöglichte freie Gestaltung der Sthiffsformen setzte sich In größerem Umfang aber erst in den ersten Jahrzehn-ten des 19. Jahrhunderts durch, als sich herausstellte, daß die damals neu entwickelte, mathematisch nodi nicht fáß-bare Klipperform den nach den überlieferten mathemti-sehen Methoden entworfenen Sdiiffsformen überlegen

r

Seit dieser Zeit haben sich im praktischen Schiffbau

-allem wegen ihres geringeren Widerstandes

- Sduiffslinn

durchgesetzt, die im wesentlichen nach gelungenen Vor41-dem frei entworfen werden und die Geraden und mathe-matisciz deftnierte Kurven nur an widerstandsmäßtg weni-ger wichtigen Einzetheiten enthalten : am Hauptspant, bei der Kiellinie und beim Dedcssprung. bei der Balkenbucht und häufig bei der Stevenlin.ie und der Abrundung der Wa.iserlinjen an den Steven.DIeapäter von Russeï Archer, Kretschmer. Maler, Weinbium und vielen anderen unter-nommenen Versuche, die günstigen Widerstandseigenschat-ten empirisch entwickelter Formen mit mathematischen Sthiftsforrnen zu erreichen oder zu übertreffen, haben zwar vielfach zu Verbesserungen der empirisch entwickelten Formen geführt, ohne diese aber bisher verdrängen zu kön-neri.

Trotz der Erfindung dei Linienrisses und später der Ab-wi&lungsverfahren blieb die Formbestimmung der an die Außenhaut stoßenden Bauteile dea Schiffes und der Außen-hautplatten selbst ein Problem, dessen Lösung mit der fort-schreitenden Mechanisierung des Schiffbaus Immer dring-licher, mit der Zunahme der Sthiflsgröße andererseits hlmer schwieriger wurde. Heute erfordern die genaue Festlegung der Sthi.ffzform Im Aufmaßbudi und die Formbestimmung der Bauteile bel jedem Neubau monatelange, von vielen Personen durchgeführte Arbeiten; trotzdem müssen immer eine Reihe von Teilen mit Zugaben" gefertigt und später beim Zusammenbau ,elngepaßt" werden. Seit Anfang dieses Jahrhunderts hat man deshalb u a. versucht, empirisch ent-wickelte Sdiiffstormen mathematisch zu analysieren, urn die Bauteile berechnen statt konstruieren zu können [27] (281 129) 136). Dabei hat sich gezeigt, daß die Rechnungen nur dann einfacher ala grafische Konstruktionen werden, wenn man sich mit relativ schlechten Annäherungen an die gege-bene Form zufrtedenglbt. Erst die Einführung programm-gesteuerter Rechenanlagen machte es möglich, empirisch entwickelte Sthiffgformen mit einer für die Praxis ausrei-chenden Genauigkeit mathematisch zu erfassen und Ihre HANSA Sd,lffahrt - Sddftbau - Hafen - IN. Jahrgang - lIti - Nr. il

Bauteile und hydrostatisthen Eigensthaften wirtathaftlither als nath graflidien oder gemisthten graßsth-rethneri.then Verf abren allein durdi Redinung zu bestimmen.

Die vorliegende Arbeit bat zum Ziel, die bisher dazu voi--geudilagenen Verfahren zu verbessern und zu ergänzen

III K.rvteupsIaUss

Die mathernatisthe Analyse graflsth gegebener Sdilifa-formen beginnt man allgemein mit der Interpolation ein-zelner Linien sui der Sthiffioberftlthe. Denkbar wire aber auth ein anderes Vorgehen: Man wihit einen Funktionstyp, durdi den die Form stü&weise oder Im ganzen dargestellt werden soll. z. B.

M N

1

sz1zJ.

_1 j-1

Die Konstanten aU (oder ähnlithe Koniflzienten bet ande-ren Darstellungen) bestimmt man dann o, daß die Ober-fläthe durdi eine Reihe von Stützpunkten verläuft, deren Koordinaten man aus dem Linlenriß abliest. Außerdem kann man bestimmte Nebenbedingungen für die Oberfiädìe vorgeben. Die Beredinung der Koeffizienten a1 führt bei dieser direkten Analyse der Sthiftsoberl5Adie jedodi auf sehr große lineare Gleithunguysteme, die selbst mit moder-nen Elektromoder-nenrethnern praktlsth unlösbar lnd, weil ihre Determinante - verglithen mit den Summanden, aus denen sie sith zusammensetzt - zu klein wird. Praktisth kommen daher nur Verfahren in Frage, die zunithst einzelne Linien auf der Sdiiftsoberfläthe analysieren und daraus dann die gesamte Fläthe entwickeln.

1. Veröffentlichte Verfahren

zur

Interpolation von Schlffslinien

Sdtiffsllnien besdireibt man durdi Formeln, Indem man die Koordinaten einzelner Kurvenpunkte aus dem Linienrlß mißtunddurdi diese Punkte - eventuell unter Berütsith-tigung bestimmter Nebenbedingungen - eine Kurve inter-poliert. Die in der praktisdien Mathematik gebriudilithen Interpolatlonen durdi Polynome und Krelsfunktionen sind zur Darstellung von Sdilifilintea allerdings sthletht geeig-net: bel wenigen Stützstellen wird die gewünidite Form zu

ungenau wiedergegeben, und bel einer genügenden Zahl von Stützstellen sind Polynome hohen Grades bzw. kurzperlodl-sdie Kreisfunktionen erforderlldi, die zu einem wellenför-migen Verlauf der Interpolatlorsakurve führen.

In der idilifbaulidien Literatur wird dh1h vielfath

folgender Weg vorgesdilagen: Man besthrinkt die Zahl der ven Null versduledenen Polynomkoefflzienters po, daß midi keine ungewoilten Wendepunkte ergeben können. Da man gewöhnlith mehr Sttltzwerte iii frei wihibare Poly-nomkocffizienten hat, kann die entstehende Funktion die gegebenen Sthtzwerte im allgemeinen nidit exakt, sondern nur Inh bestimmten Fehlern einhalten. Die Polynomkoef-fizientan kann man dann so beredinen, daß die Summe der Fehlerquadrate an allen Stütz,tellen minimal wird (10) (12).

Andere Autoren beredinen aus den Stützweiten y (z)

-beIspielsweise nath der Stmpsonregel - eine Reihe von In-tegralen der Form

Il

f xl y dx

Io

und bestimmen dann die Polynomkoefftzien ten so, daß sith aus der Interpolationakurve dieselben Werte für diese Inte-grale ergeben (17] (31]. BeI dieser Methode kann man z. B. vorseisreiben, daß die Ftithe(I 0), die Sthwerpunktslage

(1 1) und dam Lingentr&eitemoment (1 2) einer

inter-polierten und einer gegebenen Wasserlinie übereinstimmen sollen. Um den Verlauf vors Wauerunien In der Nihe der Steven einigermaßen genau zu erfassen, muß man aber auch Momente höherer Ordnung (1 etwa 6 bIs 10) berOstthtIgen. In doe gebn1asen unter,theiders sich die beiden Methoden

wenig: Innerhalb der praktisch bedeutsamen Grenzen t&. ben W.uerLinienflhthen und -momente auch bei der eraSer Method. erhalten. Nach beiden Verfahren lassen sich Kur-ven, dl. z. B. in der Kimm oder an den Steven stark ge-krümmt. in anderen Abadinitten dagegen gerade oder nur schwach gebogen sind, nur sthletht oder gar nicht darstellen, da sich die starke Krümmung des einen Kux-venteili ali Wellenlinie in die anderen Bereiche fortpflanzt

Rösingh und B.rghUIm [21) verwenden deshalb für die In-terpolatlors von Wamserlinjen Funktionen, die weniger zu ungewoilten Wellenbildungen neigen:

1 ist dabei der Abstand vom Vor- bzw. Hintersteven bis

zum Punkt z 0, an dem der geradlinige Teil der Wasser -linie beginnt Unabhängig v on der Wahl der Funktion * er-gibt sich bei diesem Ansatz an der Stelle x O für y die

B

größte Brette -s-- der Wasserluu e y' und y" sind dort gleich o, An den Steven (z = 1) wird y = O und y ai . Die Funk-lion n, die den Verlauf der Wasserlinje zwischen den End-punkten beeinflußt, wird durch die zweifache Integration so geglättet, daß der dafür gewthite Funktionstyp wenig Ein-fluß auf das Ergebnis hat. Die in a eingehenden Konstanten bestimmen Röekrigh und Berghui, nach der Methode der kleinsten Fehlcrquadratsumme.

Wieder andere Autoren verbessern den Polynomansatz indem rie In Abschnitten mit geringer Krümmung Poly-nome niedrigeren Grades einfügen [17) oder indem sie jeden Abschnitt der Kurve zwischen zwei benachbarten Stütz-stellen durch ein anderes Polynomn darStütz-stellen [51 (25] [281 Die Polynomkoetflzlenten werden dabei so gewählt, dal) die Kurvenstü&e mit stetiger Ordinate und stetigem erster und zweiter Ableitung ineinander übergehen. Wo die Steigung

dl

dx klein Ist, ergeben sich so Kurven. die der Begelmie

einer elastischen Latte ähneln, die über die gegebenen

Stützpunkte geführt wird. Sie eignen rich vor allem zur In-terpolation von Schiffahnien, deren Krümmung sich nur wenig und vor allem stetig ändert; für Wasserltnien mit scharfen Endrundungen oder Spanten tin Mittathiftsbei-eidi sind rie dagegen sthletht geignet.

Stellen, an denen die zu interpollerende Funktion yzj eine große Steigung oder eine senkrechte Tangente beaitzt. Lessen sich nach all diesen Methoden nur sehr schlecht er-fassen. Weinbium und später Kerwin (12] versuchen, soldi. Kurven durch Polynome sehr hohen Grades (z. B. 200. Gra-des) wiederzugeben. Bakker (5] vermeidet soldie Stellen durch ein. Koordlnatentransformatioti: Statt der Wasser-liniers y(x) Interpoliert er die Funktionen y(x ± y). statt der Sp..ntkurve y(a) di. Funktlooe

y(/io

_iiy0

.1.).

.

Punkt (y. , z.) bezeichnet dabei den Einlauf des ge-krümmten Spanttells In den ebenen Sdiiffsboden. der Punkt (0, ii) den Ubergang in den FlachkieL Zu gegebenem Wert a muß y dabei durch IIer.UOn bestimmt werden. Pien [li vermeidet die Interpolation steiler Kurven, Indern er dM Schlifsenden wegläfit und Im übrigen Bereich nur die Duff e reizen zwischen demi wirklichen und einem vereinfachter aus S oder 6 Spantkurvei aufgebauten Sdilffskörper Inter poliert. Die Spanien des vereinfachten Schiffakörpers mu sen in einem getrennten Arbeitsgang (z. B. graftsdi be stimmt werdei. Williams (31] Interpollert ebenfalls der Höhe nach grafisch und fügt an den stark gekrümmter Enden der Wasseritnien ,,Zndrundungen an, die vermutlidi ebenso wie bel Thiem. (27) durch Wurselfunktiorit. d.arge kleinste Tehleiquadratsumme und Momnentenkonztanz

--

,thrt -

Iffbau - Hafen - 155. Jahrgang - SW - SIr. 1$

stellt werden. 2y

-i--1_t_i)-

/x\'

l+al

j

z \

i

/ X

It

J ic(s)dsdt

11

Diese Versuche, auth steile Kurven zu erfassen. sind alle nicht voll befnedigend 11J. Ein Grund dafür ist, daß Me senkrechte Tangenten nur an bestimmten, vorher festge-legten Stellen zulassen. Deshalb lassen sich viele etwas komplízjertere Spantformen, z. B. bei Binnensthifien mit Tunnethe& bei schnellen Kriegsschiffen mit flach auslau-fendem Herk, bei He*fängern. bei Zweischraubern Im Be-reich der Wellenhosen. bei normalen Frachtachiffen am Übergang des Flachkiels in den Vorsteven nach diesen Ver-fahren nicht einwandfrei darstellen.

2. Ein verbesserter Ansatz

Von einem guten Interpolationsverfahren muß man for-dern, daß die interpolierte Kurve nur von den gegebenen Stützpunkten und nicht von der Lage des Koordinaten-systems relativ zu den Stützpunkten abh*ngt. Betrachtet wird daher ein Poly'nom k-ten Grades = P ' () in einem Koordinatensystem (X. y), das gegenüber dem System (E. ') gedreht und verschoben Ist. Eine solche Transformation wird durch die Gleichungen

X X0 + CO$Ç + 5) ¡inç,

y = Yo - E sinç ± cos(4

bewirkt. 1m Koordinatensystem (X, y) ergibt sich dieselbe Kurve demnach durch die Gleichungen

X = X0 ± co

+ pk) () Mn,

Y = Yo - SiflÇ + p(k () ('OSq.

Eine durch nichtlineare Polynome erzeugte Interpolations-kurve, die gegenüber Drehungen des Koordinatensystems

invariant ist, kann man also nicht durch einen Ansatz

y = P

(x) erhalten, sondern nur durch eine Parameter-darstellung von x und y durch zwei Polynome gleichen Grades

x = pi

y = pt(k (e).

Diese Art der Interpolation wurde schon von Hershey (10) angewandt. Die von ihm benutzten Polynome 6. Grades nei-gen allerdings zu unerwünschten Wellenbildunnei-gen. Bessere

Ergebnisse kann man aber erwarten, wenn man für

Pl k () und pk) () den Ansatz macht, der sich bei der

Interpolation durch Funktionen y f (x) deutlich als am beaten geeignet herausgestellt hat [11): Die anzunähernde Funktion wird stüwelse jeweils zwischen zwei au.feinan-der folgenden Stützstellen aus Polynomen zusammengesetzt. die an den Treifstellen mit stetiger erster und zweiter Ab-leitung ineinander übergehen. Der mindestens erforderliche Grad k der Polynome p1k) () und p2(k) () ergibt sich in unserem Fall aus der Anzahl der Bedingungen, die erfüllt werden müssen, damit die Interpolationakurve zweimal stetig differenzierbar durch n + I gegebene Punkte (Xi, 71) bis (z0 i, y i) verläuft:

Jedes der 2 n Polynome muß an beiden endpunkten die gegebenen Werte x und Xj, i bzw. y- und y i an-nehmen; das ergibt 4 n Bedingungen.

An den n-1 ,,Fli&stellen" müssen dy/dx und d'y/dx! für beide anschließenden Kurvenstü&e übereinstim-men; das ergibt 2 (n-1) Bedingungen.

Die 2 n Polynome müssen also 6 n-2 Bedingungen erfül-len. Die Polynome zweiten Grades

z = P, () = a0 + a+

y

P()= b0 + bi +b,!

ergeben zusammen 6 n Koeffizienten zur Anpsuung an die gegebenen Bedingungen und erscheinen daher auf den ersten B1i geeignet.

Eine Untersuchung der zweiten Ableitung ergibt jedoch ein anderes Bild:

-5-Bild i Ges.tre Bsdvtng I., bel der

Kurve.-lIerpoiatlon verwendeten Symbole

Geeignete Kurven kan man also nur erwarten, wenn man für P, und P2 Polynome dritten oder höheren Grades an-setzt Dabei tritt jedoch die Frage auf, wie man die über-zähligen Polynomkoeffizlen ten sinnvoll bestimmt. Einfacher als durch abstrakte Überlegungen läßt sich dies Problem läsen, Indem man die Methode analysiert, nach der Schiffs-linien normalerweise gezeichnet werden. Man benutzt dazu eine Latte aus elastischem Material mit einem Querschnitt, dessen Trägheitsmoment konstant Let oder das sich über die

Länge gleichmäßig verändert. Die Latte wird tiber die

Stützpunkte geführt und die entstehende Biegelinie als Interpolationskurve antesehen. Rei der praktischen Durch-führung dieser Prozedur zeigt sich, daß die Durchbiegung der Latte zwischen zwei aufeinander folgenden Stützpunk-ten wesentlich kleiner

ist als der Abstand der beiden

Punkte. Man kann deshalb die Biegelinle 5) (Ea) (S. Bild 1) In jedem Abschnitt zwischen zwei Stützpunkten mit guter Näherung nach der elementaren Balkentheorie berechnen.

Kräfte wirken auf die Latte nur In den Stützpunkten. Deshalb Ist das Blegernoment und - bei konstantem Träg-heltsmornent des Querschnitts - die diesem Moment pro-portionale zweite Ableitung der Durchbiegung 5)i () linear über die Längenkoordlnate veränderlich:

p + q.

Bei zweimaliger Integration ergibt sich daraus für die Biegelinle j (E) eine Parabel dritten Grades. Stellt man diese Parabel In dem Koordinatensystem (z, y) dar, so er-geben sich auch für die gesuchten Funktionen z P, () und y P2 () kubiache Parabeln. Die nach der elementaren Balkentheorle berechnete Blegellnie der Latte gehört dem-nach zu den einfachsten aus Polynornen entw1elten Kur-ven. die die zuvor aufgestellten Bedingungen für die Inter-polation von Schiffilinlen erfüllen.

1388 HANSA - Sthtftahrt - Sdiiffbau - H*ten - lia. Jhrgsng - 1157 Nr. is

d dPt/d

dy

d jdy

\ dPi/d%

dx - dx

dx dPi/de

d fbi+2b

d% \a -- 2a,I

a, + 2at

2b2(aj + 2ae)-2a(b, + 2b)

=

_(a1+g*)

2(a,bsa!bl)

(aj + 2a)5

Der Zähler dea Bruthes ist von unabhängig; d2y,dx2 ist also entweder konstant O - das entspricht einer geraden Linie - oder überall ungleich 0. Die Kurve hat demnach keine Wendepunkte. Zwar wechselt das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der Stelle, an der der Nenner O wird; da an derselben Stelle aber auch die erste Ableitung

dy

bs+2bs

dx

a,+2a

eine Polatelle mit Vorzelthenwed'tsel hat, bleibt die Rich-tung der Krümmung stets gleldz. Die Kurve hat an solchen Stellen Spitzen: sie eignet sich daher nicht zur Interpolation von SthlfTsllnien.

n Gleichungssystem zur Berechnung

er Biegelinie einer elastischen Latte

Eine elastische Latte mit konstantem Trägheitsmoment des Quersc*initts werde über die Punkte P1 bis P0 igeführt. Mit dem Abstand

der Punkte P und P1 i von einander kan man die kubischen Parabeln (), aus denen sich die Biegelinle zusammen-setzt. in f olgsder Form schreiben:

Offensichtlich erfüllen diese Gleichungen die notwendigen Bedingungen (0) = O und (li) (L Die ersten Ableitun-gen in den Endpunkten P1 und Pi + i ergeben sich zu

' (0) a , ì' (li) = b1

die zweiten Ableitungen sind

2aj+4b1 )l (0)

= li

Bezeichnet man mit

arc tan vi i Xi 'i - Xj

den Winkel der Geraden durch P und P-.i gegen die

x-Achse (Bild 1). ,o ergibt sich aus der Bedingung gleicher Tangentenriditungen der beiden Parabeln. die sich in Pi

treffen:

arctana''.i±arctanbi,i2...n.

(3)

Da die Biegemomente redits und links von einem beliebigen Stützpunkt P übereinstimmen, sind auch die zweiten

Ab-leitungen i' () der beiden Parabeln an der Treifstelle P

einander gleich. Das ergibt:

-2a1bj

_--

L-I +ThlI

_{1=2.. n}

(4)

li

li-i

Die Beziehungen (3) und (4) bilden ein Gleichungssystem von Zn 2 Gleichungen. Zur Berechnung der 2 n Koeffizien-ten a1 und b ziehe ich noch Randbedingungen an den Enden der Latte heran. FiAr jedes Ende unterscheide Idi zwischen mehreren Möglichkeiten:

Am Anfangspunkt bzw. Endpunkt der Latte ist der Winkel bzw. zwischen der Tangente an die Biege-linie und der z-Athse gegeben:

-r- arc tan ai Ya bzw. y

-t- arc tan b = y.

5)

Im ersten bzw. Letzten Abschnitt der Latte soll die dritte Ableitung der BiegeUnic

i, (L) (se + b1) verschwinden, also

i +b1 =Obzw.a0 -+-b=o.

(e)

Zur Darstellung von Sdilifallnien reichen diese zwei Typen von Randbedingungen häufig nicht aus. Besser Ist es, auch die Möglichkeit vorzusehen, daß die zweite Ableitung am ersten bzw. letzten Stützpunkt verschwindet, und daß sie um einen bestimmten Anteil - z. B. auf die Hälfte ihres Wertes am zweiten bzw. vorletzten Stützpunkt - abnimmt. Da diese Möglichkeiten nichts wesentlich Neues In die hier angestellten Betrachtungen bringen, wird Ihre formelmäßige

Beschreibung hier übergangen.

Aus den Gleichungen (3), (4) und (5) bzw. (6) kÖnnen die Koeffizienten ii und b1 der Polynome bestimmt werden. Die Läsung des niditlinesren Systems von 2 n Gleichungen würde jedoch selbst auf schnellen Rechenanlagen für eine praktische Anwendung zu lange dauern. Wenn man die Gleichungen (4), dIe plötzliche Krürninungsänderungen aus-schließen, nur nlherungsweise erfüllt, kann man das System

aber linenrisieren. Setzt man nämlich

HANSA - 3thifthrt - Sd'dßbau - Hafen - iN. Jahrgang - 1157 - Nr.1* lit:

Bild Z i rp.Ls*i.n.kurven, die nacb dem Im TeSt beacbrtebra.. Verfar.a bercn.t und van einem lodiatrelfengeateuerten nuI.-m*Ien gese*aet wurden. Die Stützpunkte lar kurven und mit

gekennzeldinet

Das Gleichungssystem läßt sich weiter vereinfachen, wenn man in die Gleichungen (10). (11) und (12) die Werte fiAr einsetzt, die sich aus den Gleichungen (9) ergeben. Aller-dings müuen dazu nodi zusätzliche Werte y i und ai,, so definiert werden, daß Gleichung (9) auch für i n + i gültig

beliebig; (1

.i

Ya n 'Fm-I.

Dann ergibt sich

aus den Gleichungen (10) für gegebene Endwinkel: FI + «i y. bzw. In i + OEa i = Ye ; (131

aus den Gleichungen (11) für verschwindende dritte Ab-leitungen an den Kurvenenden:

U2+ai +Ff

0

(14)

aus den Gleichungen (12), die einen stetigen Krimi-mungsveriauf garantieren:

- + ti+

«i.i=

li-i

sb-i

li

_/

li

(l

ii

Formeln vom Typ der Gleichung (15) treten auch in dei Statik auf: Die Biegemomente M. die in einem Träger mi' konstantem Trägheitsmoment an den Auflagern P be, einer Belastung auftreten, gehorchen den Clapeyronsthen GI-d'iungen 'li I

¿l

)[al__-_)_bi----J.

'tI I \ E i

l=1...n.

L Ii L 1 ii (2)

arctanao.e,

(7) arc tan be = tL. 1 1 . -. n, (S)

so erhält man aus den Gleichungen (3). (5) und (6) Lineare Beziehungen:

«j + = O bzw. a + O.

(li)

a und

, haben eine anschauliche Bedeutung: Es sind die Winkel. unter denen die Blegelinie die gerade Verbindung benachbarter Stützpunkte schneidet (Bild 1). Wenn die Durdibiegungen der Latte zwischen den Stützpunkten klein gegen die Abstände 1 sind, sind auch u und l, klein, In den GLeichungen (4) kann man deshalb näherungsweise

a, = u,, b, =

setzen und erhält dann ebenfalls lineare Gleichungen:

2«je

ujj+2(l,

i

li i

,i-2.,.n.

(12)

Die geringe Unstetigkeit in der Krummung. die sich durch diese Näherung ergibt. Ist ohne Bedeutung; sie Läßt sich

durch eine bloße Betrachtung der Kurve nicht feststellen (Bild 2).

lu-iMi-i t 2(l_+l)M + 11M.i

_11-iKi-i.,

LjKj.i.i, 1-2.. n.

(16)

r und K, .i. sind dabei die von der Belastung des Trägers abhängigen Kreuzlinienabsdukltte, 1 the gegense4-tigen Abstände der Stützpunkte Pi. Meist beredinet man die Blegemomente jedodi nidit aus diesem _{Gleidiunguystern.} da es einfachere Verfahren dafür gibt. Aus der Ansiogie der Gleichungen (15) und (16) kann man sdilieCen. _{daß these} einfacheren Verfahren sudi für unser Problem - entapre-diend abgewandelt_{- eingesetzt werden können. Ich habe} das nachgeprüft und festgestellt, daß_{für die} Kurveninter-polation eine Abwandlung dea Festwertverfahrens _von Bier-mann [9, SeIte 824] sehr gut geeignet ist. Die Umwandlung des Festwertverfahrena zur Beredmung der Biegemcrnente in ein Vertahran zur Berechnung der Interpolatlonikurve ist nicht schwierig, aber ziemlich umständlich. _{Idi gehe} da-her in dieser Darstellung den umgekehrten_{Weg: Als} Ergeb-nis dieser Überlegungen wird das _{Hedienverfahren} ange-geben und anschließend nachgewiesen, daß die sich daraus ergebenden Werte a die Gleichungen _{(13), (14) und (15)} er-füllen.

4. Berechnung der Biegelinie nich

einem Festwertverfabren

Die Winkel a, unter denen eine

_{elastische Latte}

kon-stantenTrägheitzmoments in den Stützpunkten P die ,.Seh-nen P1P1 .1 (Bild 1) schneidet, kön,.Seh-nen nach folgendem Ver-fahren berechnet werden:

I _{Ant angiwert für den ersten Winkelantell p bestimmen:}

Pi falls ein Anfangswinkel 'y für die Kurve

ge-geben ist;

pj arc tan _{fall, die dritte Abteilung Im}

Xi

ersten Kurvenabsdin!tt verschwinden_soll.

2 Für i I bis n berechnen: Abstände dei Stützpunkte

1,- Y(zi.izt+ (7i.i-7t;

Sehnen winkel gegen the x-Achze 71+1-71

arc tan

Xi iXI

(Um den Sonderfall x

_{* - z}

_{O zu erfassen und} um In Jedem Fall mit dein Hauptwert der aretan-Fünktion rechnen ni kcinen, wendet_{man in einem} Programm besser eine Bekuralonsformel an, die von dein Anfangswert 'r, _{pi ausgeht:}

'ri 'ri-i + arc tan

(yI+iyi) (xizi_i)cyiyi_i)cxi.izj)

)

- Xi) (XIXI_1) (Yi.i-7i)(Y'iYi-i)

e) Übertragungizahl k:

Bel I _{i und gegebenem Anta ngswlnkel}

_y:

k1 O;

Bel I _{I und veradiwindender dritter Ableitungim}

ersten Kurvenabadinitt: k 1;

1

Bei i> 1: k,

2+

(ki..i +2) Hilfawinkel r: r Ersten Winkelantell p:

p+

+

_{i-), fallakO;}

3 ri - Pi Pl+1 2

,fallskO.

3. Endwert für den zweiten Wtnkelanteil q berechnen: Falls ein Endwtnkel_{'r. gegeben Ist: q, i}

_{'r. p, i;}

Fall.s die dritte Ableitung Im letzten _{Kurvenabidiniti} verschwinden soll:

2'. p, p..i r.

k + I

4. _{r. beliebig festaetzen}

5 Füri-n+lblslberethnen:

Zweiten Winkelantell q

_{r + q iki, falli}

Gesuchten Winkel o

p + Q'1.

Wendet man die in diesem Verfahren benutzten 1 auf die linken Seiten der GleichUngen _{(13) und (14:} kann man leicht nachweisen, daß _{these Randbedin} erfüllt sind: Es ergibt sidi

bei gegebenem Anfangswtnkel

_r,:

ri + ei

'i + Pi +qlyi

Pi + ri + q,ki - 'i. + O ± O

_r.;

bei gegebenem Endwlnkel

r.:

r.+l + Q..1

_{'r..i + P..i + O_.i'ra.i}

P..i + 'r.P.. i

r.;

bei versdiwlndender dritter Ableitung im ersten Kur-venabedinitt:

ar + e + r - ri

- p1 + Q'f,+ p1 + Qiyi +

_Yi'ri

_P1_r1(1+---)+Qs+Pi+r1+Q2k1_2'r1

bei versdiwindender dritter Ableitung_{Im letzte} venabadinitt:

i + 5s.1 + +1,,

P. + Q. - 'r. + P.

i + q, * i - 'r.

i + 'r. .1

-p, + r, + q,.1k,-2'r, + P..' + q..1

(2'r,p,p,.i r.) + q,+i (k, 4- 1)-O

Die BedIngungen (13) und (14) werden also durch das Ver-fahren erfüllt Der Nachweis, daß auch die_{GleIchungen (15)} .rfüllt sind, wird am übersiditlithsten,_{wenn man von (15)} ausgeht und durch umkehrbar eindeutige Rechenoperatio-nen daraus eine Identität folgert. Dazu setze idi _{in (15) für} - i, a1 und a, * die unter 5 b) angegebene Beziehung ein und erhalte:

i:: +:+2(!+

_)P+i+

Qi+i _'ri-i

Ii

,1=2biz

Aus der In 2 d) angeführten Gleichung folgt umkehrbar eindeutig:

1Ibisn.

Damit ersetze ich In Gleichung (17) 3'ri - tund 3'ri. Dabei er-gibt sich:

2(P_Pll)+PI.l_PI+ qii

₊

2qi

+

IQi+ Qi.i

li-i

li li_i

li-i

li li

I 1

Iiij

ormein

-)an,io

gungen n- (17) bis n -clef tete

a'

_{EAJIXA - IIfta1*rt - SdiuTbau - Rifen - 155. Jahrgang - 1W}

fl-i (ki-i + 2)

ri (ki + 2)

Iiiki-i

1_2

Fürppi.i undp.p, setzte Ididleaus2e)abg

Beziehung

Pi+i_P.'_fl(I+

_{-), iitgsn,}

ein. Dabei heben sich einige Glieder gegenseitig auf, bleibt:

Q-1

+

_Ii-i

+

_b

+

ql.,

_b

fl-I

_b-i

ri i

Ijk Auf der rechten Seite der Gleichung _{kann man r} -ersetzen durch die aus 5a) abgeleitete Beziehung

fl-qiQ.IkI,i'lblSn.

n

Kur-il

und es 2 bIs n. und r

Teben zlth theGliedermit qj und qi. heraus; nadi sion durdi q bleibt:

2 2

L-i

i

li-i

L,I_2blsn.

Löst man diese Gleldiung nai*i k auf, so ergibt ildi die Be-ziehung 2c). Die Winkelu4genügen demnadi audi den

Glel-diungen (15).

5. Irweiterung dei

Festwertverfabrens

zur Berechnung von

Schiffilinlen

S4'lNlinien können auth Punkte enthalten, an denen die Krümmung unatetig Ist. Die Biagelinle einer ela.stlathen Latte, die nur durdi Kr*fte belastet wird, hat soktie plötz-lidien Krürnznungsnderungen nur an Steilen, an denen

aldi das TrÄgheitsmoment Ihres Quer.dinttts sprungh.ft verÄndert (Bild 3, oben) oder wo es alimihildi zwisdien zwei Stütsstellen von einemendlithen auf einen unendlidi kleinen Wert abnimmt (Bild 2, MItie) Im ersten Fall be-einflussen die redits von B liegendenStützpunkt. audi den Kurvenverlauf links von B, Im zweiten Fallnidit Die Be-baditung soldier K.rümmungs-Unzt.tlgkeiten an Sthiftz-linien - z. B. am tYbergang des fathen Sdiiftsbodens in die Kimm oder an der Abrundung dec Wauerlinien am Vor-itevio - lehrt, daß hier dec stärkergekrümmte Kurventeil den weniger gekrümniten meist nidit beeinflußt An solthen

$0m ) gaaat. ?r.

_{I' wt.dsr £iS}

?r1.Issverst

.

Punkten wird deshalb für die Interpolationein zwiethen A und B linear auf Null abfallendes Trigheltainornent ange-nominen (Bild 3, unten) Da auth das Biegemoment M

zwl-athen den Punkten A und B linear

abnimmt, bleibt die

zweite Ableitung dec Durdibiegung zwfsthen A und B kon-stant:

M()

MA(l%/I)

M,

= ZIA (1 f)

Z14 konstant Die früher abgeleitete Beziehung (2), dIe Ei*en dec Kurve aussthließt, gilt natürlidi sudi hier, wenn man voraussetzt, daß das TrÄgheitsmoment zwisdien B undC nidit wieder auf einen endlith.en Wert ansteigt. DieBedIngung (4) (statlg verinderllthe Krümmung) gilt nur as den PunktenA und C. Aus diesen Bedingungen kann man die Formeln zur Be-redinung der Tangentenwinkel s nath dein Festwertvec-fahren ableiten. Dabei muß esas zwei 1111. unterathelden: Nimmt das TrÄgheitsmoment zwtsthen Pi

und P bei

wadisendein Index I der Stützpunkte auf Null ab, oder steigt es zwiadien Pj und Pi von Null auf einen endildien Wert? Im ersten Fall müssen die Formeln des Ferstwv t-verfahrens filz die Beredinung der GrOßen k4, r und pi

ab-gmdet werden in

SAA - S'art. Sd«bau - -

- iii Mhr$aag - Iar - Nr.15

2y - i - pi - i - pi - n - $

kiO;ri

_{k&_t+I}

2

lin zweiten Fall wird dagegen

L 1 ; r

yjp;

pI.i

'l'i.

Der N5I*IWeIa, daß bei Anwendung dieser Formeln die Krümrrnesg dec Kurve bel P - i und P1. stetig und zwi -athen Pi-i und Pi (Im ersten Fall) oderzwisdien P1 und P1 i

(Im zweiten Fall) konstant Ist, kann ganz entsprethend dem 1m vorigen Kapitel eingeudilagenen Weg geftihrt werden und wird hier übergangen. Statt dessen zeigt Bild4 einige nadi diesem Verfahren beredinete Kurven.

X

x + (z

j - *i)

Y Ti + (Yi.i - Ti)

S Ap'

eres.s.

vad g..Ia.s.

sss.r----1v

it st$gues Sstss sgsv.rlai&I sa s* aakts.

t Anwendung des Festwertverfahreni

auf die Interpolation

Das in den vorhergehenden Kapiteln besdiriebene

Fest-wertverfahren führte zur Bernung der

Winkel u zwi-athen den Tangenten an die Interpolatlonskurve und den Verbindungagecaden zwisdien benadibarten Stützpunkt.n Mit den Beziehungen (7), (8) und () folgen daraus die

Ko-a und bi der Gleldiung (2):

= tanaj; bi

tan (,y,jy), 1-1 bis n.

(1$)

Die Trsnsfommatloneglelthungen iwiedien den an den Stütz-punkten orientierten Koordlnatensystesnen (, i)und dem feiten System (z, y) (Bild 1) sInd:

+ (x j xi)

-r-, j

i bis n. Setzt zian für

-

4L d1ZIWI L WJU jUr

__

J £1'...

-$eite der Gleldiung (2) eIn, io ergibt aldi aus den Transi or-tlosaglelthungen die enitht. Parameterdarstellung der

latsrpoìationskurve zwlen P4 end P j:

I - I +

(zt.ixi)t--(71+1 y1)t(1 t) [si (lt)b4 t]

y

yj + (yi.yj)t +

+ (x+j L)t(lt) (ai (1t)bjtj

libEsa.

(18)

Urnas einer gs

en Stell, j, die iwisdien z und

liege, dis R.eordIents dec Intirpoistlonskurve zu

bes-idi-nen. muß w zun1dt die Gleithiag

j

xl + (xl It) t

-(yl.*yi)t(1t)tai(1t)bit]

(30)

1*1 die redite

s

Setzt man s, so erhält man aus F(s) dasPolynom

P(s)

(ss) (saSS) (s'3).

P (s) ist also dai gesite Polynom mit denNullstellen sie,

s und 5*2.

Die Koeffizienten A, B,

E

irnd dimes Polynoms können nun leicht berechnet werden: Aus (22)und (24) folgt:

F(s) (A.3 + Bs5 + Cs +

D)-[AexP (2aI)s + BexP(-- iii) .1 + CexP(-

il)s + D].

+ Bexp (-

isi)s + CexP(- ti). +D].

Beim Ausmultiplizieren ergibt sich daraus:

F(s)A3s9+[BS+3A(AD_BC)]a1+

+ [CI + 3D(ADBC)Ja1 + D.

Damit werden die gesuchten Koeffizienten von

AA3; =B5+3A(ADBS);

E'C3+3D(ADBc);

(25)

Nach n-maflger Anwendung dieser Trausformationsfor-meln auf die jeweils zuvor berethneten Werte A, R, Cund D erhält man so die Koeffizienten A() bis Aus den Vieta-schen Wurzelsätzen folgt für das so entstandene Polynom

Pt') mit den Nullstellen i') ,5fl und3"

b(

(a)s)

i(')

(a) i(')

+ ¡e(a) ;( n) +

it")

('i

Si (3e) 551') +

i,1t) i(5)

+ s3t1'

-(33) i(5') ..(')

(26)

Die gesuchte Wurzel s ist reell und dem Betragenach klei-ner oder gleich ,da x nach Voraussetzung zwischen x und

i liegt und s

zwischen x und x j von bis läuft (BIld 5). Die andern beiden Wurzeln 2 und 33 können kom-plex oder reelL sein; ihr Betrag ist jedoch größer oder gleich

, wenn die redite Seite der GleIchung (20) zwischen P1 und P1.1 eIne monotone Funktion von t Ist. Setzt man voraus, daß an allen Extrernwerten der zu interpolierenden

Schiffs-BUd s Redeutnag der GIeic.agSB (IS) sad (U)

linien Stützstellen angeordnet werden, und scheidet man die trivialen Fö.Ue g x und - x, j aus, so Ist also Is <1551

und Isj <IsI. Für genügend großes n kann man

deshalb In Gleichung (26) dIe si enthaltenden Suminanden lin Nen-ner der rechten Seite vernachlässIgen:

-

_-

C (i) 5i'1') t1', 55($k)

D (s) (5') 53(1')

HANSA - $dilftahrt - $ditftbau . Hafen - 153. Jahrgang -1151 Nr. IS

adi t auflösen. Dazu bringt man sie zwemmlßlgerweise mit dem Hfllsp.rametei

s

tO5

(21)

Infolgende Form:

As3 +2 + Cs f D

O (22)

Die Koeffizienten von P (s) ergeben sith aus den Gleldun-gen (20) und (21) zu A = (yj.j - 71) (a + b1); B = 0.5 (Jj

y) (a - bi);

C = 0.25(y,iyo)(a + bj)+(x.x);

(23)

D = 0.125(y.iy)(ab) +

4- 0.5

X1) + (xi

-Die kubisdie Gleithung (22) läßt sith am einfachsten nadi Iterationsverfahren lösen. Das Newton.sthe Verfahren kon-vergiert hier sehr sduiell, allerdings in einigen Fällen gegen

einen verkehrten, außerhalb des IntervaLls von x bis x liegenden Schnittpunkt. Nach dein Graeffe-Verfahren er-gibt sich in jedem Fall eine zwischen x und X , liegende Wurzel. Da bei diesem Verfahren sehr große und sehr kleine Zahlen auftreten, muß die Auswertung im Gleitkomma er-folgen. Graeffe bestimmt aus den Koeffizienten eines Poly-noms P (s) mit den Nullstellen s. S2, Ss... die Koeffizienten des Polynoms mit den Nullstellen sf2, se', sse...Sind dieNull-stellen dieses zweiten Polynoms bekannt, so kann man

dar-aus sofort den Betrag der Größen S, i, 33...

berechnen; die Vorzeichen mussen dann auf andere Weise z. B. durch Einsetzen der berechneten Werte in P (s) bestimmt wer-den.

Dies Verfahren kann man für die programmgesteuerte Lö-sung kubisdier Gleichungen verbessern. indem man aus dem ursprünglichen Polynom das Polynom mit den Null-stellen s13 s und s berechnet. Aus den Nullstellen dieses Polynoms ergeben sich audi die Vorzeichen von Si, s und s. Die Formeln zur Berechnung der Polynomkoefflzlenten wer-den gegenüber wer-den nach dem Graeffe-Verfahren bei-edine-ten Formeln kaum komplizierter, die Zahl der benötigbei-edine-ten

Rediensthrltte wird jedoch etwa um /i kleiner.

Zur Berechnung des Polynoms dritten Grades mit den Nullstellen s, a und ss3 untersudie Idi das Polynom

P (s) P

[(--)

] P[exP(-- xi)

.11. (24)

Wenn P (s) drei Nullstellen bel s, s und s hat, besitzt F(s) offenbar Nullstellen bel s, se, s.

s exp ( -

xl).

_{s exp ( -_}

exp ( --

xi).

SiXP

/4

_j-

xi).s2exP_Ï- Jil)ufld ssexPI_-j-z1

14

\

/4

Man kann P' deshalb in folgender Form schreiben:

F(s) =

(s_1i)[5_5i

xi)lls_si

:

iii))

(s $2)(s 2

x(_- xI)}[s_se exp(__

i)J

(s

£)

[s

si exp (--- irl)][s_

s exp (

xi)].

Das Produkt der ersten drei Glieder diesesPolynozns Ist

s3stsl

[ex(__

_,

Jd)+exP(_

xi) +i]

+ ssi2

[exp (2xi)+

z1)+ .z.(_

_--xi)1

s1 exp (-2x1)= s3s1.

Da entsprechende Formeln audi für die Faktorenmit s und s gelten, wird

F(s)= (335t3)(s3se3)

(s3sSS).

HANSA - Sthiftahrt - Sdiffbau - Hafen - liS. jahreans - 1557 - Nr. il P1. P Pi p p, q q1 ri

I..

il. ?,

'2 z z

I

0 xl y y y Yo y1 Y,, yu z b zu a' Ya

t

ii

tu '1

'f '3

Polynome

Stützpunkte einer Kurve

KoeffIzient

erster Wtnkelantetl bei P,

Koeffizient

zweiter Wlnkelanteil bet P, Hilfawinkei bel P

Parameter

Nullstellen eines Polynoma Parameter

Abaziaae (Kapitel nI)

KoordInate in SdtifislAngsricttung (Kapitel IV) lntrrpoiationsstelIe

L&ngenkoordinate des Seiteneinlauf. Langenkoordinate des ideellen Steven, Ordinate (KapItel III)

Breltenkoordinate (KapItel IV) Interpolationswerl

Breltenkoordtnate des Bodeneinlaufs halbe Flathklelbreite

Breftenkoordinate der Unie L0 BeBenkrdinate der l.inie L5 HOPnkoord1nate

Höhenkoordìnate der Linie L,, Möhenkoordlnate der Linie L, sieP' Bild 1

stehe Bild i

Winkel zwisden Kurventangente und X-ACtIIC im ersten Stützpunkt

Winkel zwIschen Kurventangente und x-Achse im letzten Stützpunkt

siehe Bild I

siehe Bild 12

Ordinate eines gedrehten Koordinatensystems

stehe Bild 1

Erzeugungsfunktion einer WasserUnie nadi

Rösingh

Absziaae eines gedrehten Koordinatensystems siehe Bild1

siehe Cl. 30

Winkel zwischen der Tangente an einen Spant und der z-Achse

Winkeltan der Linie L,, Winkels an der LinIe L

siehe Bild 12

Sthritttnxn

fij Abel.. W.: Lerectinungen auf der IBMISiS S&I und Hafen

1153. 5. SSS.

121 Arndt. B,: Sdttfisth.orie-Rethnungen mit Hilfe voli elektrt, athen Rethenanlagen. Hansa 1555, 5. 2441.

)3) Bakker, A. R.: Adaption of Electronic ComputatIon Method,in

Naval Construction. InternatIonal Shipbuilding Progress INS

8. 17.

(4) Bakker, A. R.: Some Mathematical Considerations about Ships Hulls. Vortrag, verölientlicht In: Numerical Methods Applied

to Shipbuilding Oslo 1564.

IS) Bakker, A. R.: Application of a Computer to Some Shipbuild-ing Problems. InternatIonal ShIpbuildShipbuild-ing Progress lIsa, S 345 IS) Bakker. A. R.: Sdiiffbauwtuenathaftlithe Berechnungen und

Ihre Automation. New Ship. 1155, 8. 251.

171 Gertler, M. A Reanalysis of the Original Test Data for the

Taylor Standard Series. DTMB Report SSS.

lUI Hamill. P. A.: A Simple Approach to the Mathematical Ship Form. National Research laboratory. Ottawa. Report MB 225 II Henachke, W Schlffbautedsnlathes Handbuch Band I BerlIn

1567

III Hershey, A. V. : Derivation of Mathematical Ship Shapes from the Taylor Standard Series. liS. Naval Weapons Laboratory, Report F737.

1111 Jacobsaon. A.. und elldin, B. ' Publicersde metoder för flume-riak formbest5mning av fartygsakrov Stl.ftelaen fOr skepps byggnadateknisk fDrkning, Rapport Nr. 34.

)12I Kerwan. J. E.. Polynomial Surface Representation of Arb-tral'y I$dp Forma Journal of Ship Research, Juni isSS

(131 Kerwan. J. Z.: Polynomial Surface Representation of Hull Forma Vortrag. vefpffentlltht In: Numerical Methods ApplIed

to Shipbuilding. Oslo 1144.

(IS) KnüpAer. K,: Vorführung sthti'i'baultther Berechnungen auf dem Elektronenrechner IBM 150 an der TH Hannover ,.Ha's.

1551, S. III.

ird die gesuchte Wurzel

SI I'

D1 ICa)

(27)

Damit sind alle ?ormeln entw1ielt. die man zur prak-tischen Durchführung der Interpolation braucht. In pro-grammgesteuerten Rechenanlagen müßte der Vorgang fol-gendermaßen ablaufen:

L Nach dem In AbschnItt 4 und 5 besdthebenen Verf ah-ren werden die Winkel a1 beredmet. Zwedcmäßig ist es, diese Werte nur einmal vor Beginn der Interpola-tion zu berechnen und in der Rechenmaschine zu spel-them.

Das Programm untersucht, zwischen welchen Punkten P1 und P1..i die Stelle - liegt, an der der

Interpola-tionswert zu berechnen ist.

Mit den Formeln (18) werden a und b1 bestimmt. Daraus ergeben sich mit den Gleichungen (23) dIe

Koeffizienten A. B. C und D.

Die Beziehungen (25) werd«, w oft hintereinander an-gewendet. bis die Glieder 13A (ADBC)I und SD(AD

- BC)I wesentlich kleiner als BI bzw.

C sind. Das ist lin allgemeinen nach zwei bis drei Schritten

der Fall.

Aus den dabei erhaltenen Werten C(s) und D ergibt sich nach den Gleichungen (27) und (21) die gesuchte

Wurzel t der kubischen Gleichung (20).

7 Der Parameter t liefert - in Gleichung (19) eingesetzt

- den Interpolationswert .

Bei diesem Vorgehen verlauft die Interpolationskurve exakt durch die vorgegebenen Stützpunkte. Auf die im Ab-schnitt I erwähnte Glattung der Kurve wird später einge-gangen (wird fortgesetzt)

8ybsIe

A Auflager (Bild 3) A. A PolynomkoeMxienten A1 - tan 6 (Bild 12)

A., tan 6 (Bild 12)

s .a., Polynomkoeffizlenten

Tangens dei Stevenelnlaufwinkels einer

Wa*aertinie

- tan e, (Bild i)

Koeffizienten eines rweidimenaionalen Polynorna

B SdÌffsbrelte B Auflager (Bild 3) B B Polynomkoetlizlenten B1 - tan 6 (BUd 12) B., - tan 6,, (Bild 12) b Konstante b,,, b1. b., PoìynomkoeMzienten b tan ß (Bild 1) C Auflager (Bild3) C, C Polynomaoetflzlenten C1 C. siehe 01. 31 D. D Poiynomkoefflztenten E £lastizitltamodul f beliebige Funktion I Trlgheitsmoment I, j Lautvsriable K ajebe 01. 32 K1 _{. K1 .1} Kreuzllnienabac$initte am Punkt P1

k Grad eines Polynorna

k1 W inkelUbertragungszahl

L0 obere Begrenzungalinle eine.

Oberfl*then-Teiltelde.

L untere Begreniungsllnie eines

Oberfi*then-Teilfelde.

I Abstand StevenSelteneinl.auf in einer festen

Höhe

Abstand Zwi5den P und P _i

M höthste auftretende Potenz von z M1 Biegemoment am Punkt P,

N hödate auftretende Potenz von z

n um I verminderte Anzahl der Stützpunkte einer Kurve

.3) Kuupt?er. IC Die Durchfuhrung von I crechnun1en im

Sdiiftsentwurf Stiif!stethmk 1961, S. SI

)16) Lo.lbro N Anvtistir Formbesnmmung von Schiiten.

Schiffs-technik liS; S. 91.

¡17) MI1er, N S und Ku, C The Mathematical Fa;ring of Ship

I ines Europs'an Shipbuilding 1963. S 2

(lii Pien. P. C.. Mathematical Ship Surface International

Ship-building Progress 1960. S. 161

IS) Posti. H Rechnerische ErmIttlung der Abwicklung zweiachsli gekrummter Flachen Schlffbautorachiir;g 1963 S 2$.

(20) Prohaska. C. W Ship Design by Compute; The Shipping

World 1959. S. 220

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Han'a' 1961. S 24161

Sding. 11 Uber ein Prograflirn zu, En rechnung der Pantoka-renen lecker Schiffe Hansa' 1961, S. 2413.

Sliding. H.: Die Programniierung sehlffbaulidier Berechnungen an der TK flannoer. Schitfstechnik 1946. S. 21.

24) Sperner. E : Einführung in die an.aI.tisdir Geometrie und

Al-gebra. Göttingen 19414

1251 Teilheimer. F. Univac Calculatlona of Ship Lines ASNE, Mat

I 967

(26) Teliheimer. P'.. und Starkweather. W : The Fairing of Ship

Lines nf a High Speed Computer DTMB Report 1474.

Elektromagnetische

Regel-Schlupfkupplun-g e n t'rmöglichvn nach Erreichen der untersten Diesel-motor-Drehzahl eine Abwärtssteuerun g der Propeller-drehzahl bis Null.

Elektromagnetische Sc h I u p f k up pl u n g e n als -«iche sind seit langem in SthisantricbsanIagen bekannt. werden eingesetzt, wenn beispielsweise mehrere

Dw-niotoren auf ein gemeinsames Uriteretzungsgetris-b.' .irbeiten. Die Kupplungen bestehen im wesentlichen aus :wei Rotationskòrpern, von denen der eine die

Erreger-iddung (Primärteil) und dei

andere di.'

Induktions-Die erste Regel-Sthluplkupplung für den Sthiffsantrieb

auf dem Prüfstand im Dynamowerk des Hauses Siemens

Die erste Regel-Sdilupíkupplung fur den Schiffsantrieb und zugleid leistungsgrößte Schlupf-kupplung wurde Anfang Juli von der Firma Siemens vorgestellt. Sie ist mit einer Ubertragurigs-leistung von 7500 PS be; 500 U min eine von zwolf gleichen Kupplungen, die von der Hamburger Werft Blohrn - Voss in 6 Kùhlschiffen der Reeders') Hamburg-Süd eingebaut werden.

widdung (Sekundärteill trägt. Sobald die Erregung einge-schaltet ist und ein Schlupf, d. h eine Drehzahldifferenz zwischen beiden Teilen der Kupplung eintritt, entsteht ein Drehmoment, dessen Größe abhängig von Schlupf und Erregt'rstrom ist. Im allgemeinen erhalten solche Kupp-lungen feste Erregung. wobei geringe Ubertragungsver-lust.' angestrebt werden. Die Steuerung der Propeller-drehzahl ist dabei ausschließlich durch entsprechende Fullungsveränderurig der Dieselmotoren möglich.

Eile heutzutage für Mehrmutoren-SchifYsantriebe infrage kommenden Dieselmotoren lassen sich etwa im Bereich

1394 HANSA- Sch;ttahrt - Schiffbau - Hafen - 104. Jahrgang -1967 - Nr. 16

127) Thteme. H: tber Grundlagen für den mathematischen

Linien-riß eines Frachtschiffes. Scthtffstechnik 195e 56. S 258.

(28) Weinblum. G Exakte Wassenilnien und Spantitschienkurven.

Sd'itffbau 1934. 5. 120

29) Weinbium. G : Systeniatische Entwicklung von Sc*-iifTsformen. Jahrbuch der STG lH3

(30) Wendel, K.: Ein im wesentlichen rechneriachea Verfahren zur

F.rmittlurrg der statischen Stahilitat. Schiff und Wen'fl 1944.

S. 251.

31) Williams. A. Mathematical Representation of Ordinary Ship Forms Scht und Hafen 1944. S 414

L32) Zurmuhi. R. Piaktischir Mathematik für Ingenieure und Phy-siker. Berlin 1957

(33) Rosingh. E.: Some Methods for Computer Fairing of Shiplines. Vortrag. veroffentlicht in: Numerical Methods Applied to

Ship-buIlding. OsI, 1964.

34) Timmermann, G. Das Eindringen der Naturssissenschaft in

das Schìt?bauhandwerk. München 1962.

[35) Timmermann. G.: SchtfTatheorie im 17 und 18. Jahrhundert.

Schiff und Hafen 1962, 5 553.

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der Vergangenheit. Schil! und Hafen 1961, S. 43.

[37) Taylor, D. W Ship Calculations. Resiatanice and Propulsion.

IV. DrsteIlun* und Interpolation '.on SdiHTsoberflathen

1. Numerisct Beschreibung der

Schi ffsforrn

Grafisch steflt man Sduffskorper dar. indem man in drei Projektionen Kurven zeithnet. die auf der Sdiif!soberflathe r1aufen Geeignett Kurven sind einmal die Sthnittlinien der SchifTsoberfläthe mit Ebenen x konstant (Spanten). y - kons1tint (Sdinitte). z konstant (Waserhnien) und

as - bz konstant Senten), daneben aber aucÌ tharakte-riststhe Linien wie Seite Dedc, die Grenzen des Flachkiels. dts ebeien Sdiiffsbodens. eines Spiegels. des parallelen Mit-teischlifs u ä. Rei der numerischen Beschreibung versucht mn dagegen fast ausnahmslos. dvn Sthiffskorper aflein

(lUid) Waser1inien und häufig auch durch Spariten darzu-te1kn. whe diese Kurven wieder durch einzelne

Stutz-punkie ftge)egt werden. Hin und wieder werden auch

noch an c'n Endpunkten der Kurven die Tangentenrithtun-gen angi'ebc'n. um so beispielsweise einen knidtfreien Pbergang zwischen verschiedenen Teilen der Sdiiftsober-flache. die getrennt behandelt werden, zu gewährleisten.

(;gk1t. mit der die Sthiffsoberfiàche beadmeben

.'n kann, hangi nicht nur von der Anzahl der

Stütz-t. _{a1 sondern auth von ihrer Anordnung. Kerwin [12]}

irt-t Stutzpunkte auf einem Netz äquidistanter Wasser-linien und Spanten an (Bild 6a). Es liegt auf der Hand, daß man so beispielsweise die Form der Steven nicht genau er-fa'sen kann Kerwin schlägt dies Verfahren daher auch nur fur TJnter'.udiungen vor, wo eine relativ grobe Annäherung an dic v :rklithe Sd'iiffsform ausreicht. Pien (181 ordnet zu 'atzliche Aufmaßpunkte auf den Steven an (Bild 6b). B.

mei'.tt'n neueren Verfahren wird die Außenhaut einen oder zwei zylindrische Teile im Mittsthiffsbcreith un

in ¿wei l.r drei raumlid'i gekrümmte Bereiche aufgeteilt I ic starken Krümmungen m Vor- und Ilintersteven

wer-len im allgemeinen gesondert berücksichtigt oder ganz

'iggela'

'n. Stützpunkte der Oberfläche verden dann vor diem au lie Grenzlinit'n der einzelnen TeiLgebiete gelegt

I l.'n ,.iirnlith gekrümmten Bereichen ordnen die meisten

'rin Stutzpunkte entsprend Bild 6c oder d an.

Bak-kr 14! g'ht Stützpunkte nicht nur auf Wasserlinien, sondern ach auf einigen &±initt.en an Sie werden jedoch meines

Wiens nur fur die später beschriebene Glättung der

Aulenhaat, nicht zur Beschreibung der fertig geglatteten Form herangezogen.

Freier .d bei all diesen Verfahren kann man die Stütz-punkte be dem von Lidbro [181 verwendeten System an-'r-lnen; Sie hegen hier auf .Längslinien". deren Verlauf rn praktith ohne Erischränkungen der jeweiligen

Schiff.--f ni anJass _{kann (Bild 6e). Die'..' Darstellungsweise ist}

dem W.i.serlinien-Spanten-System überlegen, weil man n. _{\.ate Beschreibung der Steven, des Bodeneinlauts,}

y C _{.'nendi parallelen Mittelsd'iiffs usw. keine}

brauch-la ren Shiftsforrn.-i: darstellen kann. Diese Linien brauch-lassen th durch thetangslinien (hne weiteres erfassen, bei der vasarlirk1»nweise'n Beschreibung des Schiffskórpers müssen sie dagegen gesondert -- rreit1 nach muhsamen grafischen Vt'rfahr' n - behandelt werdi'. Schnelle Kriegssthiffe mit lPh.ch au- aufendeizi Heck oder Tunne1ht'ckichi1Te lassen sich

IIANS.A- Sd'ithrt - Sthffbati - i4,i?en 104 Ja.hrg&nj - 1967 - Nr. iO

t5.

y.

Das Straken von Sdilffslinien mit Digitalrethnern

a. s o d i n g

S'eröfientlichung de 1ntlInte für Entwerfen iron Sthiflen und Sdsiffstheorie der Technischen llothsdiule Hannoer

(FOrticelzt sus ,,}Ian%a" N 16 1067, SeLte 1384) 54j

allein durch Wasserlinien und Spanten ubt'rhaupt nicht in geeigneter Wcise darstellen 1m folgenden wird deshalb dic von Lidbro angegebene Darstellung des Schiffes durch Spanten und Langslinien verwendet.

Fur den Verlauf der Langslinien mache ich zw-ei. sin. sdirankungen. die die Berechnungen erheblich vert'infien. Die Linien dürfen sich nicht überkreuzen. und .ie mQssen uber der Koordinate x eindeutig (also nicht ruckláuflg) seins Trotz dieser Einschränkungen kann man dur-eh Spa ntt'n und Längslinien beliebig verlaufende Kurven darstellen. Zwe2 sich kreuzende Kurven -. beispielsweise eine Wasserlinie und die Grenzlinie der senkrechten Seitenwand

_-

erfaßt man durch dei Längslinien. indem man eine Kurve an der Kreuzungsstelle in zwei Längslinien aufteilt Ebenso kann man ruckläufige Kurven - z. B die Stevenhinie im Br-rei eines Wulsibugs _{durch mehrere, uber x eindeutige Lan} linien darstellen.

2

-C

1I

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Bild_ohrr5c-J.nordnun der StOtzpunlrte zur Interpolation der

Sihiffs-ndi verschiedenen veróffentli. titen Verfahren Es konnte vielleicht zweckmäßig erscheinen, die Schiffs-oberfläche quer zu den Larigslinien nicht durch Spanten zu

beschreiben, sondern auch für die zweite Kurvenschaar eine allgemeinere Form zuzulassen Das bietet jedod kaum Vor-teile. erschwert aber die Interpolation der Oberfiadie er-heblich. Um zu gt'gebenen Werten x und z den zugi'hririgen Wert y zu interpolieren. muß nämlich zuerst festgestellt werden, in welchem aus benachbarten Quer- und Längs-linien gebildeten Feld der zu iriterpolierende Punkt liegt.

1527

r.

B'-'

:Lung ergibt sidi aus dem x-Wrrt chen welchen Spantebenen er liegt; man nui dic von die Spanten Legrenzten Ft-I-he zu untersudien. Wenn die Querkurven tematisdi verlaufen, sondern der Schiffs-erden. muß man die Grenzlinien aller beredinen. bis das den gesuchten Punkt leid gefunden ist. Da diese Rodinungen redit würde sich dadurch die Rechenzeit zur

Punktes um ein Vielfaches verlàngt-rn

..,ttung der Oberfläche

':.'roffentlidiungen über die rt-thnerrsdie Sdiit!soberttathcn bildet dte Glattung der Ftauptproblem: 1)urdi die unvermeidlìdw aus dem Linienriß abgelesenen Koordi-mdi durch den für die Interpolation be-crgeb.'n odi wellenförmige oder zu .rTkmte 'kurven. wenn die Oberfiache bent-n Stutzpunkte verlauft Nach den :iterpolation' beschriebenen Methoden der beiden Kurvenscharen glatten. n nicht exakt, sondern nur näherungs-Oent'n Stützpunkte gehen läßt. Glättet die zweite, quer dazu verlaufende Kur-ndern sich d.&mit aber die zuerst berodi-11 sie im allgemeinen erneut ausgestrakt Laßt man die Rodienmaschint nun durch abwethselnd Spanten und Wasseritnien nverglert der Sthiffskorper gegen eine Form, sprunglidi gegebenen kaum nodi Ahnlichkett

dem Ghittungsverfahren ergeben sich die "in Stùd einer Kugel. eines Ellipsoids, eines hnlicht-, praktisch unbrauchbare Kurper. ;rad der Glättung bei je-dem

Iterations--

dabei nur die Konvergenz. ohne den

I a-Sdiiffsforrn zu verändern.

deshalb die bei verschiedenen Iterations-enden Formen ¿cidiuien und dann von bt-urteilen. wann der bt-sle Kompromiß zwischen nden Linien und der Erhaltung der ursprünglich Form erreicht ist. Wendet man bei diest-m Vor-die Interpolation von Kurven Uhlidten

Glät-'n (kleinste Fehlerquadratsumme oder

Mo-nl) ohne spezielle Zusátze an. so ergibt sich trc'r Kompromiß: Wihrend die Sd'iiffsfurm an -n nodi ausgesprochen schlecht strakt. ist sie ion viel zu ungenau. Bakker hat deshalb ver-chi korn plizierti- Glatt ungsverfahren erprobt. imißig schnelle Konvergenz in den v4'rschIe-des Sthiffskorpers sicherstellen sollen t er ntht nur zwei, sondern drei

Kurven-Sthitsoberflache: Spanteri. Wasserlinien lert recht umtangrt'iche masd-unelli-rig dauert h. Bakker etwa aditmal hnung des

Aufmal}-it-ud - " bren redit

r Art der -ben ith

ri zunad)st alle

-i: ' v-r'

, k

am Austritt an elflCfl)

Wulst-'.'-ilaßt und

zu-n

richtung geglättet. Man erhält dann zu Typ zweidimensionaler Polynome die hòrige Funktion. fur die die Summe der weithungen von den gegebenen Stutzwerien M:ller und Kuo l7 verwenden im Prini nur mit dem Unterschied, daß sie zuers' linien berechnen und dann deren Ko

Hithenkoirdinate rechnerisch glatten. W:. .11

sert das Verfahren dadurch, daß er die Wa ri:

ziente-n und die Grenzkurven zwischen den uu;ch dene Formeln dargestellten Außenhautbercidien statt rechnerisch ausstrskt l)as erfordert zwar mehr Arbeit. liefert je-doch bessert- Resultat Glättung mit tbertegung und Erfahrung dur Trotzdem lassen sich nach di.em Verfahi len der Außenhaut ti B dei ('t . -ig

Sd'iiffsbodt-nì nicht richtig eri: I

deshalb an die Glättung der W der Hohenkuordinate nudi eine die allerdings den Verlauf der W der Nahe des SthitTsbdens versch le'

Auth bei dieser Gruppe von (

man gewollte Unregelmaßrgkeit.'

teglass.'n und spater manuell n

stark und 'iellcitht unste'tig er. o.

am Ubertang der Steven ¿n den nicht in derselben Formel zusam?, Bereichen der Oberfläche darsteller. Verlauf zu sturen

liLt-se allen Glattungsverfahre-n ,,n1

en sich nicht durch kleinere nutzten Verfahrens beseitigen. diuingen von den gegebenen Stut,

lithe Gute des Straks in versch-tungen der Sdiit!sìberfìáthe z, ein rnasdiinelles. ohne zur-ätziicx:c nommenes Glatten die gewunscht DitS Wirkung der Glattungsverfah gleichen mit der Arbeit eine'-sdinitztes Sd'riffsmodt-ll glätter über die endgultige Form zu' e Schiff gesehen zu haben Er we-i:, kiel in den Vorsteven und die Ste-v Abspritzkante im Vorsd'iiff. ein dit- Wellennuß -eder Wellenhusen

etwas stärker abgerundet oder .hn.

werden sollen, ob die Kimmrundung ein Sdiraubentunnel genau kreisfo' Vorsteven schwach gekrummt oder usw Er wird solche Einzelheiten nicht richtig ausarbeiten können Rechenmaschine ohne spezielle Intuir

welche Einzelheiten der Sdijffsft-rn durch Glätten verandert werden n:

Kanturowitz) gibt scethe zusätzlirh»n durch in die Rechenanlage. daß ei felder der Sdiiff.'berfladie. die je Formeln dargestellt werden. Pul fur eventuell anzuwendende Kege bedingungen zwischen den einzelt

Feldeinteilung der SdiutTsobertlä daß Bereiche mit sehr starker

schwindender Krummung in 'i

und ith deshalb gegenseit d(e' Einzelftldei aber ncs±

tinte-r Beru.ksithtigung de ni.

bestimmten Feldern

jaß dabei vorher bertinet Fe1d

n In dit-se-r Beziehung bildet dasV

K empr *miß ¿wisthen de-m s'ori 'nde'n Methoden. hei dent-n vie-It- kl 'i Iteration re' ide-r ange'pat3t e

Deft'

104 J

d anderen benutzten Methode. die große Teiltelder zu beschreiben, 'akende Darstellung zu

unter-n de' Sthit!sl«rpers enthalten

zur Glättung

'gsverlahren u uftretenden ISkns niemals untersucht. ob mdn unter bestimmten 'rnmen kann. Vermutlich n tHm grafischen Linien-Ausgietch der mit

se

prin/i-',rhung Li Zs. ei! I -. 1h' -V

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7 Bereithen zu vii

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p' erster Winkelanteil bel P,

q Koeffizient

zweIter Winkelanteil bei P1 lhlfswlnket bei P,

'i Parameter

s s. Nullstellen eines Polynoms Parameter

X Abszisse (Kapitel Ill)

Koordinate in SchitTslngsrithtung (Kapitel IV)

2 interpolationsatelle

X tangenkoordinate des Seltenelnlauls

XI L.angenkoordlnate des ideeUen Stevens

y Ordinate (Kapitel Ill)

V Breitenkoordínate (Kapitel 1V)

lnteipoiatlonswert

Breitenk'x)rdinate des Bodeneinlaufa halbe Flad,kleibreite

Brettr-nkuordlnate der Linie L0 Breltenioorclinate dei Linie Hohertkoordlnate

HÖhenkoordlnate der Linie L, Höhenkoordjnate der Linie L,,

siehe Bild L Siehe Bild I

Winkel zwischen Kurventangente und x-Achse 'n ersten Stützpunkt

¼'inkei zwischen Kurventangente und x-Actise

'nletzten Stdtzpurskt

ehe Bild 1 ehe Bild 12

rdinate eines gedrehten Koordinatensystems ehe Bild I

'-:rzeugtinstunktion eIner Wasserlinie nach

Röslngh

Sbszlsse eines gedrehten Koordinatensystems ehe Bild I

.iehe GI. 30

Wnki-1 zsischen der Tangente an einen Spant und der z-Achse

WinkelT an der Linie

.'inkel an der linie L,,

stehe Bild 12

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