W8. Dynamika bryły, ruch postępowy, obrotowy i płaski - przykłady Plik

1

Dynamika bryły i układu brył

Ruch postępowy i obrotowy

Zadanie 9 Dane: G1, G2, G3 [N] M, MO [Nm] R1, r1, r2, iA [m] α [rad]

Układ brył pokazany na rysunku pozostaje w ruchu. Wyznacz parametry kątowe ruchu bryły 1.

Rozwiązanie:

a) Przyjmujemy układ współrzędnych na rysunku w nieruchomym punkcie, np. punkcie A.

b) Określamy, w jakich ruchach znajdują się poszczególne bryły. Zaznaczamy na rysunku realizowane przemieszczenia poszczególnych brył (ϕ1, ϕ2, yD) oraz wszystkie siły i momenty, czynne oraz bierne. c) Zapisujemy różniczkowe równania ruchu poszczególnych brył w postaci ogólnej:

Różniczkowe równania ruchu bryły 1 (R. r. r. b. 1):

R. r. r. b. 2:

2 d) Rozpisujemy prawe strony różniczkowych równań ruchu zgodnie z rysunkiem:

R. r. r. b. 1:

R. r. r. b. 2:

R. r. r. b. 3:

e) Zapisujemy równania więzów siłowych (R. w. s.):

f) Zapisujemy równania więzów kinematycznych (R. w. k.) w funkcji wartości wektora prędkości z poszukiwanych parametrów ruchu (w naszym przypadku będzie to ω1):

- pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku.

g) Wyznaczamy równania więzów kinematycznych narzuconych na przyspieszenia:

- pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku. h) Rozwiązujemy otrzymany układ równań:

- z równania (14) otrzymujemy:

- z równania (15) otrzymujemy:

3 - uwzględniamy masowe momenty bezwładności:

- otrzymujemy:

- na tym etapie warto sprawdzić jednostkę:

- wyznaczamy pozostałe parametry ruchu:

- wyznaczamy stałe całkowania:

4 Wyznaczone wartości wraz z wektorami prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego bryły 1 pokazanymi na rysunku stanowią rozwiązanie zadania.

5

Dynamika bryły i układu brył

Ruch płaski

Pokazany na rysunku krążek toczy się w prawo bez poślizgu pod wpływem siły P. Wyznacz kątowe parametry ruchu krążka.

Rozwiązanie:

a) Przyjmujemy układ współrzędnych na rysunku w nieruchomym punkcie.

b) Określamy, w jakim ruchu znajduje się bryła. Zaznaczamy na rysunku realizowane przemieszczenie p. A i kąt obrotu bryły ϕ1, oraz wszystkie siły i momenty czynne oraz bierne.

c) Zapisujemy różniczkowe równania ruchu bryły w postaci ogólnej: Różniczkowe równania ruchu bryły 1 (R. r. r. b. 1):

d) Rozpisujemy prawe strony różniczkowych równań ruchu zgodnie z rysunkiem: R. r. r. b. 1:

e) Zapisujemy równania więzów siłowych (R. w. s.):

f) Zapisujemy równania więzów kinematycznych (R. w. k.) w funkcji wartości wektora prędkości z poszukiwanych parametrów ruchu (w naszym przypadku będzie to ω1):

6 - pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku.

g) Wyznaczamy równania więzów kinematycznych narzuconych na przyspieszenia:

- pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku. h) Rozwiązujemy otrzymany układ równań:

- uwzględniamy masowy momenty bezwładności:

- otrzymujemy:

- na tym etapie warto sprawdzić jednostkę:

- wyznaczamy pozostałe parametry ruchu analogicznie jak w zadaniu 9.

Drugi sposób rozwiązania zadania:

Ruch płaski potraktujemy jako chwilowy ruch obrotowy wokół chwilowego środka obrotu.

c) Zapisujemy różniczkowe równania ruchu obrotowego bryły w postaci ogólnej: Różniczkowe równanie ruchu bryły 1 (R. r. r. b. 1):

d) Rozpisujemy prawą stronę równania (1) zgodnie z rysunkiem: R. r. r. b. 1:

7 f) Wyznaczamy masowy moment bezwładności bryły względem chwilowego środka obrotu korzystając z twierdzenia Steiner’a:

h) Rozwiązujemy otrzymany układ równań: