Wykład 2

Fizyka

Mechanika kwantowa

prof. dr hab. Bogdan Walkowiak

dr inż. Marta Kamińska

Zakład Biofizyki

Instytut Inżynierii Materiałowej

Politechnika Łódzka

Równanie de Broglie’a i Einsteina

Zarówno fale elektromagnetyczne (fotony) jaki i

elektrony lub inne obiekty mikroświata, w jednych zjawiskach

mogą zachowywać się jak fala, a w innych jak cząstka tzn.

wykazują zarówno własności falowe jak i korpuskularne

h

E





 _{równanie Einsteina – wiąże energię z} częstotliwością

 równanie de Broglie’a – wiąże długość fali z pędem

p

h





Zasada komplementarności

 cechy falowe i korpuskularne uzupełniają się wzajemnie, dając pełny opis danego obiektu

 w danym pomiarze stosuje się tylko jeden model, zatem w tych samych warunkach nie można stosować obu modeli

 dany obiekt fizyczny, rejestrowany w wyniku pewnego rodzaju oddziaływania, zachowuje się jak cząstka w tym sensie, że jest zlokalizowany (posiada określoną wielkość, kształt i masę), natomiast kiedy porusza się – zachowuje się jak fala, która nie jest zlokalizowana, lecz rozciąga się w przestrzeni

Zasada nieokreśloności

(Zasada nieoznaczoności Heisenberga)

Nie można z dowolnie dużą dokładnością określić obu

wielkości występujących w równaniu tj. pędu i położenia lub

energii i czasu; iloczyn nieokreśloności obu wielkości nie

może być mniejszy od ħ/2 (ħ – h/2π)

2







 p

x

2









E

t

 jest ona wynikiem dwoistości materii

 mało istotna w makroskali

m

x

2











Ze wzrostem masy nieoznaczoność staje się mniejsza; dla ciał makroskopowych nieoznaczoność zanika i zarówno położenie jak i prędkość ciała

Zasada nieokreśloności

 bardzo ważna dla rozważania cząstek elementarnych cd.:

Doświadczenie Bohra –

wyznaczanie położenia elektronu Aby zaobserwować elektron należy go oświetlić. Fotony oddziałują z cząstką powodując jej odrzut w wyniku zjawiska Comptona

Zasada nieoznaczoności odnosi się do samego procesu pomiaru i wyraża fakt, że pomiędzy obserwatorem a

obiektem istnieje zawsze pewne oddziaływanie. Nie ma sposobu na uniknięcie tego oddziaływania lub na uwzględnienie go przed pomiarem.

Paczki fal

Fala materii związana z poruszającym się elektronem składa się z nieskończonych ciągów falowych. Amplituda takiej fali jest modulowana tak, że różni się od zera tylko w obszarze przestrzeni w pobliżu cząstki, której ruch opisuje. Fala materii ma więc postać grupy fal (paczek fal) poruszających się z tą samą prędkością co rozważana cząstka.

2 / ) (



₁



₂



  2 / ) (



₂



₁



  

)

cos(

)

cos(

)

(

t

K

1

t

2

t

S









) cos( ) cos( 2 cos cos _{A B } A₂B A₂B t t L t t K t

S( )  2 cos( )cos  ( )cos

)

cos(

2

)

(

t

t

L







korzystając ze związku otrzymamy

Paczki fal

Nakładamy dwie fale harmoniczne o jednakowej amplitudzie i zbliżonych ω₁ i ω₂

Dokładamy trzecią falę o

amplitudzie 2a i częstotliwości



Pięć fal sinusoidalnych

Paczki fal- prędkość grupowa

) cos( ) cos( 2 cos cos _{A B } A₂B A₂B korzystając ze związku otrzymamy funkcja modulująca

Prędkość paczki fal lub funkcji modulującej nazywa się prędkością

grupową

Fala będąca sumą dwóch fal o zbliżonych długościach fali:

)

cos(

)

cos(

)

,

(

x

t

K

₁

t

k

₁

x

K

₂

t

k

₂

x

y

















/

2



k

gdzie ) cos( ] ) ( ) cos[( 2 ) , (x t K t k x t kx y      

]

)

(

cos[(

2

)

,

(

x

t

K

t

k

x

L











osiąga maksimum gdy

0

)

Δ

Δ

(



t



k

x



k

t

x









średnia liczba falowa

lub, gdy

dk

d

g







prędkość grupowa

Paczki fal- prędkość grupowa

Ze związku de Broglie’a wynika, że dla wszystkich cząstek

k

k

h

h

p







_









2

2

2

2



h





gdzie





2



k





_









hf

f

E

2

m

p

E



2

/

2

Podstawiając powyższe równania do otrzymamy

m

k

2

)

(

2



 



różniczkujemy po k











m

p

m

k

dk

d

_





_g



Oznacza to, że prędkość grupy fal materii jest

Funkcja falowa

 własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje funkcja falowa Ψ. Jest to w ogólnym przypadku zespolona funkcja współrzędnych przestrzennych oraz czasu: Ψ(x,y,z,t)

 prawdopodobieństwo znalezienia cząstki określa kwadrat

modułu funkcji falowej

2











Funkcja falowa cd.:

 wielkość

gdzie ΔV jest małą objętością w przestrzeni, jest równa

prawdopodobieństwu znalezienia cząstki w chwili t w objętości

ΔV

V

p









2

/

 wielkość nazywamy gęstością

prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w pewnym

punkcie przestrzeni, w otoczeniu którego wybrano element objętości ΔV

 prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajduje się „gdziekolwiek” w przestrzeni wynosi 1.

1

2









dV

Warunek powyższy nosi nazwę warunku normalizacji a funkcję Ψ

p

dV

V







2

Równanie Schrödingera

Funkcję falową Ψ dla danej cząstki

otrzymujemy rozwiązując równanie różniczkowe nazywane równaniem Schrödingera. Równanie nazywamy stacjonarnym, jeśli energia potencjalna cząstki nie zależy od czasu.











)]

(

[

2

2 2 2

x

U

E

m

dx

d



Rozwiązaniem tego równania jest możliwe tylko dla pewnych wartości energii E_n, które nazywamy wartościami własnymi, a odpowiadające funkcje Ψ_n nazywamy funkcjami własnymi.

Erwin SCHRÖDINGER (1887 – 1961), fizyk

Równanie Schrödingera

Przypadek trójwymiarowy

Cząstka w jamie (studni) potencjału

Jeśli energia potencjalna jest równa zeru w obszarze [0,L] a poza nim U_0. (U₀ →∞) to taki kształt energii nazywamy jamą (studnią) potencjału.

Równanie Schrödingera ma w tym wypadku postać (U(x)=0)

)

(

)

(

2

2 2 2

x

E

x

dx

d

m







 

Cząstka w jamie (studni) potencjału

Funkcja falowa cząstki jest superpozycją fali rozchodzącej się w prawo i w lewo.

)

(

)

(

x



Be

ikx



Be

ikx



B

e

ikx



e

ikx



i

e

e

kx

ikx ikx

2

sin









(

x

)



A

sin

kx

A 2



Bi

korzystając z otrzymamy

Funkcja Ψ(x) misi spełniać warunki brzegowe:



(

0

)



0

oraz

 L

(

)



0

L

n

k

n

kL

O

L











_n





 )

(

W studni potencjału powinna mieścić się całkowita liczba połówek fal

)

2

1

(



n

L



x

L

n

A

x

n

(

)



sin(



/

)



dla n=1,2,3,

Cząstka w jamie (studni) potencjału cd.:

Odpowiadające tym funkcjom pędy:

p

n



k

n

n

_L









Tym wartościom pędu odpowiadają następujące energie kinetyczne:

m

p

E

n n

2

2



mL

n

E

_n

2

2 2 2







Najmniejsza wartość energii wynosi π2_ħ2_/(2mL2_{) (dla n=1) nosi nazwę energii}

zerowej a odpowiadająca tej energii funkcja falowa jest dokładnie polówką fali sinusoidalnej

Studnia potencjału o skończonej głębokości

Cząstka znajduje się w studni potencjału, której ściany mają skończoną wysokość U₀

Funkcja falowa odpowiadająca poziomowi E

Równanie Schrödingera ma postać:









)

(

2

0 2 2 2

E

U

m

dx

d



Studnia potencjału o skończonej głębokości









)

(

2

0 2 2 2

E

U

m

dx

d



Rozwiązaniami są funkcje falowe  w obszarze II: x II

Ae

 





2 ( 0₂ )  E U m     w obszarze I

kx

B

I



cos





_I



B

sin

kx

2

₂



mE

k



lub W punkcie x₀



_I

(

x

₀

)





_II

(

x

₀

)

Studnia potencjału o skończonej głębokości

Poziomy energetyczne oraz trzy fale stojące najniższego rzędu (odpowiadające energiom E₁, E₂, E₃) dla elektronu w studni potencjału o szerokości 10-10_{m. Linia ciągła-poziomy}

Oscylator harmoniczny

 klasycznie oscylatorem harmonicznym nazywamy cząstkę o masie m wykonującą jednowymiarowy ruch pod wpływem sprężystej siły F=-kx, gdzie

k jest współczynnikiem sprężystości

 w ujęciu klasycznym energia potencjalna takiej cząstki wynosi

 w mechanice kwantowej zagadnienie oscylatora harmonicznego rozwiązujemy równaniem Schrödingera; jako energię potencjalną wstawiamy 2 x mω 2 kx2 2 2

U(x)





2 x mω U(x) 2 2 kl 

)Ψ

x

mω

2

1

(E

2m

dx

Ψ

d

2 2 kl 2 2 2









2 ax

e

Ψ(x)



 Proponowane rozwiązanie 2 2 _{2 2 ax} ax 2 2

e

x

4a

2ae

dx

Ψ

d

_{ }







Oscylator harmoniczny

2 2 _{2 2 ax} kl 2 ax 2 2

_mω

_x

_)e

2

1

(E

2m

)e

x

4a

2a

(

















Porównujemy współczynniki przy x2

  2 kl 2 2 kl 2 2 m ω ω 4a   a  m

Porównujemy wyrazy stałe

2a

2mE

₂









kl

E

_



2

1



wówczas 2 ) 2 / ( 1

(

)

x m _kl

e

x

_

  



2 ) 2 / (

)

(

x



xe

 mkl  x



E





kl

3



Fala następnego rzędu ma postać:

Oscylator harmoniczny

Różnica pomiędzy dwoma przyległymi poziomami wynosi









₁ 2

E

E

Uogólniając, wzór na wartości własne ma postać:

E

_n

n

)





_kl

2

1

(





W fizyce klasycznej energia cząstki może mieć każda wartość nie wyłączając zera. W teorii kwantowej możliwe są tylko dozwolone wartości energii