Układ normalny równań różniczkowych rzędu pierwszego

(1)

Układ normalny równań

różniczkowych rzędu

pierwszego

Autorzy:

Julian Janus

2019

(2)

(1)

(2)

Układ normalny równań różniczkowych rzędu pierwszego

Autor: Julian Janus

DEFINICJA

Definicja 1:

Układem normalnym równań różniczkowych rzędu pierwszego

Układem normalnym równań różniczkowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci

gdzie są nieznanymi funkcjami zmiennej niezależnej a są danymi funkcjami określonymi w gdzie , i mogą być nieskończonościami,

DEFINICJA

Definicja 2:

Przez rozwiązanie układu równań rózniczkowych ( 1 ) rozumiemy funkcje różniczkowalne spełniające dla każdego układ równań ( 1 ).

DEFINICJA

Definicja 3:

Jeżeli są rozwiązaniem układu ( 1 ) to trajektorią rozwiązania nazywamy zbiór punktów w przestrzeni określony następująco

DEFINICJA

Definicja 4:

Problem początkowy (Cauchy'ego) dla układu ( 1 ) polega na znalezieniu w przedziale rozwiązania układu ( 1 ) spełniającego warunki początkowe

gdzie są dane, a jest ustalonym punktem przedziału .

⎧

⎩

⎨

⎪

(t) = (t, (t), …, (t))

x

′ 1

f

1

x

1

x

n

(t) = (t, (t), …, (t))

x

′ 2

f

2

x

1

x

n

⋮

(t) = (t, (t), …, (t))

x

′_n

_f

_n

_x

₁

_x

_n

, …,

x

1

x

n

t ∈ I,

f

1

, …,

f

n

I × U,

I = (a, b), a b

U ⊂

R

n

.

, …,

x

1

x

n

t ∈ I

, …,

x

1

x

n

R

n

{( (t), (t), …, (t)), t ∈ I}.

x

1

x

2

x

n

I

(t),

(t), …,

(t)

x

1

x

2

x

n

( ) =

,

( ) =

, …,

( ) =

,

x

1

t

0

x

01

x

2

t

0

x

02

x

n

t

0

x

0n

, …,

x

01

x

0n

t

0

I

(3)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o istnieniu i jednoznaczności

o istnieniu i jednoznaczności

Jeżeli funkcje są wraz z pochodnymi cząstkowymi ciągłe w i to układ równań ( 1 ) z warunkami początkowymi posiada dokładnie jedno rozwiązanie w pewnym otoczeniu punktu .

Dowód tego twierdzenia podany jest w module "Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych".

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Pokazać, że układ równań

z warunkiem początkowym posiada w pewnym otoczeniu punktu dokładnie jedno rozwiązanie.

Istotnie, funkcje są ciągłe w ponadto ich pochodne

są również ciągłe w . Zatem, na mocy twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności, problem początkowy posiada dokładnie jedno rozwiązanie w pewnym otoczeniu punktu .

UWAGA

Uwaga 1:

Każde równanie rzędu

można przekształcić do układu postaci ( 1 ).

Istotnie, określmy następująco nowe zmienne

Wtedy równanie ( 3 ) można zapisać w postaci układu równań

(t, , …, ), dla i = 1, …, n,

f

i

x

1

x

n ∂f_∂xi_j

, (i, j = 1, …, n)

I × U ⊂ R

n+1

_{( ,}

_t

_{, …,}

_{) ∈ I × U,}

0

x

01

x

0n

(2)

t

0

{ = t +

x

′1

x

1

x

22

=

+ sin( ) +

x

′ 2

x

1

x

2

e

t

(0) = 1,

(0) = 0

x

1

x

2

t

0

= 0

(t, , ) = t + ,

(t, , ) =

+ sin( ) +

f

1

x

1

x

2

x

1

x

22

f

2

x

1

x

2

x

1

x

2

e

t

R

3

= t,

= 2 ,

= 1,

= cos( )

∂f1 ∂x1 ∂f1 ∂x2

x

2 ∂f2 ∂x1 ∂f2 ∂x2

x

2

R

3

= 0

t

0

n

= F(t, x, , …,

)

x

(n)

_x

′

_x

(n−1)

= x,

= , …,

=

.

x

1

x

2

x

′

x

n

x

(n−1)

⎧

⎩

⎨

⎪

=

x

′ 1

x

2

=

x

′ 2

x

3

⋮

=

x

′ n−1

x

n

= F(t, , …, ).

x

′_n

_x

₁

_x

_n

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przekształcić problem początkowy

do postaci ( 1 ), ( 2 )

Określmy nowe zmienne w następujący sposób Stąd mamy, że

Zatem problem początkowy ( 4 ) można zapisać w postaci problemu początkowego dla układu:

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przekształcić układ równań

do postaci ( 1 )

Określmy nowe zmienne w następujący sposób

Wówczas

Układ wyjściowy można zatem zapisać następująco w postaci układu

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-16 01:36:33

{

x

′′′

= 2 +

x

′′

x

t

′

+ +

x

2

t

3

x(0) = 0, (0) = 1,

x

′

_x

′′

(0) = −1

,

x

1

x

2

x

3

= x,

= ,

= .

x

1

x

2

x

′

x

3

x

′′

= = ,

=

= ,

=

= 2 + + + .

x

′ 1

x

′

x

2

x

′2

x

′′

x

3

x

′3

x

′′′

x

3 xt2

x

2 1

t

3

⎧

⎩

⎨

⎪

=

x

′ 1

x

2

=

x

′ 2

x

3

= 2 + + +

x

′ 3

x

3 _xt₂

x

21

t

3

(0) = 0,

(0) = 1,

(0) = −1.

x

1

x

2

x

3

{ + + x = t

x

_y

′′_′′

_{+ y + = 1}

y

′

_x

_′

= x,

= y,

= ,

= .

x

1

x

2

x

3

x

′

x

4

y

′

= ,

= − − + t,

= − − + 1.

x

′ 1

x

3

x

′2

x

4

x

′3

x

1

x

4

x

′4

x

2

x

3

.

⎧

⎩

⎨

⎪

=

x

′ 1

x

3

=

x

′ 2

x

4

= − − + t

x

′ 3

x

1

x

4

= − − + 1.

x

′ 4

x

2

x

3

(5)

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=49080b87be96d26a0b325fa87fb3eede