Parametry eksploatacyjne poprzecznych łożysk ślizgowych smarowanych ferrocieczą o różnym stężeniu cząstek magnetycznych

(1)

PARAMETRY EKSPLOATACYJNE

POPRZECZNYCH ŁOŻYSK ŚLIZGOWYCH

SMAROWANYCH FERROCIECZĄ

O RÓŻNYM STĘŻENIU CZĄSTEK MAGNETYCZNYCH

W artykule autor przedstawia wyniki obliczeń numerycznych rozkładu ciśnienia hydrodynamicznego, siły nośnej, siły tarcia i współczynnika tarcia w szczelinie poprzecznego łożyska ślizgowego, smaro-wanego ferrocieczą o różnym stężeniu cząstek magnetycznych dla przyjętych trzech różnych bezwy-miarowych długości łożyska. W analityczno-numerycznym modelu przyjęto równania typu Reynoldsa, wyprowadzone z równań pędu i ciągłości strugi dla przepływu laminarnego, ustalonego i izotermicz-nego oraz lepkosprężysty model cieczy smarującej typu Rivlina-Ericksena. Przyjęto również, iż lep-kość dynamiczna zależy głównie od pola magnetycznego. Równanie typu Reynoldsa, na podstawie którego można wyznaczyć rozkłady ciśnienia hydrodynamicznego, rozwiązano numerycznie przy wykorzystaniu programu Mathcad 14 Professional. Wykorzystując te obliczenia, wyznaczono warto-ści siły nośnej i tarcia oraz współczynnika tarcia, które przedstawiono w formie wykresów.

Słowa kluczowe: obliczenia numeryczne, rozkład ciśnienia hydrodynamicznego, siła nośna, siła tarcia, współczynnik tarcia, ferrociecz, łożyska ślizgowe.

WSTĘP

W niniejszej pracy przedstawiono wyniki obliczeń numerycznych siły tarcia i współczynnika tarcia w szczelinie poprzecznego łożyska ślizgowego, smarowa-nego ferrocieczą o różnym stężeniu cząstek magnetycznych. Obliczeń dokonano dla wybranych trzech bezwymiarowych długości łożyska.

Zarówno siła tarcia, jak i sam współczynnik tarcia stanowią istotne parametry eksploatacyjne w poprzecznych łożyskach ślizgowych. Na podstawie ich wartości można oszacować wielkość ciepła, jaka wyzwoli się w szczelinie filmu olejowego, a tym samym poziom obciążeń cieplnych łożyska. W przypadku łożysk smarowa-nych ferrocieczą na wartości ciśnienia hydrodynamicznego, siły nośnej, siły tarcia i współczynnika tarcia wpływają z jednej strony właściwości samej ferrocieczy, w tym: rodzaju cząstek magnetycznych, rodzaju cieczy bazowej, stężenia cząstek magnetycznych z drugiej zaś – właściwości geometryczne łożyska, m.in. jego bez-wymiarowa długość. Cechą szczególną ferrocieczy jest to, że zmiana jej lepkości dynamicznej następuje pod wpływem zmian natężenia zewnętrznego pola magne-tycznego. Przy założeniu stałej wartości natężenia pola magnetycznego wartość

(2)

lepkości zależeć będzie głównie od stężenia cząsteczek magnetycznych w oleju. Warto pamiętać, że cząstki magnetyczne mają wymiar 5–20 nm, więc nie wpływa-ją szkodliwie na sam proces smarowania łożysk ślizgowych.

Wykonanie obliczeń numerycznych siły tarcia i współczynnika tarcia poprze-dziło dokonanie obliczeń ciśnień hydrodynamicznych oraz sił nośnych z wykorzy-staniem równania typu Reynoldsa. Równanie to wyprowadzono z równań podsta-wowych, tj. równania pędu i równania ciągłości strugi. Celem uwzględnienia wpływu stacjonarnego pola magnetycznego na ferrociecz wykorzystano również odpowiednie równania Maxwella. Jako założenia przyjęto przepływ ustalony i laminarny cieczy smarującej oraz izotermiczny model smarowania łożysk ślizgo-wych. Ponadto przyjęto równanie konstytutywne Rivlina-Ericksena. Obiekt rozwa-żań stanowiło walcowe łożysko ślizgowe o skończonej długości z panewką gładką o pełnym kącie opasania.

W cienkiej warstwie filmu olejowego przyjęto niezmienność gęstości oleju od temperatury oraz niezależność współczynnika przewodzenia ciepła oleju od zmian termicznych. Lepkość oleju zależy głównie od pola magnetycznego.

1. RÓWNANIA PODSTAWOWE

Analiza magnetohydrodynamicznego smarowania poprzecznych łożysk śliz-gowych przy ustalonym, laminarnym, izotermicznym przepływie obejmuje roz-wiązanie równań podstawowych, czyli równań zachowania pędu i ciągłości strugi w następującej postaci [1–4, 7]:

(

)

rot

(

)

, DivS + o N⋅∇ H + o N×H = µ ₂1µ 0 (1)

( )

, div ρv =0 (2) rot H = 0, div B = 0, B = μ_o (H + N), N = H ⋅ χ, (3) gdzie:

B – wektor indukcji magnetycznej w ferrocieczy [T],

H – wektor natężenia pola magnetycznego w ferrocieczy [A·m−1_],

N – wektor namagnesowania ferrocieczy [A·m−1_],

S – tensor naprężeń ferrocieczy o współrzędnych τij dla i,j = φ,r,z [Pa],

v – wektor prędkości ferrocieczy [m·s−1_],

∇ – operator Nabla,

μο – przenikalność magnetyczna próżni [H·m−1],

ρ – gęstość ferrocieczy [kg·m−3_],

(3)

Zależność Rivlina-Ericksena, opisującą związek pomiędzy współrzędnymi tensora naprężeń S ≡ τij a współrzędnymi tensora prędkości deformacji

ferrocie-czy, można przedstawić w następującej postaci [4, 6, 7, 8]:

S = − p I + ηA1 + αA1A1 + βA2. (4)

Tensory prędkości deformacji określa się poprzez następujące zależności [3, 6, 7]:

A1 ≡ L + LT, A2 ≡ grad a + (grad a)T + 2LT ⋅ L, (5)

gdzie wektor przyspieszenia wyraża się wzorem:

a ≡ L · v, L ≡ grad v, (6)

gdzie:

A1 – pierwszy tensor prędkości deformacji w [s−1],

A2 – drugi tensor prędkości deformacji w [s−2],

I – tensor jednostkowy,

L – tensor gradientu z wektora prędkości [s−1_],

a – wektor przyspieszenia [m·s−2_],

p – ciśnienie hydrodynamiczne [Pa],

α, β – eksperymentalne współczynniki określające lepkosprężyste właściwości ferro-cieczy [Pa·s2],

η – współczynnik lepkości dynamicznej [Pa·s].

Współczynniki materiałowe α, β cieczy smarującej, mnożone przez odpo-wiednie tensory prędkości deformacji, uwzględniają dodatkowe naprężenia wyni-kające z lepkosprężystego, nienewtonowskiego charakteru ferrocieczy. W przy-padku przyjęcia współczynników materiałowych α, β równych zeru otrzymuje się klasyczne newtonowskie związki pomiędzy tensorem naprężeń i tensorem prędko-ści deformacji.

Lepkość dynamiczna ferrocieczy zależy głównie od indukcji magnetycznej η = η(Β), natomiast współczynniki materiałowe α, β przyjęto jako stałe.

Wysokość podstawowa h_p szczeliny smarnej zależy od mimośrodowości względnej λ i nierównoległości osi wału względem osi panewki o kącie γ.

Bezwymiarowa wysokość szczeliny smarnej w funkcji zmiennej obwodowej i wzdłużnej ma następującą postać:

h_p1= [1 + λ ⋅ cosφ + a_γ⋅ z₁⋅ cos(φ)],

( )

γ ψ

γ L tan

a ₌ 1 _,₍₇₎

gdzie:

φ – bezwymiarowa współrzędna obwodowa łożyska, z1 – bezwymiarowa współrzędna wzdłużna łożyska,

L1 – bezwymiarowa długość łożyska,

Ψ – względny luz promieniowy, aγ – współczynnik nierównoległości.

(4)

Do równań ruchu (1)-(2) podstawia się związki konstytutywne (4) pomiędzy współrzędnymi tensora naprężeń τ_φφ, τ_rr, τ_zz, τ_φr, τ_φz, τ_rz a współrzędnymi tensora prędkości deformacji. W równaniach pędu pomija się człony niestacjonarne oraz siły bezwładnościowe. Pominięcie takie jest zasadne w łożyskach wolno- i średnio-obrotowych. Otrzymuje się w ten sposób pełny układ równań ruchu dla klasyczne-go, izotermiczneklasyczne-go, stacjonarnego przepływu oleju smarującego.

Aby oszacować rząd wielkości członów w układzie równań oraz pominąć człony małe wyższego rzędu, dokonuje się ubezwymiarowienia oraz oszacowania rzędu wielkości poszczególnych członów występujących w układzie równań za-chowania pędu i ciągłości strugi. Do tego celu przyjmuje się znane z literatury przedmiotu wymiarowe i bezwymiarowe oznaczenia oraz liczby [4, 6, 7].

Układ równań w postaci bezwymiarowej zawiera człony rzędu jedności i człony pomijalnie małe rzędu promieniowego luzu względnego ψ ≈ 10−3. Pomijając człony rzędu promieniowego luzu względnego czyli około tysiąc razy mniejsze od wartości pozostałych członów, uzyskuje się nowy, uproszczony układ równań [4].

Do dalszej analizy równań podstawowych przyjęto założenie, że bezwymia-rowa gęstość ρ₁= 1 czynnika smarującego jest stała, niezależna od temperatury i ciśnienia [4, 6, 7].

W celu wyznaczenia funkcji poszukiwanych wielkości, takich jak: składowe wektora prędkości, ciśnienie hydrodynamiczne, siły nośne i siły tarcia, zastosowa-no metodę małego parametru. Dzięki wykorzystaniu tej metody uzyskazastosowa-no dwa układy równań różniczkowych. Z pierwszego układu można wyznaczyć składowe wektora prędkości i ciśnienie hydrodynamiczne dla klasycznego izotermicznego, newtonowskiego smarowania z uwzględnieniem wpływu pola magnetycznego na zmianę lepkości ferrocieczy. Drugi układ równań pozwala wyznaczyć tzw. korekty składowych wektora prędkości i ciśnienia hydrodynamicznego, wynikające z uwz-ględnienia wpływu nienewtonowskich właściwości.

Całkując dwukrotnie po zmiennej promieniowej odpowiednie równania pędu oraz nakładając warunki brzegowe, otrzymuje się składową obwodową i wzdłużną wektora prędkości.

Warunki brzegowe dla składowych wektora prędkości oleju o właściwościach newtonowskich są następujące [4, 6, 7]: 0. czopie na 0 0 1 , panewce na 0 0 0 1 ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 1 1 ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 = = = = = = = = r v , v , v h r v , v , v p (8)

Warunki te oznaczają, że prędkość obwodowa v1(0) oleju stykającego się

z czopem przyjmuje wartość prędkości obwodowej czopa i wartość zerową na nie-ruchomej panewce, ponieważ ciecz smarująca jest cieczą lepką. Nie uwzględnia się także drgań wału i panewki ani poślizgów. Z tych też przyczyn również składowa wzdłużna v3(0) prędkości oleju ma wartość zero. Składowa promieniowa v2(0)

pręd-kości oleju na czopie i panewce ma wartość zero, ponieważ materiał panewki nie jest porowaty oraz zakłada się, że czop i panewka nie wykonują drgań poprzecz-nych.

(5)

Dla rozkładu ciśnienia hydrodynamicznego w oleju o właściwościach newto-nowskich przyjęto warunki brzegowe Reynoldsa w postaci [4, 6, 7].

0 (0) 1 = p dla φ = φ_p, p₁(0)=0 dla φ ≥ φ_k, 0 (0) 1 ₌ ∂ ∂ φ p _dla_{φ = φ} k, 0 (0) 1 = p dla z₁= +1 oraz z₁= −1,

Warunki te oznaczają, że wartość bezwymiarowego ciśnienia hydrodynamicz-nego p₁(0) jest równa ciśnieniu otoczenia (atmosferycznemu) przyrównanemu do zera w porównaniu z wartościami rozwiniętego ciśnienia w łożysku. Przyjęcie war-tości zerowej dotyczy miejsca φ = φ_p, czyli współrzędnej początkowej równej w przybliżeniu około 4° w kierunku ruchu czopa na przednim końcu linii środków zazwyczaj w miejscu doprowadzenia oleju do szczeliny oraz w miejscu φ = φk,

czyli współrzędnej końca filmu olejowego. Wartość ta jest nieznana przy warun-kach Reynoldsa, lecz wiadomo, że leży poza tylnym końcem linii środków.

Wykorzystując równanie ciągłości i wcześniej wyliczone składowe obwodo-wą i wzdłużną, po scałkowaniu równania i nałożeniu odpowiednich warunków brzegowych, otrzymuje się składową promieniową wektora prędkości oraz równa-nie typu Reynoldsa, które ma postać [4]:

, h M z p h z L M p h p B p B p φ η φ η φ ⎥_⎦= ∂∂ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ∂ ∂ ∂∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ∂ ∂ ∂∂ 1 3 1 (0) 1 1 3 1 1 2 1 1 (0) 1 1 3 1 1 ₆ ₍₁₀₎ gdzie: ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ = 1 1 3 1 1 1 1 R H H _L1 H H_z M fχ _φ , = ⎜⎝⎛ ∂_∂ + ∂_∂ ⎟⎠⎞ 1 3 3 1 3 1 1 3 R L H H _L1 H H_z M f χ _φ ,

Rf – liczba ciśnienia magnetycznego opisująca wpływy pola magnetycznego,

H1, H2, H3 – bezwymiarowe składowe wektora natężenia pola magnetycznego,

η1B – bezwymiarowa funkcja lepkości dynamicznej zależna od indukcji

mag-netycznej.

Wymiarową wartość siły nośnej C_Σ w poprzecznym łożysku ślizgowym wyz-nacza się ze znanego wzoru [4, 7]:

2 (0) 1 ηω ψ Σ C bR / C = ⋅ o . (11) gdzie:

b – połowa długości łożyska, R – promień czopa,

ηo – charakterystyczna wymiarowa wartość lepkości dynamicznej dla T = T0, p = pat,

B = 0,

ω – prędkość kątowa czopa łożyska.

Bezwymiarową podstawową wartość siły nośnej C₁(0) w poprzecznym łożysku ślizgowym smarowanym ferromagnetycznym czynnikiem oblicza się z zależności [4, 7]:

(6)

2 2 1 1 (0) (0) (0) 1 1 1 1 1 1 0 1 0

cos sin cos cos

k k p d dz p d dz

C

+ ϕ γ ϕ ϕ + ϕ γ ϕ ϕ − − ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = _⎜ _⎟ + _⎜ _⎟ ⎜ _⎝ _⎠ ⎟ ⎜ _⎝ _⎠ ⎟ ⎝

∫ ∫

⎠ ⎝

∫ ∫

⎠ , (12) gdzie symbol γ oznacza kąt przekoszenia.

Całkowitą wymiarową siłę tarcia Fr_Σ w szczelinie poprzecznego łożyska śliz-gowego przedstawia następująca zależność:

. / bR Fr

FrΣ = 1(0)⋅ ηoω ψ (13)

Bezwymiarową wartość siły tarcia dla oleju klasycznego newtonowskiego z uwzględnieniem wpływu pola magnetycznego na zmianę lepkości dynamicznej wyznacza się na podstawie następującej zależności [4, 7]:

1 1 1 1 1 1 1 (0) (0) 1 1 1 1 1 1 0 (0) 2 1 (0) 1 1 1s 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 . p k p p B r h p B B r h _{r h} v Fr d dz r v v d dz d dz r r ϕ ϕ π η ϕ η ϕ η ϕ + − ₌ + + − = − ₌ ⎡ _⎛ _∂ _⎞ ⎤ ⎢ ⎥ = _⎢ _⎜ _∂ _⎟ _⎥ = ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ _⎛ _∂ _⎞ ⎤ _⎛ _∂ _⎞ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = _⎢ ⎜ _∂ ⎟ _⎥ + _⎢ ⎜_⎜ _∂ ⎟_⎟ _⎥ ⎝ ⎠ _⎢ ⎝ ⎠ _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

(14)

Funkcje prędkości obwodowej składa się z prędkości wywołanej gradientem ciśnienia oraz prędkości powodowanej ruchem obwodowym czopa (przepływem ścinającym) i polem magnetycznym [4, 7]:

(

12 1 1

)

(0) 1 1 (0) 1 ₂1 p B p p r rh v ≡ _η ∂_∂_φ − , M

(

r rh

)

. hr v p B p s 1 12 1 1 1 1 1 (0) 1 ≡1− −₂_η1 − (15)

Całkowity umowny współczynnik tarcia dla oleju klasycznego newtonow-skiego z uwzględnieniem wpływu pola magnetycznego na zmianę lepkości dyna-micznej wyznacza się z następującego wzoru:

(0) 1 (0) 1 (0) 1 (0) 1 (0) 1 C Fr / bR C / bR Fr C Fr o o ₌ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = = = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ψμ ψ ω η ψ ω η ψ ψμ _Σ Σ_Σ . (16) 2. OBLICZENIA NUMERYCZNE

Obliczeń numerycznych rozkładu ciśnienia, siły nośnej, siły tarcia i współ-czynnika tarcia dokonano przy użyciu programu Mathcad 14 Professional na pod-stawie równań (10), (12), (14) oraz (16) z wykorzystaniem metody różnic skoń-czonych. Na podstawie obliczeń rozkładu ciśnienia (rys. 1, 2, 3) zostały dokonane obliczenia siły nośnej (rys. 4), siły tarcia (rys. 5) oraz współczynnika tarcia, co pokazano z kolei na rysunku 6.

(7)

λ=0,5; φk=3,622 p(0) l max = 3,898 λ=0,4; φk=3,652 p(0) l max = 2,484 λ=0,3; φk=3,678 p(0) l max = 1,567 λ=0,5; φk=3,623 p(0) l max = 3,194 λ=0,4; φk=3,654 p(0) l max = 2,036 λ=0,3; φk=3,681 p(0) l max = 1,286 λ=0,5; φk=3,624 p(0) l max = 2,705 λ=0,4; φk=3,656 p(0) l max = 1,725 λ=0,3; φk=3,684 p(0) l max = 1,090 8% stężenia cząstek m agnetyczny ch

4% stężenia cząstek magnetycznych

2% st ężenia cząstek magnetycznych 0% s tężenia cząstek magnety cznych λ=0,5; φk=3,626 p(0) l max = 2,005 λ=0,3; φk=3,687 p(0) l max = 0,811 λ=0,4; φk=3,657 p(0) l max = 1,281

Rys. 1. Bezwymiarowy rozkład ciśnienia hydrodynamicznego p1(0) w walcowym

poprzecznym łożysku ślizgowym o bezwymiarowej długości łożyska łożyska L1 = 1 Fig. 1. The dimensionless pressure distributions p1(0) in cylindrical sliding journal bearings

(8)

λ=0,5; φk=3,454 p(0) l max= 1,523 λ=0,4; φk=3,463 p(0) l max= 0,899 λ=0,3; φk=3,472 p(0) l max= 0,535 λ=0,5; φk=3,455 p(0) l max= 1,245 λ=0,4; φk=3,464 p(0) l max= 0,736 λ=0,3; φk=3,472 p(0) l max= 0,439 λ=0,5; φk=3,456 p(0) l max= 1,053 λ=0,4; φk=3,465 p(0) l max= 0,623 λ=0,3; φk=3,473 p(0) l max= 0,371 λ=0,5; φk=3,456 p(0) l max= 0,777 λ=0,4; φk=3,466 p(0) l max= 0,461 λ=0,3; φk=3,474 p(0) l max= 0,275 8% st ężen ia c ząs te k ma gn et yczn ych 4% s tężen ia c ząst ek ma gn et yczn ych 2% s tężen ia c ząs te k ma gnet yczn ych 0% s tężen ia c ząs te k ma gn et yczn ych

poprzecznym łożysku ślizgowym o bezwymiarowej długości łożyska L1 = 1/2 Fig. 2. The dimensionless pressure distributions p1(0) in cylindrical sliding journal bearings

(9)

8% s tę żen ia c zą st ek m ag net yczn ych 4% s tę żen ia c zą st ek ma gn et yc zn yc h 2% s tę żen ia c zą st ek ma gn et yc zn yc h 0% s tę żen ia c zą st ek ma gn et ycz nyc h λ=0,5; φk=3,328 p(0) l max= 0,467 λ=0,4; φk=3,328 p(0) l max= 0,265 λ=0,3; φk=3,328 p(0) l max= 0,152 λ=0,5; φk=3,328 p(0) l max= 0,386 λ=0,4; φk=3,329 p(0) l max= 0,216 λ=0,3; φk=3,329 p(0) l max= 0,125 λ=0,5; φk=3,328 p(0) l max= 0,322 λ=0,4; φk=3,329 p(0) l max= 0,183 λ=0,3; φk=3,330 p(0) l max= 0,106 λ=0,5; φk=3,329 p(0) l max= 0,237 λ=0,4; φk=3,329 p(0) l max= 0,135 λ=0,3; φk=3,330 p(0) l max= 0,078

poprzecznym łożysku ślizgowym o bezwymiarowej długości łożyska L₁= 1/4 Fig. 3. The dimensionless pressure distributions p1(0) in cylindrical sliding journal bearings

(10)

Bezwy m ia ro wa wa rto ść si ły n ośn ej C 1 (0 ) mimośrodowość względna λ 0 5 10 15 20 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 10 20 30 40 50 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 10 20 30 40 50 60 70 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,00% 2,00% 4,00% 8,00%

Stężenie cząstek magnetycznych

L

1

=1

Bezwy m ia ro wa wa rto ść sił y n ośn ej C 1 (0 ) mimośrodowość względna λ 0,00% 2,00% 4,00% 8,00%

L

1

=1/2

B ezwy m ia ro wa wa rto ść sił y n ośn ej C 1 (0 ) mimośrodowość względna λ 0,00% 2,00% 4,00% 8,00%

L

1

=1/4

Rys. 4. Bezwymiarowe wartości siły nośnej C1(0) w walcowych poprzecznych łożyskach

ślizgowych o różnych bezwymiarowych długościach łożyska

Fig. 4. The dimensionless load carrying capacities C1(0) in cylindrical sliding journal bearings

(11)

10 15 20 25 30 35 40 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Bezwy m ia ro wa wa rto ść sił y ta rc ia Fr 1 (0 ) mimośrodowość względna λ 0,00% 2,00% 4,00% 8,00%

L

1

=1/2

10 15 20 25 30 35 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Bezwy m ia ro wa wa rto ść sił y ta rc ia F r1 (0 ) Bezwy m ia ro wa wa rto ść sił y ta rc ia F r1 (0) mimośrodowość względna λ

10 20 30 40 50 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

L

1

=1

mimośrodowość względna λ 0,00% 2,00% 4,00% 8,00%

L

1

=1/4

0,00% 2,00% 4,00% 8,00%

Rys. 5. Bezwymiarowe wartości siły tarcia F1(0) w walcowych poprzecznych łożyskach

ślizgowych o różnych bezwymiarowych długościach łożyska

Fig. 5. The dimensionless friction force F1(0) in cylindrical sliding journal bearings with different dimensionless lengths

(12)

Um ow ny wspó łczy nn ik ta rcia (μ/ ψ )1 (0 ) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 40 80 120 160 200 240 280 320 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Um ow ny wspó łczy nnik ta rcia (μ/ ψ )1 (0 ) Um ow ny wsp ółczyn nik ta rcia (μ/ ψ )1 (0 ) mimośrodowość względna λ 0,00% 2,00% 4,00% 8,00%

L

1

=1/4

0,00%

2,00% 4,00% 8,00%

L

1

=1/2

0,00%

2,00% 4,00% 8,00%

L

1

=1

mimośrodowość względna λ mimośrodowość względna λ

Rys. 6. Umowny współczynnik tarcia (μ/ψ)1(0) w walcowych poprzecznych łożyskach ślizgowych o różnych bezwymiarowych długościach łożyska

Fig. 6. The apparent friction coefficient (μ/ψ)1(0) in cylindrical sliding journal bearings with different dimensionless lengths

(13)

Ww. obliczenia przeprowadzono dla następujących wartości mimośrodowości względnej: λ = 0,1; λ = 0,2; … ; λ = 0,9 dla trzech przyjętych bezwymiarowych długości łożysk: L₁= 1; L₁= 1/2 oraz L₁= 1/4 przy wybranych czterech stężeniach zawartości cząsteczek magnetycznych w ferrocieczy: 0%, 2%, 4% i 8%.

Składowe natężenia pola magnetycznego wyznaczono na podstawie rozwiąza-nia analityczno-numerycznych równań Maxwella [3].

Do wszystkich obliczeń przyjęto następujące wielkości wymiarowe i bezwy-miarowe: kąt przekoszenia γ = 0,000°; podatność magnetyczną odpowiednią dla różnych stężeń cząstek magnetycznych χ = 2,0, χ = 2,5, χ = 3,0; liczbę ciśnienia magnetycznego R_f= 0,5; bezwymiarowy współczynnik, opisujący wpływ indukcji magnetycznej na lepkość dynamiczną odpowiednią dla różnych stężeń cząstek magnetycznych δ_B1= 0,15; δ_B1 = 0,2; δ_B1 = 0,25. Przy wyznaczaniu rozkładu warto-ści ciśnienia hydrodynamicznego przyjęto warunki brzegowe Reynoldsa.

Wybrane rozkłady ciśnienia hydrodynamicznego dla kolejnych bezwymiaro-wych długości łożyska L₁= 1; L₁= 1/2; L₁= 1/4 przedstawiono na rysunkach 1, 2 i 3.

3. WNIOSKI

Wzrost ilości cząstek magnetycznych powoduje wzrost wartości ciśnienia hydrodynamicznego i siły nośnej przy istnieniu takiej samej wartości zewnętrznego pola magnetycznego. Wzrost ten wynosi: 100(λ=0,9)–350(λ=0,1)% w odniesieniu do

oleju smarującego bez cząstek magnetycznych dla łożysk o bezwymiarowej długo-ści L₁= 1; 95% dla łożysk o bezwymiarowej długości L₁= 1/2; 100_(λ=0,9)–350_(λ=0,1)% dla łożysk o bezwymiarowej długości L₁= 1/4. W miarę wzrostu mimośrodowości względnej wzrost siły nośnej wraz ze wzrostem stężenia cząsteczek magnetycz-nych pozostaje dla wszystkich przebadamagnetycz-nych trzech długości łożysk w miarę stały i jest rzędu do 100%.

Wzrost ilości cząstek magnetycznych powoduje nieznaczny wzrost siły tarcia z tendencją malejącą dla krótszych łożysk. Wzrost ten jest rzędu 0,1–17% dla ło-żysk o bezwymiarowej długości L₁= 1; 0,1–11% dla łożysk o bezwymiarowej dłu-gości L₁=1/2; 0,1–5% dla łożysk o bezwymiarowej długości L₁= 1/4.

Przy dużym wzroście siły nośnej a niewielkim wzroście siły tarcia umowny współczynnik tarcia maleje ze wzrostem stężenia cząstek magnetycznych w ferro-cieczy. Spadek ten jest rzędu 72–40% dla łożysk o bezwymiarowej długości L₁= 1; 47–43% dla łożysk o bezwymiarowej długości L₁=1/2 oraz 47–53% dla łożysk o bezwymiarowej długości L₁= 1/4.

Trzeba wyraźnie zaznaczyć, że przytoczone wartości są wynikiem symulacji komputerowej. Rzeczywiste wartości zmian ciśnienia hydrodynamicznego, siły nośnej, siły tarcia i współczynnika tarcia będą zależały m.in. od rodzaju cząstek magnetycznych, rodzaju cieczy bazowej, stężenia cząstek magnetycznych, wartości zewnętrznego pola magnetycznego, temperatury ferrocieczy, obciążenia łożyska, prędkości obrotowej, luzu promieniowego i wymiarów geometrycznych łożyska.

(14)

LITERATURA

1. Böhme G., Strömungsmechanik nicht-Newtonscher Fluide, Teubner Studienbücher Mechanik, Stuttgart 1981.

2. Lang O.R., Steinhilper W., Gleitlager, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1978. 3. Miszczak A., A modelling of magnetic field in journal bearing gap, Tribologia, 5 (185), 2002,

1503–1512.

4. Miszczak A., Analiza hydrodynamicznego smarowania ferrocieczą poprzecznych łożysk ślizgo-wych. Monografia, Fundacja Rozwoju Akademii Morskiej, Gdynia 2006.

5. Walicka A., Inertia Effect on the Pressure Distribution in a Thrust Bearing Lubricated by Conducting and Magnetic Viscoelastic Fluids, International Journal of Applied Mechanics and Engineering, 2002, Vol. 7, 99–108.

6. Wierzcholski K., Mathematical Theory of Lubrication, Politechnika Szczecińska, Szczecin 1992. 7. Wierzcholski K., Teoria niekonwencjonalnego smarowania łożysk ślizgowych, Prace Naukowe

Politechniki Szczecińskiej, nr 527, Szczecin 1995.

8. Wierzcholski K., Wissussek D., Presentation of Some Simplifications for hydrodynamic flow of Rivlin Ericksen Lubricant, Tribologia, 6 (144), 1995, 653–663.

OPERATING PARAMETERS OF JOURNAL SLIDING BEARINGS FERROFLUID LUBRICATED WITH DIFFERENT CONCENTRATIONS

OF MAGNETIC PARTICLES

Summary

In this paper author presents the results of numerical calculations of pressure distribution, load carrying capacities, friction forces and coefficient of friction in the rift of ferrofluid-lubricated slide bearing with different length for different concentrations of magnetic particles. Reynolds-type equation has been derived from the equations of momentum and continuity of the stream for laminar, steady and isothermal flow so viscoelastic model Rivlin-Ericksen type of lubricant has been adopted. It has been adopted also that the dynamic viscosity depends generally on the magnetic field. Reynolds-type equation by which the hydrodynamic pressure distributions can be determined has been solved numerically using program - Mathcad 14 Professional. On the base of these calculations has been designated values of the friction forces and coefficient of friction, which is presented in the form of graphs.

Keywords: numerical calculations, hydrodynamic pressure distribution, load carrying capacities, friction forces, coefficient of friction, sliding bearings.