0 poprawności logicznej definicji wyraźnych

A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA PHILOSOPHICA 5, 1988

Jean Pierre Ginisti

O POPRAWNOŚCI LOGICZNEJ DEFINICJI WYRAŹNYCH

W pracy tej bądzie sią badać pewne własności definicji, głów-nie własności przekładalności (eliminabilité) i nietwórczości w kontekście różnych celów definiowania. Punktem odniesienia bądzie pojącie definicji znane w systemach formalnych jako definicja "wy-raźna" lub "bezpośrednia" i określane przez ścisłe reguły.

Konstrukcja systemu formalnego obejmuje określenie zbioru zna-ków i reguł operowania nimi, czyli tego, co stanowi system synta- ktyczny niezinterpretowany. Następnie system ten może uzyskać in-terpretacją semantyczną. Z powodów heurystycznych praktyka bywa odmienna: na ogół logik dysponuje semantyką już w momencie budowy syntaksy systemu formalnego. Poszukuje on wobec tego takiej syn- taksy, która odpowiadałaby przyjętej wpierw interpretacji. Ilu-struje to trafnie uwaga R. Poirier1 .

Definicji zwykłej, zwanej semantyczną, będzie przeciwstawiona definicja formalna, tj . syntaktyczna. System formalny ściśle okre-ślony zawiera:

1) listę znaków (zwaną alfabetem), w której często wyodrębnia się różne kategorie;

2) procedury (zwane regułami formowania), wedle których tworzy się pewne ciągi znaków, będące wyrażeniami elementarnymi albo zło-żonymi .

Aspekt języka formalnego określony w punktach 1) i 2), nazywa-my "morfologią". Morfologia jest wzbogacana przez:

3) wybór właściwego podzbioru formuł (zwanych aksjomatami); 4) reguły definicji.

Dla rozróżnienia języka przedmiotowego i metajęzyka, wyrażenia

"pour faire le portait d un homme de le prendre pour modele, et non de chercher, pármi une suite d esquisses faites au hasard, celle qui se trou- verait lui ressembler le plus"; R. P o i r i e r , Logique et modalitź, Pa-ris 1952, s. 93.

należące do pierwszego z nich zapisywać będziemy małymi literami, zaś metajęzykowe - dużymi.

Przyjmijmy, że RD^, RD2 , ..., RDn są jedynymi regułami dedu-kcji danego systemu formalnego S. Każda inna reguła RD' będzie mogła być dołączona do systemu S wtedy, gdy przyjmie się meta- twierdzenie głoszące, że każde twierdzenie otrzymane przez użycie tej reguły może być otrzymane bez jej zastosowania, tzn. przez za-stosowanie wyłącznie reguł RD1 , ..., RDn - Taka reguła, zwana re-gułą pochodną dedukcji, w istocie tylko skraca dowód. Dla jej przyjęcia wystarczy udowodnić twierdzenie T, na którym się ona opiera.

Wprowadzone pojęcia sprecyzujemy na przykładzie systemu zwanego "TB" (pochodzącego od Tarskiego i Bernaysa):

Alfabet

symbole I kategorii p, q, m, n, p , ..., n , p , ..., n " . symbole II kategorii э

symbole III kategorii (,). Reguły formowania

RF^ - symbol I kategorii jest formułą,

RF2 - jeśli P i Q są formułami, to (P o Q) jest formułą, RF3 - nic poza tym nie jest formułą.

Aksjomaty Al i~(p o q ) o ( (q э т ) э (p э m ) ) , A2 M ( p =>q) э р ) э р , A3 t- p э (q d p) . Reguły dedukcji |-P[P1 ... Pn] RD1 " p fp ^ p p /Р 1 (reguła podstawiania), RD2 -q*— — — (reguła odrywania).

Wychodząc od twierdzenia T^ 'V-р э (p э р ) " otrzymanego przez podstawienie "p" w miejscu "q" w A3, reguła wtórna

może być przyjęta na podstawie metatwierdzenia następującego:

MT^ każde twierdzenie postaci i- p э p otrzymane w TB na pod-stawie RD1 może być otrzymane przez zastosowanie jedynie R D ^ RD2 .

Dowód:

1) •- p jako hipoteza, 2) t- p э (p o p) Tj,

3) i-p э (P d P) do 2) RD1# p/P z wiersza 1, 4) h p э P do 3] i 1) RD2 .

Przedstawiony przykład systemu, w którym pokazana została rola reguł wtórnych, pozwala ująć definicje w podobny sposób.

Przyjmiemy, że kategorii reguły wtórnej odpowiadać bądzie ka-tegoria definicji.

Jeżeli dysponujemy systemem niezinterpretowanym S, w którym zawarta jest pewna klasa wyrażeń E 2 , to definicja byłaby wyraże-niem wprowadzającym pewne symbole lub pewne wyrażenia nie figu-rujące w składni systemu S, które stanowiłyby skróty odpowiednich elementów E . W przeciwstawieniu do elementów nowych, te które już figurują w alfabecie będą nazywane pierwotnymi. Znak "= "

u-df zywany bądzie jako znak łączący definiendum z definiensem. W ten sposób w systemie TB definicją będzie wyrażenie postaci:

p v q =f (p э q) э q

Definiendum może być symbolem pojedynczym bądź też symbol de-finiowany może występować w pewnym kontekście4 . Przy czym użycie różnych symboli podlegać bądzie pewnym ograniczeniom, których ra-cje zostaną podane.

Wyrażenie wprowadzające n-argumentowy funktor "b" jest defi-nicją wzglądem składni TB wtedy i tylko wtedy, gdy:

1) jest ono postaci: "... = ..."; ar

2) definiendum zawiera n różnych zmiennych, wśród których tylko jeden raz użyte jest "b";

3) definiens jest formułą TB zawierającą dokładnie te same zmienne co definiendum5 .

2

Przy zapisie formuł i metaformuł pomijana będzie pierwsza para nawiasów będziemy pisać "p э q" zamiast "(p э q)"; "(p o q) з р" zamiast "((p .lq) э р)" ltd

.

3

A. Church zauważa, że w niektórych przypadkach nowe wyrażenie może nie być krótsze od wyrażenia zastępowanego. Może być bowiem pod pewnym względem wygodniejsze. (Introduction to Mathematical Logic, vol. I, Princeton Universi-ty Press, Princeton, 1956, s. 76, przyp. 167.

д

W systemie TB definicja jest relatywizowana do klasy formuł, tzn. defi-niens może być tylko formułą. Definiendum musi być wyrażone również tak lak gdyby chodziło o formułę. W konsekwencji definicja będzie kontekstowa. Będzie-my pisać w sposób ogólny: "P x Q “ MyN", a nie "(P x Q) = M y N"

5 “ 1 df

Będziemy mówić, "względem składni TB", a nie "względem TB", aby nie prze-sądzać o spełnianiu własności łączącej definicję z tezami systemu.

Możliwy jest punkt widzenia, według którego definicja doty-czyłaby nie tylko danego wyrażenia szczegółowego, ale również klasy wyrażeń. Wówczas definicja staje sią schematem definicji, wyrażonym przy użyciu metazmiennych. Użycie znaku definicyjnego "if" bidzie wymagało posłużenia sią metajęzykiem (wbrew opinii w tym wzglądzie wyrażonej przez Russella i Whiteheada). Podany wcze-śniej przykład definicji bądzie miał postać:

P v Q =f (P o Q) э Q

Niezależnie od typu definicji zarówno definiendum, jak i znak definicyjny nie należą do systemu. Dlatego też operowanie defi-niendum nie podlega regułom tego systemu. Trzeba dodać zatem "re-gułą redukcji" i "re"re-gułą rozszerzania". Pierwsza z wymienionych pozwala na zastępowanie definiensa przez definiendum, druga zaś na zastępowanie odwrotne (czyli definiendum przez definiens). Re-guły te będą traktowane jako reRe-guły dedukcji, a wyrażenia zawie-rające symbole wprowadzone przez definicje tak jak formuły syste-mu. Możliwe byłoby również pojmowanie definicji jako reguł i wte-dy dana definicja przybierałaby postać:

. . .P v 0. . .______ . . . (P э Q) 3 Q. . . ...(P э Q) э Q . .. ...P v Q . ..

W stosunku do danego systemu zwanego "pierwotnym", nazywać się będzie systemem "wzbogaconym" taki system, który zawiera de-finicje i reguły ich dotyczące. Symbol wprowadzany przez defini-cję nie jest dołączany do alfabetu systemu.

Cecha "bycia przekładalnym" z dowolnej formuły systemu wzboga-conego określona byłaby mianem kryterium "przekładalności". Można by je sformułować w sposób następujący: dla każdej formuły Q sy-stemu wzbogaconego, zawierającego symbol "b" wprowadzony defini-cyjnie, winna istnieć możliwość utworzenia formuły Q' należącej do systemu pierwotnego, nie zawierającego "b" i takiego, że w sy-stemie wzbogaconym Q' byłoby dedukcyjnie wyprowadzalne z Q i od-wrotnie6 .

W definicjach "b", zwanych "kontekstowymi" ta własność byłaby spełniona tylko dla zbioru utworzonego z "b" i jego kontekstu. Gdy kontekst jest utwo-rzony z metazmiennych, jak w definicji przykładowej, obejmuje on wszystkie przypadki, dla których własność ta jest pożądana. W systemie zinterpretowanym, "b" byłoby również interpretowane tylko kontekstowo; zatem każda interpretacja symboli pierwotnych zdeterminowałaby interpretacją "b", jeśli "b" byłoby zde-finiowane poza kontekstem. Definicja obarczona błędem "błędnego koła" narusza zasadę przekładalności. Nie będzie się mówić tutaj o definicjach zwanych "re- kursywnymi", w których symbol definiowany występuje zarazem w definiendum i definiensie, jak np. "+" w:

W logice klasycznej, gdzie symbole posiadają interpretacją se-mantyczną byłoby tak, że:

"P = p'" wtedy i tylko wtedy, gdy "t=P з P*", df

gdzie "*•" jest znakiem kwalifikującym formułą po nim następującą jako prawo. Albo "*=P a P " wtedy i tylko wtedy, gdy:

И Р э P') • (P' э P) zatem wtedy i tylko wtedy, gdy:

* = P 3 P ' i >= P' => P

Ogólnie, "N jest dedukcyjnie wyprowadzalne z M (M t-N)" znaczy że jest prawdą, iż N następuje po warunku M, inaczej mówiąc "Mi- N" wtedy i tylko wtedy, gdy:

"t=M э N" i zatem:

”P = , P", t=P 2 P' wtedy i tylko wtedy, gdy Р i- P' i P' i- P. df

Identyczność treści definiendum i definiensa winna być rozpa-trywana na pewnej określonej płaszczyźnie. Wydaje sią bowiem, że idea definicji "realnej" w sensie arystotelesowym nie jest jasna. Wiadome jest bowiem, że nie istnieją wyrażenia będące rzeczywisty-mi synonimarzeczywisty-mi i nawet własności formalne definiendum nie mogą być przeniesione na definiens. Na przykład, chociaż własnością wyraże-nia definiowanego "p v q" jest jego równoważność względem wyraże-nia "q v p", to jednak taka własność nie przysługuje definiensowi, to znaczy: "(p o q ) э q" nie jest równoważna "(q э (p o q)". In-terpretując to, można stwierdzić, iż "p v q" posiada tę samą treść co "q v p", zaś "(p o q) э q" jest uważane za posiadające tę sa-mą treść, co "p v q " , ale "(q o (p o q)" nie ma tej samej tre-ści, co "p v q " . Ścisłą odpowiedniość definiendum i definiensa można uzyskać w różny sposób i można by wymagać, aby definicje fun-ktorów posiadały taką własność7 . Robert Blanche mówiąc o systemie mającym jako terminy pierwotne "o" i , stwierdza, że nie uda się uzyskać takiej definicji, która byłaby zupełna i nie byłaby za szeroka, o ile nie odwołamy się do metajęzyka8 . Powiedzieć można.

a + 0 « a

a + S(x) » S(a + x).

W tym przypadku nie chodzi w istocie o definicje wyraźne. Z drugiej strony, ist-nieją procedury pozwalające określić te symbole w definicjach wyraźnych.

7 Por. C h u r c h , op. cit., s. 133-13A.

8 "si 1 on définit la conjonction par ~ (p э ~q), ... on laisse echapper une partie du défini, la conjonction comportant aussi le cas ou ~(q э ~p), qul n'est pas equivalent ä ~(p э ~q), ... II faudrait, pour avoir ici une defini-tion qui convienne k tout le défini, conjoindre ces deux elements de la defi-nition, c'est-a-dire faire usage ďune jonction, et introduire ainsi le défini

że symbol definiowany i jego treść mogłyby być przekładalne tylko wewnątrz teorii, przy czym nigdy nie zostaje zachowane to wszy-stko, co może być pomyślane odnośnie do pojącia związanego z danym

9

symbolem .

Jak łatwo pokazać, kryterium przekładalności jest spełnione przez definicją systemu TB. Aby kontekst "v" figurujący w defi-niendum obejmował wszystkie zastosowania tego symbolu ("v") nale-ży nadać definiendum najogólniejszą formą "P v Q". Wyrażenia ta-kie jak "P v P =f (P a P) 3 P" lub "(P v P) v Q = (P 3 Q) 3 Q" nie pozwalałyby wyeliminować symbolu "v" z wyrażenia o postaci "P v Q " .

Poruszane dotąd zagadnienia dotyczyły tylko definicji w sy-stemie logiki zdań. Podobne uwagi można by sformułować w stosun-ku do systemów pozalogicznych stosujących środki rachunstosun-ku predy-katów I rzędu ze stałą identyczności: teorii w dyscyplinach ta-kich, jak fizyka, psychologia czy matematyka.

Jeśli zaś chodzi o użycie kwantyfikatorów, to definiens powi-nien zawierać tylko zmienne wolne, gdyż o ile przybrałby postać

Vx... (lub 3x...), to nie pozwalałoby to na usunięcie symbolu definiowanego z formuł nieskwantyfikowanych lub skwantyfikowanych odmiennie. Definiens także winien zawierać wszystkie symbole wy-korzystywane, niezbędne do formalizacji danej teorii ekstralo- gicznej poza symbolami pierwotnymi właściwymi dla tej teorii.

I tak na przykład, reguły definiowania symbolu relacji lub "zięć x" wyrażać sią będą następująco: wyrażenie wprowadzające relację n-argumentową jest definicją odnoszącą się do systemu po- zalogicznego S wtedy i tylko wtedy, gdy:

1) jest ono postaci: "E [v^, ..., vR] P " , 2) "v1( ..., vn" są różnymi zmiennymi,

dans le definissant. Ou bien done la definition deraeurera incomplete, ou bien elle souffrira d une faute grossiére. A moins qu on fasse appel á la meta- langue, en se permettant alors de sortlr du plan du calcul. En d autres te- rraes: on n a pas le droit d ecrire, pour definir exactement p. q, la formule ~ (p 3 <*q). ~(q з ~ р ) , mais seulement 1 expression ~(p 3 ~q) et ~(q з ~ р ) ,

en revelant par ce "et" non symbolique ąu une jonction ne se laisse pas in- tégralement traduire, dans la langue du calcul, en termes combines d implica-tion et de negaimplica-tion"; R. B l a n c h e , Sur le systéme des connecteurs interpropositionnels, "Cahiers pour l'Analyse" [Paris] , Hiver 1969, No 10, s. 142 (Symbole zostały zapisane przy użyciu symboliki stosowanej w artykule).

9

M. M e r 1 e a n-P o n t y, Sens et non-sens, ed. N a g e l , Pa-ris 1948, s. 162.

3) P nie zawiera innych zmiennych wolnych poza "v., v ",

in x n

4) P jest formułą S .

Podobne reguły dotyczyłyby definicji symboli operacji takich jak np. "x" i stałych indywiduowych takich, jak np. "3"11.

W ten sposób wyrażenie: r x у =f 3 z (s x z • tzy)

gdzie r, s, t są relacjami binarnymi, spełnia warunki wymienione w punktach 1, 2 i 3, a także warunek 4 jeżeli założy sią że prawa strona jest formułą systemu S, wzglądem którego wyrażenie jest budowane. Definiendum jest eliminowalne. Natomiast wyrażenie in-terpretowane jako "x jest ziąciem y" znaczy tyle co "istnieje ta-kie z, że x jest mążem z i z jest córką y".

W danym systemie S definiendum byłoby taką formułą, której odpowiadałaby jedyna formuła bądąca definiensem; stąd też jest

12

ono przekładalne . H. Leblanc proponuje, aby wzmocnić ten waru-nek i zapisać go za pomocą terminów logicznych. To nowe wymaganie charakteryzowałoby to, co chce on określić mianem "definicji abso-lutnych". Jeżeli wprowadzimy symbol "b", to wtedy system s' bą-dzie zupełny, o ile wszystkie wyrażenia prawdziwe dla "b" bądą tezami S . Własność tą można wyrazić syntaktycznie następująco: dla każdej formuły P zawierającej "b" symbolicznie "P[b]", było-by tak, że albo "t-P", albo "p . S'" jest niezgodne.

Załóżmy, że "b" bądzie symbolem lub wyrażeniem do zdefinio-wania, a "Ab" zupełnym zbiorem aksjomatów dla "b". Formuła "a" danego systemu S bądzie mogła być nazwana definiensem "b" wtedy, gdy "a" posiada wszystkie własności "b". Tak wiąc jeśli "A" jest zupełne dla "a", co zapisujemy "Aa", a co inaczej da sią wy-razić tak, że jeśli jest prawdą, że w S: "Эх Ах". Skądinąd,bądzie sią wymagało, żeby x było jedynym, czyli: 3! x Ах" bądź a = ( l x ) A x (dla każdej formuły "P[a]" i jedynie dla niej, bądź "нр[а]" w S, bądź "P[a] • S" czynią A niezgodnym).

W rezultacie definicja "b = a" bądzie zwana "absolutną"

P. S u p p e s, Introduction to Logic, Van Nostrand Reinhold Company New York 1957, s. 157.

11 Aby uprościć, zakłada sią zawsze, że definicja składa sią tylko z jed-nego wyrażenia. W rzeczywistości jednak definiowanie może odbywać sią przy użyciu wiąkszej liczby wyrażeń. Zatem symbol znajduje sią w różnych konte-kstach po stronie lewej (a wiąc i po prawej) znaku "5,".

12 - - .

"si definir c est eliminer, c est eliminer d une maniere unique"; H. L e b l a n c , On definitions, "Philosophy of Science" October 1950, vol. 17, s. 304. Zmodyfikowana została przez autora artykułu symbolika Leblanca,dla ujednolicenia jej z symboliką używaną w artykule.

wzglądem systemu S wtedy i tylko wtedy, gdy z "Ab" bądącego zu-pełnym systemem aksjomatów dla "b" można bądzie wyprowadzić "a = (lx) Ax".

Dowód tych dwóch warunków, tj . zupełności S dla "b" i jedy- ności "a" dla "b" wymaga zwłaszcza w drugim przypadku silnej logiki, znacznie silniejszej niż ta, na której opiera sią system S. Definicja syntaktyczna zupełności S dla "b" byłaby za silna dla pewnych systemów takich, jak np. rachunek predykatów pier-wszego rządu. H. Leblanc uważa, że należałoby dodać "słabszy substytut syntaktyczny". Istnieją jednakże trudności wywodzące sią tyleż z symbolu do zdefiniowania, ileż z definiensa: pewne systemy, jak np. arytmetyka sformalizowana są niezupełne i nie dają sią uzupełnić dla danego symbolu "b". Jeśli "Ab" byłoby nie-zupełne, to żadna definicja nie bądzie wtedy absolutna wzglądem tego typu systemu. Inne systemy posiadają zbiór terminów pier-wotnych mogących dostarczyć wielu definiensów dla "b". Warunek

jedyności tym bardziej nie bądzie spełniony. Można spotkać zarów-no systemy, w których terminy pierwotne są zależne, jak i takie gdzie terminy pierwotne są niezależne i gdzie wiele definiensów będzie odpowiadało "b". Trzeba by odnaleźć taki zbiór terminów pierwotnych, w którym każdy bądzie niezależny od innych a zdolny do zdefiniowania tych samych symboli i gdzie "b" otrzyma tylko jeden definiens. Nie można też wyeliminować wszelkiej arbitral-ności z czynarbitral-ności definiowania.

Cecha symbolu "b" "bycia przekładalnym" może być spełniona przez jeden lub wiele definiensów. Nie wystarczy to jednak do te-go, aby w systemie wzbogaconym nie pojawiło się twierdzenie, w którym wystąpi "b".

Zostanie sformułowane kryterium nietwórczości definicji: de-finicja symbolu "b" będzie określona mianem nietwórczej względem systemu S wtedy i tylko wtedy, gdy jej wprowadzenie nie spowo-duje otrzymania w systemie wzbogaconym takich twierdzeń, których nie byłoby w systemie pierwotnym1^.

Tak twórczość, jak i nietwórczość dotyczą nie samej definicji, lecz definicji i reguł jej użycia. Łatwo dowieść, że wyrażenie

P v Q =f (P o Q) o Q

Każda z dwóch własności: przekładalność i nietwórczość jest niezależna od drugiej; symbol definiendum może być przekładalny, lecz definicja twórcza. Z drugiej zaś strony definicja symbolu może być nietwórcza, a symbol nie (za-wsze) przekładalny.

jest definicją wzglądem TB, spełniającą kryterium nietwórczości. Można to wykazać na podstawie narządzi semantycznych pokazując, iż TB i TB wzbogacone przez tą definicją, czyli TB' mają ten sam zbiór tez mających postać implikacji14. Krótko mówiąc, z jednej strony wykazuje sią, że TB jest semantycznie zupełny, z drugiej zaś, że wszystkie tezy TB są tautologiami. Formuła jest wiąc tezą TB wtedy i tylko wtedy, gdy jest tautulogią postaci implikacji. Nastąpnie wykazać można, że w systemie TB' formuła postaci impli-kacji jest tezą jeśli jest tautologią.

Jeśli formuła postaci implikacji jest tautologią TB', to jest też tezą TB', ponieważ aksjomaty i reguły TB są regułami TB'. Je-śli zaś formuła o postaci implikacji jest tezą TB', to jest ona tautologią, ponieważ wystarczy pokazać, że reguły redukcji i roz-szerzania wtedy, gdy są stosowane jako RD^, RD2 poszerzają wła-sność aksjomatów wyrażającą sią w tym, że są one tautologiami po-staci implikacji.

Jeśli w tautologii zastępuje sią formułą postaci (P o Q) э Q przez formułą P v Q bądź odwrotnie, to formuła pozostaje tautolo-gią, ponieważ

" M ( P o q) o g) s (p v q)"

Podobnie, gdy zastępuje sią wyrażenie postaci (P э Q) э 0 przez wyrażenie postaci P v Q lub odwrotnie, to drugie jest tautologią,

jeśli jest nią pierwsze.

Skoro TB i TB' mają ten sam zbiór tez, to definicja nie może wprowadzić tez, w których symbol "v" nie pojawiałby się i które nie byłyby tezami TB.

Jeśli chodzi o problem twórczości definicji, to dotyczy on je-dynie tez nie zawierających nowego symbolu. To właśnie eliminowal- ność (a nie twórczość) miałaby pokazać, że każdej tezie i nawet każdej formule TB' zawierającej symbol "v" odpowiadałaby teza po-staci implikacji, która jest względem niej równoważna.

Ważną konsekwencją nietwórczości jest względna spójność (w wie-lu możliwych sensach tego słowa) systemu wzbogaconego w stosunku do pierwotnego. Spójność najogólniej można określić w ten sposób,

1Z| Wyrażenia "teza implikacyjna" "formuła implikacyjna" nie znaczą wiąc je-dynie, że funktorem głównym jest "э", wedle jązyka bardziej potocznego, przy-jętego tu dla wygody. Ogólnie biorąc, warunkiem wystarczającym nietwórczości jest to, że wszelka realizacja, będąca modelem systemu pierwotnego S, będzie miała rozszerzenie będące modelem systemu wzbogaconego S (realizacja R' od S' będąc rozszerzeniem realizacji R od S, jeśli R i R mają tę samą dziedzinę i jeśli każda stała S jest interpretowana tak samo w R i w R X Nie można podać bardziej kompletnego warunku koniecznego i wystarczającego.

że żadna formuła, która nie należałaby do systemu pierwotnego nie jest tezą. System wzbogacony byłby też spójny, gdyż nie zawiera on innych tez poza tezami systemu pierwotnego. Tak samo, jeśli spój-ność scharakteryzowana jest w sposób bardziej szczegółowy jako niesprzecznosć i jeśli system pierwotny z negacją jest niesprzecz- ny, to system wzbogacony jest taki również, o ile pierwszy system dysponuje tezą: "(p • ~p) э q" oraz regułami pozwalającymi wypro-wadzić dowolną formułę ze sprzeczności.

W takim przypadku, gdy sprzeczność P • ~ P mogłaby być wypro-wadzona dedukcyjnie w systemie wzbogaconym, można by również wy-prowadzić dedukcyjnie formułę Q, o ile jest tezą systemu pierwotnego i odwrotnie. Byłaby to zatem taka teza systemu wzbo-gaconego Q lub ~Q, która nie byłaby tezą systemu pierwotnego, niesprzecznego z założenia. Zgodnie z ogólnymi warunkami nałożony-mi na system, jeśli definicja jest nietwórcza, to system wzbogaco-ny jest niesprzeczwzbogaco-ny, o ile system pierwotny jest również taki. Nie potrzeba przyjmować spójności jako trzeciego kryterium defi-nicji15.

Charakter twórczy bądź nietwórczy definicji zależy nie tylko od wyrażenia stanowiącego definicję, lecz także od aksjomatów i reguł systemu pierwotnego. Dla wyrażenia wcześniej przedstawionego "r xy = Bz (sxz • tzy)" własność bycia definicją pozostaje nie-określona, o ile nie uwzględnia się aksjomatów i reguł systemu,dla którego definicja jest proponowana. W ten sposób można pokazać że wyrażenie takie, jak:

L ot = (a -3 a) -3 a) ar

M a =, (ot -3 Lot) -9 ot ar

modyfikują lub nie to, że formuła jest tezą bądź nią nie jest. Według różnych systemów Lewisa, z którymi te tezy są związane "L" jest interpretowane jako operator konieczności, "M" - możliwości, -3 - jako symbol implikacji ścisłej, a zaś jest metazmienną zdanio-wą. Te dwie definicje określałyby to, iż formuła jest lub nie jest tezą w systemie S3. Natomiast nie czyniłyby tego w odniesieniu do systemu S5, a jedynie pierwsza z nich - względem S416.

^ Zauważyć można, że jeżeli w danych warunkach definicja wprowadza sprze-czność w system pierwotny niesprzeczny. to jest ona twórcza. Jednak z tego, iż definicja nie wprowadza sprzeczności w system pierwotny niesprzeczny, nie wyni-ka. że będzie ona twórcza, może bowiem pozwalać dedukcyjnie wywieść (w sysmie wzbogaconym) formułę wyrażoną za pomocą symboli pierwotnych, nie będącą te-zą systemu pierwotnego, ale nie wprowadzającą sprzeczności.

Por. G. E. H u g u e s, M. J. C r e s s w e 1 1, An Introduction to Modal Logic, Methuen and Co, London 1968, s. 295.

Aby uwypuklić wyżej wskazaną analogią, miądzy pojęciami reguły odrywania i definicji, przedstawimy ponownie to zagadnienie. Przyj-miemy, że "a^, a2 , ..., an" bądą jedynymi symbolami alfabetu sy-stemu formalnego S. Każdy inny symbol "b" bądzie mógł być użyty w

s

1) każde wyrażenie E zawierające "b" może być sformułowane z pominiąciem "b" za pomocą formuły F zawierającej tylko "a1,...,an " dziąki wyrażeniu dołączonemu do systemu pierwotnego;

2) E i F są równoważne w systemie wzbogaconym;

3) dołączenie "b" nie bądzie pociągać za sobą tego, że tezą systemu wzbogaconego nie bądzie formuła nie zawierająca "b", a bę-dąca tezą systemu pierwotnego.

Dotąd poruszano tylko status definicji w ramach klasycznej te-orii aksjomatycznej, tj. dla systemów logicznych posiadających a- ksjomaty, reguły zastępowania i odrywania, jak np. TB, systemy Le-wisa bądź też dla systemów pozalogicznych, będące ich rozszerze-niami. Uwagi te można by przenieść łatwo na systemy logiczne po-siadające inne reguły, np. regułę cięcia1 7 lub aksjomaty w meta- zmiennych, tj . schematy aksjomatów, które unikają reguły podsta-wiania będąc pośrednimi aksjomatami i regułami. Te uwagi przenosi-łoby sią także na systemy dedukcji naturalnej. Naszkicujemy sposób formułowania systemu o składni systemu TB według metod Fitch'a18.

System (określany jako F) nie ma aksjomatów, lecz dwa typy re-guł: pierwsze dotyczące sytuacji ogólnych, drugie zaś dostarczają-ce środków wprowadzających lub eliminujących dany funktor. Dla ta-kiego systemu zdań, jak F, mielibyśmy następujące reguły ogólne:

1) na każdym etapie dedukcji można wprowadzić jedną bądź wiele przesłanek (hipotez). Wskazane to będzie za pomocą kreski piono-wej idącej od pierwszej do ostatniej hipotezy i przez kreskę po-ziomą pod ostatnią hipotezą.

reguła hip (1) P^ hip

(n) _{pn hip}

por. R. B. A n g e 1 1, On a less restri-17 bP.»-Q [ ...(P 1

Í - Q [ . . . P . . . ]

cted type of rule of inference, "Mind" 1960, vol. LXIX; i d e m , The sen-tential calculus using rule of inference Re , "Journal of Symbolic Logic" juin 1960, vol. 25, No 2.

18 Por. F. B. F i t c h , Symbolic Logic, The Ronald Press Co, New York 1952; J. B. G r i z e, Logique moderne, fase. I, Mouton Gauthier-Villars, Paris 1969.

Można stosować tą regułą wiele razy, na przykład dwa 1 wówczas (1 ) (2) (n) P Q M hip hip hip

nazwie sią ją "pod-dedukcją" danej dedukcji dowolnego ciągu for-muł takich jak M.

2) Można powtarzać w dedukcji wyrażenie występujące poprzednio. Formalnie:

reguła rep. (n) P

P (n), rep

3) Można je także powtarzać w pod-dedukcji (Reiterage). For-malnie:

Reguła reit. (n)

(n) reit

"o" bądzie jedynym funktorem pierwotnym systemu, zaś reguły wpro-wadzania (i) i eliminacji (e) bądą następujące:

reguła э e (n)

(m)

P э Q P

(n) (m), d e

Reguła eliminacji takiego spójnika jak "o" jest porównywalna do reguły odrywania dla "э" w systemie aksjomatyki klasyczne], lecz jej kontekst użycia w F jest bardzo odmienny. Reguła wpro-wadzenia "d" opiera sią na następujących zasadach: aby wprowadzić "э" między dwa dowolne wyrażenia P, Q, należy przyjąć P jako hi-potezę i otrzymać Q za pomocą reguł systemu, tj .:

(n) (m)

hip Q

P э Q ( n ) - ( m ) , Di

Łącznik między (n) i (m) wskazuje, że to wszelka pod-dedukcja P do Q ustanawia P o Q. 2 drugiej strony, ta reguła może być uży-ta w trakcie jakiejkolwiek dedukcji. Zaznacza się to przez drugą kreskę pionową z lewej, od P do P э Q.

(n) P hip reguła э i

(m) Q

P э Q

(n)

Formuła P d Q nie zależy już od hipotezy P, reguła taka ( 3 i) uwalnia dedukcją od hipotezy.

Niech bądzie formułą "p з (q з p)". Pokaże sią teraz, jak stosować sią bądzie tutaj reguły poprzednio wprowadzone. Przyjmie sią jako hipotezą pierwszy człon formuły, tak jak gdyby wychodzi-ło sią z aksjomatu w systemie klasycznym i zastosuje sią reguły dedukcji według potrzeb.

1) P hip

2) q hip

3) P ( D , reit

4) q 3 p (2) - O ) , з i

5) E э (q = P) (1) - (4), 3 i

Kreska pierwsza, najbardziej na lewo, jest wprowadzona przez wiersz 5. Tak jak dla systemu klasycznego można wprowadzić defi-nicje. Nazwie sią F' rozszerzenie F wzbogacone następującymi ele-mentami :

Niech bądzie P v Q=jf (P з _Q) з _Q

(n) (Р з Q) з Q (n) P v Q

reguła pow. reg. exp.

P v Q (P з Q )э Q

Użycie wymienionych reguł zapisywania porównywalne jest ze stosowaniem reguł systemów aksjomatycznych. Zapewniają one eli-minacją definiendum i równoważność wyrażeń postaci "p v Q" i "(Р 3 Q) 3 Q " . Z drugiej strony nietwórczy charakter definicji może być mimo braku aksjomatów ustanowiony, jeśli określiło sią pojącie twierdzenia.

Twierdzeniem F bądzie zwana wszelka formuła wyprowadzalna z pustej klasy hipotez. Graficznie bądzie to wyrażone wykorzysta-niem kreski pionowej wtedy, gdy nie bądzie użyta kreska pozioma. W ten sposób "p 3 (q 3 p)" jest twierdzeniem F 19.

Należy udowodnić, że F i F mają te same twierdzenia

po-19

Przeciwnie do sytuacji systemów logicznych klasycznych, w których każdy wiersz dedukcji jest tezą, zastosowanie reguły F nie zawsze wytwarza tezą. Widać to świetnie na przykładzie dedukcji przedstawionej wyżej.

7 О

staci implikacji . Jest oczywiste, że każde twierdzenie F jest także twierdzeniem postaci implikacyjnej F' i odwrotnie. Założy sią, że bądzie taka formuła "M э N " , która byłaby twierdzeniem Fi lecz nie byłaby twierdzeniem F. Gdyby tak było, to reguły dedukcji nie byłyby przestrzegane bądź nie mogłaby być użyta reguła ogólna bo nie występują w niej funktory, które winny występować w formu-łach21.

Zatem jeśli M э N jest dedukowalna w F' bez wykorzystania re-guł (red) ani (exp), to M э N jest także wyprowadzalne w F. Formuła M d N w F' i F zawiera takie same funktory, gdy wymie-nione reguły nie są stosowane. Natomiast, gdy reguły te są wyko-rzystywane, to formuła nie zawiera tych samych funktorów. Załóżmy, że wyprowadzenie M э N w F' wykorzystuje tylko reguły F i regułę rozszerzania. Każde wyrażenie "z" zastąpione zostanie symbolem "v" przez odpowiednią formułę implikacyjną. Użycie reguły roz-szerzania może być pominięte jako bezprzedmiotowe, bo jeśli regu-ła rozszerzania byregu-ła zastosowana w F', to w miejscu formuły "P v Q ", występować będzie formuła "(P o Q) з Q". Jeżeli reguła rozszerzania w ogóle nie będzie zastosowana, to ciąg dedukcyjny jest już także dedukcją w F. Jeśli więc implikacja M o N jest wyprowadzalna w F ’, to jest również wyprowadzalna w F.

Przyjmijmy teraz, że do wyprowadzenia wyrażenia M э N w F wykorzystuje się tylko reguły F i regułę redukcji (red.). Zastą-pi się symbol "v" w każdym wyrażeniu M э N przez odpowiednią formułę implikacyjną, gdyż reguły dedukcji są stosowane.

Nie ma formuły postaci implikacji, która byłaby twierdzeniem F', a nie byłaby twierdzeniem F. Dana definicja nie jest zatem twórcza wzglądem F.

Zostało przedstawione pojęcie definicji wyraźnej lub bezpo-średniej w systemie formalnym. Narzuca się tu analogia z pojęciem definicji znanym z geometrii klasycznej. W systemie euklidesowym definicją bądzie np. wypowiedź "punkt jest to to, co nie ma czę-ści" i inne wypowiedzi mające podobny status. Zauważyć należy, że

Wszystkie twierdzenia F mają oczywiście postać implikacji F są kształ-tu P v Q lub P э Q, P i Q, gdzie "v" 0 razy, 1 raz.... n razy.

21 W F' wszelka dedukcja (która nie wykorzystuje exp) twierdzenia impli- kacyjnego M D N winna wykorzystywać je, ponieważ to jest jedyna reguła zdol-na wyeliminować "v" w trakcie dedukcji. Trzeba i zawsze wystarcza to do tego, żeby dedukował formułą P zawierającą "v" i formułą P V Q, gdzie Q nie zawiera "v". Co do wprowadzenia pierwszej formuły zawierającej "v" to może być ona wprowadzona tylko przez hip w dowolnej dedukcji, nie stosującej red.

charakter jązyka potocznego nie pozwala stwierdzić czy definicja ma charakter językowy, czy metajęzykowy. Definicję euklidesową można spotkać często w historii filozofii (Spinoza, Kartezjusz) 2 2

Krytykując metodę euklidesową, wskazywano na to, iż na po-czątku systemu winny znajdować się terminy pierwotne, a nie defi-nicje. Podkreślano, że definicja może być traktowana jako wyra-żenie uzupełniające względem systemu bądź jako interpretacja23. W koncepcji Hilberta używa sią języka potocznego nie nadając tre-ści terminom takim, jak "punkt", "prosta", "płaszczyzna". Tra-ktuje się te terminy podobnie jak symbole systemu formalnego nie- zinterpretowanego. U Hilberta definicje w sensie euklidesowym w y -stępują przed aksjomatami i nadają im treść. Symbole pierwotne systemu występujące w aksjomatach są definiowane przez aksjomaty, co jest zwane "definicją implicite". W ten sposób w systemie Ł (pochodzącym od Łukasiewicza) posiadającym tę samą składnią i re-guły co TB oraz jedyny aksjomat będący równoważnym aksjomatem TB:

((p o q) d m) э ((m э р ) э (n o p ) )

symbol "э" jest definiowany aksjomatycznie. Będzie to inny typ definicji kontekstowej24.

Definicja "implicite", podobnie jak definicja "explicite" (wyraźna) powinna spełniać warunek zupełności. Definicja "impli-cite" bywa często określona jako "definicja przez postulaty", będąc jedną z odmian tych definicji25.

Stwierdzając, że w systemie zinterpretowanym symbol pierwotny lub raczej zbiór symboli pierwotnych jest definiowany "implicite" mówi się, że każda interpretacja spełniająca aksjomaty czyni każdy symbol reprezentantem pewnej dziedziny interpretacji, w tych dwóch płaszczyznach definicja "implicite" pozwala na wyeli-minowanie definicji euklidesowej. Dodać należy, że nawet w aksjo- matyce treściowej (jak ją określa Hilbert) nie można cofać się w nieskończoność i istnieje konieczność poznania założeń, aby móc

22

Por. H. A. W o 1 f s o n, The philosophy of Spinoza, Meridian Books, Inc., New York 1958, s. 40 i n.

23

W pierwszym przypadku definicja jest wypowiedzią wewnątrzsystemową, a w drugim pozostaje poza systemem.

Jeżeli żaden aksjomat systemu formalnego nie zawiera symbolu definiowa-nego i jeśli symbol ten pojawia sią tylko w konkluzji reguły dedukcji, to guła ta definiuje go "implicite". Definicja jest dysjunktywna, jeśli wiele re-guł zawiera w konkluzjach symbol definiowany. W systemie F, w którym nie ma aksjomatów, "э" jest definiowana "implicite" przez reguły.

25

Bądzie sią odróżniać "definicją przez postulaty" od nazywania defini-cjami zbiorów postulatów (aksjomatów) w matematyce niesformalizowanej.

je ocenić. W aksjomatyce treściowej definicja bądzie zastąpiona przez intuicyjne potraktowanie terminów.

Jeśli chodzi o relacje miądzy definicją formalną wyraźną (ex- plicite) a definicją w potocznym sensie tego słowa, to można wskazać, że odróżnia je charakter bezpośrednio semantyczny defi-nicji potocznej i pośrednio semantyczny defidefi-nicji (explicite) wy-raźnej. Definicja zwykła grupuje słowa, a definicja formalna - symbole. W odniesieniu do tych dwóch różnych typów jązyków defi-nicja pełni tą samą funkcją eliminacyjno-tłumaczącą. Jak mówi Quine o definicjach wyraźnych właściwych systemom formalnym, "na-leży je traktować nie jako formuły pomocnicze w jązyku, lecz jako połączenia miądzy dwoma jązykami, z których jeden stanowiłby cząść drugiego"26.

TB jest np. jązykiem dysponującym symbolem implikacji, zaś inny jązyk dysponuje symbolem alternatywy. Definicja pokaże, że symbol alternatywy pozwala sią zastąpić za pomocą implikacji:

"P v Q =f "(P э Q ) d Q"

Podobnie w jązyku potocznym można mówić o takim jązyku, który dysponuje wyrażeniami "córka x " , "mąż x" i takim, który dyspo-nuje wyrażeniem "ziąć x " . Definicja wiąże te jązyki następująco: "zięć x" znaczy tyle co "mąż córki x".

Podobieństwo między definicjami w systemach formalnych i w języku potocznym dostrzec można poprzez następujące własności:

1) w wyrażeniach tych identyfikacja sensu dwóch wyrażeń doko-nuje się za pomocą łącznika,

2) w definiensie występują tylko terminy już znane, czyniące definiendum zrozumiałym,

3) prawdziwość definicji jest ustanowiona bądź w sposób osta-teczny, bądź zależnie od reguł użycia definicji, bądź w sposób pośredni między tymi skrajnymi możliwościami.

Definicje najczęściej bywały traktowane jako ustanowienia ar-bitralne, mające charakter preskryptywny. Whitehead i Russell stwierdzali, że definicja relatywizowana do jakiegoś systemu for-malnego niezinterpretowanego byłaby wyrażeniem woli, a nie zdaniem 27 orzekającym i dlatego nie poprzedzali definicji znakiem asercji .

W. W. 0. Q u i n e , Two Dogmas of Empiricism, "The Philosophical Re-view" 1951, vol. 60 i w: From a Logical Point of View, Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1953.

27

Symbol wyraża także wolą, gdyż pozwala ona odróżnić P jako "lexis" od P jako asercji i- P.

Definicje o charakterze preskryptywnym są dopuszczalne tylko wówczas, gdy można traktować podobnie definiowanie i ustanawianie praw (reguł). Gdyby preskryptywizm w każdym wypadku był dopu-szczalny to, jak mówi Quine, dowolnemu definiensowi odpowiadałoby

28

dowolne definiendum . Nawet w systemie formalnym nie można wpro-wadzać definiendum przypisując mu dowolny definiens.

W systemach formalnych nie da sią odróżnić takich definicji, które skracają wyrażenia dążąc do prostoty i tych, które czynią to, pokazując w ten sposób związek miądzy dwoma językami, o czym wspomniał Quine. Whitehead i Russell piszą np.:

3.02 p э q э m = (p o q) . (q o m ) , 4.02 p s q = m =f (p = q) • (q = m ) , 1 0 . 0 2 fx э х qx =f vx (fx o qx), 13.02 x t у =f ~ ( x = y ) , 20.04 x, y e a =f (x e a) . (y e a), a z drugiej strony: df 1 . 0 1 p э q = ~ p v q, 9.0111 ~(VX f x ) зх ~ f x 29.

Istnieje oczywiście duża różnica miądzy tymi dwoma grupami definicji, gdyż dzięki drugiej teoria ma zasięg semantyczny, do którego należy wyrażenie definiowane.

ОЛ

Whitehead i Russell wskazują , że definicje pierwszej grupy, "służą jedynie do skracania dowodów" (s. 109) "dostarczają tylko dogodnych skrótów" (s. 117) i "są stosowane po prostu dla po-trzeb skrótu" (s. 190).

Zauważyć trzeba, że symbol może pełnić różne funkcje. Jeżeli "if" jest używany po to, aby wprowadzić definicje dru-giej grupy, trzeba by użyć symbolu innego niż wtedy gdy wprowa-dza się definicje pierwszej grupy, w których definiendum jest odmiennie przekładalne. Jeżeli zapisuje się "p pada" to znaczy, że chodzi tym razem o wprowadzenie interpretacji systemu formal-nego, a nie o prostotę zapisu bądź o związek między dwoma

języka-28 W. V. 0. Q u i n e, Truth by Convention, [w:] H. F e l g i , W. S e l l a r s , Readings in Philosophical Analysis, New York 1949, s. 252. 29 A. N. W h i t e h e a d , B. R u s s e l l , Principia Mathematica, At the University Press, Cambridge 1967. Przepisano część wyrażeń używając symboliki używanej w artykule.

mi formalnymi. Jeżeli pisze sią "P =f (p o q)", to chodzi tu o relacją "...oznacza w metajęzyku...". Nazywa sią cząsto defini-cją każde zdanie równoznaczne, takie jak "Książyc jest natural-nym satelitą Ziemi", ponieważ zachodzi implikacja w obie strony, a zatem i równoważność miądzy "x jest Książycem" i "x jest natu-ralnym satelitą Ziemi".

Takie użycie, które określa sią jako definicje słownikowe przeciwstawia sią definicjom zwanym "absolutnymi". Odpowiadałoby temu także zdanie "Książyc jest planetą najbliższą Ziemi". Wła-sność bycia definicją pozostaje w rzeczywistości niezdeterminowa-na, ponieważ nie wiadomo czy definiens może być złożony z termi-nów, które same w sobie są niezdefiniowane. Tak wiąc, jeśli chce sią uniknąć błędnego koła w definicjach, zakłada sią, że istnie-ją terminy niezdefiniowane, które wykluczać się będą z tymi, za pomocą których sią definiuje. Zresztą za tym idzie to, że nie można naprawdę rozróżnić w tym języku naturalnym definicji, która byłaby analogiczna do aksjomatów systemu formalnego, tzn. do za-łożeń. Definicja zwykła, w sposób dwuznaczny ma dwa różne statu-sy: status aksjomatu i status definicji formalnej.

Nie należy stąd wnioskować o dyskwalifikacji definicji zwy-kłych czy słownikowych. Bez języka naturalnego jązyk formalny byłby zbiorem znaków niczego nie wyrażających. Z tego wzglądu jest znamienne to, iż Whitehead i Russell poprzedzali aksjomaty wyjaśnieniami dotyczącymi terminów pierwotnych. Te wyjaśnienia zajmują podobne miejsce, jakie zajmowała definicja euklidesowa.

31 Autorzy zauważają, że nie tworzą one jednak definicji .

Żadna definicja implicite (ani explicite w sensie ścisłym) nie może zastąpić tego tłumaczenia. Z drugiej strony, ujęcie w ścisłą formą definicji słownikowych, z wyjątkiem ograniczonych dziedzin, nie jest stosowane. Kryteria formalne przekładalności, nietwórczości itd. nie wycofują z użycia dawnych prawideł reto-rycznych.

Nie jest powszechnie przyjmowany pogląd, że definicja jest wy-powiedzią, która nie powinna należeć do systemu. Na tej idei o- piera się przedstawiona poprzednio teoria definicji wyraźnych (explicite), którą można nazwać "klasyczną" lub "metajęzykową". Inna koncepcja, której promotorem był Leśniewski, zwana jest "we-wnątrz językową" . Modyfikuje ona problem twórczości definicji, a nawet filozofii systemu formalnego.

Zdarza sią, że koncepcji klasycznej zarzuca sią konieczność wprowadzenia do alfabetu dodatkowego symbolu pierwotnego, a mia-nowicie "=f" (TB np. zawierałby "g " i "э", a nie tylko "э"), jak również wprowadzenie dodatkowych dwóch reguł dedukcji ponad te które są w systemie (TB np. zawierałby reguły rozszerzania i re-dukcji, łącznie z "=f", a nie tylko reguły podstawiania i odry-wania związane z "o"). System nie respektowałby wiąc norm efekty-wności, do których rości sobie prawo.

Kiedy dowodzi sią zupełności symboliki systemu, którego jedy-nym funktorem jest

_{" I "}

df '

Ponieważ według tej koncepcji, to właśnie symbol "= " wprowa-dza sią bezpodstawnie do systemu, powstaje problem, jak można by po wykluczeniu symbolu "=f" znaleźć wśród elementów pierwotnych ten, który byłby zdolny do pełnienia tej roli. Jest łatwo stwier-dzić, że "g " nie jest ukrytym symbolem pierwotnym ani reguły rozszerzania i reguły redukcji nie są nie uznanymi regułami dedu-kcji.

W "Principia Mathematica" Whitehead i Russell używają symbolu asercji "t-" jako terminu pierwotnego ich systemu na tej samej

32

zasadzie co i "v" . Ponieważ żadna reguła formowania nie opiera sią na można by powiedzieć za Wittgenstelnem, że "on nie należy bardziej do struktury zdania niż numer zdania"33. Auto-rzy ci regułą odrywania postaci: "t-p" i ’V-р э g" , zatem " i- q " , zapisują tak: " M p v p) э p " . Podkreślają wielokrotnie, że skoro definicje są "wprowadzane ze wzglądów praktycznych i są

teore-34

tycznie niekonieczne" to z jednej strony trzeba by powiedzieć ściślej, że: "symbol»... = ... D f « [stosowany do definiowania w "Principia Mathematica"] nie jest symbolem pierwotnym", z dru-giej strony trzeba by rozróżnić status symboli "... = ... Df" "v" i , szczególnie określając reguły formowania.

Poszukując innych racji dla usunięcia symbolu i reguł związanych z jego użyciem, można wymienić przynajmniej dwie:

32 Ibidem, s. 12, 91. 33

L. W i t t g e n s t e i n , Tractatus Logico-philosophicus, Warszawa 1970, 4. 442.

1) Korzystne jest respektowanie praktyki definiowania w jeży-kach naturalnych, w których definicje są wypowiedziami jązyka przedmiotowego: (np. sześciobok jest wielobokiem o sześciu bokach), a nie wypowiedziami metajązyka: (słowo "sześciokąt" jest definio-wane jako "wielokąt o sześciu bokach"),

2) Byłoby wskazane tak zintegrować system, aby wszystkie ele-menty, które początkowo zostały zapożyczone z innych jązyków, mo-gły być wyrażone w przyjętym języku.

W ten sposób można przyjąć system, w którym np. "h" i "/" byłyby w alfabecie na podobnych prawach jak są w nim "v" itd. i w którym aksjomaty i reguły dotyczyłyby tych symboli. Redukuje się użycie metajęzyka, chociaż powiększa się długość dowodów w systemie i pewne metatwierdzenia systemów zwykłych stają sią twierdzeniami systemu rozszerzonego^5 . W systemie klasycznym defi-nicja wyraża się w pewnych formułach systemu i stanowi odmienne ich sformułowanie.

Jeśli symbol funktora musiałby zastąpić ", to symbolem, który wydaje się być najbardziej odpowiedni jest "=", czyli rów-noważność, ponieważ P =f Q wtedy i tylko wtedy, gdy >=* P s Q. Z drugiej strony w każdym systemie rachunku zdań syntaktycznie i semantycznie zupełnym, dysponującym jedynie regułami podstawiania i odrywania, regułą (wtórną) byłaby następująca reguła "zastępo-wania równoważności":

lub w innej postaci

gdzie M[P // Q] wskazuje zastąpienie, jednego lub wiącej, wystę-powania P przez Q w M.

Ponieważ definicje, mając postać P s Q, są tautologiami i te-zami systemu, więc Rg zastosowana do definicji daje ten sam e- fekt co reguła rozszerzania; Rg zastosowana do tej samej defini-cji - daje ten sam rezultat co reguła redukdefini-cji, przynajmniej kie-dy stosuje się je do ь-М[р] lub do h m [qJ.

Ograniczenie przekładalności symbolu definiowanego występuje w postaci definicji warunkowej spotykanej często w matematyce.

Por. P. C. R o s e n b l o o m , The elements of mathematical logic, Dover Books, New York 1950, s. 40-43.

P. Suppes podaje prosty przykład (który można by sformułować ści-śle w rachunku predykatów).

Przypuśćmy, że definiuje sią dzielenie przez: (jeśli у / 0 to x/y = z)

wtedy i tylko wtedy, gdy "(x = у . z)". Nie można oczywiście wye-liminować symbolu "/" z wyrażenia:

1/0 = 1/0

Zdaniem Suppes a można zadowolić sią możliwością wyeliminowania tego symbolu, we wszystkich przypadkach "interesujących", czyli

1C spełniających hipotezą: "jeśli y f 0" .

Jeśli symbol "5 " należy do symboli pierwotnych systemu synta- ktycznie i semantycznie zupełnego, to do korzystania z

defini-0 7

cji wystarczają jedynie reguły podstawiania i odrywania . Okazu-je sią, że system, w którym "s" jest funktorem pierwotnym, jedy-nym, nie jest syntaktycznie zupełny, trzeba wiąc go uzupełnić i nałożyć na funktory pierwotne warunek wzajemnej niezależności. U- stala sią, że system "=, bądzie niezupełny, a systemy "s, ~ , d"; "=, ." bądą zupełne, lecz pierwszy z funktorów bądzie de-finiowalny za pomocą dwóch pozostałych; systemy "=, /"; "5, ~ , +" bądą zupełne, lecz trzeci wystarczy do zdefiniowania dwóch pozostałych itd.

Pomiądzy rozwiązaniami możliwymi system "=, w, v" jest za-38

razem zupełny syntaktycznie i utworzony z funktorów niezależ-4 9

nych. Tak samo system v" i stała "o" . W każdym systemie "=, w, v" (lub "=, v, O" itd.) semantycznie zupełnym, definicje bądą zatem wprowadzane przez funktor systemu i operować sią nimi bądzie przy użyciu reguł systemu.

Podobnie jak sądzi Leśniewski, stwierdzić można, że definicje

S u p p e s, op. cit., s. 165 (Rozważyć ograniczenie szczególne dla tego typu definicji).

37

Re i Re są również regułami wtórnymi każdego systemu równoważnego se-mantycznie, zupełnego (z regułami podstawiania i odrywania), ale ponieważ wszystkie formuły P, Q, M zawierają tylko funktory typu "s", nie można stoso-wać reguł Re i Re tego systemu do definicji P s Q, gdzie P zawiera jakikolwiek funktor zdefiniowany, tzn. taki, który nie jest funktorem "s".

38

System " v , jest zupełny syntaktycznie i "~" definiuje sią w syste-mie. W rezultacie: "~p s (p = (p w p))".

39 _{Zdarza sią, że pomija sią ten obowiązek niezależności, ale tylko dla} powodów dydaktycznych (por. C h u r c h , op. cit. s. 133). Aby wprowadzić, te definicje Lewis używa równoważności ścisłej, która jest wśród terminów pierwotnych systemu razem z "o", lecz wskazuje on, że równoważność jest definiowalna przez terminy wtórne. C. I. L e w i s , C. H. L a n g -f o r d , Symbolic Logic, Dover Publications, Inc., New York 1959, s. 123-124.

mogą być wprowadzone przez jakikolwiek funktor pierwotny lub ich zbiór w taki sposób, aby utworzyć wyrażenie mające tabelą praw-dziwościową "p = q", ponieważ to wyrażenie będzie można zastąpić "=". Niech będą dane terminy pierwotne: " o , wyrażenie "(p э q) . (q o p)" jest równoważne "p = q " . Definicja wewnątrz- językowa wyrażenia "p s q" będzie zatem miała postać

( (P = q ) o ( (p o q ) • (q э p ) ) ) . ( ( (p o q ) . (q Dpi | з (p * q)), Pozostaje zauważyć, że w każdym przypadku, jeśli system dy-sponuje regułą zastępowania równoważności, to pozwala to nie ko-rzystać z reguł rozszerzania i redukcji40.

Występuje u Leśniewskiego jeszcze inne wymaganie, dotąd pomi-jane. Jest to żądanie powszechnej ważności praw logicznych, a za-tem i definicji explicite. Realizuje się to poprzez wprowadzenie kwantyfikatora ogólnego dla każdej zmiennej występującej w

formu-le. Kwantyfikatory są zatem wprowadzane do rachunku zdań. Symbole "=" i "V" powinny więc należeć do wyrażeń pierwotnych systemu. Ponieważ taki system jest syntaktycznie niezupełny, winien być u- zupełniony. Tarski pokazał, że można to zrobić dołączając zmienną funkcyjną "6" (pochodzącą od Leśniewskiego). Niech będzie dana formuła zdaniowa a, óa reprezentuje każdą funkcję prawdziwościową zawierającą a; "6p " np. reprezentuje "p", "~p", "p л q" itd. Mo-żna pokazać przykładowo, że p • q definiuje się jako

(p • q) = VÍ (p = (óp = óq )).

Pozostaje zatem skwantyfikować ogólnie p • q. Otrzymuje się: Vp Vq (p . q) = Vó (p s (6p = óq ))41.

Zauważa się, że w takiej definicji eliminacja funktora defi-niowanego "b" nie może być zrealizowana w każdej formule, ale tylko w tych, które mają postać "Vp Vq (p b q)". Kwestię najważ-niejszą przedstawia jednak kryterium nietwórczości.

Zdarza się, że definicja wewnątrzjęzykowa będzie twórcza, cze-go przykład spotykamy u Łukasiewicza. Niech będzie dany system, gdzie "=" jest jedynym funktorem pierwotnym. W systemie tym wy-stępuje jeden aksjomat

A: (n = (p = p )) s ((n = (p = p)) = ((p = q) = ((m = q) = = (p = m ) )))

Pewne definicje mogą być wprowadzone przez identyczność ("•" obecną w systemie, różną od "gf", zewnątrzną wzglądem systemu), np.: " 2 = 1 + 1". De-finiendum i definiens są więc terminami, nie formułami.

Al

A. N. P r i o r , Formal Logic, At the Clarendon Press, Oxford 1963, s. 95 i n.

i reguły: podstawiania (R D ^ ) i odrywania (RD2 ). Jeśli definicja: Vp s (p s p)

jest dołączona do systemu, to można w nim wyprowadzić twierdzenie: ( p s q ) s ((m = q) s (p s m ) ),

zatem można ustalić, że bądzie ono niezależne od aksjomatu:

1) Vp s (p = p ) ) s ((Vp = (p = p ) ) = ((p s q) s ((m = q) s = (p s m ) ))) A n/Vp,

2) Vp s (p = p)) s (p s q) s ((m s q) s (p z m )))) 1) df x RD2 , 3) (p s q) = ((m s q) s (p = m) 2) df x RD2 . Jeśli definicja jest utworzona poza systemem za pomocą symbolu "<íf", to twierdzenia tego wyprowadzić nie można.

Taką samą sytuacją można spotkać w systemie pozalogicznym nor-malnie sformalizowanym. Pokazane to zostanie na przykładzie pocho-dzącym od Suppesa:

Niech bądzie system, w którym "o" jest jedynym symbolem pier-wotnym pozalogicznym i którego jedynym aksjomatem jest:

x o ( y o z ) = ( x o y ) o z .

Definicja stałej indywiduowej "e" przez: x o e = x

jest twórcza, gdyż można wydedukować z niej formułą 3 y V x ( ( x o y ) = x ) ,

w której pojawia sią tylko symbol pierwotny systemu pozalogicznego, 42

nie dedukowany z aksjomatu

W tym przykładzie, podobnie jak i w poprzednim, mamy możliwość stosowania reguły dedukcji do definicji, dlatego, że stała się ona tezą, sprawiającą, iż definicja staje sią twórcza. Wypełniła ona rolą dodatkowego aksjomatu. Osłabiając różnicę między aksjomatem i definicją Leśniewski wydobywa cechy definicji euklidesowej i zwykłej. Cecha twórczości definicji nie wydaje się mu wadą. Prze-ciwnie, ocenia, iż co najmniej w systemie pewnego typu definicja winna być tak twórcza, jak to możliwe. Dostrzec tu można odmienną filozofią systemu formalnego. By ją usytuować należy rozpocząć od wyróżnienia 4 możliwych pozycji. Jeżeli, krótko mówiąc, nazwie sią "twórczą" koncepcję, która podnosi wartość definicji twórczych, a "nietwórczą" koncepcję, która ich zakazuje, można podtrzymywać te-zę (1) metajęzykową i nietwórczą lub (2) wewnątrzjęzykową i nie-twórczą, lub (3) metajęzykową i twórczą i wreszcie (4)

językową i twórczą. Pierwsze rozstrzygnięcie jest rozwiązaniem klasycznym. Drugie jest właściwe dla wielu autorów, jak Suppes, zwłaszcza w ramach systemu pozalogicznego, ponieważ ten będąc rozszerzeniem wybranego systemu logiki, rozporządza środkami wpro-wadzania definicji bez wychodzenia poza język wykorzystywany. Przy czym zakaz definicji twórczych, cechujący istotę stanowiska kla-sycznego, jest podtrzymywany. Trzecie rozwiązanie jest odrzucane przez obydwa pierwsze stanowiska. Czwartym jest rozwiązanie Le-śniewskiego, przeciwstawiające się najsilniej pozycji klasycznej. Dla niego zbiór potrzebnych terminów pierwotnych winien znajdować się na początku systemu i poprzedzać zbiór aksjomatów. Przyjmuje się, że aksjomat byłby wprowadzony wtedy, gdy istnieje potrzeba korzystania z niego; podobnie byłoby w przypadku terminów pierwot-nych.

Jeśli stwierdzi się w trakcie rozbudowy systemu, że aksjomat bądź termin pierwotny stanowi przeszkodę dla otrzymania pożądanego rezultatu, to utworzy się nowy system wykluczający tenże aksjomat lub termin pierwotny.

Według koncepcji Leśniewskiego, winna istnieć możliwość wzbo-gacenia systemu symbolami i własnościami, których poprzednio nie posiadał. Definicje "implicite" zmieniają się wraz z rozwojem systemu. Nie wynika stąd jednakże, że będzie można uznać każdą modyfikację systemu, gdyż wtedy nie byłoby rozróżnialne budowanie nowego systemu od rozwijania istniejącego. To dlatego w szczególno-ści w definiensie znaleźć można tylko symbole pierwotne lub już zdefiniowane i dlatego również symbol wprowadzający definicje wi-nien należeć do tego samego systemu.

Można by żądać, aby żadna definicja nie mogła wprowadzać sprzeczności. Ponieważ istnieją reguły formowania i reguły dedu-kcji odnoszące się do danego systemu, potrzebne byłyby też reguły definicji tego systemu, równie precyzyjne i efektywne. Byłyby to reguły zakazujące identyfikacji definicji wewnątrzjęzykowych z aksjomatami. Według opinii Churcha, która reprezentuje stanowisko klasyczne, jeśli definicje winny być tezami systemu, to trzeba

że-43 by istniały ścisłe reguły ograniczające ich wprowadzenie

"d autre part, une fois que les regies de definition ont ete formulees avec precision, elles deviennent au raoins theoriquement superflues parce qu il serait toujours possible de surveiller par avance tout ce qui pourrait etre introduit par definition et d y pourvoir plutôt par des notations primitives incluses dans la base primitive du langage", C h u r c h , loc. cit., s. 76- -78, przyp. 168.

Jeśli chodzi o problem twórczości definicji, to trudno roz-strzygnąć, w czym twórczość winna sią wyrażać. Zdaniem Fregego "nawet matematyk nie może tworzyć rzeczy według swej woli, tak samo jak geograf; obaj mogą jedynie odkrywać to, co jest i nada-

44 wac nazwy" .

Zatem twórczość w matematyce przypomina nie tyle tworzenie z niczego, lecz raczej operacje dokonywane na istniejącym materiale.

Université Jean Moulin Lyon III Faculte de Philosophie

Jean Pierre Ginisti

LES CRITERES I.OGIQUES DES DEFINITIONS EXPLICITES

Nous nous proposons d examiner certaines proprietes souvent exigees des definitions, principalement celieš d étre éliminables et non créatrices, á 'travers différents objectifs qu on poursuit en définissant. Bien que les langues naturelles fassent usage de definition, nos développements auront pour axe la notion telle que les systemes formels la connaissent sous le nom de "definition explicite" ou "directe". Encore qu il s agisse ď une rationa-lisation du sens le plus courant, comme nous le verrons, nous ne voulons pas faire entendre qu eile recolt la son vrai sens - si du moins on comprenait quelle rend les autres hors d usage - mais son emploi le plus codifié.

44 G. F r e g e , Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathemati-sche Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau 1884, § 96.